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1、18.2 18.2 特殊的平行四边形特殊的平行四边形18.218.2.3.3 正方形正方形(第第1 1课时课时)人教版人教版 数学数学 八年级八年级 下册下册除了矩形和菱形外除了矩形和菱形外,还有什么特殊的平行四边形呢还有什么特殊的平行四边形呢?正方形正方形 怎样研究这类图形怎样研究这类图形?想一想我们是怎样研究矩形和菱形的想一想我们是怎样研究矩形和菱形的.导入新知导入新知1.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概 念之间的念之间的联系和区别联系和区别.2.能用正方形的能用正方形的定义、性质定义、性质进行推理与计算进行推理与计算.素养目标素养目标平行四边形平行
2、四边形情境一情境一:观察体会观察体会探究新知探究新知知识点 1正方形的定义正方形的定义探究新知探究新知探究新知探究新知有一个直角有一个直角探究新知探究新知有一个直角有一个直角矩形矩形探究新知探究新知有一个直角有一个直角矩形矩形探究新知探究新知有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形探究新知探究新知有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形平行四边形平行四边形探究新知探究新知有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形平行四边形平行四边形探究新知探究新知有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形平行四边形平行四边形探究新知探
3、究新知有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形一组邻边相等一组邻边相等平行四边形平行四边形探究新知探究新知有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形一组邻边相等一组邻边相等平行四边形平行四边形探究新知探究新知有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形一组邻边相等一组邻边相等有一个直角有一个直角正方形正方形平行四边形平行四边形 你能给正方形下你能给正方形下一个定义吗一个定义吗?探究新知探究新知问题问题1 图中图中CD在平移时在平移时,这个图形始终是怎样的图形这个图形始终是怎样的图形?问题问题2 当当CD移动到移动到C D 位置位置,此时此时
4、AD AB,四边形四边形ABCD还是矩形吗还是矩形吗?ABCDABC D 正方形是特殊的矩形正方形是特殊的矩形.情景二情景二:两组互相垂直的平行线围成矩形两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD探究新知探究新知矩矩 形形正方形正方形【思考思考】1.探究新知探究新知矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢?菱菱 形形正方形正方形【思考思考】2.菱菱形有一个角是形有一个角是直角时变成怎直角时变成怎样的图形呢样的图形呢?探究新知探究新知小结小结:矩矩 形形正方形正方形邻边邻边相等相等发现发现:一组一组邻边相等邻边相等的矩的矩形叫正方形形叫正方形.菱菱 形形一个角一个角是直角是
5、直角正方形正方形发现发现:一个角为一个角为直角直角的的菱形叫正方形菱形叫正方形.如何来给正方形下定义如何来给正方形下定义?探究新知探究新知有一组有一组邻边相等邻边相等并且有一个角是并且有一个角是直角直角的平行四边形叫正方形的平行四边形叫正方形.请同学们拿出准备好的正方形纸片请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折折一折,观察并思考观察并思考.正方形是不是轴对称图形正方形是不是轴对称图形?如果是如果是,那么对称轴有几条那么对称轴有几条?对称性对称性:.对称轴对称轴:.轴对称图形轴对称图形4条条ABCD探究新知探究新知知识点 2正方形的性质正方形的性质总结总结:平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性
6、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性平行四平行四边形边形 中心对称图形中心对称图形（对角线的交点）（对角线的交点）即是中心对称图形即是中心对称图形,又是轴对称图形（两条）又是轴对称图形（两条）即是中心对称图形即是中心对称图形,又是轴对称图形（两条）又是轴对称图形（两条）即是中心对称图形即是中心对称图形,又是轴对称又是轴对称图形图形（四条）（四条）探究新知探究新知矩形矩形菱形菱形正方形正方形有一个角有一个角是直角是直角有一组邻有一组邻边相等边相等有一组邻有一组邻边相等边相等有一个角是有一个角是直角直角有一组邻边相等且有一组邻边相等且有一个角是直角有一个角是直角(1)(1)(2)(2)(3)(3
7、)(4)(4)探究新知探究新知平行四平行四边形边形平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系:矩形矩形菱形菱形正方形正方形矩形矩形菱形菱形正方形平行四边形平行四边形 正方形是特殊的平行四边形正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形也是特殊的矩形,也是特殊的也是特殊的菱形菱形.所以矩形、菱形有的性质所以矩形、菱形有的性质,正方形都有正方形都有.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系:探究新知探究新知性质性质:1.正方形的正方形的四个角都是直角四个角都是直角,四条边相等四条边相等.2.正方形的正方形的对角线相等对角线相等且互相
8、且互相垂直平分垂直平分.已知已知:如图如图,四边形四边形ABCD是正方形是正方形.求证求证:正方形正方形ABCD四边都相等四边都相等,四个角都是直角四个角都是直角.ABCD证明证明:四边形四边形ABCD是正方形是正方形.A=90,AB=BC（正方形的定义）（正方形的定义）.又又正方形是平行四边形正方形是平行四边形.正方形是矩形正方形是矩形（矩形的定义）（矩形的定义）,正方形是菱形正方形是菱形(菱形的定义菱形的定义).).A=B=C=D=90,AB=BC=CD=AD.探究新知探究新知已知已知:如图如图,四边形四边形ABCD是正方形是正方形.对角线对角线AC、BD相交于点相交于点O.求证求证:AO
9、=BO=CO=DO,ACBD.ABCDO证明证明:正方形正方形ABCD是矩形是矩形,AO=BO=CO=DO.正方形正方形ABCD是菱形是菱形.ACBD.探究新知探究新知例例1 求证求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形腰直角三角形.ADCBO已知已知:如图如图,四边形四边形ABCD是正方形是正方形,对角线对角线AC、BD相交于点相交于点O.求证求证:ABO、BCO、CDO、DAO是全等的等腰直角三是全等的等腰直角三角形角形.证明证明:四边形四边形ABCD是正方形是正方形,AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO.ABO
10、、BCO、CDO、DAO都都是等腰直角三角形是等腰直角三角形,并且并且ABO BCO CDO DAO.素素养养考考点点 1探究新知探究新知利用正方形的性质求线段相等利用正方形的性质求线段相等已知正方形已知正方形ABCD,若若E为对角线上一点为对角线上一点,连接连接EA、EC.EA=EC吗吗?说说你的理由说说你的理由.EABCD12?巩固练习巩固练习解解:EA=EC.理由如下理由如下:四边形四边形ABCD是正方形是正方形,AB=BC,1=2=45,又又BE=BE,ABECBE(SAS).AE=CE.例例2 如图如图,在正方形在正方形ABCD中中,BEC是等边三角形是等边三角形,求证求证:EADE
11、DA15.证明证明:BEC是等边三角形是等边三角形,BE=CE=BC,EBC=ECB=60,四边形四边形ABCD是正方形是正方形,AB=BC=CD,ABC=DCB=90,AB=BE=CE=CD,ABE=DCE=30,ABE,DCE是等腰三角形是等腰三角形,BAE=BEA=CDE=CED=75,EAD=EDA=90-75=15.探究新知探究新知素素养养考考点点 2利用正方形的性质求角度利用正方形的性质求角度ABDCE已知已知:如图如图,在正方形在正方形ABCD中中,F为为CD延长线上一点延长线上一点,CEAF于于E,交交AD于于M,求证求证:MFD45.证明证明:CEAF,ADCAEM90.又又
12、CMDAME,12.又又CDAD,ADFMDC,RtCDM RtADF(ASA).DM=DF.DMF=DFM.ADF=90,MFD=45.巩固练习巩固练习例例3 如图四边形如图四边形ABCD和和DEFG都是正方形都是正方形,试说明试说明AE=CG.解解:四边形四边形ABCD是正方形是正方形,AD=CD.又又四边形四边形DEFG也是正方形也是正方形,DE=DG.又又正方形的每个内角为正方形的每个内角为90,ADEEDCCDGEDC,ADECDG.AEDCGD(SAS).AE=CG.ABCDEFG素素养养考考点点 3利用正方形的性质证明线段相等利用正方形的性质证明线段相等探究新知探究新知已知已知:
13、如图如图,点点E是正方形是正方形ABCD的边的边CD上一点上一点,点点F是是CB的延的延长线上一点长线上一点,且且DE=BF求证求证:（1）AE=AF;（2）EAAF123巩固练习巩固练习证明证明:（1）ABCD是正方形是正方形,AD=AB,ADE=ABF=90.在在ABF与与ADE中中,AD=AB,ADE=ABF=90,DE=BF,ABFADE（SAS）.AE=AF,1=3.（2）2+3=90,1+2=90 即即 EAFA.如图如图,在正方形在正方形ABCD中中,点点E,F分别在分别在BC,CD上上,且且BE=CF,求证求证:ABEBCF证明证明:四边形四边形ABCD是正方形是正方形,AB=
14、BC,ABE=BCF=90,在在ABE和和BCF中中,ABEBCF（SAS）AB=BC,ABE=BCF,BE=CF,ADBCEF连接中考连接中考1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是正方形具有而矩形不一定具有的性质是()()A.四个角相等四个角相等 B.对角线互相垂直平分对角线互相垂直平分 C.对角互补对角互补 D.对角线相等对角线相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A.四条边相等四条边相等 B.对角线互相垂直平分对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角对角线平分一组对角 D.对角线相等对角线相等BD课堂检测课堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题3在正
15、方形在正方形ABC中中,ADB=,DAC=,BOC=.4.在正方形在正方形ABCD中中,E是对角线是对角线AC上一点上一点,且且AE=AB,则则EBC的的度数是度数是 .ADBCOADBCOE459022.5第第3题图题图第第4题图题图45课堂检测课堂检测5.如图如图,四边形四边形ABCD是正方形是正方形,对角线对角线AC与与BD相交于点相交于点O,AO2,求正方形的周长与面积求正方形的周长与面积四边形四边形ABCD是正方形是正方形,ACBD,OAOD2.在在RtAOD中中,由勾股定理由勾股定理,得得正方形的正方形的周长为周长为4AD ,面积为面积为AD28.课堂检测课堂检测解解:ADBCO如
16、图如图,在正方形在正方形ABCD中中,P为为BD上一点上一点,PEBC于于E,PFDC于于F.试说明试说明:AP=EF.ABCDPEF解解:连接连接PC,AC.又又PEBC,PFDC,四边形四边形ABCD是正方形是正方形,FCE=90,AC垂直平分垂直平分BD,四边形四边形PECF是矩形是矩形,PC=EF.AP=PC.AP=EF.课堂检测课堂检测能能 力力 提提 升升 题题四边形四边形ABCD是正方形是正方形,以正方形以正方形ABCD的一边作等边的一边作等边ADE,求求BEC的大小的大小解解:当等边当等边ADE在正方形在正方形ABCD外部时外部时,如图如图,ABAE,BAE9060150.AE
17、B15.BEC60151530;课堂检测课堂检测拓拓 广广 探探 索索 题题同理可得同理可得DEC15.当等边当等边ADE在正方形在正方形ABCD内部时内部时,如图如图,ABAE,BAE906030,AEB75.同理可得同理可得DEC75.BEC360757560150.综上所述综上所述,BEC的大小为的大小为30或或150.课堂检测课堂检测1.四个角都是四个角都是直角直角2.四条边都四条边都相等相等3.对角线对角线相等且互相垂直平分相等且互相垂直平分正方形的定正方形的定义和性质义和性质性质性质定义定义有有一一组组邻邻边边相相等等,并并且且有有一一个个角角是是直直角角的的平平行行四四边边形形叫叫做做正正方方形形.课堂小结课堂小结课后作业课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取从课后习题中选取自主安排配套练习册练习配套练习册练习七彩课堂七彩课堂 伴你成长伴你成长谢 谢 观 看