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1、16.1 16.1 二次根式（第二次根式（第1 1课时）课时）人教版人教版 数学数学 八年级八年级 下册下册电视塔越高电视塔越高,从塔顶发射的电磁波传播得越远从塔顶发射的电磁波传播得越远,从而能收看从而能收看到电视节目的区域越广到电视节目的区域越广,电视塔高电视塔高h（单位（单位:km）与电视节目信）与电视节目信号的传播半径号的传播半径 r（单位（单位:km）之间存在近似关系）之间存在近似关系 ,其中地其中地球半径球半径R6 400 km如果两个电视塔的高分别是如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km,那么它们的传播半径之比是那么它们的传播半径之比是 .公式中公式中 中的中的 表示什么意
2、义表示什么意义?式子式子 表示表示什么什么?导入新知导入新知1.理解二次根式的理解二次根式的概念概念.2.掌握二次根式掌握二次根式有意义的条件有意义的条件,能运用二次根能运用二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围式的概念求被开方数中字母的取值范围.素养目标素养目标3.会利用二次根式的会利用二次根式的双重非负性双重非负性解决相关问题解决相关问题.（1）面积为面积为3 的正方形的边长为的正方形的边长为_,面积为面积为S 的正方形的正方形的边长为的边长为_ （2）一个长方形围栏一个长方形围栏,长是宽的长是宽的2 倍倍,面积为面积为130m2,则它的宽则它的宽为为_m （3）一个物体从高处自由落下一
3、个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间落到地面所用的时间 t（单（单位位:s）与开始落下时离地面的高度）与开始落下时离地面的高度h（单位（单位:m）满足关系）满足关系 h=5t2,如果用含有如果用含有h 的式子表示的式子表示 t,则则t 为为_探究新知探究新知知识点 1二次根式的定义和有意义的条件二次根式的定义和有意义的条件用带根号的式子填空用带根号的式子填空,看一看写出的结果有何特点看一看写出的结果有何特点:（1）这些式子分别表示什么意义这些式子分别表示什么意义?分别表示分别表示3,S,65,的的算术平方根算术平方根 根指数都为根指数都为2;被开方数为被开方数为非负数非负数.（2）这些式子
4、有什么共同特征这些式子有什么共同特征?探究新知探究新知在前面的问题中在前面的问题中,得到的结果分别是得到的结果分别是:,根据你的理解根据你的理解,猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件?我们知道我们知道,一个正数有一个正数有两个两个平方根平方根;0的平方根为的平方根为0;在实数范围内在实数范围内,负数没有平方根负数没有平方根.因此因此,在实数范围内开平方的时候在实数范围内开平方的时候,被开方数只能是被开方数只能是正数或正数或0.探究新知探究新知 一般地一般地,我们把形如我们把形如 的式子叫做的式子叫做二次二次根式根式.“”.“”称为二次根号称为二次根号.两个必
5、备特征两个必备特征外貌特征外貌特征:含有含有“”“”内在特征内在特征:被开方数被开方数a 0注意注意:a可以是可以是数数,也可以是也可以是式式.探究新知探究新知归纳总结归纳总结例例1 下列各式中下列各式中,哪些是二次根式哪些是二次根式?哪些不是哪些不是?解解:(1)()(4)()(6)均是二次根式均是二次根式,其中其中x2+4属于属于“非负数非负数+正数正数”的形式一定大于零的形式一定大于零.(3)()(5)(7)均不是二次根式均不是二次根式.是否含二是否含二次根号次根号被开方数是被开方数是不是非负数不是非负数二次二次根式根式不是二次根式不是二次根式是是是是否否否否分析分析:探究新知探究新知素
6、素养养考考点点 1利用二次根式的定义识别二次根式利用二次根式的定义识别二次根式（1）;（2）81;（3）;（4）;（5）;（6）;（7）.下列各式是二次根式吗下列各式是二次根式吗?是是是是是是是是是是巩固练习巩固练习（1）（2）（3）（4）（6）（5）（7）（8）（9）（10）不是不是不是不是不是不是不是不是不是不是例例2 当当x是怎样的实数时是怎样的实数时,在实数范围内有意义在实数范围内有意义?解解:由由x-20,得得x2.当当x2时时,在实数范围内有意义在实数范围内有意义.【思考思考】1.当当x是怎样的实数时是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义下列各式在实数范围内有意义?解解:由题意
7、得由题意得x-10,x1.探究新知探究新知素素养养考考点点 2利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围（1）;解解:被开方数需大于或等于零被开方数需大于或等于零,x+30,x-3.分母不能等于零分母不能等于零,x-10,x1.x-3 且且x1.归纳小结归纳小结:要使二次根式在实数范围内有意义要使二次根式在实数范围内有意义,即需满足即需满足被被开方数开方数0,列不等式求解即可列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母若二次根式为分式的分母时时,应同时考虑应同时考虑分母不为零分母不为零.探究新知探究新知（2）.【思考思考】2.当当x是怎样的实数时是怎样的实数时
8、,下列各式在实数范围内有意义下列各式在实数范围内有意义?解解:(1)无论无论x为任何实数为任何实数,当当x=1时时,在实数范围内有意义在实数范围内有意义.(2)无论无论x为任何实数为任何实数,-x2-2x-3=-(x+1)2-20,无论无论x为为任任何实数何实数,在实数范围内都在实数范围内都无无意义意义.探究新知探究新知归纳小结归纳小结:被开方数是多项式时被开方数是多项式时,需要对组成多项式的项进需要对组成多项式的项进行恰当行恰当分组凑成分组凑成含含完全平方完全平方的形式的形式,再进行分析讨论再进行分析讨论.（1）（2）(1)单个二次根式如单个二次根式如 有意义的条件有意义的条件:A0;(3)
9、多个二次根式相加如多个二次根式相加如 有意义的条件有意义的条件:(2)二次根式作为分式的分母如二次根式作为分式的分母如 有意义的条件有意义的条件:A0;(4)二次根式与分式的和如二次根式与分式的和如 有意义的条件有意义的条件:A0且且B0.探究新知探究新知 归纳总结归纳总结二次根式有意义的条件应用的不同类型二次根式有意义的条件应用的不同类型:x取何值时取何值时,下列二次根式有意义下列二次根式有意义?巩固练习巩固练习（1）（2）x1x0（3）（4）x为全体实数为全体实数x0（5）（6）x0 x0 x-1且且x2(7)（9）x0 x为全体实数为全体实数(8)【新知思考新知思考】当当x 是怎样的实数
10、时是怎样的实数时,在实数范围内有意义在实数范围内有意义?探究新知探究新知知识点 2二次根式的双重非负性二次根式的双重非负性 【回顾思考回顾思考】二次根式二次根式 的被开方数的被开方数a的取值范围是什么的取值范围是什么?它本它本身的取值范围又是什么身的取值范围又是什么?因为因为x 0,所以所以x可以为可以为任意实数任意实数.要使要使x 0,必须必须x 0.当当a0时时,表示表示a的算术平方根的算术平方根,因此因此 ;当当a=0时时,表表示示0的算术平方根的算术平方根,因此因此 .这就是说这就是说,当当a0时时,.呢呢?二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平二次根式的实质是表示一个非负数（
11、或式）的算术平方根方根.对于任意一个二次根式对于任意一个二次根式 ,必须满足以下两条必须满足以下两条:（1）a为被开方数为被开方数,为保证其有意义为保证其有意义,可知可知a0;（2）表示一个数或式的算术平方根表示一个数或式的算术平方根,可知可知 00.探究新知探究新知二次根式的二次根式的双重非负性双重非负性二次根式的被开方数二次根式的被开方数非负非负二次根式的值二次根式的值非负非负 归纳总结归纳总结解解:由题意可知由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0,解得解得a=-3,b=2,c=1.所以所以2a-b+3c=-32-2+31=-5.探究新知探究新知素素养养考考点点 1利用二次根式的双重
12、非负性求字母的值利用二次根式的双重非负性求字母的值例例1 若若 ,求求2a-b+3c的值的值.提示提示:多个非负数的和为零多个非负数的和为零,则可得每个非负数均为零则可得每个非负数均为零.初初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.已知已知|3x-y-1|和和 互为相反数互为相反数,求求x+4y的平方的平方根根解解:由题意得由题意得3x-y-1=0且且2x+y-4=0解得解得x=1,y=2x+4y=1+24=9,x+4y的平方根为的平方根为3.巩固练习巩固练习探究新知探究新知素素养养考考点点 2二次根式的双重非负性和不等式求字母的值二次
13、根式的双重非负性和不等式求字母的值例例2 已知实数已知实数x、y满足等式满足等式 ,求求x2-2xy+y2的值的值.解解:由题意得由题意得 解得解得:x=3.把把x=3,代入得代入得y=-5.所以所以x2-2xy+y2=(x-y)2=(3+5)2=64.总结总结:若若 ,则根据被开方数大于等于则根据被开方数大于等于0,可可得得a=0.已知已知y=,求求3x+2y的算术平方根的算术平方根.解解:由题意得由题意得 x=3,y=8,3x+2y=3328=25.25的算术平方根为的算术平方根为5,3x+2y的算术平方根为的算术平方根为5巩固练习巩固练习C1.使使 有意义的有意义的x的取值范围是（）的取
14、值范围是（）Ax3 Bx3 Cx3 Dx3A2.若式子若式子 在实数范围内有意义在实数范围内有意义,则则x的取值范围是（）的取值范围是（）Ax1且且x2 Bx1 Cx1且且x2Dx1连接中考连接中考3.若若 在实数范围内有意义在实数范围内有意义,则则x的取值范围在数轴上表的取值范围在数轴上表示正确的是（）示正确的是（）A BC DD连接中考连接中考AD-13.当当x=_时时,二次根式二次根式 取最小值取最小值,其最小值其最小值 为为_0课堂检测课堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题1.下面的式子是二次根式的是下面的式子是二次根式的是()A.B.C.D.a2.二次根式二次根式 中的中的x的取值范围
15、是（）的取值范围是（）Ax2Bx2Cx2Dx2 4.(1)若式子若式子 在实数范围内有意义在实数范围内有意义,则则x的取值的取值 范围范围是是_;(2)若式子若式子 在实数范围内有意义在实数范围内有意义,则则x的取的取值范围是值范围是_.x 1 x 0且且x2 课堂检测课堂检测5.(1)若二次根式若二次根式 有意义有意义,求求m的取值范围的取值范围解解:由题意得由题意得m-20且且m2-m-20,解得解得 m2且且m-1,m2,(2)无论无论x取任何实数取任何实数,代数式代数式 都有意义都有意义,求求m的取值范围的取值范围解解:由题意得由题意得x2+6x+m0,即即(x+3)2+m-90.课堂
16、检测课堂检测m2(x+3)20,m-90,即即m9.已知已知a,b为等腰三角形两条边长为等腰三角形两条边长,且且a,b满足满足 ,求此三求此三角形的周长角形的周长解解:由题意得由题意得a=3,b=4.当当a为腰长时为腰长时,三角形的周长为三角形的周长为3+3+4=10;当当b为腰长时为腰长时,三角形的周长为三角形的周长为4+4+3=11能能 力力 提提 升升 题题课堂检测课堂检测先阅读先阅读,后回答问题后回答问题:当当x为何值时为何值时,有意义有意义?解解:由题意得由题意得x(x-1)0由乘法法则得由乘法法则得解得解得x1 或或x0即当即当x1 或或x0时时,有意义有意义.课堂检测课堂检测拓拓
17、 广广 探探 索索 题题体会解题思想后体会解题思想后,试着解答试着解答:当当x为何值时为何值时,有意义有意义?解解:由题意得由题意得则则 解得解得x2或或x ,即当即当x2或或x 时时,有意义有意义课堂检测课堂检测二次根式二次根式有意义的有意义的条件和非条件和非负性负性二二次次根根式式的的 定定 义义在有在有意义意义条件条件下求下求字母的取字母的取值范围值范围抓住被开方数必须为非抓住被开方数必须为非负数负数,从而建立不等式从而建立不等式或不等式组求出其或不等式组求出其解集解集二次根式二次根式的的双重非双重非负性负性二次根式二次根式 中中,a0且且 0课堂小结课堂小结形如形如 的式子叫做的式子叫做二次根式二次根式课后作业课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取从课后习题中选取自主安排配套练习册练习配套练习册练习七彩课堂七彩课堂 伴你成长伴你成长谢 谢 观 看