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1、会计学1曲边梯形的面积汽车行驶的路程曲边梯形的面积汽车行驶的路程n n教学目标教学目标教学目标教学目标n n理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，n n 感受在其过程中渗透的思想方法。感受在其过程中渗透的思想方法。n n教学重难点教学重难点n n重点重点 掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取n n 极限）。极限）。n n难点难点 对过程中所包含的基本的微积分对过程中所包含的基本的微积分“以直代曲以直代曲”的的思想思想n n 的理解的理解 。第1页/共46页如何求下列图形面积？如何求下列
2、图形面积？ty0ty0tyo直线直线几条线段连成的折线几条线段连成的折线曲线？曲线？由直线由直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线和曲线y=f(x)所围成的图形称为所围成的图形称为曲边梯形曲边梯形.曲曲边边梯梯形形第2页/共46页tvo第3页/共46页特例分析特例分析直线直线x 0、x 1、y 0及曲线及曲线y x2所围成的图形（曲边三角形）面积所围成的图形（曲边三角形）面积S是多少？是多少？x yO1思考？曲边梯形与我们熟悉的思考？曲边梯形与我们熟悉的“直边图形直边图形”的主要区别是什么？能否将求这个曲边梯形面积的主要区别是什么？能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求的问题转化为求“直边
3、图形直边图形”面积的问题？面积的问题？y=x2第4页/共46页 因此，我们可以用这条直线因此，我们可以用这条直线L来代替点来代替点P附附近的曲线，也就是说：在点近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内作直线（即在很小范围内“以直代曲以直代曲”）P放大放大再放大再放大PP“以直代曲以直代曲,无限逼近无限逼近”的数学思想的数学思想第5页/共46页 y=f(x)bax yO A1A A1.用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形近似代替曲边梯形的面积的面积A A，得，得第6页/共46页A A1+A2用两个矩形的面积用两个矩形的面积 近似代替
4、曲边梯形近似代替曲边梯形的面积的面积A，得，得 y=f(x)bax yOA1A2第7页/共46页A A1+A2+A3+A4用四个矩形的面积用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形近似代替曲边梯形的面积的面积A，得得 y=f(x)bax yOA1A2A3A4第8页/共46页 y=f(x)bax yOA A1+A2+An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积，形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯于是曲边梯形的面积形的面积A A近似为近似为A1AiAn 以直代曲以直代曲,无限逼近无限逼近 第9页/共46页 图中的图形可看成图中的图
5、形可看成:x=0,x=1,y=0:x=0,x=1,y=0和和y=xy=x2 2所围成的曲边梯形所围成的曲边梯形,它的面积如何计算呢它的面积如何计算呢?第10页/共46页把区间把区间00，11等分成等分成n n个小区间个小区间：过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个小个小曲边梯形，他们的面积分别记作曲边梯形，他们的面积分别记作 第11页/共46页 如图，当如图，当n n很大时，即很大时，即x x很小时，在区间很小时，在区间 上可以认为函数上可以认为函数 的值变化很小的值变化很小.第12页/共46页 把曲边梯形分成把曲边梯形分成n个小曲边梯形面积记做个小曲边梯形面积
6、记做 .用小矩形的面积用小矩形的面积 近似地替代近似地替代 即局部小范围内即局部小范围内“以直代曲以直代曲”.第13页/共46页则阴影部分面积则阴影部分面积得到得到S S（曲边梯形面积）的近似值（曲边梯形面积）的近似值：第14页/共46页第15页/共46页 当当n趋向于无穷大，即趋向于无穷大，即 趋向于趋向于0时，时，趋向于趋向于S.从而有从而有第16页/共46页 在在“近似代替近似代替”中，如果认为函数中，如果认为函数 在区间在区间 上的值近似地等于右端点上的值近似地等于右端点 处的函数值处的函数值 ，用这种方法能求出，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是的值吗？若能求出，这个值也
7、是 吗？取任意吗？取任意 处的函数值处的函数值 作为近似值，情况又怎样？作为近似值，情况又怎样？探究探究！第17页/共46页观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第18页/共46页观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第19页/共46页观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第20页/共46页观察以下演示，注意当分割加细时，观察以
8、下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第21页/共46页观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第22页/共46页观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第23页/共46页观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第24页/共46页观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分
9、割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第25页/共46页观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第26页/共46页观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第27页/共46页观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第28页/共46页观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面
10、积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第29页/共46页观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第30页/共46页小结小结求由连续曲线求由连续曲线y f(x)围成的围成的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法（1 1）分割分割（2 2）近似代替近似代替（4 4）取极限取极限 （3 3）求和求和 第31页/共46页1.当当n很大时，函数很大时，函数 在区间在区间 上的值，可以用上的值，可以用()近似代替近似代替 A.B.C.D.C练 习第32页/共46页2、在、在“近似代替近似代替”中，函数
11、中，函数f(x)在区间在区间 上的近似值等于（上的近似值等于（）A.只能是左端点的函数值只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值只能是右端点的函数值 C.可以是该区间内任一点的函数值可以是该区间内任一点的函数值D.以上答案均不正确以上答案均不正确C练 习第33页/共46页n n一一般般地地，如如果果物物体体做做变变速速直直线线运运动动，速速度度函函数数为为v vv v(t t)，那那么么我我们们可可以以采采用用分分割割、近近似似代代替替、求求和和、取取极极限限的的方方法法，求求出出它它在在a at tb b内内所所走的位移走的位移s s.n n事事实实上上，类类似似于于求求曲曲边边梯梯形形
12、面面积积的的过过程程，汽汽车车行行驶驶的的路路程程s s就就是是由由直直线线t ta a，t tb b，v v0 0和和曲曲线线v vv v(t t)所所围围成成的的曲边梯形的面积曲边梯形的面积二二.求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程第37页/共46页 如果汽车做变速直线运动，在时刻如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速的速度为度为 (t的单位：的单位：h，v的单位：的单位：km/h)，那么它在，那么它在 这段时间内行驶这段时间内行驶的路程的路程s（单位：（单位：km）是多少？）是多少？第38页/共46页 在时间区间在时间区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个分点，将它等分成个分点
13、，将它等分成n个小区间：个小区间：记第记第i i个区间为个区间为 ，其长度为：，其长度为：第39页/共46页.把汽车在时间段把汽车在时间段 上行驶的路程分别记作：上行驶的路程分别记作：显然有显然有第40页/共46页 当当n很大，即很大，即 很小时，在区间很小时，在区间 上，上，函数函数 的变化值很小，近似地的变化值很小，近似地等于一个常数等于一个常数.从物理意义上看，就是汽车在时间从物理意义上看，就是汽车在时间段段 上的速度变化很小，上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻不妨认为它近似地以时刻 处的速处的速度作度作匀速行驶匀速行驶.第41页/共46页在区间在区间 上，近似地认为速度为上，近似
14、地认为速度为 即在局部小范围内即在局部小范围内“以匀速代变速以匀速代变速”.第42页/共46页 由近似代替求得：由近似代替求得：第43页/共46页 当当n趋向于无穷大，即趋向于无穷大，即 趋向于趋向于0时，时，趋向于趋向于s，从而有，从而有第44页/共46页 结合求曲边梯形面积的过程，你认结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程为汽车行驶的路程s和由直线和由直线t=0，t=1,v=0和曲线和曲线 所围成的曲所围成的曲边梯形的面积有什么关系？边梯形的面积有什么关系？探探 究究如如果果物物体体做做变变速速直直线线运运动动，速速度度函函数数为为vv(t)，那么也可以采用，那么也可以采用 的的方方法法，求求出出它它在在atb内所作的位移内所作的位移s.分割，近似代替，分割，近似代替，求和，取极限求和，取极限 第45页/共46页