《2023届高考数学专项复习圆中的范围与最值问题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届高考数学专项复习圆中的范围与最值问题含答案.pdf（48页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023届高考数学专项复习圆中的范围与最值问题【考点预测】涉及与圆有关的最值，可借助图形性质,利用数形结合求解.一般地：(1)形如n=叟三的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.v C Q(2)形如t =ax +b y的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如Q-a)2+(y 6)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题【方法技巧与总结】解决圆中的范围与最值问题常用的策略：(1)数形结合(2)多与圆心联系(3)参数方程(4)代数角度转化成函数值域问题【题型归纳目录】题型一:斜率型题型二:直线型题型三:距离型题型四:周长面积型题型五:数量积型题型六:坐标与角
2、度型题型七:长度型题型八:方程中的参数【典例例题】题型一:斜率型例1.(2022福建南平三模)已知P(m,n)为圆C；(x-l)2+(?/-1)2=1上任意一点，则 髭 的最大值为例2.（多选题）（2022山东泰安三模）已知实数初y 满足方程/+娟-4力-2,+4=0,则下列说法正确的是（）A.n 的最大值为言 B.%的最小值为。x3xC./+娟的最大值为弱+1 口.6+9 的最大值为3+2例3.（2022全国商三专题练习（理）在正三角形ABC中，M 为 中 点，P 为三角形内一动点，且满足P A =2 P M,则爵最小值为（）A.1 B.乎 C.挈 D.坐例4.（2022河南模拟预测（文）己
3、知点P（x,y）在圆3-I/+d 一 1尸=3 上运动，则 与 2 的最大值为X o（）A.-6-V 3 0B.6+V30C.-6+V30D.6-V 30题型二:直线型例5.（2022全国高三专题练习）已知点P（x,y）是圆/+才一 62-旬+12=0 上的动点，则c+y 的最大值为（）A.5+V2 B.5-V 2 C.6 D.5例6.（2022全国高三开学考试（文）已知点P（/,y）是圆C：（2 一 a）?+必=3（a 0）上的一动点，若圆C经过点4（1,四），则”7的最大值与最小值之和为（）A.4B.2V6D.2V6C.-4例7.（2022全国修 三专题练习）点P 力是圆/+才=12上的动
4、点，则6+y的最大值是题型三:距离型例8.（2022上海虹 口 二#）设 a CH,A;CR,三条直线小如一沙一 2a +5=0,Z 2：+a y-3 a-4=0,Z 3：U=欣 c,则。与12的交点M到，3 的距离的最大值为.例9.（2022黑龙江哈九中模拟fll测（文）若平面内两定点A、B 间的距离为2,动点P 满足=蓼，则她 产 的 最 大 值 为例10.（2022全国高三专题练习）若A，B 是。：/+必=4 上两个动点，且 不 加=一 2,4,8 到直线Z：V 3 x +y 4=0 的距离分别为围,则a +d a 的最大值是（）A.3C.5B.4D.6例11.（2022陕西安泉 二*（
5、文）已知直线Z 与圆0 招+婿=4 交于A（g,%）,以物例）两点，且|AB|=2,则|g +%+4|+E+纺+4 的最大值为.例12.（2022全国：（三专题练习）已知实数%,如幼，如满足:情+婿=1,涕+4=1,工网+幼例=0,则E+小-1+E+仇-UV2的最大值为例13.（2022河北石家庄模拟颈潴）若点P 在曲线/+夕?=|+|引上运动，则点p 到直线。+夕+2=0 的距离的最大值为（）A.2V2B.2C.V2D.4例14.（2022淅江模拟覆测）在平面直角坐标系中，直线y=for+K 0）与z 轴和y轴分别交于4 B 两点，|AB|=2方，若C 4 L C B,则当鼠m 变化时，点。
6、到点（1,1）的距离的最大值为（）A.4V2 B.3V2 C.2V2 D.V2例15.（2022浙江高三专题练习）已知点P（-l,0），圆（c I/+必=9 上的两个不同的点A ,）、5（如纺）满足#=4屈（4 G R）,则|4电+3yL 251 +|4g+3佻一 25|的最大值为（）A.12B.18 C.60 D.期期 8.（2022江西宁网中学方三开学考试（理）已知点P（x,y）在圆/+必=1上，则V（X-1）2+（T/-1）2的最大值为（A.V2)B.2 2 C.1 D.V2+1例17.（2022河北衡水二模）在平面直角坐标系 O y中，点/在立轴上，点B 在夕轴上，=2,点。满足力C
7、1.B C,则点C 到点P（4,l）的距离的最大值为（）A.3B.y C.5 D.4例18.（2022全国商三专题练习）若、b为任意实数，若（a+1）2+（&-2尸=1,则Q -a）2+（Inx-b）2最小值为（）A.2A/2B.9C.9-4V2D.2V2-1I,|a|=2,a-b例19.（2022辽宁东北育才学校二#）己知平面向量五，b,加满足V c e R,=4,(a c)(b-2c)=6,则|4一4的最小值为()A.1P VS+3C.3D 年例20.（2022河南河南三模（）已知M,N为圆C：/+才一 2Z一 4沙=0上两点，且=4,点P在直线Z：z y+3=0上，则庐必+两|的最小值为
8、（）A.2 V 2-2B.2V2C.2V2+2D.2V2 VK例21.（2022全国三专题练习）若平面内两定点4,B间的距离为2,动点P满 足 圈=通，则-1-（|PA|2+|。3）的最大值为（）A.3+V3 B.7+4V3 C.8+473 D.16+8瓜例22.（2022全国商三专题练习）已知尸是半圆。：图二7 =一力上的点，Q是直线立一9一 1=0上的一点，则|P Q|的最小值为（）A.B.V 2-1 C.夸-1 D.雷例23.（2022全国鹏三专题练习）若Af,N 分别为圆G ：（+6尸+（夕 一 5尸=4 与圆。2：3 -2尸+（9 一 1/=1 上的动点，为直线，+夕+5=0 上的动
9、点，则门”|+|州的最小值为（）A.4V 5-3 B.6 C.9 D.12例24.（2022全国模拟预测（理）过圆C：3 1尸+靖=1外一点P 作圆。的两条切线PA,PB,切点分别为力、B,若PA_LPB,则点P 到直线芯+夕 一5=0 的距离的最小值为（）A.1 B.V2 C.2V2 D.3V2题型四:周长面积型例25.（2022全国商三专题练习）已知点力（2,0）,B（0,-1）,点P 是 圆/+（夕一1）2=1 上任意一点，则 P A B面积最大值为（）A.2 B.4+C.1+D.2+例26.（2022河南安根模拟覆测（文）已知圆C：（x -2）2+（y-6）2=4,点M 为直线l：x-
10、y +8=0上一个动点，过点M 作圆。的两条切线，切点分别为A,则四边形CAMB周长的最小值为（）A.8 B.6V2 C.5V2 D.2+472例27.（2022全国商三专题练习）已 知 圆-2）2+（y-6户=4,点M 为直线l-.x-y+8=0上一个动点,过点”作圆。的两条切线，切点分别为4,B,则当四边形C4M B周长取最小值时，四边形。4MB的外接圆方程为（）A.(x 7)2+(y I)2=4C.(x-7)2+(y-l)2=2B.(x 1)2+(?/7)2=4D.(x-l)2+(y-7)2=2例28.（2022全国高三专题练习）在平面直角坐标系x O y中，圆。与圆O：/+必=1外切，
11、且与直线2/+4=0相切，则圆C 的面积的最小值为（）A.4 B.7 T C.4 D.2正4 9例29.（2022北京曷平二模）已知直线l-.ax-y +l=0 与圆。:（x-l）2+y2=4 相 交 于 两 点 当 a 变化时，&4BC的面积的最大值为（）A.1B.V2C.2D.2V2例30.（2022河南南三阶段练习（理）已知直线li,.mx y 0（m C R）过定点力，直线l2:x+my+4 2m 0过定点B,Z 1与。的交点为。，则 ABC面积的最大值为（）A.V10 B.2V5 C.5 D.10题型五:数积型例31.（2022全国高三专题练习）已知正方形4BCD的边长为2,以B 为
12、圆心的圆与直线4。相切.若点P 是圆B 上的动点，则 瓦 存 的最大值是例32.（2022辽宁大连二模）已知4（4,0）,B（0,6）,点P 在曲线夕=1 一 V 1-2上，则 同 两 的最小值为.例33.（2022全国高三专题练习）已知半径为1 的圆。上有三个动点4 3,C,且 AB=AC-BC的最小值为.例34.（多选题）（2022福建龙岩模拟覆潴）已知圆P:Q 5）2+（?2尸=4,直线l：y=arr,点M（5,4）,则（）A.当a=4 时，直线Z与圆P 相切B.若直线Z平分圆P 的周长，则a=V5C.若直线l上存在点A,使得 P A M=90,则a 的最大值为 美严D.当a=2时，N
13、为直线I上的一个动点，则 丽 丽 的最小值为普例35.（多选题）（2022湖北武汉模拟H 测）已知圆M：Q 4尸+（y 5尸=12,直线Z ：皿 一 y 2m+3=0,直线，与圆”交于A,C 两点，则下列说法正确的是（）A.直线Z恒过定点（2,3）B.|廊|的最小值为4C.以 觉 的取值范围为-12,4 D.当N4WC最小时，其余弦值为专例36.（多选题）（2022湖北模拟预测）若动直线l-.mx 一夕+4-4m=0 与圆4尸+（“一 5尸=9 相交于4 8 两点，则（）A.|4 B|的最小值为4 gB.3 4 国的最大值为-7C.O A -O B（O为坐标原点）的最大值为78D.怒 厢 的最
14、大值为18例37.（2022全国高三专题练习）已知双曲线/一q=1 的右焦点为R,M（4,3胡），直线M尸与“轴交于O点N,点P 为双曲线上一动点，且|V 3斯,直线M P 与以A/N为直径的圆交于点M、Q,则 PM|PQ|的最大值为（）A.48B.49C.50D.42 2例38.（2022全国高三专题练习）已知点M 为 椭 圆 每+蚩=1上任意一点，4 B 是圆（41尸+婚=8上两点，且=则 加 加 的 最大值与最小值的和是（）A.20B.12V3C.40D.48V3例39.（2022河南开封二模（文）骑行是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱.如图是某一自行车的平面结构示意
15、图，已知图中的圆4前轮），圆。（后轮）的半径均为四，A4BE,B E C A E C D 均是边长为4 的等边三角形，设点P为后轮上一点,则在骑行该自行车的过程中，A C -囱达到最大值时点P 到地面的距离为（）A.坐B.挈C.4 +3 D.平+四题型六:坐标与角度型例40.（2022全国高三专题练习）已知，夕满足之+必=知3,则+yy/x2+y2A.1C.V3的最大值为（）例41.（2022 福建泉州 模板预测）若圆 M:（x,-cosl9）2+（y-sin）2=1（0 2灭）与圆 N:x2+y2 2x 4y=0 交 于 两 点，则tan/4 V B 的最大值为（）AA.2 BE.A4 cj
16、 5 Du.3例42.（2022全国高三专题练习）已知4,，2 是非零平面向量同，则管的最大值是回例43.（2022全国高三专题练习（）已知圆。：3-1）2+3 +2 0）2=16和两点4（0,一小）、B（0,m）,若圆。上存在点P,使得A P L B P,则m 的最大值为（）A.5 B.6 C.7 D.8例44.（多选题）（2022河北通三阶段练习）已知圆。苏+（y-y）2=l 上两点4 B 满足他 点”（小0）满足：M4|=|MB，则下列结论中正确的是（）A.当|A B|=四 时，的=5 B.当我=0 时，过M 点的圆C 的最短弦长是2遍C.线 段 的 中 点 纵 坐 标 最 小 值 是
17、上 产D.过河点作图C 的切线且切点为力，5,则&的取值范围是（一 8,冬 u 乎,+8）例45.（2022全国南三专题练习）已知直线kx-y+2k=0与直线x +ky-2=0相交于点P,点4（4,0）,O为坐标原点,则tan/O A P 的最大值为（）A.2-A/3 B.C.1 D./3O例46.（2022北京北大附中方三开学考试）已知圆C：2）2+（夕 2）2=r2（r 0）和两点M（-l,0）,N（l,0）,且圆。上有且只有一个点P 满足A M P N=90,则r 的最大值为（）A.2V 2-1 B.3 C.2V2+1 D.5例47.（2022全国二模（理）动圆M 经过坐标原点，且半径为
18、1,则圆心M 的横纵坐标之和的最大值为A.1B.2C.V2D.2A/22022湖 北 房 县 第 一 中 学 模 根 覆 测）已 知。为 坐 标 原 点，点 A（cosa,sina）,B（cos（a+专）,sin（a+年），以0 4 OB为邻边作平行四边形A O B P,Q（-2,0），则Z.PQO的最大值为（）A-t B-z c-f D-1麴鼠（2022江西上饶市第一中学 模 拟 测（理）已知P（3,4 2 C）,过 点 P 作 圆 C：（x-a）2+（y-a l）2=l（a 为参数，且 a R）的两条切线分别切圆。于点4、则 sin/4 P B 的最大值为（）A.1 B.J C.4 D.平
19、2 2 4例50.（2022江苏苏州南三阶段练习）已知力，满 足/+/=6夕 6,则V 3x +yy/x2+y2的最大值为（)A.1 B.V3 C.1+D.1+o o例51.（2022全国通三专题练习）已知圆C：/+娟=4,M、N 是直线Z ：y=c+4 上的两点，若对线段M TV上任意一点P,圆。上均存在两点4 3,使得cos乙4PB=则 线 段 长 度 的 最 大 值 为（）A.2 B.4 C.4V2 D.4V3题型七:长度型例52.（2022上海方三阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著 圆锥曲线论 中有一个著名的几何问题:在平面上给定两点4、8,动点P 满足PA =（其中A是正常数
20、，且X W 1）,则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”.现已知两定点“（一1,0）、（2,1）,。是圆。：/+靖=3 上的动点,则V 3 PM +PN的最小值为例53.（2022全国高三专题练习）已知圆C 是以点“（2,2遍）和点N（6,2遍）为直径的圆，点P 为圆。上的动点，若点4（2,0）,点,则2 PA -PB 的最大值为（）A.V26 B.4+V2 C.8+5V2 D.V2例54.（2022浙江高三专题练习）已知圆G：G +句+I=1,圆。2：0 4 y+（9 一 5）2 =9,点M、N分别是圆G、圆。2上的动点，点P 为多轴上的动点，则|P7V|-PM的最大值是（）A.
21、2V5+4B.9C.7D.2V5+2H 谶.（2022广东汕头市第一中学南三阶段练习）已知4,B 是曲线-1=V 4-（y-l）2上两个不同的点，。（0,1）,则川+|CB|的最大值与最小值的比值是（）A.B.V2 C.坐 D.V3 2例56.（2022安徽合肥市第八中学模拟覆潴（）已知曲线E：/+炉=1,等边三角形ABC的两个顶点A,B 在E 上，顶点。在E 外，O 为坐标原点,则线段OC长的最大值为（）A.3 B.2V2 C.A/3 D.2例57.（2022河南新乡三模（）已知抛物线y2=16c的焦点为R,P 点在抛物线上，Q 点在圆C：（c 6）2+句 一 2）2=4上,则|尸。|+牛尸
22、|的最小值为（）A.4C.8B.6D.10例58.（2022北京西城一模）已知点A 为圆C：（c mV+（?山一 i）2=2 上一点，点台0）,当加变化时,线 段 长 度 的 最 小 值 为（）A.1 B.2 C.V2 D.2V2例59.（2022河北石家庄二中模拟f i（潴）已知P 为抛物线C-.y2=8 x上的动点，Q 为直线Z：c 夕+4=0 上的动点，过点P 作圆E：（c 3尸+婿=8 的切线，切点为A,则|PQ|+|P 4|的最小值为（）A.V2+1 B.2V2-1 C.3V2-1 D.3 7 2-2例60.（2022全国模拟演测）已知直线I,过点4 1,2）,则直线I被圆。：/+才
23、=12截得的弦长的最小值为（）A.3 B.6 C.3V3 D.6V3例61.（2022安微马发山三模（文）已知P（m,0为抛物线C：y2=1 6 x上一动点，过 C 的焦点F 作。P：（刀一山）2+句一）2=1的切线，切点为A,则线段用4 长度的最小值为（）A.3 B.V15 C.V7 D.3V7例62.（2022全国商三专题练习（文）已知圆G：（立一以+（夕 一 1）2 =1，圆。2：（一疗+（9-5）2 =9,点M,N 分别是圆G、圆G 上的动点，点P 为y=c上的动点，则|PM|+|P N|的最小值是（）A.4C.V61+4B.V 61-4D.V 61-8例63.（2022全国模拟覆测（
24、理）已知圆C：/+娟一 2/一 3=0,若直线小切y+l a=0 与圆C 相交于4 6 两点，则|4 3|的最小值为（）A.2V2 B.2V3 C.3 D.-|-例64.（2022全国高三专题练习）如图，P 为圆O：/+必=4 外一动点，过点P 作圆。的切线R 4,PB,切点分别为A,B,120,直线O P与4 8 相交于点Q,点河（3,通），则 MQ的最小值为（）A.V3c 3V30 亍B.2D*O例65.（2022全国高三专题练习）已 知 直 线 y 3小+1=（）恒过点P,过点P 作直线与圆C：（x-1）2+（y-2）2=25相交于A,3 两点,则|AB|的最小值为（）A.4V5 B.2
25、 C.4 D.275题型八:方程中的弁数例66.（2022山东艰台二中模拟覆测）己知过点（1.V3）的动直线，与圆C：/+靖=16交于4,B 两点，过力，B 分别作C 的切线，两切线交于点N.若动点”（cose,sin6）（OWJ 0),PX _ 4 P M 2 _ 软 炉+才)=4(一+向)P B2 P B1(x +1)2+?/2 x2+y2+2x +1422+1x2+y2“_ 1 启 P A2 _ .P A _ r,.x2 时，P R?-4，p-2,瓜1y-n-当N W-5 时，令 =-1，则t卷示P(x,y)与设直线沙-=k(x+9)与圆d+(u+1 相切,（-4 ，乎）连线的斜率,r.
26、+5 V 1场 十 R 9 R，回则圆心到直线距离d =/“=-，解得：k =或 k =瓜、V 4 f c2+4 3 13*t (-8,-与，U V 3,4-oo),则当=一今令时5取得最小值总，（爵）=V3.min 2 ，综上所述：最 小 值 为.故选：D.例4.（2022河南模拟f l测（文）已 知 点 F（x,y）在 圆（力-1）2+（y 一 I）?=3 上运动，则 与 卷 的最大值为（）X JA.-6-V30B.6 +V 3 0C.-6+V30D.6-V30【答案】C【解析】看作圆上的点P（c,y）到点4（3,4）的直线的斜率的相反数.当经过点力（3,4）的直线与上半圆相切时，切线斜率
27、最小，设切线方程为y=k（x 3）+4,所以圆心到切线的距离等于半径，故L j =4,解得k =6 1 I A/4 7/V 3 0,故当k =6 沟 时，切线斜率最小，此时一最大，最大值为-6 +9，X O故选:C题型二:直线型例5.（2022全国高三专题练习）已知点P（x,y）是圆x2+y2-6 x-4 y+12=0 上的动点，则 2+y 的最大值为（）A.5+V 2 B.5-V 2 C.6 D.5【答案】A【解析】由 3 3）2+（夕-2）2=1,令 C O Sf，贝|s c +夕=5+2s i n（。+号）,所以当s i n（夕+卷）=1 时，c +g的最大值为5+2.故选:A例6.（2
28、022全国高三开学考试（文）已知点P（c，u）是 圆。：（a）?+靖=3（Q 0）上的一动点，若圆。经过点A（1,V 2），则沙一切的最大值与最小值之和为（）A.4B.2V 6C.-4D.-2V 6【答案】C【解析】因为圆。：（/-Q）2+g 2=3（Q0）经过点力（1 a）2+2 =3.又Q 0,所以Q=2,y-x可看成是直线g =/+b 在夕轴上的截距.如图所示，当直线g =N+b与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时 才=，解 得 b =-2 4，V 2所以夕一久的最大值为一2+述，最小值为一2 通，故沙一立的最大值与最小值之和为一4.故选：C.例7.（2022全国方三专题练习）
29、点 P Q,y）是圆x2+y2=12上的动点，则 z +沙 的最大值是【答案】2遥【解析】由3+夕）2&2（22+婿）=24,则一?2 C，当且仅当2=沙=+V6时等号成立，：./+U 的最大值是2萌.故答案为：2 n.题型三:距离型例&（2022上海虹口 二M）设 a C R,卜 C R,三条直线 lx：ax y 2a+5=0,l-2：x +ay 3a 4=0,l3：y=f c c,则h与。的交点M 到h的距离的最大值为.【答案】5+2【解析】因为a X l +（1）X a =0,所以Z|J _ Z 2,而直线。：a x -y 2a +5=0 即 a（x 2）y+5=0 过定点力（2,5）,
30、U c+a”-3 a 4 =0 即 c 4 +a（y 3）=0 过定点 B（4,3）,所以Z i 与。的交点M 在以AB为直径的圆上，圆方程为（x-2）（r e-4）+（y-5）（y-3）=0,即（土一3 尸+（y-4）2=2,所以M到 4的距离的最大值为J（3 0）?+（4 （J）?+=5+V 2.故答案为：5+2.例9.（2022黑龙江 九中模拟覆浏（文）若平面内两定点4 B间的距离为2,动点P 满 足 黑 =方，则JPA-2+-PB L2 1的V l 最日 大1/吉汨值为.【答案】1 8+1 2 四【解析】以经过43 的直线为名轴，线段48的垂直平分线为沙轴建立直角坐标系，则力（T,0）
31、,B（l,0）,设 P（c,y）,由需=2，所以+=0西边平方并整理得（工一 3户+婚=V（x-l）2+y28,所以点P的轨迹为以（3,0）为圆心，2 方 为 半 径 的 圆，所以靖=8 一 位一 3）2（3-2V2s3 +2 V 2）,则有 PI=s2+y2+1 =x2+8 (3)2+1 =6 x 1 8+1 2 V 2,m2-i-i p 2所 以 _胃_L的最大值为1 8+122.故答案为：1 8+1 2例10.（2022全国高三专题练习）若 4 B是。：/+娟=4上两个动点，且 52 丽=2,A,B到直线Z：，5；r+u 4 =0的距离分别为d 1,d 2,则 4+d 2 的最大值是（）
32、A.3B.4C.5D,6【答案】D【解析】圆。的圆心为0（0,0）,半径为2.O A-O B=O A -O B -COSZXOB=4 c os Z A O B =-2,c o s Z X O B =,由于/.AOB E 0,兀,所以8 5/7 1 0 6 =粤.J设。是力B的中点，则 OC =OB -c os 与=1,设C（x,y）,则 炉+忧=i,即 的 轨 迹 为 单 位 圆.原点到直线Z 的 距 离 为+图=2,所 以 圆/+婿=1 上的点到直线，的距离2-i&d42+l,l&d 3.所以 4 +d 2 =2 d G 2,6 ,所以4+d2的最大值是6.故选:D例11.（2022陕西安康
33、二M（文）已知直线/与圆O:/+婿=4交于4（即功），夙如仇）两点，且|A B|=2,则依+纳+4|+x2+y2+的最大值为【答案】8+2 函【解析】同+瞿+图+依+,+4 的几何意义为点A R到直线2+,+4 =0的距离之和，其最大值是4B的中点M 到直线力+沙+4 =0的距离的2 倍.由题可知，O 4 B 为等边三角形，则|O M =瓜、：.A B中点M 的轨迹是以原点。为圆心，四 为半径的圆，故 点 到 直 线 re +,+4 =0的 最 大 距 离 为/J ,+V 3=2 V 2 +V 3,V I +12.山+/+4|+f+4|的最大值为2（22+V 3）,V 2 V 2，山+功 +4
34、|+x 2 夕 2 +4 的最大值为 2（2，+-/3）x V 2 8+2 V 6.故答案为：8+2 萌.例12 2022全国道三专题练习）已知 实 数%如 仅，仍 满 足:+V =L 曷+萌=1，xxx2+y y2=。，则限 什 厂 +山+晓 的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.V 2 V 2【答案】2/5，初以1 E+%-1 ,也2 +例一 I【解析F+一方的值转化为单位圆上的4（孙小）,夙/2,例）两点到直线c +g-1 =0的距离之和,由 gg+%筑=0 得：/-AOB=90 ,所以三角形49 石是等腰直角三角形，设”是 4B的中点,则 O M _ L A B,且 Q M
35、=咨|。*=夸，则”在 以。点为圆心，半径为 空 的 圆 上，4,8两点到直线+g 1=0的距离之和为A B的中点M到直线Z+g 1=0的距离的两倍.1 /9（0,0）到直线/+9-1=0的 距 离 为 有=登，所以7W到直线2+9一1=0的距离的最大值为 孝+坐=2,所以+屋*1的最大值为2 0故答案为：2 2.yB例13.（2022河北石家庄模拟频测）若点P在曲线/+娟=|x|+|引上运动，则点P到直线t +y+2=0的距离的最大值为（）A.2A/2B.2C.V2D.4【答案】A【解析】由曲线方程为x2+y2|x|+|y|知曲线关于y轴成轴对称，关于原点成中心对称图形，在第一象限内，方 程
36、 化 为+/=/+,即（2-/）2 +（夕-J）=、，在第一象限内，曲线是4（H）为圆心，空为半径的圆在第一象限的圆弧（含坐标轴上的点），实际上整个曲线就是这段圆弧及其关于坐标轴.原点对称的图形加上原点，点4到直线/+g+2=0的距离为d=l i+i+2l _ 3V2V2 2 5所以所求最大值为d+=2近.故选：A.例14.（2022浙江模拟（测）在平面直角坐标系中，直线y=岫+m（k W 0）与立轴和y轴分别交于4,B两点，|力目=2方,若C4 J_CB,则当卜，加 变化时，点。到 点（1,1）的距离的最大值为（）A.4V2 B.3V2 C.2V2 D.V2【答案】B【解析】由 y=kx +
37、m（k 0）得 A（-詈,0）,B（0,m）,故 由|A8=2 四 得（箸丫+病=8,由。4 _ L C B 得 前 宓=0,设 C Q,y），则（x +岩,n）-3，y-m）=0,即（立+卷 +（y-号 丫=黄 7 +箸，即点。轨迹为一动圆，设该动圆圆心为促,短），则 d=一 段,9 =华,Z r C N整理得k=q 7，?1 =2 式，代入到（一詈y+m?=8中，得:x 2+式2 =2 ,即。轨迹的圆心在圆x 2+式2 =2上，故点（1,1）与该圆上的点（一1,1）的连线的距离加上圆的半径即为点。到 点（1,1）的距离的最大值,最大值为 V l-（-l）2+l-（-l）2+V2=3A/2,
38、故选:B例15.（2022浙江高三专题练习）已 知 点 P（l,0）,圆（。-1）2 +,2=9上 的 两 个 不 同 的 点 4（叫纳）、B（g,纺）满 足 加=疟后。R），则|4 为+3%2 5|+|4 g +3 例2 5 1 的最大值为（）A.1 2 B.1 8 C.6 0 D.筌【答案】C【解析】因#=APB I.A e R）,则点4,P,B共线，即过点P的直线48与圆（/1）2 +力=9交于不同的两点、A,B,|4 皿+3 小-2 5|+|4 电+3 仪-2 5|=5-=-+也 签 普 京 剋）表示点力、B到直线3x +4y 2 5 =0 的距离和的5 倍，上上|4 电+3 沙一2
39、5|4 电+3 仇2 5|4%+3 仇2 5|设弦 A B 中点,则有=+3 2 +J-=2 -+3 2于是得：|4 为+3%-2 5|+1 4 g +3 比-2 5|=1 0 4斯 2 5|,V42+32圆（/-1）2+婚=9的圆心Q（l,0）,显然点P在此圆内，即过点P的任意直线与圆都相交,当点”与点P,Q 都不重合时，由圆的性质知，PM_LQ M,有声必（W=0,当点A l与点P,Q 之一重合时，月必丽=0 也成立，于 是 得 询。丽=0,又 可？=（g+l,yo）,Q M=（g-1,%），从而得犹+涕=1,即点M 的轨迹是以原点为圆心的单位圆，|2 5|圆x o+y o =1 的圆心到
40、直线3 立+4 U-2 5 =0 的距离d =,2 2=5,V 3 +4 则圆就+*=1 上的点到直线3 e +4 g 2 5 =0 的距离的最大值为d +1 =6,所以|4 电+3 幼-2 5|+|4/2 +3y，2-2 5|的最大值为6 0.故选:c例16.（2022江西宁冈中学高三开学考试（2）己知点p（c，n）在 圆/+力=1上，则，一 1）2+电 一 1）2的最大值为（）A.V2 B.2V 2 C.1 D.V 2 +1【答案】D【解析】J 一 1尸+（夕一1）2可看作圆上的点（立,夕）到定点（1,1）的距离，根据圆的几何性质，其最大值为（1,1）到圆心（0,0）的距离与圆的半径之和，
41、即J（l 0回+（1 0）2 +1=2+1.故选：D.例17.（2022河北衡水二）在平面直角坐标系式为中，点A在Z轴上，点8在y轴上，=2,点。满足力CL B C,则点。到点P（V3,1）的距离的最大值为（）7A.3 B.y C.5 D.4【答案】D【解析】由题意可知点。在以线段AB为直径的圆上，设 A B 的中点坐标为 M（a,b）,有 OM =AM =1,可得|a-b,a=2,a-b=4,(a c)(b-2c)=6,则 花一目的最小值为()A.1 B.返铲.C.3 D.【答案】A【解析】因为Ve 五一 同 卜，同=2,5-6=4,所以 4+x2b2 8x 4+T7rb2-2,b W 6,
42、，(x2-8x+2)0,所以b2x2 8/+2 b20对任意力都恒成立，所以 A=64+十|那-8|评 0 .(y|b|2-8)2 4+2 4=4+2V（2V2）2-4 =8,当且仅当CW_LZ时取=，此时直线CM:/+y-8=0,由+g=?得点”（0,8）,口+y K =U四边形C4M B的外接圆圆心为线段CM中点（1,7）,半径V 2,方程为Q 1户+（夕一 =2.故选:D例28.（2022全国高三专题练习）在平面直角坐标系以 为 中，圆。与 圆O：x2+y2=l外 切，且与直线x-通y+4=0相切，则圆。的面积的最小值为（）A.4 B.兀 C.4 D.2兀4y【答案】A【解析】由题可知，
43、（0,0）到直线2-,+4=（）的距离为|4|V12+(V3)2=2,又因为圆C与圆O外切,所以圆。的直径的最小值为2 1=1,所以圆C的面积的最小值为7 T*（/）-=（故选：A.例29.（2022北京曷平二模）已知直线l-.ax 一夕+1=0与 圆C x -I）2+靖=4相交于两点4,8,当a变化时，ZXABC的面积的最大值为（）A.1 B.V2C.2D.2V2【答案】C【解析】因为直线直线Z：ac 9+l=0恒过点（0,1）在圆内，所以直线与圆相交，圆。:。-1）2 +，=4的圆心。（1,0）严=2,所以 ABC的面积的最大值为：S=-CACBsmZACB=-r2s m A A C B=
44、y x4=2.故选：C.例30.（2022河南高三阶段练习（理）已知直线li-.mx y 0（m 6 7?）过定点力，直 线ly.x+my+4 2m 0过定点B,小 与。的交点为C，则 ABC面积的最大值为（）A.V10 B.2V5 C.5 D.10【答案】c(解析】由直线。的方程是m x-y =0得直线1 1过定点A(0,0),同理直线12方程为，x +m y+4 -2 m =0 即(力+4)+m(y 2)=0,所以定点 8(4,2),又m x 1 +(1)x馆=0,所以乙_ L 即。在以AB为直径的圆上，AB =V(-4)2+22=2 西，由圆的性质知点。到的距离最大值等于圆半径，即=西，
45、所以面积的最大值为S =x2遥 x函=5.故选：C.题型五:数 积型例31.(2022全国高三专题练习)已知正方形4BCO的边长为2,以B为圆心的圆与直线AO相 切.若点P是圆B上的动点,D B-A P的最大值是.【答案】8口_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _f【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则A(2,0),。(一2,2),5 、7(0,0),易知圆半径为，圆 方 程 为 才+才=2,一 设 P&y)，则 胡 二(2,-2),加=Q+2,妨,/()D B-A P =2(x+2)2 夕=4 +2(x y),通 j *设力一=力，则 =%代入圆方程并整理得2 炉2 板+/2=0,此方
46、程有实数解，p所以A =4 2-8(产-2)o,2 4 4 2,所以;r-y的最大值是2,所 以 丽 布=4 +2(劣一夕)的最大值是8.故答案为：8.例32.(2022辽宁大连二)已知4(4,0),B(0,-6)，点 P在曲线y =1 -V l-x2上，则 万 晨 丽 的 最小值为.【答案】8 -4 A 后【解析】设 P。?/),由题意，点P在/+(夕-l)2=l(O&y&l),即点P在 以(0,1)为圆心，半径为1 的下半圆上，P A -P B =(4 x,y)(a;,6 y)=X2 4 a?+y2+6y(x 2)2+(y+3)2 1 3 =(V(x 2)2+(2/+3)2)2 1 3,其
47、 中(J S 2 尸+e+3)2)2 表示为点(2,-3)到点P3，y)的距离的平方，当点(2,-3)到点P(x,y)的距离最小时，户 不 屈 取 最 小 值，点(2,3)到点 P Q,g)的最小距离为 V(0-2)2+(l +3)2-1 =2 V5-1,所以尸才两的最小值为(2 4 I).?-1 3 =8 4，.故答案为：8 4/5例33.(2022全国高三专题练习)已知半径为1 的圆。上有三个动点力，8,。,且|45|=%，则 冠 加的最小值为.【答案】1 2【解析】因为 AB =y/2,又 OA =1,所 以|O 4+|OB|2=1 4 H2,所以/人。8 =兀以。为原点，OAOB所 在
48、 直 线 为 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系：则力(1，0),5(0,1)，设C(x,y),则 x2+y2=l,A C =(x-l,y),B C =(x,y-l),所以 A C B C =x(x-1)+y(y 1)=x2+y2-x y=-x y+1,设 一c g+l =t，即/+g +t 1=0,依题意直线2 +g +1 1=0与圆有交点，所以书4 1,得1 一2+2，V I +1y所 以 正 说 的最小值为1 一故答案为：一 叵例34.（多选题）（2022福建龙岩模拟覆测）已知圆P：Q-5）2+（夕-2尸=4,直 线l-.y=的,点 加（5,4），则（）A.当a=4时，直线 与圆P相
49、切B.若直线Z平分圆P的周长，则a=VC.若直线I上存在点4,使 得 P A M=9 0 ,则a的 最 大 值 为话浮D.当a=2时，N为直线I上的一个动点，则P N M N的最小值为华【答案】B C D【解析】当Q =（时，直线Z的方程为夕=即4 4-5 9=0,点P区2）到直线Z的距离为d =性=当篝W 2,直线Z与圆P不相切，故力错误；V 42+52 4 1,9若直线Z平分圆P的周长，则P（5,2）在直线/上，即2 =5 a,解得Q=V,故B正确；V （5 -5）2+（4 -2）2 =4,河在圆P上，若直线/上存在点4,使 得Z P A M=9 0 ,则在以PM为直径的圆上，又 PM的中
50、点为（5,3）,P M=2,以尸M为直径的圆的方程为（x-5）2+（y-3）2=l,则有PM的中点到直线Z的距离d=4 1,解得丐咨4a 4串咨，则a的最大值为v a2+1 2 4 24 3产，故C正确;当Q=2 时，直线Z的方程为g =2 c,N为直线/上的一个动点，所以设NU，2 t）,则 两=(t-5,2t 2),MN=(t-5,2t 4),时 丽=Q-5)2+-2)(2t-4)=5t2-22t+33，对称轴为、=哲0当 =平 时，丽 丽 取 得 最 小 值，为5 xD（卷）2 22X卷+33=卷，故。正确.故选：BCD.例35.（多选题）（2022湖北武汉模拟f l测）已知圆M：Q 4