《2023届高考数学专项复习最全归纳平面向量中的范围与最值问题含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届高考数学专项复习最全归纳平面向量中的范围与最值问题含解析.pdf（73页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023届高考数学专项复习最全归纳平面向量中的范围与最值问题【考点预测】一.平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步:运用基木不等式求其最值问题第三步:得出结论(2)坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步:利用其底转化向量第二步:根据向量运算律化简目标第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达
2、的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步:解得结果二.极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：依+评+同一评=2（同2+|弗）证明：不妨设 A B=a,AD =b，则 A C=五 +b,DB=a b AC2=A C1=（a+b）2=a2+2 a-b+|b|2 D B 2=DB2=（a -5）2=|a|2-2 a -6 +|b|2 两式相加得：|研+幽=2（|蕾+砰）=2（|研+AD 2）(2)极化恒等式:上面两式相减，得：q-(a 4-b)(a b)-极化怛等式平行四边形模式*洌2 4几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线
3、”与“差对角线”平方差的十三角形模式：a-b=十。3(为的中点)三.矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形A B C。与所在平面内任一点,证明：。4+O C2=O B2+O D【证明】(坐标法)设43=a,4 D =仇以所在直线为轴建立平面直角坐标系x o y,则 B(a,O),D(O,b),C(a,b)，设 O Q,y),则OA?+O C2=(x2+y2)+(a:a)2+(y b)2O B2+O D2=(a：a)2+y2 +x2+(y b)2OA2+OC-=O B2+o n1四.等和线(1)平面向量共线定理已 知 或=为S+若1+必=1,则4区。三点共线;反
4、之亦然。(2)等和线平面内一组基底O A,O B及任一向量。A,O P =AOA+/i OB,fi A),若点P在直线A B上或者在平行于A B的直线上，则2 +=M定值)，反之也成立，我们把直线A B以及与直线平行的直线称为等和线。当等和线恰为直线时，4 =1 ；当等和线在。点和直线46之间时，k E(0,1)；当直线43在点。和等和线之间时，k G (l,+o o)；当等和线过O点时，k =0；若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；【题型归纳目录】题型一，三角不等式题型二:定义法题型三:基底法题型四:几何意义法题型五:坐标法题型六:极化恒等式题型七:矩形大法题型八，等和线【典型例题】
5、题型一:三角不等式例1.（2022河南洛宁县第一方级中学高一阶段练习）己知向量士&之满足同=2,丘 I=1,怩一花一亩=1,若对任意3（不五产+值；）2&i i 恒成立，则五的取值范围是.例2.（2022安徽省舒城中学三模（现）已知平面向量子，苞，力，同=|苞|=1，若 山（司+苞）|2,1（这一通）|1,则 同 的最小值是.例3.（2022浙江湖州模拟预测）已知平面向量五,，Z满足油同=1，若质一（；+不）1=I五，|同,则一必+2 b2+c2的最小值是.例4.（2022浙江模拟颈测）已知平面内两单位向量可，同 ，区=专,若寸满足 K 一机芭=&，必 同+&M l /，则的最小值是.例5.（
6、浙江省绍兴市柯桥区2022届高三下学期5 月第二次迨应性考试数学试题）已知平面向量本 或不满足：4 与X 的夹角为争,G 菊.优一0=0,同+向=2,记 是 根 一卷一同的最大值，则M的最小值是例6.（2022全国南三专题练习）已知非零平面向量就 满 足 卜+同=4几则 讣 b的最小值是（）A.4 B.3 C.2 D.1例7.（2022湖北华中弹大一附中高一阶段练习）已知圆。的半径为2,点4 满足|而|=4,E,E分别是C上两个动点,且怛耳=2/，则 芯 犷 的取值范围是（）A.6,24 B.4,22 C.6,22 D.4,24例8.（2022浙江南三专题练习）已知平面向量五，九 3满足同=同
7、=寺同=1,B.同4 1.若才=1+之，则|3-3|+|b-d 的最大值是.例9.（2022全国高一课时练习）已 知 在 三 角 形 中，BC=4,AB =2 AC，则衣的取值范围是（）A.（等,32）B.等,32 C.（0,32）D.0,32）例10.（2022全国高一专题练习）已知同=2,同=1,五与V 的夹角为6（）,若向量不满足b 2五一43=2,则 同 的取值范围是（）A.4-2V3.4+2V3 B.V3.5V3C.2V3,6V3 D.5-273,5+2V3例11.（2022浙江宁波高三期末）已知平面向量五，九其中五，；是单位向量且满足3-b=-i-,4c2-4a-c-4,3=1,若
8、 c =x a+y b（x,y W R）,则工+v 的最小值为.例12.（2022全国南三专题练习）已知向量包不是平面内的两个非零向量，则当 a+b+,一同取最大值时，五与不夹角为.题型二:定义法例13.（2022全 国高三专题练习）已知向量4,1满足同=2,同=3,则|五+间+卜间的最大值为例14.（2022全国方三专题练习）在 43。中，角用C 的边长分别为b,c,点。为4 A Be的外心，若川+c?=2b,则 宓 初 的取值范围是（）A.-亨,0）B.（0 C.p+）D.p 2）例15.（2022江苏南江团方级中学高三开学考试）如图，正六边形ABCDEF的边长为2,动点M 从顶点6 出发
9、，沿正六边形的边逆时针运动到顶点R,若 抄 N 面的最大值和最小值分别是m,n,则m+n =A.9B.10例16.（2022四川成寿市伟江区嘉祥外国语高级中学模拟覆测（理）已知|。司=|。同=2,点C 在线段4 3上，且|正|的最小值为，则 OA+tOB （t e R）的最小值为（）A.V2 B,V3 C.2 D.V5例17.（2022河南平IM山市第一高级中学模拟预测（文）己知A,3 为圆。：+才=4 上的两动点，|力 3|=2,点P 是圆。：岫+3产+（,一 4 =1 上的一点，则P A +P B 的最小值是（）A.2 B.4 C.6 D.8例18.（2022黑龙江哈九中二模（理）窗的运用
10、是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境.从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等.已知圆。是某窗的平面图，O 为圆心，点？1在圆O 的圆周上，点P是圆。内部一点，若|为|=2,且OX 取=2,贝 土？+丽|的最小值是（）A.3 B.4 C.9 D.16例19.（2022全国三模（理）已知平面向量4，b,c均为单位向量，且 区一间=1,值2而伍c）的取值范围是（）A.-V3,V3 B.-2,2 C.-V7,V7 D.-3,3题型三:基底法例20.（2022天津河北二模）已 知 菱 形 的 边 长 为
11、2,/氏4。=120,点E,F 分在边B C,C。上，B E=AB C,D F =n D C.若，+=?,则 尼 犷 的最小值为.例21.（2022山西省长治市第二中学校三阶段练习（）菱形A BC D中，4 3=1,4 C 5,寻，点E 是线段4。上的动点（包括端点）,则E D -EB的最小值为.例22.（2022全国M 一）在矩形A BC D中，=2 B C=2,动点M在以点C 为圆心且与BD相切的圆上，则不必前的取值范围为（）A.-5,-1 B.5,1 C.-3+,$/5,-1 D.-3+A/K,3 V5 例23.（2022全Bl高三专题练习）在&A BC中，M 为边BC上任意一点，N 为
12、AM中点，且满 足 丽=AAB+而，则 的 最 小 值 为（）A.需 B T C，J D，1例24.（2022全国方三专题练习）已知在中，AB=A C=2,BC=3,点E 是边BC上的动点，则当西 丽 取得最小值时，|瓦T|=（）A B C”D A.4 匕 2。2 2例25.（2022全国高三专题练习）如图，已知两个模都为10的向量5 1，）,它们的夹角为与，点。在以O为圆心，10为半径 的 忿 上运动，则至彳怎 的 最小值为（）/尸 0A.100-100V2 B.-100C.100V2-100 D.-100V2 V0-例26.（2022吉林长春模拟f（测（）已知AB。中，4 =专，4。=2,
13、4 8 =5,点P 为边O上的动点，则 两 7日的最小值为（）A.-4 B.-2 C.2 D.4例27.（2022 全国高三专题练习）在凸四边形4 3 c o 中，4 3 =8 C=2,N 48C=120,且4 4 8 为等边三角形，若点E 在四边形AB。上运动，则 丽 丽 的 最小值是（）A.-4 B.-3 C.-1 D.3A D题型四:几何意义法例28.（2022全国高三专题练习（理）已知平面向量1，兀不满足於X=3,区一间=4,3 4 与不 一 X的夹角为会，则心一五一同的最大值为.例29.（2022上海市建平中学高一阶段练习）已知平面向量工后0#。，“加 满足帆=2,且不与”方的夹角为
14、135。,则 同 的取值范围是.例30.（2022全国南三号题练习）在平面内，若有=五*=1,同=2,0 五）（2不|。=0,则不选的最大值为.例31.（2022北京制FH 高三期末）已知平面向量五，才 满足同=2,五与日一X的夹角为120,记洗=铝+(1一土昉(6 冗)，欣|的 取 值 范 围 为()A.V3,+)B.f-/2,4-oo)C.l,4-oo)D.y.+)例32.（2022江苏高二）飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初,成为人们在酒吧日常休闲的必备活动.某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖，该十字飞镖由四个全等的四边形拼成.在四边形 A B C O 中，0 4 _
15、L OC,O A =O C=4,A C X.BC,A C=B C,点 P是八边形 A B C D E F G H内(不含边界)一点，则 衣 的取值范围是()A.(-16,48)B.(-48,16)C.(-16V5.48V5)D.(-48V5.16V5)例33.（2022湖南模拟预测）已知直线，与圆O：/+才=9 相交于不同两点P,Q,点M 为线段P Q 的中点，若平面上一动点C 满 足 而=/的（1 0）,则 五 面 的取值范围是（）A.0,3）B.（0,3V2 C.0,9）D.（0,6A/2 例34.（2022浙江绍兴高三期末）已 知 为 圆 C：/+才2c 4夕=0 上长度为4 的动弦，点
16、P 是直线I：。沙+3=0 上的动点，则|而+正 的最小值为（）A.2V2-2 B.2V2 C.2V2+2 D.2A/2-V 5例35.（2022福建及门牌三阶段练习）平面四边形4BCD 中，AB=1,4 7=依，A C AB,A A D C =冬，则 而 荏 的 最小值为（）OA.-V3 B.-1 C.D 例36.（2022安徽 合肥一六八中学模拟f l（测（）已 知 的 外 接 圆 半 径 长 为 1,则彳 又 彩 的最小值为（）1 1 1A.-1 B.C.D.例37.（2022北京工业大学附属中学三模）已知向量汇了满足网=2,总与子的夹角为60,则当实数1变化时，区一油的最小值为（）A.
17、V3 B.2 C.V10 D.2V3例38.（2022内蒙古海投尔第二中学需三期末（）已知平面向量4、b（a#方）满足同=1，且力与力一日的夹角为150,若3=（1。五+tb t G H）,则 同 的最小值为（）A.1 B:C.-1-D.例39.（2022江苏南二）如图，已知四边形46C D 为直角梯形，A B/DC,A B=1,A D =3,NA4D=孕，设点P 为直角梯形力BCD内一点（不包含边界），则 荏 通 的取值范围是（）A.(1,1)C.(0,1)B.-参 1D.0 邕例40.（2022全国高三专题练习）已知两个不相等的非零向量匕丸满足同=1,且省与，一五的夹角为60,则 同 的取
18、值范围是（）A.（0,嘤）B.空,1）C.哈+8）D.（1,+8）题型五:坐标法例41.（2022全国高三专题练习）己知向量4,不 满 足 怩+5=3,帆=1,则 同+2何+可的最大值为例42.（2022全国高三专题练习）己 知 碗 是平面上的单位向量，则|a-26|+卜+5 的最大值是例43.（2022浙江效实中学模拟测）已知平面向量多 加 满足同=1,收-2a=帆=2,仅-0 面=0,则伍+同+/一司的最小值为.例44.（2022江苏阜宁县东沟中学模拟预测）已知半径为1的圆O 上有三个动点A,B,C，且则 怒 云 的 最小值为 一例45.（四川省泸县第四中学2022届高三下学期高考迨应性考
19、试教学（理）试题）已知匕不是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量不满足（a-c）-值一23）=（）,则 同 的最大值是.例46.（2022北京市第十二中学三模）A4BC为等边三角形，且边长为2,则 通 与反?的夹角大小为120。，若前 =,方=直，则劭.说的最小值为.例47.（江苏省泰州市2022届高三下学期第四次调研测试教学试题）平面向量人元满足|5|=1,同=2,a与b 的夹角为60。，且（1一 24）0 吏=0 则 同 的 最 小 值 是.例48.（2022全国高三专题练习）点M 是边长为2 的 正 六 边 形 内 或 边 界 上 一 动 点，则 荏 函的最大值与最小值之差为（）A.2
20、B.4 C.6 D.8例49.（2022全国高三专题练习）如图,在矩形ABCD中，=4,4D=3,M,N分别为线段B C,。上的动点，且M V=2,则不法前的最小值为（）A.25-7V2 B.15C.16D.17例50.（2022全国高三专题练习）如图，在平面四边形ABCD中，4 6，BC,AD C D/B A D =120,AB=4。=2.若点 为边。上的动点,则麻 说的最小值为（）例51.（2022四川成都七中模拟覆测（）在等腰梯形ABCD中，AB DC,AB=2BC=2CD=2,P 是腰上的动点，则 12两 用|的最小值为（）A.V7 B.3 C.D.夺2 4例52.（2022全国南三专
21、题练习）已 知 是 边 长 为 2 的正三角形，点M 为ABC所在平面内的一点，且（荏 丽 7）（旅 用 团=2,则AM长度的最小值为（）A.4 B*C.尊 D.V6例53.（2022全国高三专题练习）等边 ABC的面积为973，且4 A BC的内心为M,若平面内的点N 满足=则 年 幅 的 最小值为（）A.5 23 B.5 4/3 C.6 2V3 D.6 45/3例54.（2022辽宁沈阳一模）如图，在直角梯形A BC D中，力。B。，及7,=1,8。=2,尸是线段4 3 上的动点，则|用+4而|的最小值为（）A.3V5B.6C.2V5D.4例55.（2022全国高三专题练习）已知A5CD是
22、边长为2 的正方形，P 为平面力BCD 内一点，则（巨+两）用 的 最小值是（）A.2 B.C.3 D.4例56.（2022金国高三专题练习）四叶回旋镖可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，4 8=4,CD=2,乙4=45,M 为线段乩 上 一动点，则 而 而 的最小值为（）A.-8B.-16C.-2 4D.-32例57.（2022 四川射洪中学模拟预测（i t）AXBC是等腰直角三角形，4?=BC=4,3=9（国+曲,通=立 前+y而，其中2T+9=1,则 直 丽 的 最小值是（）A.-苧 B.-1|C.-3 D.-4例58.（2022山东漳坊模拟预测）折扇又名“撒扇”“纸扇”，
23、是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2 的扇形4 9 8,其中/4 O B=120,0 4 =2 0 0=2,点E 在弧CD上，则 育 丽 的 最小值是（）EB4D.3例59.（2022湖南桂i t 县第一中学高三阶我练习）在 4 6。中，A B=1,A C=2f/氏40=60,P 是 4B。的外接圆上的一点，若；I?=mAB+nA C,则m+n 的最小值是（）A.1 B.C.p D.1-例60.（2022山西二模（现）在菱形ABCO中，3=4 7 =2,点 P 在 菱 形 所 在 平 面 内，则（刀+丽）配 的 最小值为（）A.一 V3 B.-3 C
24、.r-D.12 4例61.（2022陕西西安中学模拟f l测（文）在直角三角形ABC中，ZABC=90。,AB=6,3。=2 0,点M、N 是线段AC上的动点，且|7W|=2,则丽？丽 的 最小值为（）A.12 B.8 C.6A/3 D.6例62.（2022广东怠州高三阶段练习）已知平面向量五，b,c 满足同=网=五 5=2,且（；-不）（3；-。=（）,则另一同最小值为（）A.2V2+1 B.3V 3-3 C.A/7-1 D.2 7 3-2例63.（2022山东胜利一中模拟fit测）已知部心为单位向量，满足同一心|=|2音一同=1,则 另一&|的最小值为（）A.V3 1 B.V3 C.V7
25、1 D.V7例64.（2022全国高三专题练习（文）已知梯形4B C D 中，力。反7,AB=,AB=2,BC=4,AD=1,J点尸，Q 在线段BC上移动，且PQ=1,则 方 扇 的 最小值为（）A.1 B.春 C.早 D.今2 2 4例65.（2022全国高三专题练习）如图，已知两个单位向量引，血，且它们的夹角为与，点。在以。为圆O心，1为半径 的 会 上运动，则。不屈 的 最 小值为（）A.V3 B.0例66.（2022全国方三专题练习）骑行是目前很流行的一种绿色健身和环保出行方式,骑行属于全身性有氧活动、能有效地锻炼大脑、心脏等人体器官机能，它带给人们的不仅是简单的身体上的运动锻炼，更是
26、心灵上的释放.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆4 前轮），圆D（后轮）的半径均为瓜，4AB E,4B E C,ECO均是边长为4 的等边三角形.设点P 为后轮上一点,则在骑行该自行车的过程中，记 琼 的 最小值为（）-7 y A.4V3B.12C.12V3 D.24（/题型六:极化恒等式例67.（2022山东弹篦大学带中模拟预测）边长为1 的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当 弦 的 长 度 最 大 时，可？丽 的取值范围是.例68.（2022 湖北眉仙桃中学模板H 测）如图直角梯形ABC。中，EF 是CD边上长为6 的可移动的线段，力。=4
27、,4 6 =8，6。=1 2，则 丽 前 的取值范围为 A-B C例69.（2022全国高一）设 三 角 形 是 边 力 B 上的一定点，满足=：4 B,且 对 于 边 上 任 一 点P,恒有P B-P C B-索,则三角形4B C 形状为.例70.（2022全国南三专题练习）已知直线/：9=工+2。与圆。:G E a）2 +/=r2（r 0）相切于点M（T,队），设直线I,与/轴的交点为4点P 为圆。上的动点，则户1 丽 的最大值为.例71.（2022全国高三专题练习）如图，在边长为2 的正方形A BC D中，M,N 分别为边BC,CD上的动点，AB例7 2.（2 0 2 2 陕西榆林三模（
28、文）四边形A BC D为菱形，/囱 1。=30,=6,P 是菱形A B C D所在平面的任意一点，则 同 用 的最小值为.例7 3.（2 0 2 2 重庆八中模拟预测）A4BC中，4 6=3,区。=4,4 7=5,PQ 为 ARC内切圆的一条直径，M为 力 BC边上的动点，则 砺 雨 的取值范围为（）A.0,4 B.1,4 C.0,9 D.1,9例7 4.（2 0 2 2 江苏其州市相城区陆摹南级中学高一阶段练习）半径为2 的圆O 上有三点A B C 满足O A +荏+/=6,点P 是圆内一点，则 居 用+而 配 的取值范围为（）A.-4,14）B.（-4,14）C.-4,4）D.（-4,42
29、 2例7 5.（2 0 2 2 黑龙江隹木斯一中高二期中）已知P 为椭圆条+=1上任意一点，E F 为圆N：（z +娟=4 任意一条直径，则 而 市 的取值范围为（）A.8,12 B.12,20 C.12,32 D.32,40例7 6.（2 0 2 2 四川凉山三模（-|a|-b可得出答案.【详解】解析：因为(c a)2+(c ft)2 (c a b)2=c2 2 a,b,则 S =(K 4)?+(才一6)-=i +矛2 4 b,因为根+同 e 1,3,由I 同 一根+矶 W i 不 一日一加=W(4+则 4 同+b+同，由1 =环一(五+矶 同+根+同，即 同 1 一 B +同，由 根+同
30、e 1,3,则 同 1 一 b +同恒成立.由|c|-|a+6|c-(a+d)|=l,即,+同一14 同 W 1 +根 +同则 S m ax=1 +(|a+6|+1)2 2 a 1 6=H-a2+b2+H-2 Jar +b2+2 a-b=7+2V5+2 S 1,则同的最小值是.【答 案 琦#L5【解析】令丘=苍+&,制=1 函,即可得到右_ 1_方且|右F+|引2=4,令，=(2cosa,0),v=(0,2sina),|a|=r,a=(rsin/7,rcos/7)，根据数量积的坐标表示及三角不等式计算可得；【详解】解:令 亦=4+苞,方=4一苞，则五2=|引J|曲2=0,故立J讥且位产+1引2
31、(同+底|2)=%令方=(2cosa,0),v=(0,2sinrz),a=r,a =(Tsin,cos),L,，/,Ia-iz|=2r|cos 2所 以 根 据 已 知 条 件 有 一 Q,(1。=2r|sma,cosp|2 1所以 2r 2r|cosa sin|+2Tlstna cos0|3,即。小当且仅当sina-,=年 一 生=需 时 等 号 成 立，所以圆的最小值是9故答案为：普例3.(2022浙江湖州模拟fit测)已知平面向量2，满 足 同=1，若 乐 一 +司1 =I五，卜同，则 必+2b2+c2的最小值是.【答案】招 一 1【解析】利用绝对值三角不等式|3a|-|(&+c)|3
32、a-(b +c)|,及三角函数的有界性可进行化简分析.【详解】设 =a,=,由|3苍一(X+3)|=|五山同，根据三角不等式，有|3 a|-1(6+c)|一：区+评+2|即+|评=十 郎+4|C|2-6 244 4 2=系+半 讦-|-|6|c|cos 2 J孑|bq同2 -X =上空L故答案为：吗 二 工例4.（2022淅江模拟预测）已知平面内两单位向量可扁 鬲 苞 =与，若不满足不苟苞=晶t同+O|2 苟I ）皆,则 乎 的最小值是.【答案】十 一 噜【解析】设出司=（方,呼），芭=（一十,乌）,3=（7,y）得 到 工=+/,由不得关系得到&（司+勘 皿）十口才 从而得到最小值.【详解】
33、由题意，可以设曷=,）,苞=（耳 ，平 ）,石=（立,？），则由於笔一。号=*2得工=工2+好,由9同 +信 同 =冷（_+劫皿4*=娟 击,所以 a;=/+夕2 /+解得：得&re&+X 4/U L U即F的最小值是q例5.（浙江省绍兴市柯桥区2022居高三下学期5月第二次迨应性考试数学试题）已知平面向量五、b,c满足：益与云的夹角为 专,0 0 R 0=0,根|+向=2,记 河 是 归一日一同的最大值，则卜的最小值是【答案 笆 尹【解析】设?=由 后=3,五 =3,E为AB中点，令 同=3：,|，|=y,|4B|=2r,|OE|=九结合图形，利用向量的线性运算求出河=厄一日一由a=|丽|+
34、|历|,转化为函数求最小值即可.【详解】如图，设0 1 =丽=总 或？=3,E为AB中点，令 同=以 心|=%|A3|=2r,QE|=t,则/AOB=,？+?=2，因 为 矗=+两,而=宿 一故有 0 4 -OB=OE1-A B 1 -x y =t2-r2,4Z72?/2 _ Ar cosZ.AOB=-T-n xy=x2+y2 4r2=4r2=(%+廿 尸 一i y,y由得r2=1-等，从而产=一卷xy=1 一 等 项xyE(0,1,因为0 益)怎一丹=0,所以A C,BC,即点。在以力B为直径的圆E上.c-a-b=c-(1,当且仅当a=|6|=1时，即xy=l时等号成立.故答案为：呼 工例6
35、.(2022全国高三专题练习)已知非零平面向 量 就 满 足|五+同=4比 则 同 呐 的 最 小 值 是()A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】把给定等式两边平方，利用平面向量数量积性质转化为同日的不等式即可得解.【详解】依题意，a-fe 0,|a-I-fe|=a-&(a-I-6)2=(a-6)2 a2+2a-fe +fe2=(a-fe)2,|a|2+b2=(a b)22a b (|a|b|)2+2|a|b|+l=(a 6 l)2,当0 V 4 1时，上述最后等式不成立，从而有a-b 1,a-b-1=，(伉H小尸+2同|力+1 J2|讣 曲+1,当且仅当同=|，|时取“=”，又江
36、林同|小，当且仅当日与行同方向时取“=”，则有，2同日1+1 V 4，一 1 同 的一1=2|a|-|b|+l4(国|fe|-l)2,解 得 同 油 4,当且仅当五=行时取_n一,所以同间的最小值是4.故选:A例7.(2022湖北华中界大一席中方一阶段练习)已 知 圆C的 半 径 为2,点4满 足|冠|=4,E,尸分 别 是C上两个动点,且 怛 同=2/,则 荏 标 的取值范围是()A.6,24 B.4,22 C.6,22 D.4,24【答案】C【解析】借助于垂径定理处理，结 合 向 量 整 理 可 得 荏 石 芯+鼐 仔 3,再根据向量的加法可得3 4AC+CM5.【详解】取E尸的中点河，连
37、接CM,则CM=V22-(V 3)2=1,-A F=A M f)A M +)=AM+M S y(A M-M E)=AM1-M S1=AM1-i =AC+C M 2-3,又 A C -C M A C+C M|而|+|而|,所以 3 4|而+而|4 5,所以6 4乐 衣22,当 且 仅 当 向 量 芯 与 南 共 线 同 向 时，国 而 取 得 最 大 值22;向 量 就 与 西？共线反向Bt,A E-A F取得最小值6,故选：C.例&(2022浙江通三专题练习)己 知 平 面 向 量 七 比3满 足 同=同=；同=b a-b l.若2=3+2,则h+，d 的最大值是.【答案】4+V7【解析】将2
38、=；+2代入所求，可 得 到 何 田+14+X词，分情况讨论a-c,4+b-c同号和异号两种情况，利用向量模的平方等于向量的平方计算可得和的最大值.【详解】|a c|+d|=|a-c|+|b-(b+c)|=|2-c|+|b2+b c|=|a-c|+|4+fe-c|当五 2,4+6-c同号时,|a-c|4-|4+fe*c|=|a-c+b-c+4|=|(S+6)-c+4)|a+fc|c|+4|,而J h +同“=J潦+庐+2、不+4+2=/,则|五 4+4 4+VT.当五K,4+1 2异号时,|a-c|+(4 4-b-c|=|a-c 6-c 4|=|(a 6)-c 4|a?|c|+4|,而 J，-
39、J =V a2+62 2a fe&+4+2=V 7，则|五 不|+,4+V7.因此伺N|+R 2的最大值为4+/7.故答案为：4+，7.例9.（2022全国高一乐时练习）已知在三角形4 6。中，BC=4,AB =2 14sl，则A B A C的取值范围是A.（-苧,32）B.-苧,32 C.（0,32）D.0,32）【答案】A【解析】根据三角形三边关系得到AC的取值范围，再利用余弦定理表示出cos/C4B,最后根据平面向量数量积的定义计算可得；【详解】解：因为3c=4,|M=2|4C|,所以瑞+即 常 始 +|%：，解 得 看|4 0 4,由余弦I A.D|/IC I .4|4 o定理 cos
40、ACAB=，所 以 诟 高=|诟 卜ACcosCAB=AB AC A C2+A B2-BC-_ A C2+A B2-B C22 AC-AB-i=5 A Ct 1（）,因为等 AC V 4,所 以 导 V|4 C|2V 16,所以一萼 *V 32,即 荏 冠 （-普 32）；故选：A例10.（2022全国高一专题练习）已 知 同=2,同=1,L与，的 夹 角 为600,若 向 量 不 满 足 一2五一 4司=2小,则 同 的 取 值 范 围 是（）A.4-2V3.4+2V3 B.73,573C.2V3,6V3 D.5-2V3.5+2V3【答案】C【解析】根据平面向量数量积运算性质及三角不等式计算
41、判断.【详解】因 为 同=2,册=1,5与6的夹角为60,所以必=4,京=1,8 不=2 T cos600=1,所以满足|2五 +4加=2怎+2；|=2y/a2+4-a-b+l-b2=2V4+4-1 4-4-1 =473,因为|c|-|2a+4b|c-2a-4&|,所以|2a+46|c 2a 4b|c|0整理得：3/一 6%-1 M 0,解得3二:迎&t M 土.萍O O故答案为：之二券.例12.(2022全国高三专题练习)已知向量亢，不是平面内的 两 个 非 零 向 量，则 当|a +b|+|a-b|取最大值时，石与X夹角为.【答案】专#9 0。【解析】根 据 倡+同 一 同 丫0,结合平面
42、向量数量积的运算性质推出根+同+1-，|&2而 町 郦，再根据题意以及等号成立条件，即可求解.【详解】,向量五，才是平面内的两个非零向量，:.(1 3 +b|b=|a +b|4-|a 1)|-2|a 4-&|S -b 2 0,当且仅当根+同二|五一“时取等号,/.|a +6|2+a 书2根+矶 江 同，即 2 b +b|2+2|a 同 a+印+根计+2,+矶古才|=(|苍 +同 +|a-fe|)2,(|a +同+根 一 同y 2 b +片+2 b -同2=4同2 +4冏：即根+同+b 同&2而2+网2,当且仅当恨+同=a-b时取等号，即於公=0,则由与3夹角为食，当 何+同+|同 取 最 大
43、值 时，日与公夹角为当故答案为：题型二，定义法例13.(2022全国高三专题练习)已知向量益，满足 同=2,8=3,则 根+同+根 一 司 的最大值为 一【答案】2/m【解析】先 求 得 低+加=J5 +4COSJ、|a-b|=V5-4cos6，进而平方，计算即得结论.【详解】设向量a,b 的夹角为0,+“=V22+32+2 x 2 X 3 X cos0=V13+12cos6*,技-“=/2?+3?2 x 2 x 3 x cos=V13 12cos,则|a+b|+|a-=A/13+12cos0+V13-12cos0,令 y=A/13+12cos J+V13-12cos0,则 /=26+2/16
44、9-144cos%G 36,52,据此可得：(|a+b|+|a-6|)max=V52=2 3,即|a+6|+|a-6|的最大值是故答案为：2，区.例14.(2022全B点三专题练习)在 4 3。中，角 8 C 的边长分别为b,c，点。为4 A Be的外心，若 川+c?=2b,则 宓 初 的取值范围是()A.：,()B.(0,2)C.1,+8)D.-：,2)【答案】D【解析】作出辅助线，对数量积进行转化得到 团 而=仅一、)一出，求出匕的取值范围，进而求出答案.【详解】取B。的中点 D,则 O D I 3C,所以 B C A O =BC A D +D O)=B C A D+木BC DO =BC
45、A D=(A C-A B)-(A C+A B)=-(A C-A B)=/1(b-2)=言&-的 /j/。因为 0,则 b(b 2)V 0,即 0 c b 2./_ _|_ B D C所以一十&B C 4 O V 2,4故选：D例15.(2022江苏看江朝高级中学方三开学考试)如图，正六边形4 3 C D E F 的边长为2,动点M 从顶点B出发,沿正六边形的边逆时针运动到顶点R,若 而 痂的最大值和最小值分别是7 m，则 771+九=()A.9B.10C.11D.12【答案】D【解析】连接4 C,根据正六边形的特征可得词=4比 从 而 可 得 而 丽7 =而 瓦 法=|而|国7,o sZ ,而
46、?），再根据当M在BC上运动时，|痂|与c o s（芯,瓦必）均逐渐增大，当M从D移动到斤时与c o s（A C,A M 均逐渐减小，即可求得m,n,从而得出答案.【详解】解：连接A C,在正六边形A BC DEF中，闻=/，：.F D-A M =A C-A M=AC AM c o s AC,A M）,.正六边形A B C D E F的边长为2,.|%讨=2、后，因为当M在3。上运动时，|国？|）c o s A C,A M）均逐渐增大，当M从。移动到F时，|国才|与c o s A C,A M）均逐渐减小，所以当“在CD上运动时，|c o s 旅,国?）取得最大值，为2/，当“移动到点尸时，|石
47、印c o s（衣，与 取 得 最 小 值，为0.m=2 V 3 x 2A/3 =12,n =2 /3 x 0=0,m4-n =1 2.故选：D例16.（2022四川成着市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟覆测（3,故选：B.例17.（2022河南平顶山市第一高级中学模拟预浏（文）己知A,6为 圆O：/+靖=4上 的 两动点，|4 B|二2 V 3,点P是 圆C：（.T+3）2+（y-4尸=1上的一点,贝山时+而|的最小值是（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】根据向量的运算律将题意转化为圆上的点到A B的中点M的距离最值问题即可得解.【详解】设M是4 B的中点，因为|AB|=2一,所以
48、|OM|=7 4 3 =1,即M在以。为圆心，1为半径的圆上，园+两=返+加+而+通 =2抽，所以PA+PB=2PM.又|FO|lllin=。|一 1=V32+42-1=4,所以|PM|min=IPO-1=4-1=3,所以|两+丽|m m =2x3=6.故选：C.例18.（2022黑龙江 哈九中二模（一）窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境.从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等.已 知 圆。是某窗的平面图，O为圆心，点4在 圆O的圆周上，点P是 圆O内部一点，若=且万;=一2,则的最小
49、值是（）A.3 B.4 C.9 D.16【答案】A【解析】利用向量的线性运算，结 合 数 量 积 而 =-2,可求得|方|=给/,确定其取值范围，再根1 1 cos/月。产据|瓦？+0司平方后的式子，即可求得答案.【详解】因 为 犷=加 一0 1,所以3 5取 =（5 1（前一 0 1）=5 前 一 T=一2,所以 以 前=2,即 卜 OPcosAAOP=2,511 OP=s s/Z o P -因为点尸是圆O内部一点，所以OP=/L o V 2,所以V cos乙40尸4 1,1 1 cos/AO产 2则（OA+OP）=OA+20A-OP+OP=8+,以8 9，当且仅当c o s/4 9 P=l
50、时，等号成立，故|工？+和|的最小值是3,故选：A.例19.（2022全国三模（现）已知平面向量五，六之均为单位向量，且 何一同=1,（苍一2 6（a-c）的取值范围是（）A.-V3,V3 B.-2,2 C.-V7,V7 D.-3,3【答案】A【解析】通过数量积与模长的关系可得（4一 2办&=0,根-2同=/，再根据数量积的运算律以及概念即可得结果.【详解】(a 2b),(a-c)=(a-26)-a(a-2b)c,因为履一4=1,所以潦一2五日+庐=1,所以五卜=/,所 以(a 26)a=a2-2a,6=0,|a 2ft|=Va2 4a-b 4-4b2=V 3,设4-2；与之的夹角为0,故(4