《2023年高考数学一轮复习三角形中的范围与最值问题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年高考数学一轮复习三角形中的范围与最值问题含答案.pdf（118页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年高考数学一轮复习三角形中的范围与最值问题【方法技巧与总结】1.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：(1)利用基本不等式求范围或最值；(2)利用三角函数求范围或最值；(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；(4)根据三角形解的个数求范围或最值；(5)利用二次函数求范围或最值.要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)
2、找完善，避免结果的范围过大.2.解三角形中的范围与最值问题常见题型：(1)求角的最值；(2)求边和周长的最值及范围；(3)求面积的最值和范围.【题型归纳目录】题型一:周长问题题型二:面积问题题型三:长度问题题型四:转化为角范围问题题型五：倍角问题题型六：角平分线问题题型七：中线问题题型八：四心问题题型九：坐标法题型十：隐圆问题题型十一:两边夹问题题型十二:与正切有关的最值问题题型十三:最大角问题题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题题型十五:托勒密定理及旋转相似题型十六;三角形中的平方问题题型十七序面积法、张角定理【典例例题】题型一:周长问题例 L(2 0 2 2.云南.昆明市第三中学高
3、一期中)设 A B C 的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,设 a s i n C =c c o s(4 专).求 4(2)从三个条件:A B C 的面积为 时:二遍;a =心 中任选一个作为已知条件，求 4 8。周长的取值范围.例 2.(2 0 2 2 重庆高一阶段练习)已知向量4=(，s i n a;,c o s a;),b =(1,1),函数/=a-h.(1)求函数/(力在 0,7 1 上的值域：(2)若 4 B C 的内角4、3、。所对的边分别为a、b、c,且/(=2,a =1,求&4BC的周长的取值范围.例 3.(2 0 2 2.浙江.高三专题练习)锐角 A B C 的内切圆的圆
4、心为O,内角A,B,。所对的边分别为a,b,c.若V 3 6 c =(+c 2-a 5 t a n A,且 A B C 的外接圆半径为1,贝 U 馍。周长的取值范围为例 4.(2022浙江省新昌中学模拟预测)已知函数/(a?)=，5sinsrrcos3C sin%rr+|，其中。0,若实数立 电满 足|/(a；i)-f(x2)l=2 时，同一电|的最小值为专.(1)求 s的值及/(z)的对称中心；在 ABC中，a,b,c 分别是角4 3,。的对边，若 4)=-1,a=正,求 ABC周长的取值范围.题型二:面积问题例 5.(2022贵州黔东南高一期中)在面积为S 的A 3 C 中，内角力，3,。
5、所对的边分别为a,b,c,且2s+里)=底+的 加 4V smB sm C/(1)求 C 的值；(2)若/B C 为锐角三角形，记 匕=鸟，求加的取值范围.ar例 6.(2022浙江高二阶段练习)在 力 中，角 A,B,C的对边分别为a,b,c,cosA+V3sin=2.(1)求角4；(2)若点。满足大方=年 前，且 B C=2,求ABC。面积的取值范围.例 7.(2 0 2 2 浙江杭师大附中模拟预测)在 A BC中，。的边B C 的中点，AD =2,2 c os C-c os 2(l+B)=32,(1)求角C;(2)求45。面积的取值范围.例 8.(2 0 2 2 江苏省天一中学高一期中)
6、在 A BC中，角 4、。所对应的边分别为a、b、c,若 b =2,c os。=y-早 ZV I B。是锐角三角形，则 A BC面积的取值范围是题型三，长度问题例 9.(2 0 2 2 辽 宁 模 拟 预 测)在 AB C中，内 角 力，的 对 边 分 别 为 a,b,c,且(c +a 6)(s inC-s inX +s inB)=3 a s inB.(1)求角。的大小；(2)设若 A BC的外接圆半径为4,且 2 a +m b有最大值，求m 的取值范围.例10.（2022河南模拟预测（文）在ABC中，角 A,B,。的对边分别为a,b,c.2cos2C=2-V3sin2C,c=4,a+b=2V
7、10.求SABC(2)求 上 一 的取值范围.a b例11.(2022江苏.高三专题练习)已知月B C 内 角 的 对 边 分 别 为 a,b,c,力+C=2 B，为 的面积 S=Q.求 边 c；(2)若A 4B C 为锐角三角形，求 a 的取值范围.例12.(2022陕西宝鸡中学模拟预测(文)已知4=(cosrr,cosa:),，=(JjTsinc,cose),f(x)=a-b,(1)求/(立)的单调递增区间；设/B C 的内角4 3,。所对的边分别为a,b,c,若/=方，且 a=4,求 +c2的取值范围.例1 3.(2 0 2 2 江苏南京模拟预测)请在向 量/=(号*i n B),y=(
8、篝*s in4)，且 赤 认 =2 c s in(A +这两个条件中任选一个填入横线上并解答.在锐角三角形4 3。中，己知角A,B,C的对边分别为a,b,c,.(1)求角C;若 A B C的面积为2-,求2 a +b的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答，按 第 一 个解答计分.例1 4.(2 0 2 2全国模拟预测)在 A B C中，内角例B,。的对边分别为a,b,c,且a sin A=c(s in。-2 s in3)4-6(s inC+s inB).(1)求角4(2)若4 AB C为锐角三角形，求型的取值范围.例 1 5.(2 0 2 2.辽宁.抚顺市第二中学三模)在(2 c a)s i
9、nC7=(b2-F c2 a2),(2)c os2 c os A c os C=，尸。人=t a nA +t a nZ?这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，4 b c o sA问题:在 A B C中，a，b，c分别为角力，B,C所对的边，b =2/,.(1)求角6;求2Q-C的范围.例16.（2022.浙江模拟预测）在ABC中，角 A,B,。所对的边分别是a,b,c,若 2csinB=（2a+c）tanC,bsin4sinC=，sinB,则a c 的最小值为例17.（2022.安徽黄山二模（文）在&ABC中，角 A,B,。的对边分别为。，&,。，&=1,4 =普,若 油+。有最大值，则实
10、数A的 取 值 范 围 是.例18.（2022浙江高三专题练习）已知ABC的三边长分别为a,b,c,角 B 是钝角，则）的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _例19.（2022黑龙江哈尔滨三中模拟预测（文）在 A B C 中，角 A,B,。的对边分别是a,b,c,c =3bsinA,则 y#的取值范围是（）A.3,5B.4,6C.4,2+713D.4.2+V15题型四:转化为角粒围问题例20.(2022.河北秦皇岛.二模)在锐角AA3O中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且(a+b)(sinA-sinB)=(c b)sinC.求 4(2)求 cos6 cos。的
11、取值范围.例21(2022广 东 茂 名 模 拟 预 测)己 知 力6。的 内 角 4、的 对 边 分 别 为 a、b、c,且 a 6=c(cosB cosA).(1)判断ABC的形状并给出证明；(2)若 a W b,求 sin4+sinB+sin。的取值范围.例22(2022,浙江温州.三模)在 ABC中，角4例。所对的边分别是Q,b,c.已知a=l,b=2.若 NB=+求角力的大小；求 cos4cos(l+专)的取值范围.例2 3 （2 0 2 1 河北沧县中学高三阶段练习）已知函数/（力）=3 s in2x+4s inr r c os x-c os2x.求函数/（力 的最大值；己知在锐角
12、口口。中，角。所对的边分别是a,b,c,且满足/（汽 虫）=次 产，求 s inA-s inB。s inC的取值范围.例2 4（2 0 2 2 山西模拟预测（理）已知 A BC的内角A,3,C 的对边分别为a,b,c,且 c =2（a-b c os。）.求 B;若 力B C 为锐角三角形，求 s in%+s in2 c 的取值范围.例2 5 （2 0 2 2 安徽省舒城中学模拟预测（理）锐角 A B C 的内角48。所对的边是a,b,c,且 a=I,b c o s A c o sB=1,若力,B变化时，s i n B -2 s i n2l 存在最大值,则正数4 的取值范围是例2 6 （2 02
13、 2.江西南昌十中模拟预测（理）锐角 A B C 中，4 =卷，角 4的角平分线交BC于点,O,则B M-C M的取值范围为.例27（2022辽宁 高一期中）在力B C 中，内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,已知a=btanA，且 B 为钝角，则B-4 =,sinA+sinC 的取值范围是例28（2021云南师大附中高三阶段练习（理）如图所示,有一块三角形的空地，已知N A 3C=察,3。=4 2千米，=4 千米，则/力CB=；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为其中。，E 为 A C边上的点，若使 B E =，则+B E 最小值为 平方千米.A例29（2021浙江舟山中学
14、高三阶段练习）如图，在/B。中，N 4B C=90,A C=2C B=2V 3,P 是ABC内一动点，N B PC=120,则ABC的外接圆半径r =,4 P 的最小值为例30（2022湖北武汉二中模拟预测）在锐角AABC中，/一 二儿,则角B 的范围是5tanB-最+6加 4 的取值范围为一例31（2022新疆喀什一模）已知AABC的内角A,B,。的对边分别为a,b,c.若 A=2 3,且 A 为锐角，则尹羡的最小值为（）A.2V2+1 B.3 C.2V2+2 D.4例32（2021北京.高三专题练习）在锐角中力=2B,B,。的对边长分别是b,c,则 告的取值范围是（）A-B（14）C（l
15、T）D-（14）例33（2022-石家庄模拟）如图，平面四边形ABC D 的对角线的交点位于四边形的内部，4 8 =1,BC=V2A C=CD,AC_L 8,当乙43。变化时，对角线3。的 最 大 值 为.题型五；倍角问题例34（2021.安徽芜湖一中高一期中）A 4 B C的内角4 B、。的对边分别为a、b、c,若。=2 B,则y的取值范围为.例35（2021.全国高三专题练习（文）已知 A B C的 内 角 的 对 边 分 别 为a,b,c,若A =2 B,则 另+遢 的取值范围为a-例36（2020.全国高二单元测试）已知 B C是锐角三角形，a,b,c分别是A B,。的对边.若A =2
16、 B,则为+的取值范围是a例37（2020陕西无高一阶段练习）已知A A 3。是锐角三角形，若A =2B,则 称 的取值范围是例38（2019四川成都外国语学校高二开学考试（文）已知ZVIBC的内角4 B、。的对边分别为a、b、c,若4 =2 8,则 +（个）2的取值范围为例39（2021江西鹰潭一模（理）已 知 的 内 角 4、B、C 的对边分别为a、b、c,若 4 =2 8,则 些 的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _例40（2022芜湖模拟）己知A4BC的内角力，B,C.的对边分别为a,仇 c,若 力=2 3,则。+管最小值是.例41（2022道里区
17、校级一模）己知AABC的内角4 B,C 的对边分别为a.,b,c,若 A=2B,则 提+普 的取值范围为题型六：角平分线问题例42（2022河北保定高一阶段练习）记4 AB C的内角A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b c o sC+ccosB=2 a c o sA.（1）求A 的大小；（2）若 BC边上的高 为 斗，且 4 的角平分线交BC于点。，求 A O 的最小值.例43(2022全国高三专题练习)在ABC中，角力，B,。所对的边分别为a,b,c.且满足(a+2b)cosC+ccosTl=0.(1)求角。的大小：(2)设 边 上 的 角 平 分 线 CD 长为2,求A 4B C
18、的面积的最小值.题型七：中线问题例44(2022江苏省天一中学高一期中)已知4 B C 的内角4 3,。所对的边分别为a,b,c,且满足2sin3-2sin2B siirC 2sinBsinC=cos2C cos2c.(1)求角A;(2)若4 D 是 A 3。的中线，且 AD=2,求 b+c 的最大值.例45(2022山西运城高一阶段练习)已知ABC的 内 角 所 对 的 边 分 别 为 a,b c/c =4 a c o s B +asinB.(1)若 a=8,力 B C 的面积为4V3,D为边B C 的中点，求中线力。的长度;(2)若E 为边B C 上一点，且 AE=1,BE:EO=2c:b
19、,求 6+2c的最小值.例4 6 (2 02 2 湖南长郡中学模拟预测)锐角A A B。中，角 4、3、。所对的边分别为a、b、c,且一=t a n Z?+t a n C.(1)求角。的大小；(2)若边c =2,边 AB的中点为。，求中线CD长的取值范围.例47(2 02 2 山东滨州二模)锐角 A 3。的内角力，3,C的对边分别为a ，c,已知述 b c o sC=2 a sin A -V 3 c c o sB.求 4(2)若 b =2,。为 43的中点，求 的 取 值 范 围.例4 8 (2 02 2 安徽合肥一中模拟预测(文)在 3 ：芫S )=瓜.总 号=号 普+1)，c s i n
20、B =6 c o s(C-专)这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中，并解答问题.在4 AB C中，内角4 B,C的对边分别为a,b,c,且满足.求 C;(2)若AAB C的面积为2 禽，。为 47的中点，求B D的最小值.例4 9 （2 02 2 山东师范大学附中模拟预测）在2 b s i n C=V 5 c c o s B +c s i n B,为 共=两个条件中C O S C /Q C任选一个,补充在下面的问题中，并解答该问题.在&AB C中，内角A、B、。所对的边分别是a、b、c,且（1）求角B；（2）若 a+c =心，点。是 A C的中点，求线段B D的取值范围.例50 （多选题）
21、（2 0 2 2 甘肃定西高一阶段练习）4 BC 中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a =2,3。边上的中线A D=2,则下列说法正确的有：（）A.A B-A C =3 B.b 2+c2=W C.4C O S4,c依次成等比数列，且c o s04-。）-858=击,延长边水7到。,若6。=4,则“8面 积 的 最 大 值 为.例7 9 （2 0 2 2-常德一模）在 A A B C中，角 A,B,。.所对的边分别为a,b,c,已知?=而，且 c o s（力一 B）+c o sC=（【）求角C;.（H）延长B C至。,，使得B D =4,求 A A CD 面积的最大值.例80在 AAB
22、C中,若 空 喀+华 与=2,且 A A B C的周长为1 2.,si n B si n A（1）求证：A A B C为直角三角形;.（2）求 A A 8C面积的最大值.题型十二:与正切有关的最值问题例8 1 （2 0 2 2 湖南长郡中学模拟预测）在 ABC 中，内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且 bsi n ge=a sin B.求：4（2）乌 萨 的取值范围.例82(2022全国模拟预测)在锐角 ABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c.若c?+be /=0,则4(sinO+cosO)2+二 二 的取值范围为()lane tanHA.(4V2,9)B.(8,9)C.(-+4
23、,9)D.(273+4,9)例83（2022山西吕梁二模（文）锐角 ABC是单位圆的内接三角形,角力，B,C的对边分别为a,b,c,且a?+b-c2=4a2cosA 2QCCOS8,则管的取值范围是（）A.（2V3,3V3）B.（V3,3V3）C.（乎,2）D.（坐,例84（2022全国高三专题练习）在锐角三角形ABC中，角A、B、。的对边分别为a、b、c,且满足 /=皿 则 盛一壶的取值范围为-例85（2022全国高三专题练习）在锐角 ABC中，角4 3、。所对的边分别为a,b,c,若a?-=be,则,一最+3SMA的取值范围为（）A.（2A/3,+）B.（273.4）C.（-,4）D.（2
24、 7 3,-）例86（2022全国高三专题练习）在锐角ZVIB。中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为 ABC的面积，且2S=a2（b-c）?,则5的取值范围为（）A.（,2）B.信 号）C.借 击 D.（|号）题型十三:最大角问题例87（2022春海淀区校级期中）几何学史上有一个著名的米勒问题:“设 点 是 锐 角 NAQB的一边QA上的两点，试在Q B边上找一点P,使得N M PN 最大”.如图，其结论是：点 P 为过M,N.两点且和射线Q B相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题:在平面直角坐标系cO y中，给定两点M（L2）,N（L4）,点P 在 轴 上 移 动，当NMPN取最
25、大值时，点P 的横坐标是（）A.-7,B.1 或 一 7 C.2 或-7 D.1例88（2022秋青羊区校级期中）（理科）E、R 是 椭 圆 与+率=1 的左、右焦点，%,是椭圆的一条准线，点P在/上，NEPR的最大值是（）A.60 B,30.C.90 D.45例89（2022春辽宁期末）设的内角A,B,。所对的边长分别为Q.,b,c,旦QCQSB bcos/1=接（:,则tan（A-B）的最大值为（）例90(2022-滨州二模)最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如 图，树顶4 离地面a 米，树上另一点5 离地面b.米，在离地面c(c
26、V b)米的C 处看此树,离此树的水平距离为一米时看A,B的视角最大.例9 1 如图,足球门框的长AB为2 dw(ldw=3.66m),设足球为一点P,足球与A,B 连线所成的角为a(O Va l+sin2B=4sin2C_,U P J 1二 +弋 ：0 +康的 最 小 值 为 一.例107（2022-浙江三模）在锐角三角形A B C中，角A,B,C 的对边分别为a.,b,c,若 已 知/+c?=4bcsin(A+京，则 tan A+tanB+tanC 的最小值是例108（2022春鼓楼区校级期中）在AAB C中，角力，3,。.所对的边分别为a,b,c,若 3a2 +3abe os。=0,则c
27、（皆 目+管 星）的最小值为一.例109（2022全国高三专题练习）在锐角 力 中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,S 为4 8。的面积,且 2s=/（b c）,则 二 黑 叶 岩 的 取 值范围为（）.4o 126c+13c儿 作，韵 B.（爵用 C 1 2 爵）D.（爵,2例110（2022安徽南陵中学模拟预测（理）在 AB。中，角力，3,C 所对的边分别为a,b,c,且满足5a2 +3/=3,则sin 4 的取值范围是题型十七;等面积法、张角定理例111（2022秋厦门校级期中）给 定 平 面 上 四 点 满 足 AB=2,/C=4,4 D =6,屈 d =4,则ADBC面 积 的
28、最 大 值 为.例H2（2022春奎屯市校级期末）在 ABC中，角 A,B,。所对的边分别为a,b,c,A A B C=120,NABC的平分线交4。于点。，且5 0=1，则4a+c 的最小值为（）A.8 B.9 C.10 D.7.例113（2022-云南一模）在 AABC中，内角4,3,。对的边分别为a,b,c,N A B C=孕，B D 平分NAB。o交力。于点D,BD=2,则4 B C 的面积的最小值为（）A.3V3 B.4V3,C.5V3 D.6A/3例114在 力 B C 中，角 A,B,。所对的边分别为a,b,c,NABC=120,NABC的平分线交A C 于点。，且3。=1,则
29、21+3 2痴=4,当且仅当b=c =2时等号成立，所以Z J k5 +4 =6,即 A B C的周长的取值范围是6,+8).选择:b=因为4 =爷，b =V 3,O由正弦定理得a=，,cV5sinCsinB也(等兀B)_ 3COSB 瓜sinB 2sinB 2H n-小s 田上,3,3cosB,373 3(l+cosB)373 o s 5即的周长 l =a +b +c=,-,.+6,小+z =o.+z =-+z 2sli18 2sm3 2 2sm3 2 4sjn c o s 22 tan y,3V3+亍 3因为 B e(O,),则夸(0号),故 0 V tan9 V3,所以一 +挈 2,即Z
30、VIBC的周长的取值范围是(2,+8).2tan 导 z选择：a =V3.因为4 =寺，a=A/3,o由正弦定理 得 矗sin。a _ QsinA 即 AB。的周长/=a +b +c =2sinB+2sinC+-73=2sinB+2sin(-B)+%/3=3sinB+V3cosB+瓜2V3sin(B+瓜，因为/?(0,，所以*V B+*V ，则/(6+c)2 3(5+c)2(b+c)2-4 4-当且仅当b=c=l 时取”=，即有0V b+c 4 2,又因为b+c a =l,则 lV b +c 4 2,因此2 V b+c+a 4 3,所以&43C 的周长的取值范围为(2,3.例 3.（2022浙
31、江高三专题练习）锐角AABC的内切圆的圆心为。，内角力，B,。所对的边分别为a,b,c.若be=（b2+c2-a2）tanA,且ABC的外接圆半径为1,则4B O C 周长的取值范围为【答案】（27,2+火【解析】由余弦定理变形可求得/角，再由正弦定理求得a,在 她。中利用余弦定理表示出OB,OC的关系，并由基本不等式得出0 3+O。的一个范围，结合三角形的性质求得0 3 +。的范围，从而可得结论.【详解】解：由余弦定理,得V3bc=2bccos4tanA,即sin力=,2A因为0 BC,所以 0,若实数的,啊满足1/3）/（g）|=2 时，依一色|的最小值为专.(1)求 3的值及/(0的对称
32、中心；(2)在4中，a,b,c分别是角4,B,C的对边，若f(4)=一l,a=，求 4 BC周长的取值范围.【答案】w =1,对称中心(-金+与 ,(),keZ；(2)(2 73,2+V3【解析】(1)先由倍角公式及辅助角公式化简得/Q)=s i n(2 3 Z +专)，再结合已知求得周期即可求出3,由正弦函数的对称性即可求得对称中心：(2)先求出A=与，再由正弦定理求得b=2 s i n 3,c =2 s i n C,再借助三角恒等变换及三角函数的值域即可求得周长的取值范围.(1)/(力)=V s i n 8/c o s。s i r?8方 +=s i n 2 8力二。整 加 +-1-=-s
33、i n 2co a;+-y co s 2co a;=sin(2a)x+专)，显然/的最大值为1,最小值为一L,则|/3)/(g)|=2时，一 词 的最小值等 于 手，则f=会 则27 c 1k =7 r,a)=l；2a)令2力+1 =辰 辰2,解 得 力=一 合+等 辰2,则/(力)的对称中心为(6 +等,O)&e Z；(2)/(A)=s i n(2A +=-1,2A+1 =1 +2k冗，卜eZ,又 A e (0,7 r)，则 A =,由正弦定理得 a-r =C7=二*=2,则 b =2s i n B,c=2s i n C,smA s i n B s m C _ V 3 _ T则周长为 a +
34、b +c=V 3 +2s i n B+2s i n C=V 3 +2s i n B+2s i n(冷B)=V 3 +s i n Z?+V 3 co s l?=V 3 +2s i n(13+号),又 0 V 8 V 号，则 方 V 3+,则V 3 lV 3 v s i r M+=TXs i n A、仁+浮盛）=寻+於盛因为t a n A w（哈+8），所 以 焉6（0,通）,空co s A=展4故me（哈嘤）.例6.（2022浙江高二阶段练习）在 A B C中，角 的 对 边 分 别 为a,b,c,co s A+g s i n A =2.（1）求角力；若 点。满 足 布=多 记，且B C=2,求
35、8 面积的取值范围.【答案】人=,（0,3【解析】（1）结合辅助角公式得到2s i n（A +专）=2,进而可求出结果：（2）结合正弦定理以及三角恒等变换求出b e =4+寺 皿2 8-专）,然后结合正弦函数的图象与性质即可求出ABC的面积的取值范围，从而根据S cD=9 SA4M 即可求出结果.(1)因为cos力 +VSsinA=2,所以 2sin(A+=2,且 4 W(0,兀),.A=-y.(2)b _ c _ a _ 4,sinB sin。sinA 瓜 be=4-sinSsinC=-y-sinB sin(-8)=(-sinBeosB+-ysin2B=(sin2B+-cos23)=1 +f
36、Sin(2 B-f).3-专)奇，警)，/.6c e(0,4.S&ABc=yfe csinA e (0,V3.因为点D 满足AD=等A C,所以SBCD:SMBC,SABCDC(0,呼例 7.(2022浙江杭师大附中模拟预测)在ABC中，。的边B C 的中点，4D =2,2cos。一cos2(4+B)=32,(1)求角。；(2)求4B C 面积的取值范围.【答案】。=与 (2)(0,273O【解析】(1)根据内角和公式和二倍角余弦公式化简求角C;(2)由余弦定理可得a,b 的关系，结合基本不等式求就的最大值，根据三角形面积公式求4 4 3。面积的取值范围.(1)因为 2cosc-cos2(X+
37、B)=,所以 2cosC cos2C=所以 4 co s 2。4 co s c+1=0,故 c o s C=4，又。(0,兀)；所以。=与o(2)在 4 A C D 中，由余弦定理可得 AD2=C D2+C A2-2 CD-C A c o sZA CD因为 A O =2,C=Sn2、-1所以4 =彳+/-y a b,所以】而+4 =与+b 2 a b,当且仅当a =4,b =2时等号成立，乙 4所以a b W 8,又a h 0,当且仅当a=4,6 =2时等号成立,所以 ABC 面积 S=-y a 6 s i n C=乎 a b e (0,27 3 .例8.(2022江苏省天一中学高一期中)在
38、A B C中，角力、B、。所对应的边分别为a、b、c,若b =2,co s。是锐角三角形，则 A3。面积的取值范围是.【答案】(竽,一【解析】根据题意和余弦定理，求得4=a?+-a c,再结合余弦定理求得c o sB=/，再由正弦定理可得a =击s i n A,c=贵s i n。,化简a c=Js i n(2月一袭)+1，根据Z V I B C是锐角三角形求得专V A V 皆，得至U s i n(24-专)&1 ,即a c 管 图,结合面积公式,即可求解.【详解】由余弦定理可得co s C=丁+/-4=旨 一 彳,整理得4=a?+c2 一砒,4a 2 4又由 c o sB=7-1,Za c 2
39、因为B w(O m),所以B =/.由正弦定理可知：.n =所以 a =j=r sin A,c =s i n C,s m B V3_ V3 V3 V3T故 a c=华s i n/l s i n C =4-s i n y l s i n(-1-7L A)=华s i n 4 (-c o sA+-1-s i n 4),-(V3s i n Aco s A +s i n2A)=-y -s i n 2A -co s 27l +=-y-s i n 2A+-y,因为ABC是锐角三角形，二，解得白V A V 年，(0 C=-A 1,若ABC的外接圆半径为4,且 2a+m b有最大值，求 m 的取值范围.【答案】
40、(1)C=要 (2)(1,4)【解析】(1)根据已知条件，利用正弦定理及余弦定理即可求解.(2)由题意及正弦定理可知总 方=辞 彳=8,利用正弦定理及正弦函数两角和公式将2a+m b化为f(x)=Asin(a)x H-p)型函数进行求解.(1)解：由已知及正弦定理得(c+牛-b)(c a+b)=3ab，所以Q?+-c2=ab,由余弦定理得cosC=a f j c，=-v ,2ab 2因为OVCVT T,所以。=.o(2)由正弦定理得 s g =sj：/=8，所以 2a+mb=8(2sirM+msinB)=8msinB+16sin(-y B)=8msinB+16y-cosB-1-sinB=(8m
41、 8)sinB+8A/3COSJB=8Vm2 2m+4sin(B+9),其中tan，=/法(0创，又号)，所以B+奇+6),若 2a+m b存在最大值，则B+6=专有解，则 专+峪 专，即。e信,专),所以瓜解得l m 4,丁，即z n 的取值范围是(1,4).例1 0.(2022河南.模拟预测(文)在 力及7中，角 A,B,。的对边分别为a ,c.2co s2C=2-V3s i n 2C,c=4,a +b=2VT U.(1)求 S/v i BC；(2)求 工 一 的取值范围.a o【答案】2 4#,_ 空【解析】先 求 出 ，利用余弦定理求出而=8,即可求出SBC；(2)先求出a&=2禽,即
42、可求出 一十的取值范围.因为Ce（0,兀），所以2 0+专=居，所以C=多因为c=4,。+6=2/1,由余弦定理。2=。2+62_2。6（?0$（7 得：1.6=（2/1尸一3a b,解得：a b =8.所以 SABC=c ib sin C=4 x 8 X 2V3.由（1）可知：a b=8.而Q+b=所以（Q b）2=（a +6）2-4a&=40-32=8,所以 a -b=2A/2，所 吗 Tb-a=2,=,V2a b 8-百故:今的取值范围为例11.(2022江苏高三专题练习)已知 A B C 内角C的对边分别为a,b,c,A +O=2 R,48。的面积 S=-a.(1)求边c；(2)若 4
43、BC 为锐角三角形，求 a的取值范围.【答案】1 借,2)【解析】根 据 4 +。=23,结合三角形内角和定理求得3 =与，由三角形面积公式结合5=卒 用 求 得 答 案；O4(2)由正弦定理表示a =j-+五 余,由三角形为锐角三角形确定C&(专,)，即可求得答案.(1)因为4+0=2 3,4+3+。=x,所以3 =卷：因为5=。$1118=加=*3(1,所以:=1.2 4 4(2)在 O B C 中,由正弦定理人=心由 知 3 =寺,O=1,代入上式得：a=sin/1sinCsin(C+附sinC-sinC7+-cosCsinC_ 1 V3-T-2 干 2tanC因为/XABC为锐角三角形
44、,则A+C=-,A=有 C 3,即可得解.(1)解：因为五二(cosx,cosrr),b=(V3sinx,cosrc)且/(力)=a-fe,所以/(x)=a-b=,cosx-cos2x=-sin2x-1-(1+COS2T)=-sin2x-cos2x 十 二sin(2 专)-即/3)=sin(2x 点)一 专，令+2A：7L W 2X W 卞+2k兀,k Z,解得 +k兀 工 kiz+-y,k&Z.所以函数/的单调递增区间为 春+麻 奇+麻 ,解:因为/(4)=sin(24 强)/二 5，所以 sin(24 点)=1.因为 T4 e (0,7c)，所以 2 A.(乳,，7 r)，所以 2 A 1
45、=牛，所以 2 b c,当且仅当b =c时取等号，所以be 4 3,即4 +c?&6,又因为 +=3+be 3,所以 3 Vb2+F&6,即 b2+c2G(3,6.例13.(2022江苏南京模拟预测)请在向量分=(鼻,sinB),y=(微若,sin4),且&/；=2csin(/+f)这两个条件中任选一个填入横线上并解答.在锐角三角形ABC中，己知角A,B,C 的对边分别为a,b,c,.(1)求角C;若 ABC的面积为2/5,求 2a+b 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【答案】。=等 (2)(8,10)O【解析】(1)选 :根 据 平 面 共 线 向 量 的 坐 标
46、 表 示 和 正 弦 定 理 可 得 就,结合余弦定理即可求出。;选:根据正弦定理和两角和的正弦公式化简计算可得通cosC=sinC,结合特殊角的正切值即可求出C；(2)由三角形的面积公式可得2a+b=2a+?=/(a),法一:利用余弦定理解得2 V 0 V 4；法二：由正弦定理可得2 V a V 4,进而利用导数求出函数/(a)的值域即可.(1)选择：因为签杀所以与二 普 坦，由正弦定理得，牛普b+c c +a即 a(c2 a2)=6(fe2 c2),即 ac2+bc2=a34-63,EP c2(a+fe)=(a+6)(a2 a b +b2),即 c2=c r -b a b.因为 cosC=
47、。，又C为锐角，所以。=不O选择：因为，=2 c s in(A +-y),由正弦定理得，V 3 s in B=2 s in C s in(7 l+卞)，即 V 3 s in B =s in C s in/l+V 3 s in Ceo s A.又 s in B =s in(A +C)=s in 4 c o s c+c o s T t s in C,所以 A/3 s in A c o s C =s in C s in X.因为 s in 4 0,所以 V 3 c o s C=s in C,又。为锐角，所以tanC=g,C=与.o(2)因为 Ss c=a b s m C=，a b =2 /3,所以(
48、ib=8,则 2(i+b =2 a +.a(法一)由余弦定理得，c2=a2+b2-2 a b c o sC=a2+b2 8.因为项c为锐角三角形，所以 寰 藻 即 俗 普 二d将代入上式可得之i即(卷)4,解得2 V a V 4.U2 4,令/(a)=2 a +且，则1(a)=2 -之=0,Q a a所以/(a)在2 a4上单调递增，所以八2)/(a)/(4),即 8 /(a)10,H P 2 a +b 的取值范围为(8,10).(法二)由正弦定理得卡=黑 强s in(B+专)-s in S +c o s/?1 s in B s in B 2 .2 t a n B又0=旦=之 所 以 尤=J
49、_ 返.1乂 b 8.8 m 8 2 2 t a n j B1a0 V A=-B，所以 0 ，+,1 苍 V 3.-1-4-+1在 2，3 t a n B 2 2 2 t a n B即 告V 2,解得2 V a V 4.2 o令f(a)=2 a +g，2a 0,a a-a-所以/(a)在 2Va4上单调递增，所以f(2)V/(a)V/(4),即8 V/(a)V 10,即 2 a+b 的取值范围为(8,10).例14.(2 0 2 2 全国模拟预测)在 A 3。中，内角例BQ的对边分别为a,b,c,且a sin A=c(s in。一2 s in 3)+6(s in C+s in B).(1)求角
50、A；(2)若 A B C 为锐角三角形，求 何泮)的取值范围.2a【答案】力=左；(-十,1).【解析】(1)角换边，在利用余弦定理求解；(2)边换角，将待求表达式表示成关于B的三角函数，利用锐角三角形条件求出B 的范围,最后再求表达式的范围即可.(1)因为 a s i n A=c(s i n C-2 s i n B)+b(s i n C+s i n B)，所以由正弦定理得 a2=c(c 2 b)+6(c +b)，整理得 b-+?a?=b e,由余弦定理得c o s A =+1 -5-.因为0 4 兀,所以A =与.(2)由正弦定理得 s E g二=s i n B s i n(7=s i n