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1、 2023届高考数学专项练习利用函数思想求圆锥曲线中的最值与范围问题 2023届高考数学专项练习利用函数思想求圆锥曲线中的最值与范围问题一、考情分析一、考情分析与圆锥曲线有关的范围、最值问题,在高考中常以解答题形式考查,且难度较大,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,因而备受命题者青睐.解题时要紧紧抓住圆锥曲线的定义与性质进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用,其中把问题转化为函数求最值与值域是最常用的方法之一二、解题秘籍(一)利用函数思想最值与范围问题求解方法与策略二、解题秘籍(一)利用函数思想最值与范围问题求解方法与策略1.解决圆锥曲线中的取值范围问
2、题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围2.利用函数思想求圆锥曲线中的最值或范围,首先要把待求量用某个(些)量来表示,然后把待求量看作关于这个量的函数,再结合函数性质求最值与范围,其中利用二次函数配方求最值是最常用的方法,有时也可利用导数研究函数单调
3、性求最值.【例1】【例1】(2023届四川省成都市高三上学期 10月月考)(2023届四川省成都市高三上学期 10月月考)已知点F是抛物线C:x2=4y与椭圆y2a2+x2b2=1(ab0)的公共焦点,椭圆上的点M到点F的最大距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)过点M作C的两条切线,记切点分别为A,B,求MAB面积的最大值.【例【例2 2】(20232023届新高考高中毕业班“启航”适应性练习届新高考高中毕业班“启航”适应性练习)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线M：y2=4xP,Q,R 为 M 上相异的三点,且 POQ=90,RP 与 x 负半轴交于点 A,RQ,PQ 分别与 x 正半轴交
4、于点 B,C,记点R x0,y0(1)证明：OA OB=4x0；(2)若B为M的焦点,当BRC最大时,求x0的值(二二)利用距离公式把距离问题转化为二次函数求最值利用距离公式把距离问题转化为二次函数求最值与距离或线段长度有关的最值与范围问题通常是把相关距离或线段长度利用距离公式表示成一个变量的函数,若被开放式为二次函数类型,可通过配方求最值与范围.【例【例3 3】(20232023 届湖北省腾云联盟高三上学期届湖北省腾云联盟高三上学期 1010 月联考月联考)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 ab0经过点 P 0,1,且离心率为32.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过点 0,-35的直线
5、l与椭圆C交于A,B两点,设坐标原点为O,线段AB的中点为M,求 MO的最大值.(三三)把面积问题转化为二次函数最值问题把面积问题转化为二次函数最值问题该类问题求解的基本思路通常是把面积用另一个量(如点的横坐标、纵坐标,直线的斜率等),把求面积最值与范围问题转化为求函数最值或值域,若函数式可转化为二次函数类型,可利用二次函数性质求最值.【例【例4 4】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点3,12,其右焦点为F3,0.(1)求椭圆C的离心率；(2)若点P,Q在椭圆C上,右顶点为A,且满足直线AP与AQ的斜率之积为120.求APQ面积的最大值.(四四)与斜率有关的最值与范围问题与斜率
6、有关的最值与范围问题与斜率有关的最值与范围问题的思路一是设出动点.是利用斜率定义表示出斜率,然后利用函数知识求解,二是设出直线的点斜式或斜截式方程,利用根与系数之间的关系或题中条件整理关于斜率的等式,再利用函数思想求解.【例【例5 5】已知椭圆x2a2+y2=1(a1),过点 0,3作椭圆的两条切线,且两切线垂直.(1)求a；(2)已知点P m,m2,m2,Q 0,-1,若存在过点P的直线与椭圆交于M,N,且以MN为直径的圆过点Q(M,N不与Q重合),求直线MN斜率的取值范围.(五五)通过换元把问题转化为二次函数问题通过换元把问题转化为二次函数问题该类问题通常是所得结果比较复杂,通过换元把问题
7、转化为二次函数求解.【例【例6 6】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为32,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,过F1且与x轴垂直的直线与椭圆C交于点A,B,且ABF2的面积为3(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l与椭圆C交于不同于右顶点P的M,N两点,且PMPN,求 PM PN的最大值(六六)把问题转化为函数问题后再借助导数求最值或范围把问题转化为函数问题后再借助导数求最值或范围该类问题通常是所得函数为分式函数或高次函数,又不具备使用均值不等式的条件,只能借助导数求最值或范围.【例【例7 7】(20232023届云南省昆明市第一中学高三上学期第二次检测届云南省昆明市第一
8、中学高三上学期第二次检测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)四个顶点的四边形为菱形,它的边长为7,面积为4 3,过椭圆左焦点F1与椭圆C相交于M,N两点(M,N两点不在x轴上),直线l的方程为：x=-4,过点M作ME垂直于直线l交于点E(1)求椭圆C的标准方程；(2)点O为坐标原点,求OEN面积的最大值(七七)利用椭圆的参数方程把把问题转化为三角函数求最值与范围利用椭圆的参数方程把把问题转化为三角函数求最值与范围此类问题通常是把椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)上的动点设为 acos,bsin,再利用辅助角公式及弦函数的有界性或单调性求最值与范围.【例【例8 8】已知椭圆C:x
9、2a2+y2b2=1(ab0)过点 1,-32,(2,0)(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C的第四象限的图象上有一个动点M,连接动点M与椭圆C的左顶点A与y的负半轴交于点E,连接动点M与椭圆的上顶点B,与x的正半轴交于点F,记四边形ABFE的面积为S1,ABM的面积为S2,=S1S2,求的取值范围三、三、跟踪检测跟踪检测1.(20232023 届重庆市第八中学校高三上学期月考届重庆市第八中学校高三上学期月考)已知双曲线 E：x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)一个顶点为A-2,0,直线l过点Q 3,0交双曲线右支于M,N两点,记AMN,AOM,AON的面积分别为S,S1,S2.当l与x轴
10、垂直时,S1的值为152.(1)求双曲线E的标准方程；(2)若l交y轴于点P,PM=MQ,PN=NQ,求证：+为定值；(3)在(2)的条件下,若1625S=S1+mS2,当5b0的左、右焦点分别为F1、F2,P是椭圆E上一动点,PF1F2的最大面积为3,F1F2=2 3.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线x-y-1=0与椭圆E交于A、B两点,C、D为椭圆E上两点,且CDAB,求 CD的最大值.3.已知椭圆x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为12,其左焦点到点P 2，1的距离为10(1)求椭圆的方程；(2)直线y=-32x+m与椭圆相交于A，B两点,求ABP的面积关于m的函数关系式,并求面积
11、最大时直线l的方程4.如图所示,M、D分别为椭圆x2a2+y2=1(a1)的左、右顶点,离心率为32.(1)求椭圆的标准方程；(2)过M点作两条互相垂直的直线MA,MB与椭圆交于A,B两点,求DAB面积的最大值5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,椭圆上一动点P与左右焦点构成的三角形面积最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左右顶点分别为A,B,直线PQ交椭圆C于P,Q两点,记直线AP的斜率为k1,直线BQ的斜率为k2,已知k1=3k2.求证：直线PQ恒过定点；设APQ和BPQ的面积分别为S1,S2,求 S1-S2的最大值.6.(20232023 届北京市
12、第四中学高三上学期测试届北京市第四中学高三上学期测试)已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 1,32,离心率为32,点A为其右顶点.过点B 1,0作直线l与椭圆C相交于E、F两点,直线AE、AF与直线x=3分别交于点M、N.(1)求椭圆C的方程；(2)求EM FN 的取值范围.7.(20222022届上海市行知中学高三上学期考试届上海市行知中学高三上学期考试)已知曲线 上一动点 P到两定点 F10,-2,F20,2的距离之和为4 2,过点Q-1,0的直线L与曲线相交于点A x1,y1,B x2,y2(1)求曲线的方程；(2)动弦AB满足：AM=MB,求点M的轨迹方程；(3)求 x1
13、+y1-4+x2+y2-4的取值范围8.(20232023届河南省名校联盟高三上学期届河南省名校联盟高三上学期9 9月联考月联考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,左右焦点分别为F1,F2,M,N是椭圆上关于原点对称的两点,F1M+F1N=4.(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆左顶点为A,上顶点为B,直线lAB且交椭圆于P,Q,求PQB的面积最大时,l的方程.9.已知一条动直线3 m+1x+m-1y-6m-2=0,直线l过动直线的定点P,且直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点(1)是否存在直线l满足下列条件：AOB的周长为12；AOB的面积为6若存
14、在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由(2)当 PA+32PB取得最小值时,求直线l的方程10.如图,已知点 F 1,0为抛物线 y2=2px p0的焦点过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 A 在第一象限,点 C 在抛物线上,使得 ABC 的重心 G 在 x 轴上,直线 AC 交 x 轴于点 Q,且 Q 在点 F 的右侧,记AFG,CQG的面积分别为S1,S2(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)设A点纵坐标为2t,求S1S2关于t的函数关系式；(3)求S1S2的最小值及此时点G的坐标11.(20222022届河南省中原顶级名校高三上学期届河南省中原顶级名校高三上学期 1 1月
15、联考月联考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点分别为 F1-1,0,F21,0,过点 F1的直线 l1交椭圆 C 于 A,B 两点.当直线 l1的斜率为 1 时,点-47,37是线段AB的中点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图,若过点F2的直线l2交椭圆C于E,G两点,且l1l2,求四边形ABEG的面积的最大值.12.(20222022 届浙江省绍兴市高三上学期届浙江省绍兴市高三上学期 1212 月月考月月考)已知抛物线 C 的焦点是 0,14,如图,过点 D22,t(t 0)作抛物线C的两条切线,切点分别是A和B,线段AB的中点为M(1)求抛物线C的标准方程；(2)求
16、证：直线MDy轴；(3)以线段MD为直径作圆,交直线AB于MN,求|AB|-|MN|AB|+|MN|的取值范围13.(20222022 届广东省华南师范大学附属中学高三上学期综合测试届广东省华南师范大学附属中学高三上学期综合测试)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 ab0经过点M(0,3),离心率为22.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l:y=kx-1与椭圆C相交于A、B两点,求 MA MB的最大值.14.(20222022 届贵州省遵义市高三上学期联考届贵州省遵义市高三上学期联考)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 ab0的左右焦点分别为 F1和 F2,且M11,1,M20,1,M3-1
17、,2 23,M41,2 23四点中恰有三点在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线F1P和F2P与直线y=4分别交于G和H两点,设直线F1P和F2P的斜率分别为k1和k2,若线段GH的长度小于16 2,求k1k2的最大值.利用函数思想求圆锥曲线中的最值与范围问题利用函数思想求圆锥曲线中的最值与范围问题一、一、考情分析考情分析与圆锥曲线有关的范围、最值问题,在高考中常以解答题形式考查,且难度较大,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,因而备受命题者青睐.解题时要紧紧抓住圆锥曲线的定义与性质进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解
18、题中的应用,其中把问题转化为函数求最值与值域是最常用的方法之一二、二、解题秘籍解题秘籍(一一)利用函数思想最值与范围问题求解方法与策略利用函数思想最值与范围问题求解方法与策略1.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围2.利
19、用函数思想求圆锥曲线中的最值或范围,首先要把待求量用某个(些)量来表示,然后把待求量看作关于这个量的函数,再结合函数性质求最值与范围,其中利用二次函数配方求最值是最常用的方法,有时也可利用导数研究函数单调性求最值.【例【例1 1】(20232023届四川省成都市高三上学期届四川省成都市高三上学期 1010月月考月月考)已知点F是抛物线C:x2=4y与椭圆y2a2+x2b2=1(ab0)的公共焦点,椭圆上的点M到点F的最大距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)过点M作C的两条切线,记切点分别为A,B,求MAB面积的最大值.【解析】(1)抛物线C的焦点为F 0,1,即c=1,椭圆上的点M到点F的最大
20、距离为a+c=3,所以a=2,b2=3,所以椭圆方程为y24+x23=1.(2)抛物线C的方程为x2=4y,即y=x24,对该函数求导得y=x2,设点A x1,y1,B x2,y2,M(x0,y0),直线MA的方程为y-y1=x12(x-x1),即y=x1x2-y1,即x1x-2y1-2y=0,同理可知,直线MB的方程为x2x-2y2-2y=0,由于点M为这两条直线的公共点,则x1x0-2y1-2y0=0 x2x0-2y2-2y0=0,所以点A,B的坐标满足方程x0 x-2y-2y0=0,所以直线AB的方程为x0 x-2y-2y0=0,联立x0 x-2y-2y0=0y=x24,可得x2-2x0
21、 x+4y0=0,由韦达定理可得x1+x2=2x0,x1x2=4y0,所以 AB=1+x022x1+x22-4x1x2=1+x0224x20-16y0=x20+4x20-4y0,点M到直线AB的距离为d=x20-4y0 x20+4,所以SMAB=12ABd=12x20+4x20-4y0 x20-4y0 x20+4=12x20-4y032,因为x20-4y0=3-3y204-4y0=-34y0+832+253,由已知可得-2y02,所以当y0=-2时,MAB面积的最大值为8 2.【例【例2 2】(20232023届新高考高中毕业班“启航”适应性练习届新高考高中毕业班“启航”适应性练习)在平面直角
22、坐标系xOy中,已知抛物线M：y2=4xP,Q,R 为 M 上相异的三点,且 POQ=90,RP 与 x 负半轴交于点 A,RQ,PQ 分别与 x 正半轴交于点 B,C,记点R x0,y0(1)证明：OA OB=4x0；(2)若B为M的焦点,当BRC最大时,求x0的值【解析】(1)证明：因为POQ=90,所以直线OP和OQ斜率之积为-1,设PQ：x=my+t,且C t,0,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立x=my+ty2=4x,得y2-4my-4t=0,且0恒成立,所以y1+y2=4m,y1y2=-4t,记直线OP、OQ的斜率分别为k1,k2,所以k1k2=y1y2x1x2=16y1y
23、2=-1,即t=4,所以C 4,0,设RP：x=m1y+t1,且A(t1,0)(t10恒成立,得y0y1=-4t1=4 OA,同理设RQ：x=m2y+t2,得y0y2=-4t2=-4 OB,所以y1y2y20=-16 OA OB=-16y20=-64x0,即 OA OB=4x0；(2)因为B为M的焦点,所以B 1,0,且C 4,0,R x0,y0,tanBRC=tan(RCx-RBx)=tanRCx-tanRBx1+tanRCxtanRBx=y0 x0-4-y0 x0-11+y0 x0-4y0 x0-1=3y0 x20-x0+4,又y20=4x0,不妨设y00,y0=2 x0,则tanBRC=
24、3y0 x20-x0+4=6 x0 x20-x0+4,记t=x0,t0,则tanBRC=f(t)=6tt4-t2+4,f(t)=-6 3t4-t2-4t4-t2+42=-6 3t2-4t2+1t4-t2+42,令 ft=0,则t=2 33,且 f t在 0,2 33上单调递增,在2 33,+上单调递减,且y=tanx在 0,2上单调递增,所以当t=2 33,即x0=43时,tanBRC最大,BRC最大(二二)利用距离公式把距离问题转化为二次函数求最值利用距离公式把距离问题转化为二次函数求最值与距离或线段长度有关的最值与范围问题通常是把相关距离或线段长度利用距离公式表示成一个变量的函数,若被开放
25、式为二次函数类型,可通过配方求最值与范围.【例【例3 3】(20232023 届湖北省腾云联盟高三上学期届湖北省腾云联盟高三上学期 1010 月联考月联考)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 ab0经过点 P 0,1,且离心率为32.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过点 0,-35的直线l与椭圆C交于A,B两点,设坐标原点为O,线段AB的中点为M,求 MO的最大值.【解析】(1)椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点P(0,1),其离心率为32b=1,ca=321-b2a2=34,ba=12,a=2,故椭圆C的方程为：x24+y2=1；(2)当直线l斜率不存在时,M与O重合,不合题
26、意,当直线l斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则有x0=x1+x22,y0=y1+y22,直线l的斜率为y1-y2x1-x2=y0+35x0,A,B两点在椭圆上,有x124+y12=1,x224+y22=1,两式相减,x12-x224=-y12-y22,即x1+x24 y1+y2=-y1-y2x1-x2,得x04y0=-y0+35x0,化简得x02=-4y02-125y0,MO=x02+y02=-3y02-125y0=-3 y0+252+1225,当y0=-25时,MO的最大值为2 35(三三)把面积问题转化为二次函数最值问题把面积问题转化为二次函数最值问题该
27、类问题求解的基本思路通常是把面积用另一个量(如点的横坐标、纵坐标,直线的斜率等),把求面积最值与范围问题转化为求函数最值或值域,若函数式可转化为二次函数类型,可利用二次函数性质求最值.【例【例4 4】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点3,12,其右焦点为F3,0.(1)求椭圆C的离心率；(2)若点P,Q在椭圆C上,右顶点为A,且满足直线AP与AQ的斜率之积为120.求APQ面积的最大值.【解析】(1)依题可得,c=33a2+14b2=1a2=b2+c2,解得a=2b=1c=3,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.所以离心率e=32.(2)易知直线AP与AQ的斜率同号,所以直线P
28、Q不垂直于x轴,故可设PQ:y=kx+m,k0,P x1,y1,Q x2,y2,由x24+y2=1y=kx+m 可得,1+4k2x2+8mkx+4m2-4=0,所以x1+x2=-8mk1+4k2,x1x2=4m2-41+4k2,=16 4k2+1-m20,而kAPkAQ=120,即y1x1-2y2x2-2=120,化简可得20 kx1+mkx2+m=x1-2x2-2,20k2x1x2+20km(x1+x2)+20m2=x1x2-2(x1+x2)+4,20k24m2-41+4k2+20km-8mk1+4k2+20m2=4m2-41+4k2-2-8mk1+4k2+4化简得6k2+mk-m2=0,所
29、以m=-2k或m=3k,所以直线PQ:y=k x-2或y=k x+3,因为直线PQ不经过点A,所以直线PQ经过定点-3,0.设定点B-3,0,SAPQ=SABP-SABQ=12ABy1-y2=52kx1-x2=52k(x1+x2)2-4x1x2=52k-8km1+4k22-44m2-41+4k2=5 k216 4k2+1-m21+4k2=101-5k2k21+4k2,因为1-5k20,所以0k21),过点 0,3作椭圆的两条切线,且两切线垂直.(1)求a；(2)已知点P m,m2,m2,Q 0,-1,若存在过点P的直线与椭圆交于M,N,且以MN为直径的圆过点Q(M,N不与Q重合),求直线MN斜
30、率的取值范围.【解析】(1)由题可知,切线斜率存在,则设切线y=kx+3,联立得x2a2+k2x2+2+2 3kx=0,即 a2k2+1x2+2 3a2kx+2a2=0,相切得：=12a4k2-8a2a2k2+1=0,即a2k2-2=0,所以k1=-2a,k2=2a由两切线垂直得：k1k2=-2a2=-1a=2(2)由(1)得,椭圆方程为x22+y2=1由题可知,直线MN的斜率存在,设MN:y=nx+t,联立得 2n2+1x2+4ntx+2t2-2=0设M x1,y1,N x2,y2,由韦达定理得：x1+x2=-4nt2n2+1,x1x2=2t2-22n2+1由题意MN为直径的圆过点Q,QM
31、QN=(x1,y1+1)(x2,y2+1)=x1x2+y1y2+y1+y2+1=0又y1y2=(nx1+t)(nx2+t)=n2x1x2+nt(x1+x2)+t2=t2-2n22n2+1y1+y2=(nx1+t)+(nx2+t)=n(x1+x2)+2t=2t2n2+1代入式得：3t2+2t-1=0t=13或-1(舍去),所以MN过定点 0,13,n=m2-13m-0=m-13m,n随m的增大而增大,m2,kMN116即直线MN斜率范围116,+(五五)通过换元把问题转化为二次函数问题通过换元把问题转化为二次函数问题该类问题通常是所得结果比较复杂,通过换元把问题转化为二次函数求解.【例【例6 6
32、】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为32,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,过F1且与x轴垂直的直线与椭圆C交于点A,B,且ABF2的面积为3(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l与椭圆C交于不同于右顶点P的M,N两点,且PMPN,求 PM PN的最大值【解析】(1)因为椭圆C的离心率为32,所以ca=32将x=c代入x2a2+y2b2=1,得y=b2a,所以 AB=2b2a,则122c2b2a=3,即2b2ca=3 由及a2=b2+c2,得a=2,b=1,故椭圆C的标准方程为x24+y2=1(2)由题意知,直线l的斜率不为0,则不妨设直线l的方程为x=ky+m m2联立
33、得x24+y2=1x=ky+m 消去x得 k2+4y2+2kmy+m2-4=0,=4k2m2-4 k2+4m2-40,化简整理,得k2+4m2设M x1,y1,N x2,y2,则y1+y2=-2kmk2+4,y1y2=m2-4k2+4因为PMPN,所以PM PN=0因为P 2,0,所以PM=x1-2,y1,PN=x2-2,y2,得 x1-2x2-2+y1y2=0,将x1=ky1+m,x2=ky2+m代入上式,得 k2+1y1y2+k m-2y1+y2+m-22=0,得 k2+1m2-4k2+4+k m-2-2kmk2+4+m-22=0,解得m=65或m=2(舍去),所以直线l的方程为x=ky+
34、65,则直线l恒过点Q65,0,所以SPMN=12PQ y1-y2=1245y1+y22-4y1y2=82525 k2+4-36k2+42设t=1k2+4,则0b0)四个顶点的四边形为菱形,它的边长为7,面积为4 3,过椭圆左焦点F1与椭圆C相交于M,N两点(M,N两点不在x轴上),直线l的方程为：x=-4,过点M作ME垂直于直线l交于点E(1)求椭圆C的标准方程；(2)点O为坐标原点,求OEN面积的最大值【解析】(1)由题意可得：a2+b2=72ab=4 3,解得a=2b=3 椭圆C的标准方程为x24+y23=1(2)由(1)可得：c=a2-b2=1,即F1-1,0由题意可设直线MN:x=t
35、y-1,M x1,y1,N x2,y2,则E-4,y1联立方程x=ty-1x24+y23=1,消去x可得：3t2+4y2-6ty-9=0y1+y2=6t3t2+4,y1y2=-93t2+4,则ty1y2=-32y1+y2直线EN的斜率kEN=y2-y1x2+4,则直线EN的方程为y-y1=y2-y1x2+4x+4令y=0,则可得x=-4-y1x2+4y2-y1=-4-y1ty2+3y2-y1=-4-ty1y2+3y1y2-y1=-4-32y1-y2y2-y1=-52即直线EN过定点-52,0OEN面积为S=1252 y1-y2=546t3t2+42+363t2+4=15 t2+13 t2+1+
36、1令m=t2+1 1,则S=15m3m2+1令 f m=15m3m2+1m1,则 fm=15 1-3m23m2+12b0)上的动点设为 acos,bsin,再利用辅助角公式及弦函数的有界性或单调性求最值与范围.【例【例8 8】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点 1,-32,(2,0)(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C的第四象限的图象上有一个动点M,连接动点M与椭圆C的左顶点A与y的负半轴交于点E,连接动点M与椭圆的上顶点B,与x的正半轴交于点F,记四边形ABFE的面积为S1,ABM的面积为S2,=S1S2,求的取值范围【解析】(1)依题意1a2+94b2=1a=2,得a2=4,
37、b2=3,故C的方程为x24+y23=1(2)依题意,A(-2,0),B(0,3),设M(x0,y0),则3x20+4y20=12,所以直线AM:y-0y0-0=x+2x0+2,令x=0,yE=2y0 x0+2,则|BE|=3-yE=3-2y0 x0+2=3x0+2 3-2y0 x0+2直线BM:y-3y0-3=x-0 x0-0,令y=0,xF=-3x0y0-3则|AF|=2+xF=2+-3x0y0-3=2y0-2 3-3x0y0-3,又易知AFBE,所以四边形ABFE的面积S1=12|BE|AF|=123 x0+2 3-2y0 x0+22y0-2 3-3x0y0-3=-3x20-4y2-12
38、+4 3x0y0-12x0+8 3y02 x0y0-3x0+2y0-2 3=4 3 x0y0-3x0+2y0-2 32 x0y0-3x0+2y0-2 3=2 3由题意可知AB的直线方程为3x-2y+2 3=0,再设椭圆的参数方程为x=2cos,y=3sin,为参数,则动点M到直线AB的距离d=|3 2cos-2 3sin+2 3|3+4,-2,0,化简得d=2 6cos+4+2 37,-2,0-2,0,+4-4,4,cos+422,1,4 37d2 6+2 37,ABM的面积S2=12|AB|d=127 d,2 3 S26+3=S1S2,2 36+32 32 3,即2 2-2 0,b 0)一个
39、顶点为A-2,0,直线l过点Q 3,0交双曲线右支于M,N两点,记AMN,AOM,AON的面积分别为S,S1,S2.当l与x轴垂直时,S1的值为152.(1)求双曲线E的标准方程；(2)若l交y轴于点P,PM=MQ,PN=NQ,求证：+为定值；(3)在(2)的条件下,若1625S=S1+mS2,当58时,求实数m的取值范围.【解析】(1)由题意得a=2,OA=2,则当l与x轴垂直时,不妨设M 3,y1,由S1=12OA y1=152,得 y1=152,将M 3,y1代入方程x24-y2b2=1,得94-154b2=1,解得b2=3,所以双曲线E的方程为x24-y23=1(2)设M x1,y1,
40、N x2,y2,P 0,y0,由PM=MQ 与Q 3,0,得 x1,y1-y0=3-x1,-y1,即x1=31+,y1=y01+,将M31+,y01+代入E的方程得：31+24-y01+23=1,整理得：152-24-4y20-12=0,同理由PN=NQ 可得152-24-4y20-12=0由知,是方程15x2-24x-4y20-12=0的两个不等实根由韦达定理知+=2415=85,所以+为定值(3)又1625S=S1+mS2,即162512 AQ y1-y2=122 y1+m122 y2,整理得：85y1-y2=y1+m y2,又y1y20,不妨设y20b0的左、右焦点分别为F1、F2,P是
41、椭圆E上一动点,PF1F2的最大面积为3,F1F2=2 3.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线x-y-1=0与椭圆E交于A、B两点,C、D为椭圆E上两点,且CDAB,求 CD的最大值.【解析】(1)设椭圆E的半焦距为c,F1F2=2 3,c=3,PF1F2的最大面积为3,122cb=3,b=1,a=b2+c2=2,椭圆E的方程为x24+y2=1；(2)由题知CDAB,设直线CD的方程为y=-x+m,C x1,y1,D x2,y2,联立x24+y2=1y=-x+m,消去y并整理得：5x2-8mx+4m2-4=0,=-8m2-45 4m2-40,得-5 m5,x1+x2=8m5,x1x2=4m2-
42、45,CD=1+-128m52-4 4m2-45=2580-16m2=4 255-m2,设g m=4 255-m2,-5 mb0的离心率为12,其左焦点到点P 2，1的距离为10(1)求椭圆的方程；(2)直线y=-32x+m与椭圆相交于A，B两点,求ABP的面积关于m的函数关系式,并求面积最大时直线l的方程【解析】(1)由题意得：ca=12,且2+c2+1-02=10,解得：c=1,a=2,所以b2=a2-c2=4-1=3,所以椭圆方程为x24+y23=1；(2)联立y=-32x+m与椭圆方程x24+y23=1可得：3x2-3mx+m2-3=0,由=9m2-12 m2-3=36-3m20,解得
43、：-2 3 m2 3；设A x1,y1,B x2,y2,则x1+x2=m,x1x2=m2-33,由弦长公式可得：AB=1+94m2-4m2-33=1324-m23,点P 2，1到直线y=-32x+m的距离为d=4-m1+94=2 4-m13,则ABP的面积为S=12ABd=124-m4-m23=364-m212-m2,其中-2 3 m2 3,令 f m=4-m212-m2,-2 3 m2 3,则 fm=-2 4-m12-m2-2m 4-m2=4 4-mm-1-7m-1+7,由于-2 3 m0,m-1-7 0得：m-2 3,1-7,令 fm1)的左、右顶点,离心率为32.(1)求椭圆的标准方程；
44、(2)过M点作两条互相垂直的直线MA,MB与椭圆交于A,B两点,求DAB面积的最大值.【解析】(1)由已知可得：ca=32a2=1+c2,解得：a=2,c=3,椭圆的方程为：x24+y2=1.(2)M-2,0,设AB的直线方程为：x=ty+m,A x1,y1,B x2,y2,联立方程：x=ty+mx2+4y2-4=0,整理得：t2+4y2+2mty+m2-4=0,y1+y2=-2mtt2+4,y1y2=m2-4t2+4,AMB=2,x1+2x2+2+y1y2=0 x1x2+2 x1+x2+4+y1y2=0,ty1+mty2+m+2 ty1+ty2+2m+4+y1y2=0,即 t2+1y1y2+
45、(mt+2t)y1+y2+(m+2)2=0,t2+1m2-4t2+4+(mt+2t)-2mtt2+4+(m+2)2=0,t2+1m2-4-2m2t2-4mt2+m2+4m+4t2+4=0,t2m2-4t2+m2-4-2m2t2-4mt2+m2t2+4m2+4mt2+16m+4t2+16=0,整理得5m2+16m+12=0,解得m=-65或m=-2(舍去),x=ty-65,y1+y2=12t5 t2+4y1y2=-6425 t2+4,SDAB=12 2+65y1-y2=85y1+y22-4y1y2=322525t2+64t2+4,令25t2+64=u(u8),则SDAB=3225uu2-6425
46、+4=32uu2+36=32u+36u,由对勾函数单调性知,u+36u8+368=252,所以SDAB32252=6425,当且仅当u=8时,即t=0时等号成立,此时SDAB最大值为6425.5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,椭圆上一动点P与左右焦点构成的三角形面积最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左右顶点分别为A,B,直线PQ交椭圆C于P,Q两点,记直线AP的斜率为k1,直线BQ的斜率为k2,已知k1=3k2.求证：直线PQ恒过定点；设APQ和BPQ的面积分别为S1,S2,求 S1-S2的最大值.【解析】(1)由题意ca=32bc=3a2=b2+
47、c2,解得a2=4b2=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1(2)依题意A(-2,0),B(2,0),设P x1,y1,Q x2,y2,若直线PQ的斜率为0则P,Q关于y轴对称,必有kAP=-kBQ,不合题意所以直线PQ斜率必不为0,设其方程为x=ty+n(n2),与椭圆C联立x2+4y2=4x=ty+n,整理得：t2+4y2+2tny+n2-4=0,所以=16 t2+4-n20,且y1+y2=-2tnt2+4,y1y2=n2-4t2+4.因为P x1,y1是椭圆上一点,即x214+y21=1,所以kAPkBP=y1x1+2y1x1-2=y21x21-4=1-x214x21-4=-14,则k
48、AP=-14kBP=3kBQ,即12kBPkBQ=-1因为12kBPkBQ=12y1y2x1-2x2-2=12y1y2ty1+n-2ty2+n-2=12y1y2t2y1y2+t(n-2)y1+y2+(n-2)2=12 n2-4t2+4t2n2-4t2+4-2t2n(n-2)t2+4+(n-2)2=12(n+2)t2(n+2)-2t2n+(n-2)t2+4=3(n+2)n-2=-1,所以n=-1,此时=16 t2+4-n2=16 t2+30,故直线PQ恒过x轴上一定点D-1,0由得：y1+y2=2tt2+4,y1y2=-3t2+4,所以 S1-S2=12 y1-y2 2-1-12 y1-y2-2
49、-1=y1-y2=y1+y22-4y1y2=4 t2+3t2+4=4t2+4-1t2+42=41t2+4-1t2+42=4-1t2+4-122+14,而1t2+4 0,14,当1t2+4=14时 S1-S2的最大值为36.(20232023 届北京市第四中学高三上学期测试届北京市第四中学高三上学期测试)已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 1,32,离心率为32,点A为其右顶点.过点B 1,0作直线l与椭圆C相交于E、F两点,直线AE、AF与直线x=3分别交于点M、N.(1)求椭圆C的方程；(2)求EM FN 的取值范围.【解析】(1)由题意设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1
50、(ab0),由题意,得1a2+34b2=1ca=32a2=b2+c2,解得a2=4,b2=1,即椭圆C的标准方程为x24+y2=1.(2)由(1)得A(2,0),设l:x=ty+1,E(x1,y1),F(x2,y2),联立x=ty+1x2+4y2-4=0,得(ty+1)2+4y2-4=0,即(t2+4)y2+2ty-3=0,则y1+y2=-2tt2+4,y1y2=-3t2+4,直线AE,AF的方程分别为y=y1x1-2(x-2),y=y2x2-2(x-2),令x=3,则M 3,y1x1-2,N 3,y2x2-2,则EM=3-x1,y13-x1x1-2=2-ty1,y12-ty1ty1-1,FN