《2024高考数学专项练习最全归纳平面向量中的范围与最值问题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024高考数学专项练习最全归纳平面向量中的范围与最值问题含答案.pdf（73页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、最全归纳平面向量中的范围与最值问题最全归纳平面向量中的范围与最值问题【考点预测】一平面向量范围与最值问题常用方法：【考点预测】一平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步:得出结论(2)坐标法坐标法第一步:根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步:将平面向量的运算坐标化第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式
2、的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法几何意义法第一步:先确定向量所表达的点的轨迹第二步:根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果二极化恒等式二极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)证明：不妨设AB=a,AD=b，则AC=a+b，DB=a-bAC 2=AC 2=a+b2=a2+2ab+b2DB 2=DB2=a-b2=a2-2ab+b2两式相加得：AC 2+DB 2=2 a2+b2=2 AB 2+AD 2(2)极化恒等式：极化恒等式：2024高考数学专项
3、练习上面两式相减，得：14a+b2-a-b2-极化恒等式平行四边形模式：ab=14AC2-DB2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.三角形模式：ab=AM2-14DB2(M为BD的中点)三三.矩形大法矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点 O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：OA2+OC2=OB2+OD2。【证明】(坐标法)设AB=a,AD=b，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy，则B(a,0),D(0,b),C(a,b)，设O(x,y)，则OA2+OC2=(x2+y2)+(x-a)2+(
4、y-b)2OB2+OD2=(x-a)2+y2+x2+(y-b)2OA2+OC2=OB2+OD2四四.等和线等和线(1)(1)平面向量共线定理平面向量共线定理已知OA=OB+OC，若+=1，则A,B,C三点共线；反之亦然。(2)(2)等和线等和线平面内一组基底OA,OB 及任一向量OP，OP=OA+OB(,R)，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则+=k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。当等和线恰为直线AB时，k=1；当等和线在O点和直线AB之间时，k(0,1)；当直线AB在点O和等和线之间时，k(1,+)；当等和线过O点时，k=0；若两等和线关于
5、O点对称，则定值k互为相反数；【题型归纳目录】【题型归纳目录】题型一：三角不等式题型一：三角不等式题型二：定义法题型二：定义法题型三：基底法题型三：基底法题型四：几何意义法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型七：矩形大法题型八：等和线题型八：等和线【典型例题】【典型例题】题型一：三角不等式题型一：三角不等式例例1.1.(20222022 河南河南 洛宁县第一高级中学高一阶段练习洛宁县第一高级中学高一阶段练习)已知向量a,b,c满足|a|=2,|b|=1,|c-a-b|=1，若对任意c，(c-a)2+(c-b)211恒成立，则ab
6、的取值范围是_.例例2.2.(20222022 安徽省舒城中学三模安徽省舒城中学三模(理理)已知平面向量 e1，e2，a，e1=e2=1，若 a e1+e2 2，a e1-e2 1，则 a的最小值是_.例例3.3.(20222022 浙江湖州浙江湖州 模拟预测模拟预测)已知平面向量a,b,c满足|b|c|=1，若|3a-(b+c)|=|ab|c|，则-a2+2b2+c2的最小值是_例例4.4.(20222022 浙江浙江 模拟预测模拟预测)已知平面内两单位向量 e1,e2,e1,e2 =3，若 c满足 c e1-c e2=c2,ce1+ce2 12，则c2的最小值是_.例例5.5.(浙江省绍兴
7、市柯桥区浙江省绍兴市柯桥区 20222022 届高三下学期届高三下学期 5 5 月第二次适应性考试数学试题月第二次适应性考试数学试题)已知平面向量 a、b、c满足：a与b的夹角为23,c-a c-b=0,a+b=2，记M是 c-a-b的最大值，则M的最小值是_例例6.6.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知非零平面向量a,b满足 a+b=ab，则 a b的最小值是()A.4B.3C.2D.1例例7.7.(20222022 湖北湖北 华中师大一附中高一阶段练习华中师大一附中高一阶段练习)已知圆C的半径为 2，点A满足 AC=4，E，F分别是C上两个动点，且 EF=2 3，
8、则AE AF 的取值范围是()A.6，24B.4，22C.6，22D.4，24例例8.8.(20222022 浙江浙江 高三专题练习高三专题练习)已知平面向量a，b，c满足 a=c=12b=1，ab1若d=b+c，则ac+bd的最大值是_例例9.9.(20222022 全国全国 高一课时练习高一课时练习)已知在三角形ABC中，BC=4，AB=2 AC，则AB AC 的取值范围是()A.-329,32B.-329,32C.0,32D.0,32例例10.10.(20222022 全国全国 高一专题练习高一专题练习)已知 a=2，b=1，a与 b的夹角为 60，若向量 c满足 c-2a-4b=2 3
9、，则 c的取值范围是()A.4-2 3,4+2 3B.3,5 3C.2 3,6 3D.5-2 3,5+2 3例例11.11.(20222022 浙江宁波浙江宁波 高三期末高三期末)已知平面向量a，b，c，其中a，b是单位向量且满足ab=12，4c2-4ac-4bc=1，若c=xa+ybx,yR R，则x+y的最小值为_.例例12.12.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知向量 a，b是平面内的两个非零向量，则当 a+b+a-b取最大值时，a与b夹角为_题型二：定义法题型二：定义法例例13.13.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知向量a，b满足
10、a a=2，b=3，则 a+b+a-b的最大值为 _.例例14.14.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在ABC中，角B,C的边长分别为b,c，点O为ABC的外心，若b2+c2=2b，则BC AO 的取值范围是()A.-14,0B.0,2C.-14,+D.-14,2例例15.15.(20222022 江苏省江阴高级中学高三开学考试江苏省江阴高级中学高三开学考试)如图，正六边形ABCDEF的边长为2，动点M从顶点B出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点 F，若 FD AM 的最大值和最小值分别是 m，n，则 m+n=()A.9B.10C.11D.12例例16.16.(2022
11、2022 四川四川 成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测(理理)已知 OA=OB=2，点C在线段AB上，且 OC 的最小值为3，则 OA+tOB(tR R)的最小值为()A.2B.3C.2D.5例例17.17.(20222022 河南河南 平顶山市第一高级中学模拟预测平顶山市第一高级中学模拟预测(文文)已知A，B为圆O:x2+y2=4上的两动点，|AB|=2 3，点P是圆C:(x+3)2+(y-4)2=1上的一点，则|PA+PB|的最小值是()A.2B.4C.6D.8例例18.18.(20222022 黑龙江黑龙江 哈九中二模哈九中二模(理理)窗的运用是
12、中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等已知圆O是某窗的平面图，O为圆心，点A在圆O的圆周上，点P是圆O内部一点，若 OA=2，且OA AP=-2，则 OA+OP 的最小值是()A.3B.4C.9D.16例例19.19.(20222022 全国全国 三模三模(理理)已知平面向量a，b，c均为单位向量，且 a-b=1，a-2b a-c的取值范围是()A.-3,3B.-2,2C.-7,7D.-3,3题型三：基底法题型三：基底法例例20.20.(20222022 天津河
13、北天津河北 二模二模)已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD=120，点 E，F分在边 BC，CD 上，BE=BC，DF=DC 若+=23，则AE AF 的最小值为_例例21.21.(20222022 山西省长治市第二中学校高三阶段练习山西省长治市第二中学校高三阶段练习(理理)菱形ABCD中，AB=1,A3,2，点 E是线段AD上的动点(包括端点)，则ED EB 的最小值为_.例例22.22.(20222022 全国全国 高一高一)在矩形ABCD中，AB=2BC=2，动点M在以点C为圆心且与BD相切的圆上，则AM BD 的取值范围为()A.-5,-1B.-5,1C.-3+5,-1D.-3+5
14、,3-5例例23.23.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足AN=AB+AC，则2+2的最小值为()A.116B.14C.18D.1例例24.24.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知在 ABC 中，AB=AC=2，BC=3，点 E 是边 BC 上的动点，则当EA EB 取得最小值时，EA=()A.374B.372C.102D.142例例25.25.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图，已知两个模都为 10的向量 OA,OB，它们的夹角为2，点 C 在以 O为圆心，10为半
15、径的AB上运动，则CA CB 的最小值为()A.100-100 2B.-100C.100 2-100D.-100 2例例26.26.(20222022 吉林长春吉林长春 模拟预测模拟预测(理理)已知ABC中，A=3，AC=2，AB=5，点P为边AB上的动点，则PB PC 的最小值为()A.-4B.-2C.2D.4例例27.27.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在凸四边形ABCD中，AB=BC=2，ABC=120，且ACD为等边三角形，若点E在四边形ABCD上运动，则EB ED 的最小值是()A.-4B.-3C.-1D.3题型四：几何意义法题型四：几何意义法例例28.28
16、.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习(理理)已知平面向量a，b，c满足ab=-3，a-b=4，c-a与c-b的夹角为3，则 c-a-b的最大值为_例例29.29.(20222022 上海市建平中学高一阶段练习上海市建平中学高一阶段练习)已知平面向量 0,满足=2，且 与-的夹角为135，则 的取值范围是_.例例30.30.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在平面内，若有|a|=ab=1,b=2，(c-a)(2c-a-b)=0，则cb的最大值为_例例31.31.(20222022 北京朝阳北京朝阳 高三期末高三期末)已知平面向量 a，b满足 a=2，a与
17、 a-b的夹角为 120，记 m=ta+1-tbtR，m的取值范围为()A.3,+B.2,+C.1,+D.12,+例例32.32.(20222022 江苏江苏 高二高二)飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们在酒吧日常休闲的必备活动某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖，该十字飞镖由四个全等的四边形拼成在四边形ABCO中，OAOC，OA=OC=4，ACBC，AC=BC，点P是八边形ABCDEFGH内(不含边界)一点，则OA AP 的取值范围是()A.(-16,48)B.(-48,16)C.(-16 5,48 5)D.(-48 5,16 5)例例33.33.(2022202
18、2 湖南湖南 模拟预测模拟预测)已知直线l与圆O：x2+y2=9相交于不同两点P，Q，点M为线段PQ的中点，若平面上一动点C满足CP=CQ 0，则OC OM 的取值范围是()A.0,3B.0,3 2C.0,9D.0,6 2例例34.34.(20222022 浙江绍兴浙江绍兴 高三期末高三期末)已知MN为圆C：x2+y2-2x-4y=0上长度为4的动弦，点P是直线l：x-y+3=0上的动点，则|NP+MP|的最小值为()A.2 2-2B.2 2C.2 2+2D.2 2-5例例35.35.(20222022 福建厦门福建厦门 高三阶段练习高三阶段练习)平面四边形 ABCD 中，AB=1，AC=3，
19、AC AB，ADC=23，则AD AB 的最小值为()A.-3B.-1C.-32D.-12例例36.36.(20222022 安徽安徽 合肥一六八中学模拟预测合肥一六八中学模拟预测(理理)已知ABC的外接圆半径长为1，则AB AC 的最小值为()A.-1B.-12C.-13D.-14例例37.37.(20222022 北京工业大学附属中学三模北京工业大学附属中学三模)已知向量 a,b满足 b=2，a与 b的夹角为 60，则当实数 变化时，|b-a|的最小值为()A.3B.2C.10D.2 3例例38.38.(20222022 内蒙古内蒙古 海拉尔第二中学高三期末海拉尔第二中学高三期末(理理)已
20、知平面向量a、bab满足 a=1，且a与b-a的夹角为150，若c=1-ta+tbtR，则 c的最小值为()A.1B.14C.12D.32例例39.39.(20222022 江苏江苏 高二高二)如图，已知四边形 ABCD 为直角梯形，AB BC，AB DC，AB=1，AD=3，BAD=23，设点P为直角梯形ABCD内一点(不包含边界)，则AB AP 的取值范围是()A.-32,1B.-32,1C.0,32D.0,32例例40.40.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知两个不相等的非零向量a,b，满足 a=1，且a与b-a的夹角为60，则 b的取值范围是()A.0，32B
21、.32，1 C.32，+D.(1，+)题型五：坐标法题型五：坐标法例例41.41.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知向量a，b满足 2a+b=3，b=1，则 a+2 a+b的最大值为_.例例42.42.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知 a,b是平面上的单位向量，则 a-2b+a+b的最大值是 _.例例43.43.(20222022 浙江浙江 效实中学模拟预测效实中学模拟预测)已知平面向量a,b,c满足 a=1，b-2a=b=2，c-bb=0，则c+a+c-a的最小值为_.例例44.44.(20222022 江苏江苏 阜宁县东沟中学模拟预测阜
22、宁县东沟中学模拟预测)已知半径为 1 的圆 O 上有三个动点 A，B，C，且 AB=2，则 AC BC 的最小值为 _例例45.45.(四川省泸县第四中学四川省泸县第四中学 20222022 届高三下学期高考适应性考试数学届高三下学期高考适应性考试数学(理理)试题试题)已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足 a-c b-2c=0，则 c的最大值是_例例46.46.(20222022 北京市第十二中学三模北京市第十二中学三模)ABC为等边三角形，且边长为2，则AB 与BC 的夹角大小为120，若BD=1，CE=EA，则AD BE 的最小值为_.例例47.47.(江苏省泰州市江苏省
23、泰州市 20222022 届高三下学期第四次调研测试数学试题届高三下学期第四次调研测试数学试题)平面向量 a,b,c满足 a=1,b=2，a与b的夹角为60，且 c-2a c-b=0则|c|的最小值是_例例48.48.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)点 M 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内或边界上一动点，则 AB AM 的最大值与最小值之差为()A.2B.4C.6D.8例例49.49.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3，M，N分别为线段BC，DC上的动点，且MN=2，则AM AN 的最小值为()A
24、.25-7 2B.15C.16D.17例例50.50.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图，在平面四边形 ABCD 中，AB BC,AD CD,BAD=120,AB=AD=2.若点E为边CD上的动点，则AE BE 的最小值为()A.78B.2C.218D.214例例51.51.(20222022 四川四川 成都七中模拟预测成都七中模拟预测(理理)在等腰梯形ABCD中，ABDC,AB=2BC=2CD=2,P是腰AD上的动点，则|2PB-PC|的最小值为()A.7B.3C.3 32D.274例例52.52.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知 ABC
25、是边长为 2的正三角形，点 M为ABC所在平面内的一点，且 AB AM AC AM=2，则AM长度的最小值为()A.64B.63C.62D.6例例53.53.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)等边ABC的面积为9 3，且ABC的内心为M，若平面内的点 N满足MN=1，则NA NB 的最小值为()A.-5-2 3B.-5-4 3C.-6-2 3D.-6-4 3例例54.54.(20222022 辽宁沈阳辽宁沈阳 一模一模)如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=1，BC=2，P是线段AB上的动点，则 PC+4PD 的最小值为()A.3 5B.6C.2 5D.4
26、例例55.55.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知 ABCD 是边长为 2 的正方形，P 为平面 ABCD 内一点，则PA+PB PC 的最小值是()A.-2B.-52C.-3D.-4例例56.56.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)四叶回旋镖可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，AB=4，CD=2，A=45，M 为线段 HL 上一动点，则 AF GM 的最小值为()A.-8B.-16C.-24D.-32例例57.57.(20222022 四川四川 射洪中学模拟预测射洪中学模拟预测(文文)ABC是等腰直角三角形，AB=BC=4，CD=
27、12(CA+CB)，AE=xAD+yAC，其中2x+y=1，则EA EB 的最小值是()A.-209B.-8425C.-3D.-4例例58.58.(20222022 山东潍坊山东潍坊 模拟预测模拟预测)折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中AOB=120，OA=2OC=2，点 E在弧CD上，则EA EB 的最小值是()A.-1B.1C.-3D.3例例59.59.(20222022 湖南湖南 临澧县第一中学高三阶段练习临澧县第一中学高三阶段练习)在 ABC 中，AB=1，AC=2，BAC=60，P 是ABC的外
28、接圆上的一点，若AP=mAB+nAC，则m+n的最小值是()A.-1B.-12C.-13D.-16例例60.60.(20222022 山西山西 二模二模(理理)在菱形 ABCD 中，AB=AC=2，点 P 在菱形 ABCD 所在平面内，则PA+PB PC 的最小值为()A.-3B.-3C.-32D.-74例例61.61.(20222022 陕西陕西 西安中学模拟预测西安中学模拟预测(文文)在直角三角形ABC中，ABC=90,AB=6,BC=2 3，点MN是线段AC上的动点，且 MN=2，则BM BN 的最小值为()A.12B.8C.6 3D.6例例62.62.(20222022 广东惠州广东惠
29、州 高三阶段练习高三阶段练习)已知平面向量a，b，c满足 a=b=ab=2，且 b-c 3b-c=0，则 c-a最小值为()A.2 2+1B.3 3-3C.7-1D.2 3-2例例63.63.(20222022 山东山东 胜利一中模拟预测胜利一中模拟预测)已知e1,e2为单位向量，满足 e1-e2=2e1-a=1，则 a-e2的最小值为()A.3-1B.3C.7-1D.7例例64.64.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习(文文)已知梯形ABCD 中，ADBC，B=3，AB=2，BC=4，AD=1，点P，Q在线段BC上移动，且PQ=1，则DP DQ 的最小值为()A.1B.1
30、12C.132D.114例例65.65.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图，已知两个单位向量OA，OB，且它们的夹角为3，点C在以O为圆心，1为半径的AB上运动，则CA CB 的最小值为()A.32-3B.0C.32-32D.-32例例66.66.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)骑行是目前很流行的一种绿色健身和环保出行方式，骑行属于全身性有氧活动能有效地锻炼大脑心脏等人体器官机能，它带给人们的不仅是简单的身体上的运动锻炼，更是心灵上的释放.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆 A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为3，ABE，BEC，EC
31、D均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，AC BP 的最小值为()A.4 3B.12C.12 3D.24题型六：极化恒等式题型六：极化恒等式例例67.67.(20222022 山东师范大学附中模拟预测山东师范大学附中模拟预测)边长为 1 的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点 P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PM PN 的取值范围是_.例例68.68.(20222022 湖北省仙桃中学模拟预测湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形 ABCD 中，EF 是 CD 边上长为6 的可移动的线段，AD=4，AB=8 3，BC=12，则BE BF
32、 的取值范围为 _.例例69.69.(20222022 全国全国 高一高一)设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=14AB，且对于边AB上任一点P，恒有PB PC P0B P0C，则三角形ABC形状为_.例例70.70.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知直线 l:y=x+2a 与圆 C:x-a2+y2=r2r0相切于点M-1,y0，设直线l与x轴的交点为A，点P为圆C上的动点，则PA PM 的最大值为_例例71.71.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以 MN 为
33、边作等边 PMN，使得点 A，P 位于直线 MN 的两侧，则 PN PB 的最小值为_例例72.72.(20222022 陕西榆林陕西榆林 三模三模(文文)四边形ABCD为菱形，BAC=30，AB=6，P是菱形ABCD所在平面的任意一点，则PA PC 的最小值为_.例例73.73.(20222022 重庆八中模拟预测重庆八中模拟预测)ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，PQ为ABC内切圆的一条直径，M为ABC边上的动点，则MP MQ 的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9例例74.74.(20222022 江苏江苏 苏州市相城区陆慕高级中学高一阶段练习苏州市相城区陆慕高级
34、中学高一阶段练习)半径为2的圆O上有三点A,B,C满足OA+AB+AC=0，点P是圆内一点，则PA PO+PB PC 的取值范围为()A.-4,14B.-4,14C.-4,4D.-4,4例例75.75.(20222022 黑龙江黑龙江 佳木斯一中高二期中佳木斯一中高二期中)已知P为椭圆x225+y224=1上任意一点，EF 为圆N:(x-1)2+y2=4任意一条直径，则PE PF 的取值范围为()A.8，12B.12,20C.12,32D.32,40例例76.76.(20222022 四川凉山四川凉山 三模三模(理理)已知下图中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为
35、2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则PM PN 的取值范围是()A.11,16B.11,15C.12,15D.11,14例例77.77.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图，在ABC中,ABC=90,AB=2,BC=2 3，M点是线段AC上一动点.若以M为圆心半径为1的圆与线段AC交于P,Q两点，则BP BQ 的最小值为()A.1B.2C.3D.4例例78.78.(20222022 福建莆田福建莆田 模拟预测模拟预测)已知P是边长为4的正三角形ABC所在平面内一点，且AP=AB+(2-2)AC(R R)，则PA PC 的最小值为()A.16B.12C.5
36、D.4例例79.79.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知直线l：x+y-1=0与圆C：x-a2+y+a-12=1交于A，B两点，O为坐标原点，则OA OB 的最小值为()A.-12B.22C.2D.12例例80.80.(20222022 北京北京 人大附中模拟预测人大附中模拟预测)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花图2中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆 O 的半径为 2，圆 O 的直径 MN CD，点 P 在正六边形的边上运动，则PM PN 的最小值为()A.5B.6
37、C.7D.8例例81.81.(20222022 江西江西 二模二模(理理)已知ABC是面积为4 3 的等边三角形，且AD=xAB+yAC，其中实数x，y满足x+y2=1，则DA DC 的最小值为()A.4B.5C.6D.7题型七：矩形大法题型七：矩形大法例例82.82.(贵州省贵阳市第一中学贵州省贵阳市第一中学20222022届高三上学期高考适应性月考卷届高三上学期高考适应性月考卷(三三)数学数学(文文)试题试题)已知平面向量a，b，c，满足 a=b=ab=2，且 a-2c b-c=0，则 a-c的最小值为()A.3-12B.7-32C.32D.72例例83.83.(北京市人大附中朝阳学校北京
38、市人大附中朝阳学校 20192019-20202020 学年度高一下学期期末模拟数学试题学年度高一下学期期末模拟数学试题(1 1)设向量 a，b，c满足|a|=|b|=1，ab=12，(a-c)(b-c)=0，则|c|的最小值是()A.3+12B.3-12C.3D.1例例84.84.(四川省资阳市四川省资阳市 20212021-20222022 学年高三第一次诊断考试数学学年高三第一次诊断考试数学(理理)试题试题)已知 e为单位向量，向量 a满足：a-e a-5e=0，则 a+e的最大值为()A.4B.5C.6D.7题型八：等和线题型八：等和线例例85.85.(20222022 全国全国 高三
39、专题练习高三专题练习)在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足2AM+AN=1，设AC=xAM+yAN，则2x+3y的最小值为()A.48B.49C.50D.51例例86.86.(20222022 山东烟台山东烟台 三模三模)如图，边长为 2 的等边三角形的外接圆为圆 O，P 为圆 O 上任一点，若 AP=xAB+yAC，则2x+2y的最大值为()A.83B.2C.43D.1例例87.87.(20222022 全国全国 高一期末高一期末)在 ABC 中，M 为 BC 边上任意一点，N 为线段 AM 上任意一点，若 AN=AB+AC(，R R)，则+的取值范围
40、是()A.0,13B.13,12C.0,1D.1,2例例88.88.(20222022 江苏江苏 高二高二)如图，已知点P在由射线OD、线段OA，线段BA的延长线所围成的平面区域内(包括边界)，且OD与BA平行，若OP=xOB+yOA，当x=-12时，y的取值范围是()A.0,1B.-12,1C.-12,32D.12,32例例89.89.(20222022 宁夏宁夏 银川一中一模银川一中一模(文文)在直角ABC中，ABAC，AB=AC=2，以BC为直径的半圆上有一点M(包括端点)，若AM=AB+AC，则+的最大值为()A.4B.3C.2D.2例例90.90.(20222022 上海上海 高三专
41、题练习高三专题练习)已知ABC的外接圆圆心为O，A=120，若AO=xAB+yAC(x，yR R)，则x+y的最小值为()A.12B.23C.32D.2例例91.91.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知O是ABC内一点，且OA+OB+OC=0，点M在OBC内(不含边界)，若AM=AB+AC，则+2的取值范围是A.1,52B.1,2C.23,1D.12,1例例92.92.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若AP=AB+AD，则+的最大值为A.3B.2 2C.5D.2例例93
42、.93.(20222022 四川绵阳四川绵阳 高一期中高一期中)在扇形 OAB 中，AOB=60，C 为弧 AB 上的一动点，若 OC=xOA+yOB，则3x+y的取值范围是_例例94.94.(20222022 上海上海 模拟预测模拟预测)在直角ABC中，A为直角，AB=1,AC=2，M是ABC内一点，且AM=12，若AM=AB+AC，则2+3的最大值为_例例95.95.(20222022 山东菏泽山东菏泽 高一期中高一期中)如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段 CD(含端点)上运动，P 是圆 Q上及其内部的动点，设向量 AP=mAB+nAF(m，n 为实数
43、)，则m+n的最大值为_例例96.96.(20222022 全国全国 高一期末高一期末)如图，扇形的半径为1，且OA OB=0，点C在弧AB上运动，若OC=xOA+yOB，则2x+y的最大值是_.最全归纳平面向量中的范围与最值问题最全归纳平面向量中的范围与最值问题【考点预测】【考点预测】一平面向量范围与最值问题常用方法：一平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步:得出结论(2)坐标法坐标法第一步:根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步:将平面向量的运算坐标化第三步:运
44、用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法几何意义法第一步:先确定向量所表达的点的轨迹第二步:根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果二极化恒等式二极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)证明：不妨设AB=a,AD=b，则AC=a+b，DB=a-bAC 2=AC 2
45、=a+b2=a2+2ab+b2DB 2=DB2=a-b2=a2-2ab+b2两式相加得：AC 2+DB 2=2 a2+b2=2 AB 2+AD 2(2)极化恒等式：极化恒等式：上面两式相减，得：14a+b2-a-b2-极化恒等式平行四边形模式：ab=14AC2-DB2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.三角形模式：ab=AM2-14DB2(M为BD的中点)三三.矩形大法矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点 O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：OA2+OC2=OB2+OD2。【证明】(坐标法)设A
46、B=a,AD=b，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy，则B(a,0),D(0,b),C(a,b)，设O(x,y)，则OA2+OC2=(x2+y2)+(x-a)2+(y-b)2OB2+OD2=(x-a)2+y2+x2+(y-b)2OA2+OC2=OB2+OD2四四.等和线等和线(1)(1)平面向量共线定理平面向量共线定理已知OA=OB+OC，若+=1，则A,B,C三点共线；反之亦然。(2)(2)等和线等和线平面内一组基底OA,OB 及任一向量OP，OP=OA+OB(,R)，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则+=k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为
47、等和线。当等和线恰为直线AB时，k=1；当等和线在O点和直线AB之间时，k(0,1)；当直线AB在点O和等和线之间时，k(1,+)；当等和线过O点时，k=0；若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；【题型归纳目录】【题型归纳目录】题型一：三角不等式题型一：三角不等式题型二：定义法题型二：定义法题型三：基底法题型三：基底法题型四：几何意义法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型七：矩形大法题型八：等和线题型八：等和线【典型例题】【典型例题】题型一：三角不等式题型一：三角不等式例例1.1.(20222022 河南河南 洛宁县第一高
48、级中学高一阶段练习洛宁县第一高级中学高一阶段练习)已知向量a,b,c满足|a|=2,|b|=1,|c-a-b|=1，若对任意c，(c-a)2+(c-b)211恒成立，则ab的取值范围是_.【答案】-2,-12【解析】由条件可得S=c-a2+c-b2=1+c2-2ab，由向量性质可得 c-a+b|c-a-b|c+a+b，从而 a+b-1 c1+a+b，然后代入结合ab-a b可得出答案.【详解】解析：因为 c-a2+c-b2-c-a-b2=c2-2ab，则S=c-a2+c-b2=1+c2-2ab，因为 a+b 1,3，由 c-a+b|c-a-b|=c-a+b c+a+b，由1=c-a+b c+a
49、+b，即 c1-a+b，由 a+b 1,3，则 c1-a+b恒成立.由 c-a+b c-a+b=1,即 a+b-1 c1+a+b则Smax=1+(|a+b|+1)2-2ab=1+a2+b2+1+2a2+b2+2ab=7+25+2ab11，解得ab-12，又ab-a b=-2所以ab-2,-12.故答案为：-2,-12例例2.2.(20222022 安徽省舒城中学三模安徽省舒城中学三模(理理)已知平面向量 e1，e2，a，e1=e2=1，若 a e1+e2 2，a e1-e2 1，则 a的最小值是_.【答案】32#1.5【解析】令u=e1+e2，v=e1-e2，即可得到uv且|u|2+|v|2=
50、4，令u=(2cos,0)，v=(0,2sin)，|a|=r，a=(rsin,rcos)，根据数量积的坐标表示及三角不等式计算可得；【详解】解：令u=e1+e2，v=e1-e2，则uv=e1 2-e2 2=0，故uv，且|u|2+|v|2=2(|e1|2+|e2|2)=4，令u=(2cos,0)，v=(0,2sin)，|a|=r，a=(rsin,rcos)，所以根据已知条件有au=2r cossin2av=2r sincos1，所以2r2r cossin+2r sincos3，即r32，当且仅当sin=33，=2-，r=32时等号成立，所以|a|的最小值是32故答案为：32例例3.3.(202