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1、1三角函数三角函数的取值范围及解三角形中的范围与最值问题的取值范围及解三角形中的范围与最值问题命题预测三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度高频考法(1)取值与范围问题取值与范围问题(2)面积与周长的最值与范围问题面积与周长的最值与范围问题(3)长度的范围与最值问题长度的范围与最值问题0101取值与范围问题取值与范围问题1、f(x)=Asin(x+)在f(x)=Asin(x+)区间(a，b)内没有零点b-aT2ka+kkb+k b-aT2ak-b+k-同理，f(x)=Asin(x+)在区间a，b内
2、没有零点b-aT2ka+kkb+k b-ak-b+k-2、f(x)=Asin(x+)在区间(a，b)内有3个零点T b-a2Tka+k3+kb+4+k T b-a2Tk-a(k+1)-(k+3)-b(k+4)-同理f(x)=Asin(x+)在区间a，b内有2个零点T2 b-a3T2ka+k2+kb+3+k T2 b-a3T2k-ak+-(k+2)-b(k+3)-3、f(x)=Asin(x+)在区间(a，b)内有n个零点2025高考数学专项三角函数的取值范围及解三角形中的范围与最值问题2(n-1)T2 b-a(n+1)T2k-ak+-(k+n)-b(k+n+1)-同理f(x)=Asin(x+)在
3、区间a，b内有n个零点(n-1)T2 b-a(n+1)T2k-ak+-(k+n)-b0)在区间-4,23上单调递增，则的最大值为()A.14B.12C.1211D.832(2024四川泸州三模)已知函数 f x=sin x-23(0)在 0,有且仅有三个零点，则的取值范围是()A.83,113B.83,113C.53,83D.53,833(2024四川德阳二模)已知函数 f x=sin x+(0,R R)在区间712,56上单调，且满足f712=-f34给出下列结论，其中正确结论的个数是()f23=0；若 f56-x=f x，则函数 f x的最小正周期为；关于x的方程 f x=1在区间 0,2
4、上最多有3个不相等的实数解；若函数 f x在区间23,136上恰有5个零点，则的取值范围为83,103A.1B.2C.3D.44(2024江苏泰州模拟预测)设函数 f x=2sin x-6-1 0在,2上至少有两个不同零点，则实数的取值范围是()A.32,+B.32,7352,+3C.136,3196,+D.12,+0202面积与周长的最值与范围问题面积与周长的最值与范围问题正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值1(2024青海模拟预测)已知
5、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acos2B+2bcosAcosB=c(1)求B；(2)若b=4，ABC的面积为S周长为L，求SL的最大值2(2024陕西汉中二模)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：(注：如果选择条件和条件分别作答，按第一个解答计分)记ABC的面积为S，且3AB AC=2S；已知asinB=bcos A-6(1)求角A的大小；(2)若ABC为锐角三角形，且a=6，求ABC周长的取值范围43(2024宁夏银川二模)已知平面四边形ABCD中，A+C=180,BC=3.(1)若AB=6,AD=3,CD=4，求BD；(2
6、)若ABC=120,ABC的面积为9 32，求四边形ABCD周长的取值范围.4(2024四川德阳二模)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinB=2 3cos2A+C2.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c=1，求ABC面积的取值范围.50303长度的范围与最值问题长度的范围与最值问题对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围1(2024贵州遵义一模)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3b-asinC=3
7、acosC(1)求A；(2)若ABC为锐角三角形，c=2，求b的取值范围2(2024宁夏固原一模)在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且2sinBsinC+cos2C=1+cos2A-cos2B(1)求证：B+C=2A；(2)求c-ba的取值范围63(2024河北衡水一模)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足ABBD,BD=2，且a2=-2 33S+abcosC.(1)求角B；(2)求2AD+1CD的取值范围.4(2024陕西安康模拟预测)已知锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=8，ac=1+si
8、n2A-sin2Csin2B，且ac(1)求证：B=2C；(2)已知点M在线段AC上，且ABM=CBM，求BM的取值范围71在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，A=60，则b的取值范围是()A.0,6B.0,2 3C.3,2 3D.3,62已知函数 f(x)=sin(x+)(0)，现有如下说法：若=3，函数 f(x)在6,3上有最小值，无最大值，且 f6=f3，则=5；若直线x=4为函数 f(x)图象的一条对称轴，53,0为函数 f(x)图象的一个对称中心，且 f(x)在4,56上单调递减，则的最大值为1817；若 f(x)=12在x4,34上至少有2个解，至多有3个
9、解，则 4,163；则正确的个数为()A.0B.1C.2D.33设函数 f x=sin2x-cos2x+2 3sinxcosx 0，当x 0,2时，方程 f x=2有且只有两个不相等的实数解，则的取值范围是()A.73,133B.73,133C.83,143D.83,1434将函数 f x=sinx-cosx(0)的图象向左平移4个单位长度后，再把横坐标缩短为原来的一半，得到函数g x的图象若点2,0是g x图象的一个对称中心，则的最小值是()A.45B.12C.15D.565已知函数 f(x)=sin x+6(0)，若将 f(x)的图象向左平移3个单位后所得的函数图象与曲线y=f(x)关于x
10、=3对称，则的最小值为()A.23B.13C.1D.126(多选题)ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为ABC的面积，且a=2，AB AC=2 3S，下列选项正确的是()A.A=6B.若b=2，则ABC只有一解C.若ABC为锐角三角形，则b取值范围是 2 3,48D.若D为BC边上的中点，则AD的最大值为2+37已知函数 f x=12+3sinxcosx-cos2x 0，若 f x的图象在 0,上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是8已知函数 f x=sinx 0，若x1,x23,，f x1=-1，f x2=1，则实数的取值范围是.9已知函数 f x=sin x+0满足 f x
11、f12，且 f x在区间-3,3上恰有两个最值，则实数的取值范围为10已知函数 f(x)=-sin x-4(0)在区间3,上单调递减，则的取值范围是.11若函数 f x=cos x-60在区间3,23内单调递减，则的最大值为12已知函数 f(x)=4sinx,g(x)=4cos x-3+b(0)，且x1,x2R R,|f(x1)-g(x2)|8，将f(x)=4sinx的图象向右平移3个单位长度后，与函数g(x)的图象相邻的三个交点依次为A，B，C，且BA BC 0的最小正周期为4.(1)求 f x在 0,上的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 2
12、a-ccosB=bcosC,求 f A的取值范围.1122已知在ABC中，1-cosA2-sinA=0，(1)求A；(2)若点D是边BC上一点，BD=2DC，ABC的面积为3，求AD的最小值.23在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足2sin A+CcosA-sinCcosA=sinAcosC(1)求角A；(2)若点D在线段BC上，且满足BD=3DC,AD=3，求ABC面积的最大值24已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，向量m=a+b,c,n=sinA-sinC,sinA-sinB，且mn(1)求B；(2)求b2a2+c2的最小值1225已知ABC为钝角三角形，
13、它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin2C=sin2B+sin3+Bcos6+B，ac，bc(1)求tan(A+B)的值；(2)若ABC的面积为12 3，求c的最小值1三角函数三角函数的取值范围及解三角形中的范围与最值问题的取值范围及解三角形中的范围与最值问题命题预测三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度高频考法(1)取值与范围问题取值与范围问题(2)面积与周长的最值与范围问题面积与周长的最值与范围问题(3)长度的范围与最值问题长度的范围与最值问题0101取值与范围问题取值与范围
14、问题1、f(x)=Asin(x+)在f(x)=Asin(x+)区间(a，b)内没有零点b-aT2ka+kkb+k b-aT2ak-b+k-同理，f(x)=Asin(x+)在区间a，b内没有零点b-aT2ka+kkb+k b-ak-b+k-2、f(x)=Asin(x+)在区间(a，b)内有3个零点T b-a2Tka+k3+kb+4+k T b-a2Tk-a(k+1)-(k+3)-b(k+4)-同理f(x)=Asin(x+)在区间a，b内有2个零点T2 b-a3T2ka+k2+kb+3+k T2 b-a3T2k-ak+-(k+2)-b(k+3)-3、f(x)=Asin(x+)在区间(a，b)内有n
15、个零点2(n-1)T2 b-a(n+1)T2k-ak+-(k+n)-b(k+n+1)-同理f(x)=Asin(x+)在区间a，b内有n个零点(n-1)T2 b-a(n+1)T2k-ak+-(k+n)-b0)在区间-4,23上单调递增，则的最大值为()A.14B.12C.1211D.83【答案】B【解析】因为y=3sinx+cosx=2sin x+6，又0，由-2+2kx+62+2k,kZ，得到-23+2kx3+2k,kZ，所以函数y=3sinx+cosx的单调增区间为-23+2k,3+2k(kZ)，依题有-4,23-23+2k,3+2k(kZ)，则233-23-4，得到00)在 0,有且仅有三
16、个零点，则的取值范围是()A.83,113B.83,113C.53,83D.53,83【答案】B【解析】因为0 x，所以-23x-23-23，因为函数 f x=sin x-23(0)在 0,有且仅有三个零点，3结合正弦函数的图象可知2-233，解得830,R R)在区间712,56上单调，且满足f712=-f34给出下列结论，其中正确结论的个数是()f23=0；若 f56-x=f x，则函数 f x的最小正周期为；关于x的方程 f x=1在区间 0,2上最多有3个不相等的实数解；若函数 f x在区间23,136上恰有5个零点，则的取值范围为83,103A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】
17、因为 f712=-f34且712+342=23，所以 f23=0.正确.因为 f56-x=f(x)所以 f(x)的对称轴为x=562=512,23-512=4=T4T=.正确.在一个周期内 f x=1只有一个实数解，函数 f x在区间712,56上单调且 f23=0，T456-23=23.当T=23时，f x=sin3x，f x=1在区间 0,2上实数解最多为6,56,32共3个.正确.函数 f x在区间23,136上恰有5个零点，2T136-235T222136-23522，解得830在,2上至少有两个不同零4点，则实数的取值范围是()A.32,+B.32,7352,+C.136,3196,
18、+D.12,+【答案】A【解析】令2sin x-6-1=0得sin x-6=12，因为0，所以x-6-6，令sinz=12，解得z=6+2k,kZ或z=56+2k1,k1Z，从小到大将sinz=12的正根写出如下：6，56，136，176，256，296，因为x,2，所以x-6-6,2-6，当-6 0,6，即16,13时，2-656，解得12，此时无解，当-66,56，即13,1时，2-6136，解得76，此时无解，当-656,136，即 1,73时，2-6176，解得32，故32,73，当-6136,176，即73,3时，2-6256，解得136，故73,3，当3时，2-6-6=3，此时 f
19、 x在,2上至少有两个不同零点，综上，的取值范围是32,+.故选：A0202面积与周长的最值与范围问题面积与周长的最值与范围问题正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值1(2024青海模拟预测)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acos2B+2bcosAcosB=c5(1)求B；(2)若b=4，ABC的面积为S周长为L，求SL的最大值【解析】(1)由正弦定理可得，2sinAcos2B+2sinBcosAcosB=sinC，所
20、以2sinAcos2B+2sinBcosAcosB=sinAcosB+cosAsinB,所以sinAcosB(2cosB-1)+cosAsinB(2cosB-1)=0，即(2cosB-1)sin(A+B)=0，由0A+B，可知sin(A+B)0，所以2cosB-1=0，即cosB=12，由0B，知B=3.(2)由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB，即16=a2+c2-ac，所以16=a+c2-3ac，即ac=13a+c2-16，因为S=12acsinB=34ac，L=a+b+c，所以SL=3ac4 a+c+4=3a+c2-1612 a+c+4，所以SL=312a+c-4，又aca+c
21、24(当且仅当a=c时取等号)，所以16=a+c2-3aca+c24(当且仅当a=c=4时取等号)，所以a+c8(当且仅当a=c=4时取等号)，所以SL=312a+c-4312 8-4=33(当且仅当a=c=4时取等号)，即SL的最大值为33.2(2024陕西汉中二模)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：(注：如果选择条件和条件分别作答，按第一个解答计分)记ABC的面积为S，且3AB AC=2S；已知asinB=bcos A-6(1)求角A的大小；(2)若ABC为锐角三角形，且a=6，求ABC周长的取值范围【解析】(1)选条件，由3AB AC=2S
22、，得3bccosA=212bcsinA，整理得tanA=3，而0A0，则sinA=cos A-6=32cosA+12sinA，整理得tanA=3，而0A，所以A=3.(2)由(1)知A=3，由正弦定理得bsinB=csinC=asinA=6sin3=2 2，因此b+c=2 2sinB+2 2sinC=2 2 sinB+sin3+B=2 232sinB+32cosB=2 6sin B+6由ABC为锐角三角形，得0B2023-B2，解得6B2，因此3B+623，则32sin B+61，于是3 2 b+c2 6，3 2+6 0,y0)，在ACD中，由余弦定理得3 72=x2+y2-2xycos60=
23、x+y2-3xy，则 x+y2=63+3xy63+3x+y22，得x+y2463，所以x+y6 7，当且仅当x=y=3 7 时取等号，又x+yAC=3 7，所以四边形ABCD周长的取值范围为 3 7+9,6 7+9.4(2024四川德阳二模)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinB=2 3cos2A+C2.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c=1，求ABC面积的取值范围.【解析】(1)因为ABC中，sinB=2 3cos2A+C2，即2sinB2cosB2=2 3cos2-B2=2 3sin2B2，而0B0，故cosB2=3sinB2，故tanB2=33，又0B,0B
24、22，则B2=6,B=3；(2)由(1)以及题设可得SABC=12acsinB=34a；由正弦定理得a=csinAsinC=csin23-CsinC=c sin23cosC-cos23sinCsinC=32cosC+12sinCsinC=32tanC+12，因为ABC为锐角三角形，0A2，0C2，则023-C2,6C33,01tanC3，则1232tanC+122，即12a2，则38SABC0，于是tanA=3，又0A，所以A=3.(2)由(1)知，A=3，由正弦定理得b=csinBsinC=2sin23-CsinC=3cosC+sinCsinC=3tanC+1，由ABC为锐角三角形，得0C2
25、023-C2，解得6C13，1tanC3,则1b4，所以b的取值范围是1b4.2(2024宁夏固原一模)在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且2sinBsinC+cos2C=1+cos2A-cos2B(1)求证：B+C=2A；(2)求c-ba的取值范围【解析】(1)因为2sinBsinC+cos2C=1+cos2A-cos2B，所以2sinBsinC+1-2sin2C=1+1-2sin2A-1+2sin2B，则sinBsinC-sin2C=-sin2A+sin2B，由正弦定理可得bc-c2=-a2+b2，即bc=b2+c2-a2，所以cosA=b2+c2-a22bc=bc2b
26、c=12，又A 0,2，故A=3，由A+B+C=，故B+C=-A=23=2A；(2)由(1)得sinA=32,cosA=12，因为sinB=sin A+C=sinAcosC+cosAsinC=32cosC+12sinC，所以由正弦定理得c-ba=sinC-sinBsinA=23sinC-32cosC-12sinC9=2312sinC-32cosC=23sin C-3，又锐角ABC中，有0C20-3-B2，解得6C2，所以-6C-36，则-12sin C-312，所以-3323sin C-333，即-3323sin C-333，故c-ba的取值范围为-33,33.3(2024河北衡水一模)在AB
27、C中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足ABBD,BD=2，且a2=-2 33S+abcosC.(1)求角B；(2)求2AD+1CD的取值范围.【解析】(1)a2=-2 33S+abcosC，a2=-33absinC+abcosC，即a=-33bsinC+bcosC，由正弦定理得，sinA=-33sinBsinC+sinBcosC，sin B+C=-33sinBsinC+sinBcosC，cosBsinC=-33sinBsinC，sinC0，tanB=-3，由0B，得B=23.(2)由(1)知，B=23，因为ABBD，所以ABD=2，DBC=6，在
28、BCD中，由正弦定理得DCsinDBC=BDsinC，即DC=2sin6sinC=1sinC，在RtABD中，AD=BDsinA=2sinA，2AD+1CD=22sinA+11sinC=sinA+sinC，ABC=23，A+C=3,102AD+1CD=sinA+sinC=sin3-C+sinC=sin3cosC-cos3sinC+sinC=sin C+3，0C3，C+33,23，sin C+332,1，所以2AD+1CD的取值范围为32,1.4(2024陕西安康模拟预测)已知锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=8，ac=1+sin2A-sin2Csin2B，且ac(1)
29、求证：B=2C；(2)已知点M在线段AC上，且ABM=CBM，求BM的取值范围【解析】(1)因为ac=1+sin2A-sin2Csin2B，即a-cc=sin2A-sin2Csin2B，由正弦定理可得a-cc=a2-c2b2=a+ca-cb2，又ac，即a-c0，所以1c=a+cb2，整理得b2=c2+ac，由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，整理得c=a-2ccosB，由正弦定理得sinC=sinA-2sinCcosB，故sinC=sin B+C-2sinCcosB，即sinC=sinBcosC+sinCcosB-2sinCcosB，整理得sinC=sin B-C，又因为ABC为锐
30、角三角形，则C 0,2,B 0,2，可得B-C-2,2，所以C=B-C，即B=2C.(2)因为点M在线段AC上，且ABM=CBM，即BM平分ABC，又B=2C，所以C=CBM，则BMC=-C-CBM=-2C，在MCB中，由正弦定理得BCsinBMC=BMsinC，所以BM=BCsinCsinBMC=8sinCsin2C=8sinC2sinCcosC=4cosC，因为ABC为锐角三角形，且B=2C，所以0C202C20-3C2，解得6C4.故22cosC32，所以8 33BM4 2.11因此线段BM长度的取值范围8 33,4 2.1在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，A
31、=60，则b的取值范围是()A.0,6B.0,2 3C.3,2 3D.3,6【答案】C【解析】由正弦定理得asinA=bsinB，即b=asinBsinA=3sinBsin60=2 3sinB，又ABC为锐角三角形，C=180-A-B=120-B，又0B,C90，则0120-B90，解得30B90，而当30 x0)，现有如下说法：若=3，函数 f(x)在6,3上有最小值，无最大值，且 f6=f3，则=5；若直线x=4为函数 f(x)图象的一条对称轴，53,0为函数 f(x)图象的一个对称中心，且 f(x)在4,56上单调递减，则的最大值为1817；若 f(x)=12在x4,34上至少有2个解，
32、至多有3个解，则 4,163；则正确的个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】对于，因为x=6+32=4时，f x有最小值，所以sin4+3=-1，12所以4+3=2k+32kZ，得到=8k+143kZ Z，因为 f x在区间6,3上有最小值，无最大值，所以3-4，即12，令k=0，得=143，故错误；对于，根据题意，有4+=2k1+2k1Z53+=k2 k2ZT2=56-4=712，得出=-12(2k1-k2)+617,k1,k2Z0127，即=-12k+617,kZ02,，解得 4,163，故正确，故选：C3设函数 f x=sin2x-cos2x+2 3sinxcosx 0，当
33、x 0,2时，方程 f x=2有且只有两个不相等的实数解，则的取值范围是()A.73,133B.73,133C.83,143D.83,143【答案】C【解析】由已知易知 f x=3sin2x-cos2x=2sin 2x-6，当x 0,2时2x-6-6,-6，所以要满足题意有52-60)的图象向左平移4个单位长度后，再把横坐标缩短为原来的一半，得到函数g x的图象若点2,0是g x图象的一个对称中心，则的最小值是()A.45B.12C.15D.56【答案】C【解析】由题意可得 f x=222sinx-22cosx=2sin x-4，13所以将 f x的图象向左平移4个单位长度后，得到函数h x=
34、2sin x+4-4=2sin x+4-4的图象，再把所得图象上点的横坐标缩短为原来的一半，得到函数 g x=2sin 2x+4-4的图象，因为点2,0是g x图象的一个对称中心，所以+4-4=k,kZ，解得=45k+15,kZ Z，又0，所以的最小值为15故选：C5已知函数 f(x)=sin x+6(0)，若将 f(x)的图象向左平移3个单位后所得的函数图象与曲线y=f(x)关于x=3对称，则的最小值为()A.23B.13C.1D.12【答案】A【解析】函数 f(x)=sin x+6，f(x)的图象向左平移3个单位后所得函数g(x)=sin x+3+6=sin x+3+6，函数y=g(x)的
35、图象与y=f(x)的图象关于直线x=3对称，则 f(x)=g23-x，于是sin x+6=sin 23-x+3+6对任意实数x恒成立，即sin x+6=sin-x+6=sin-x-+56=sin x-+56对任意实数x恒成立，因此-+56=6+2k,kZ，解得=-2k+23,kZ，而0，则kZ,k0，所以当k=0时，取得最小值23.故选：A6(多选题)ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为ABC的面积，且a=2，AB AC=2 3S，下列选项正确的是()A.A=6B.若b=2，则ABC只有一解C.若ABC为锐角三角形，则b取值范围是 2 3,4D.若D为BC边上的中点，则AD的最
36、大值为2+314【答案】ABD【解析】对于A，因为AB AC=2 3S，所以bccosA=2 3 12bcsinA，则tanA=33，因为A 0,，所以A=6，故A正确；对于B，因为b=2=a，则B=A=6，C=23，故ABC只有一解，故B正确；对于C，若ABC为锐角三角形，则B 0,2，C 0,2，则0B20-6-B2，则3B0，若 f x的图象在 0,上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是【答案】56,43【解析】因为 f x=12+3sinxcosx-cos2x=32sin2x-12cos2x=sin 2x-6，因为 f x的图象在 0,上有且仅有两条对称轴，所以322-652，解得560
37、，若x1,x23,，f x1=-1，f x2=1，则实数的取值范围是.【答案】=32或5215【解析】设=x，x3,，则3,，所以问题转化为y=sin在3,上存在最大值和最小值，由正弦函数图象可得，3k+2k+2+，解得k+323k+32，所以k0,kZ，当k=0时，3232，=32；当k=1时，52k92，当k=2时，72152，当k=3时，92212，当k=n，nN*时，n+323n+32，当k=n+1时，n+523n+92，而n+52-3n+32=-2n+10，即n+520满足 f x f12，且 f x在区间-3,3上恰有两个最值，则实数的取值范围为【答案】125,4【解析】因为 f
38、x f12，所以 f12=sin12+=-1，所以12+=2k+32，kZ Z，即=2k-12+32，kZ Z，所以 f x=sin x+2k-12+32=-cos x-12当-3x3时，-512 x-1240因为 f x在区间-3,3上恰有两个最值，且-5124，所以0-2-512-04，解得1250)在区间3,上单调递减，则的取值范围是.【答案】0,34【解析】当x3,时，3-4x-40，所以k=0，所以的取值范围为 0,34.故答案为：0,3411若函数 f x=cos x-60在区间3,23内单调递减，则的最大值为【答案】74【解析】由题得：12T23-303，令t=x-6t3-6,2
39、3-6，则y=cost在t3-6,23-6单调递减，故3-62k23-62k+6k+123k+74，由00)，且x1,x2R R,|f(x1)-g(x2)|8，将f(x)=4sinx的图象向右平移3个单位长度后，与函数g(x)的图象相邻的三个交点依次为A，B，C，且BA BC 0，则的取值范围是【答案】0,28【解析】依题意，函数 f(x)的值域为-4,4，g(x)的值域为b-4,b+4，17由x1,x2R R,f(x1)-g(x2)8，得|(b-4)-4|8，且|(b+4)-(-4)|8，解得b=0，g(x)=4cos x-3=4sin x+6，将 f(x)=4sinx的图象向右平移3个单位
40、长度后，得h(x)=4sin x-3=4sin x-3，在同一坐标系内作出函数y=g(x),y=h(x)的图象，观察图象知，|AC|=2，取AC中点D，连接BD，由对称性知|AB|=|BC|，BDAC，由BA BC 2，即ABD4，|AD|BD|，由h(x)=g(x)，得sin x-3=sin x+6，则x-3+x+6=+2k,kZ，解得x=712+k,kZ，于是y=4sin712+k-3=2 2，则|BD|=4 2，因此4 2，解得00，故a+4c=(a+4c)1a+1c2=2 5+4ca+ac2 5+24caac=18，当且仅当4ca=ac1a+1c=12，即a=6c=3 时取等号.所以a
41、+4c的最小值为18.故答案为：18.14在锐角ABC中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且2bsinA-3a=0.18(1)求角B；(2)求sinA+sinC的取值范围.【解析】(1)2bsinA-3a=0，2sinAsinB-3sinA=0，又A 0,2,sinA0，sinB=32,B 0,2，B=3.(2)由(1)可知，B=3，且ABC为锐角三角形，所以0A20C=23-A2，A6,2，则sinA+sinC=sinA+sin23-A=32sinA+32cosA=3sin A+6，因为3A+623，sinA+sinC32,3.15在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c
42、，且2bsinA-3a=0(1)求角B的大小；(2)求cosA+cosC的取值范围【解析】(1)因为2bsinA-3a=0，由正弦定理边化角得：2sinBsinA-3sinA=0，所以 2sinB-3sinA=0，由于在ABC中，sinA0，所以2sinB-3=0，即sinB=32，又0B2，所以B=3.(2)由(1)可知B=3，所以A+C=23，所以cosA+cosC=cosA+cos23-A=cosA+cos23cosA+sin23sinA=cosA-12cosA+32sinA=12cosA+32sinA=sin A+6由于在锐角ABC中，023-A20A2，所以6A2，所以3A+623，
43、所以sin3sin A+6sin2，所以32sin A+61，所以cosA+cosC的取值范围为32,1.16已知锐角ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b2+c2-(bcosC+ccosB)2=bc，(1)求角A的大小；19(2)如果该三角形外接圆的半径为3，求bc的取值范围【解析】(1)b2+c2-bcosC+ccosB2=bc，由余弦定理可得b2+c2-ba2+b2-c22ab+ca2+c2-b22ac2=bc，化简整理得b2+c2-a2=bc，又b2+c2-a2=2bccosA，cosA=12，又0A2，所以A=3.(2)因为三角形外接圆半径为R=3，所以b=2 3sin
44、B，c=2 3sinC，bc=12sinBsinC，由(1)得B+C=23，所以bc=12sinBsinC=12sinBsin23-B=12sinB32cosB+12sinB=6 3sinBcosB+6sin2B=3 3sin2B+3 1-cos2B=632sin2B-12cos2B+3=6sin 2B-6+3，因为ABC是锐角三角形，且B+C=23，所以6B2，62B-656，12sin 2B-61，66sin 2B-6+39，即6bc9.所以bc的取值范围为 6,9.17在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，cos2B-sin2B=-12(1)求角B，并计算sin B+6的值；(
45、2)若b=3，且ABC是锐角三角形，求a+2c的最大值【解析】(1)由cos2B+sin2B=1cos2B-sin2B=-12，得cos2B=14，则cosB=12，又0B，所以B=3或23.当B=3时，sin B+6=sin2=1；当B=23时，sin B+6=sin56=12.(2)若ABC为锐角三角形，则B=3，有0C20A=23-C2，解得6C2.20由正弦定理，得asinA=csinC=bsinB=332=2，则a=2sinA,c=2sinC，所以a+2c=2sinA+4sinC=2sin23-C+4sinC=232cosC+12sinC+4sinC=5sinC+3cosC=2 7s
46、in(C+)，其中tan=35，又tan=3533=tan6，所以06，则3C+124+1cos22524+1cos25，于是有sinADBsinB54，因此sinADBsinB的取值范围为54,+.19记锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sinBsinC+cos2C=1+cos2A-cos2B.(1)证明：B+C=2A；(2)求cb的取值范围.【解析】(1)证明：由2sinBsinC+cos2C=1+cos2A-cos2B，得2sinBsinC+1-2sin2C=1+1-2sin2A-1+2sin2B，即sinBsinC-sin2C=-sin2A+sin2B，由正弦定理
47、可得bc-c2=-a2+b2，即a2=b2+c2-bc，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，故cosA=12，又A 0,2，故A=3，由A+B+C=，故B+C=-A=23=2A；(2)由正弦定理可得：cb=sinCsinB=sin-A-BsinB=sin3+BsinB=12sinB+32cosBsinB=12+32tanB，又锐角ABC中，有0B2，0-3-B2，解得6B0的最小正周期为4.(1)求 f x在 0,上的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 2a-ccosB=bcosC,求 f A的取值范围.【解析】(1)f x=12-s
48、in2x+32sin2x=12-1-cos2x2+32sin2x=32sin2x+12cos2x=sin 2x+6.因为T=22=4,所以=14,故 f x=sin12x+6.由-2+2k12x+62+2k,kZ Z,解得4k-43x4k+23,kZ Z,当k=0时,-43x23,又x 0,23所以 f x在 0,上的单调递增区间为 0,23.(2)由 2a-ccosB=bcosC,得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,所以2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin B+C=sinA.因为sinA0,所以cosB=12,又B 0,所以B=3,又三角形为锐角三
49、角形，则0A2023-A2，则6A2，所以4A2+6512，又 f A=sinA2+6，sin512=sin4+6=sin4cos6+cos4sin6=2+64，则22sinA2+62+64，所以 f A的取值范围为22,2+64.22已知在ABC中，1-cosA2-sinA=0，(1)求A；(2)若点D是边BC上一点，BD=2DC，ABC的面积为3，求AD的最小值.【解析】(1)因为1-cosA2-sinA=0，所以sin2A2=sinA，因为0A20，则sinA2=2sinA2cosA2，故cosA2=12，所以A2=3，A=23，(2)因为BD=2DC，则BD=2DC，所以AD-AB=2
50、 AC-AD，故AD=13AB+23AC，因为ABC的面积为3，所以12bcsinA=3，所以bc=4|AD|2=13AB+23AC 2=19c2+49b2+49AB AC=19c2+49b2-29bc49bc-29bc=89上式当且仅当c=2b，即c=2 2，b=2 时取得“=”号，所以AD的最小值是2 23.23在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足2sin A+CcosA-sinCcosA=sinAcosC(1)求角A；24(2)若点D在线段BC上，且满足BD=3DC,AD=3，求ABC面积的最大值【解析】(1)由题意得2sinBcosA-sinCcosA=sinAco