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1、2023年中考数学高频考点突破二次函数与最值1如图，若是正数，直线与轴交于点；直线与轴交于点；抛物线的顶点为，且与轴右交点为(1)若，求的值，并求此时的对称轴与直线的交点坐标(2)当点在直线下方时，求点与直线距离的最大值(3)在和直线所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，请分别求出b=2022和b=2022.5时“美点”的个数2如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点抛物线经过点、(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)为抛物线第一象限内一点，使得面积最大，求面积的最大值及此时点的坐标；(3)当时，（1）中二次函数有最大值为，求的值3如图，在平面直角坐标系中
2、，抛物线与x轴相交于O，A两点，顶点为B(1)若点B的坐标为，求抛物线的解析式；(2)已知点，若抛物线与直线QB只有一个公共点，求的最大值；(3)若点P在抛物线上（不与点O，A，B重合），直线BP交y轴于点C，过点P作轴于D求证：4如图，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C（0，6），且顶点坐标为（4，2）直线xm分别交直线BC和抛物线于点E、P(1)求该抛物线的解析式及A、B两点坐标；(2)当0m6时，求BCP面积的最大值；(3)当BPE是等腰三角形时，直接写出m的值5如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为点是抛物线上一个动点，且在直
3、线的上方(1)求这个二次函数及直线的表达式(2)过点作轴交直线于点，求的最大值(3)点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由6如图1，直线y=-3x3分别交x，y轴于E，C两点，以直线DE为对称轴，点D为顶点的抛物线y=ax2bx3过C点，交x轴A，B两点，已知A的坐标为（1，0）(1)求B的坐标以及该抛物线的函数表达式；(2)在第一象限内点P（m，n）是抛物线对称轴右侧图像上的一个动点，连接PC，PE，PCE的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；(3)如图2，连结CD，BC，BD，过抛物线图像
4、上点M作MNx轴，在第一象限内是否存在M使得A，M，N构成的三角形与BCD相似，求M点的横坐标7如图，抛物线与x轴交于点，点，且过点，点P是抛物线上的动点(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线下方时，求面积的最大值；(3)若与抛物线的对称轴相交于点E，求线段的最小值8如图，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，其顶点为D，将该抛物线沿直线折叠后得到抛物线，折痕与抛物线交于点G，H两点(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2，当时，动点M，N在抛物线上，且位于直线l上方（点M在点N的左侧），过M，N分别作y轴的平行线交抛物线于点P，Q两点，当四边形MNPQ为矩形时，求该矩形周长的最大值；
5、(3)求当抛物线与直线BC恰好只有一个公共点时m的值；在的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，说明理由9如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DEx轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴交于点G、H，设点D的横坐标为m求DF+HF的最大值；连接EG，若GEH45时，求m的值10在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C.(1)求这个二次函数的解析式；(2)点P是直线上方的抛物线上一动点，设四边形
6、的面积为S，求S的最大值及S取得最大值时点P的坐标；(3)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q，为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出M的坐标；若不存在，说明理由.11如图，二次函数（）的图像经过点，点，点，连接AC（1）求二次函数的表达式；（2）点P是该二次函数（）图像上位于第一象限内的一点如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点D，求线段PD的最大值如图2，过点P作，交直线BC于点Q，若，求点P的坐标12如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2bxc与直线AB相交于A，B两点，其中A（3，4），B（0，1）（1）求该抛物线的函数表达式（2）点P为直线AB下方
7、抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求PAB面积的最大值（3）在二次函数的对称轴上找一点C，使得ABC是等腰三角形，求满足条件的点C的坐标13已知抛物线yax2+x+4的对称轴是直线x3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图，若点M是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N；设点M的横坐标为m，用含m的式子表示出MN的长，并求出MN的最大值及此时M点的坐标；过点M作MDMN，交抛物线于点D，是否存在点M使DMN为等腰直角三角形？若存在，求出点M的横坐标m的值；若不存在，说明
8、理由；（3）点E为x轴正半轴上一点，直接写出使ACE为等腰三角形的点E的坐标14已知二次函数：（1）该二次函数图像的对称轴是_，它恒经过两个定点的坐标为_；（2）在直角坐标系中，点、点，若此二次函数的图像与线段恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围（3）若该二次函数的最大值为4求二次函数的表达式；当时，函数的最大值为m，最小值为n，若，求t的值15如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于A（-1，0），B（4，0），交轴于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限内抛物线上一点，连接PB，过C作CQ/BP交轴于点Q，连接PQ，求PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，在（
9、2）条件下，将抛物线沿BP的方向平移个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为M，点E在新抛物线的对称轴上，在原抛物线上是否存在一点F，使A、M、E、F为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由16如图1，已知抛物线yx22x+c与x轴交于A，B两点，且AB4（1）求c的值及抛物线顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当cos（CAO+CDO）时，求点D的坐标；（3）如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，设ABP和AEN的面积分别为m、n，求m+n的最大值17如图，在平面直角坐标系中，抛物线
10、yx2x交x轴于A、B两点（点A在点B左侧）一次函数yx+b与抛物线交于A、D两点，交y轴于点C（1）求点D的坐标；（2）点E是线段CD上任意一点，过点E作EFy轴于点F，过点E作EPAD交抛物线于点P点P位于直线AD下方，求PE+EF的最大值及相应的P点坐标；（3）将抛物线沿射线AD方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点KM、N是直线AD上两动点（M在N的左侧），满足MN3是否存在以M、N、K为顶点的直角三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由18如图所示，抛物线经过点，点，与轴交于点，连接，点是线段上不与点、重合的点，过点作轴，交抛物线于点，交于点（1）求
11、抛物线的表达式；（2）过点作，垂足为点设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？（3）试探究是否存在这样的点，使得以，为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由试卷第9页，共9页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司参考答案：1(1)b=4，的对称轴与直线的交点坐标为：（2，-2）(2)1(3)b=2021时“美点”的个数为4044个，b=2021.5时“美点”的个数为1011个【分析】（1）令x=0，则可求直线与y轴的交点坐标，根据AB=8，即可求出b的值；把b的值分别代入直线a和抛物线L的表达式，即可求出
12、的对称轴与直线的交点坐标；（2）将抛物线L的函数表达式化为顶点式，写出顶点坐标，根据点在直线下方，即可求出点与直线距离；（3）分别求出当b=2022和b=2022.5时抛物线L和直线a的函数表达式，再根据题意找出两函数图像上横纵坐标都为整数的点的个数即可（1）解：根据题意得：直线l与y轴的交点坐标为A（0，b），把x=0代入得：y=-b，即：B（0，-b）AB=8，2b=8，解得b=4，直线a的表达式为：y=x-4，抛物线L的表达式为：，抛物线的对称轴为：x=2，当x=2时，直线a：y=2-4=-2，的对称轴与直线的交点坐标为：（2，-2）（2）将抛物线L的表达式化为顶点式为：，C（），点在直
13、线下方，点与直线距离为b-=，0，1，即点与直线距离最大为1（3）当b=2021时，抛物线解析式直线解析式ay=x2021，联立上述两个解析式可得：x1=1，x2=2021，可知每一个整数x的值 都对应的一个整数y值，且1和2021之间（包括1和2021共有2023个整数)；另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，线段和抛物线上各有2023个整数点，总计4046个点，这两段图象交点有2个点重复， “美点”的个数：40462=4044（个）；当b=20215时，抛物线解析式直线解析式ay=x2021.5，联立上述两个解析式可得：x1=1，x2=2021.5，当x取整数时，在一次函数
14、y=x2021.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，可知1到2021.5之间有1011个偶数，因此“美点”共有1011个故b=2021时“美点”的个数为4044个，b=2021.5时“美点”的个数为1011个【点评】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键2(1)，顶点的坐标为(2)最大值为，此时点坐标为(3)或【分析】（1）利用一次函数解析式确定，则利用待定系数法求抛物线解析式，然后把一般式化为顶点式得到点的坐标；（2）过点作轴交于点，如图，设，则，所以，利用三角形面积公式得到，然后根据二
15、次函数的性质解决问题；（3）由于抛物线的对称轴为直线，的最大值为，所以当时，即，时，；当时，时，然后分别把和代入抛物线解析式可得到关于的方程，则解关于的方程得到满足条件的的值（1）当时，当时，解得x4，把，分别代入，抛物线解析式为，顶点的坐标为；（2）过点作轴交于点，如图，设，则，当时，的面积最大，最大值为2，此时点坐标为；（3）抛物线的对称轴为直线，y的最大值为，当时，即，时，；，把代入得，解得，(舍去)，当时，时，把代入得,，解得，(舍去)，综上所述，的值为或【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象上点的坐标特征和二次函数的性质，灵活运用待定系数法求二次函数解析式
16、和掌握二次函数的性质是解本题的关键3(1)；(2)8；(3)证明见解析【分析】（1）直接利用待定系数法解答即可；（2）先利用配方法求得点的坐标，利用抛物线与直线只有一个公共点，得到，则，计算十的值，利用二次函数的性质解答即可；（3）过点作轴于点，利用配方法求得点坐标，令，解方程十，求得点坐标，利用坐标表示出线段，的长；设，直线的解析式为，利用待定系数法求得直线的解析式，进而得到点坐标，利用坐标表示出线段，的长，利用相似三角形的判定与性质和平行线的判定定理解答即可（1）解：由题意得：，抛物线的解析式为；（2）解：抛物线十十与轴相交于，抛物线的解析式为十，十，点，抛物线与直线只有一个公共点，十，当
17、时，的最大值为8；（3）解：过点作轴于点，如图，抛物线的解析式为十，令，则十，点在抛物线上（不与点，重合），设，直线的解析式为，解得：，直线的解析式为令，则，轴于，【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，配方法求抛物线的顶点坐标，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键4(1)，点A（2，0），点B（6，0）(2)SBCP的最大值为(3)当BPE是等腰三角形时，m的值为2或2或2或4【分析】（1）设出抛物线的解析式，把C（0，6）代入即可求得a的值，即可求得抛物线的解
18、析式，进而求出A、B的坐标；（2）求出直线BC的解析式，根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案（1）解：抛物线得到顶点坐标为（4，-2），设抛物线的解析式，把点C（0，6）代入得， ，解得，抛物线的解析式为；令，则，解得或，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0）；（2）解：设直线BC的解析式为ykx+t，直线BC的解析式为；设点P的坐标为（，），则点E的坐标为（，）， ，当p 时，SBCP的最大值为；（3）解：直线xm分别交
19、直线BC和抛物线于点E、P，E（m，m+6），P（m，），当PEBE时，或解得（舍去），或（舍去），OC=OB=6，OCB=OBC=45，（PEx轴，OCx轴），PEB=OCB=45（m0），同理可求出PEB=135（m0），当BPEP时，只存在PBEBEP45，BPE=90，即EPBP，又EPx轴，此时点P在x轴上，解得m2或m6（舍去），当BPBE时，则BPEBEP45，EBP=90，或解得，（舍去）或（舍去），（舍去）综上所述，当BPE是等腰三角形时，m的值为2或-2或2或4【点评】本题主要考查了二次函数的综合，一次函数与几何综合，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知二次函数的相关
20、知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键5(1)二次函数的表达式为，直线的表达式为；(2)(3)存在，点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）【分析】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数和直线BC的解析式；（2）设动点P的坐标为（x，），则点D的坐标为（x，），PD，由二次函数的性质可得出答案；（3）分情况讨论：当点M在x轴上方，点N在对称轴左侧时，如图1，设对称轴与x轴交于点F，过点N作NEMF于点E，证明MENOFM（AAS），可得OFEM1，设点M坐标为（1，a），可得NEMFa，则N（1-a，1+a），把点N坐标代入二次函数解析式求出a的值，可得此时点的坐标；当点M在x轴上方，点N在
21、对称轴右侧时，当点M在x轴下方，点N在对称轴左侧时，当点M在x轴下方，点N在对称轴右侧时，同理可求点的坐标【解析】（1）解：把点B，点C的坐标代入解析式中，得：，解得：，二次函数得表达式为；设BC的函数表达式为y=kx+b，把点B，点C的坐标代入可得：，解得：，直线BC的函数表达式为：；（2）如图，轴，点P和点D的横坐标相同，设动点P的坐标为（x，），则点D的坐标为（x，），PD，当x=时，PD有最大值；（3）分情况讨论：当点M在x轴上方，点N在对称轴左侧时，如图1，设对称轴与x轴交于点F，过点N作NEMF于点E，为等腰直角三角形，且为直角，NMMO，NMO90，NMEOMF90，NMEMNE
22、90，MNEOMF，又MENOFM90，MENOFM（AAS），OFEM，MFNE，二次函数的对称轴为直线，OFEM1，设点M坐标为（1，a），则NEMFa，N（1-a，1+a），点N在抛物线上，整理得：，解得：，N（，），当点M在x轴上方，点N在对称轴右侧时，如图2，同理可得：点N坐标为（，）；当点M在x轴下方，点N在对称轴左侧时，如图3，同理可得：点N坐标为（，）；当点M在x轴下方，点N在对称轴右侧时，如图4，同理可得：点N坐标为（，）；综上，点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）【点评】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质
23、，全等三角形的判定和性质以及二次函数图象上点的坐标特征，其中第（3）问有一定难度，能够正确分类讨论是解题的关键6(1),(2)，S的最大值为(3)存在，M点的横坐标为【分析】（1）求出E点坐标，由题意可知抛物线的对称轴为x=1，则b=-2a，将A（-1，0）代入y=ax2-2ax+3，即可求函数的解析式；（2）过点P作PHy轴交直线CE于点H，根据，求得关系式，进而根据二次函数的性质求得最值；（3）先判断BCD是直角三角形，则tanCBD=，设M（t，-t2+2t+3），则N（t，0），则MN=|-t2+2t+3|，AN=|t+1|，分两种情况讨论：当MAN=DBC时，当AMN=DBC时，根据
24、tanCBD=，建立方程，解方程即可求解（1）解：由直线y=-3x3分别交x，y轴于E，C两点，令x=0，则y=3，C（0，3），令y=0，则x=1，E（1，0），直线DE是对称轴，抛物线的对称轴为直线x=1，b=-2a，y=ax2-2ax+3，将A（-1，0）代入y=ax2-2ax+3，得a+2a+3=0，解得a=-1，y=-x2+2x+3，令y=0，则-x2+2x+3=0， 解得x=-1或x=3，B（3，0）；（2）过点P作PHy轴交直线CE于点H，P（m，n），H（m，-3m+3），PH=n+3m-3=-m2+5m，当m=时，S有最大值；（3）存在M使得A，M，N构成的三角形与BCD相似
25、，理由如下：B（3，0），C（0，3），D（1，4），BC=3，BD=2，CD=，BD2=BC2+CD2，BCD是直角三角形，BCD=90，tanCBD=，MNx轴，ANM=90，设M（t，-t2+2t+3），则N（t，0），MN=|-t2+2t+3|，AN=|t+1|，当MAN=DBC时，解得t=-1（舍）或t=或t=（舍去）；当AMN=DBC时，解得t=0（舍去）或t=-1（舍）或t=6（舍去）；综上所述：M点的横坐标为【点评】本题是二次函数的综合题，待定系数法求解析式，二次函数面积问题，相似三角形的性质，正切，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键7(1)(2)
26、(3)【分析】（1）利用交点式设抛物线的解析式为，再代入D点坐标，即可解答；（2）求出直线OD的解析式，联立直线OD和抛物线的解析式求出m的取值范围，用待定系数法求直线PD的解析式，求出OF长，然后根据求出面积的表达式，最后根据二次函数的性质求出最值即可；（3）先求出抛物线的对称轴，则可求出E点坐标，设，根据坐标系中的两点间距离公式求出 ， 则知时， 的最小值为，则可解决问题 【解析】（1）解：抛物线与x轴交于点，点， ，抛物线过点，解得，即；（2）解：设直线OD的解析式为y=kx(k0)，把代入得-3=2k，解得 ，直线OD的解析式为 ，则，解得x1=2，x2=- ，设 ，P点在直线OD的下
27、方，设直线PD的解析式为y=kx+n（m0），解得，直线PD的解析式为： ，如图，取PD与y轴的交点为F点，在中，令x=0得，y=-2m-3，OF=3+2m， = =，当时，取最大值为 ；（3）的对称轴为直线x=1，由（2）直线OD为，令x=1得, ,设， = =，时， 的最小值为 ，故线段PE的最小值为 【点评】本题考查二次函数综合应用，待定系数法、三角形面积、配方法等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度8(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；（2）将M点坐标设出来，利用矩形的对称性分别将点N，点P的坐标表示出来，再表示出线
28、段MN、MP的长，即可得到矩形周长和点M横坐标的关系式，根据二次函数的性质求出最值即可；（3）求出的解析式，求出直线BC的解析式与的解析式联立，利用根的判别式求出m的值；设出F点坐标，利用得出两个角的正切值相等，即可列出方程，求解即可【解析】（1）解：将，代入得：，解得，所以抛物线的解析式为；（2）抛物线的对称轴为直线，设，由题意可知，当四边形MNPQ为矩形时，点M与点N关于对称轴对称，可得，当时，与图象关于对称，则，矩形周长，根据题意可知，所以当时，矩形周长最大为；（3）抛物线的解析式为，其顶点坐标为，关于直线对称点的坐标为，的解析式为，设直线BC 的解析式为，把，代入得：，解得：，联立，得
29、，抛物线与直线BC恰好只有一个公共点，解得：；由题意得：，当，过F作轴，则，设，当点F在x轴的上方时，如图，解得：（另一个舍去），；当点F在x轴的下方时，如图，解得：，所以或【点评】本题考查了二次函数解析式的求法和与几何图形结合的综合能力培养，要会利用数形结合的思想将代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系9(1)(2)；，【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设，则，进而求解；由，是公共角得到，则，得到，进而求解(1)解：设抛物线的表达式为，将点、的坐标代入上式得：，故答案为：；(2)解：当时，设直线的解析式为，把，代入，得，解得，的解析式为：，作
30、轴于点，又，设，整理得：由题意有，且，当时，取最大值，的最大值为；作轴于点，记直线与轴交于点轴，轴，的对称轴为直线，又是公共角，在中，在中，解得，【点评】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，这是解题的关键10(1)y=-x2-x+2(2)S的最大值为，P（-，）(3)存在，（-2，2）或（-1-，-2）或（-1+，-2）【分析】（1）将点A，B的坐标代入y=ax2+bx+2即可求出抛物线的解析式；（2）存在，过点P作平行于y轴的直线交AC于点H，求出ABC的
31、面积，用待定系数法求出直线AC的解析式，设P（x，-x2-x+2），则H（x，x+2），即可用含x的代数式表示出ACP的面积，由二次函数的图象及性质可写出结论；（3）分当AQ/CM时和AM/CQ时，根据平行四边形的性质分别求出点M的坐标（1）解：将A（-3，0），B（1，0）代入y=ax2+bx+2，得，解得，a=-，b=-，抛物线解析式为：y=-x2-x+2；（2）解：存在，理由如下：如图1，过点P作平行于y轴的直线交AC于点H，将点A（-3，0）、C（0，2）代入y=kx+b，得，解得，k=，b=2，直线AC的解析式为y=x+2，A（-3，0），B（1，0）AB=4，在y=-x2-x+2中
32、，当x=0时，y=2，OC=2，ABC的面积=，设P（x，-x2-x+2），则H（x，x+2），ACP的面积=PHOA=3（-x2-x+2-x-2）=-x2-3x=-（x+）2+，S=-（x+）2+4=-（x+）2+，-10，当x=-时，S有最大值为，此时y=-x2-x+2=，P（-，）；（3）解：如图2，当AQ/CM且AQ=CM时，yC=2，yM=2，在y=-x2-x+2中，当y=2时，-x2-x+2=2，x1=0（舍去），x2=-2，M1（-2，2）；当AM/CQ时，yC-yA=2，yQ-yM=2，yM=-2，在y=-x2-x+2中，当y=-2时，-x2-x+2=-2，x3=-1-，x4=
33、-1+，M2（-1-，-2），M3（-1+，-2）综上所述，点M的坐标为（-2，2）或（-1-，-2）或（-1+，-2）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的图象及性质，平行四边形的性质等知识，解题关键是熟练运用平行四边形的性质以及二次函数的性质11（1）；（2）；P为或（【分析】（1）把，点，点，代入二次函数中，可得三元一次方程组，解方程组即可得出答案；（2）设点的横坐标为，则，根据二次函数的最值即可求解；过点，分别作轴的平行线与直线交于点，可证，由，可得，设点的横坐标为，则，可计算出的代数式，即，解方程即可得出答案【解析】解：（1）把，点，点，代入二次函数中，得
34、，解得，二次函数的表达式为；（2）点，点，设直线的解析式为，将点，点代入其中；，解得：，直线的解析式为，设点的横坐标为，则，时，线段的最大值为；过点，分别作轴的平行线与直线交于点，如图：， 的解析式为，由，得，设点的横坐标为，则，得，令，解得或，故为或【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象上点的特征及二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的最值，相似三角形的应用，解题的关键是根据函数图象上坐标点的特征得出、的代数表达式12（1）yx2+4x1；（2）；（3）C点坐标为，【分析】（1）直接把A、B坐标代入抛物线解析式求解即可；（2）先求出直线AB的解析式为yx1，设P（a
35、，a2+4a1），则Q（a，a1），PQa23a，可得，利用二次函数的性质求解即可；（3）分当ABBC时，当ABAC时，当BCAC时，三种情况讨论求解即可【解析】解：（1）将A（3，4），B（0，1）代入yx2+bx+c，得，解得，抛物线解析式为yx2+4x1；（2）设直线AB的解析式为ykx+b，则，解得，直线AB的解析式为yx1，设P（a，a2+4a1），则Q（a，a1），PQa23a，当a时，PAB的面积有最大值；（3）抛物线解析式为yx2+4x1，抛物线的对称轴为，设点C（2，y），A（0，1），B（3，4），AB232+3218，BC222+（y+1）2，AC212+（y+4）2，当
36、ABBC时，22+（y+1）218，解得，；当ABAC时，12+（y+4）218，解得，；当BCAC时，22+（y+1）212+（y+4）2，解得，；综上所述：C点坐标为，【点评】本题主要考查了一次函数综合，二次函数综合，待定系数法求函数解析式，两点距离公式，等腰三角形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识13（1）抛物线的解析式为：；点的坐标为，点的坐标为；（2）=，的最大值是4，此时点的坐标为；存在，的值为或；（3）点的坐标为：或，或【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出的值，即可求得抛物线解析式，在令其值为零，解一元二次方程即可求出和的坐标；（2）易求点的坐标为，设直线的解析
37、式为，将，代入，解出和的值，即得直线的解析式；设点的坐标为，则点的坐标为，表示出的长得出关于的二次函数，从而求得其最值及此时点的坐标；由得中，可得当时为等腰直角三角形，分点在对称轴右侧和点在对称轴左侧，根据得出关于的方程，从而求解；（3）分三种情况画出图形，根据等腰三角形的性质分别求出，从而求解【解析】解：（1）抛物线的对称轴是直线，解得，抛物线的解析式为：当时，解得，点的坐标为，点的坐标为答：抛物线的解析式为：；点的坐标为，点的坐标为；（2）当时，点的坐标为设直线的解析式为，将，代入得：，解得，直线的解析式为设点的坐标为，则点的坐标为，当时，的最大值是4，点是抛物线上、两点之间的一个动点（不
38、与、重合），此时点的坐标为答：用含的式子表示出的长为，的最大值是4，此时点的坐标为；，当时，为等腰直角三角形，点在对称轴右侧时，如图：，交抛物线于点，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为，当时为等腰直角三角形，的长为，解得：或（舍去），；点在对称轴左侧时，如图：，交抛物线于点，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为，当时为等腰直角三角形，的长为，解得：或（舍去），；存在，点的横坐标的值为或；（3）点的坐标为，点的坐标为，当点为轴正半轴上一点，时，如图，点的坐标为；当点为轴正半轴上一点，时，如图：，则点的坐标为，；当点为轴正半轴上一点，时，如图：过点作于，即，则点的坐标为；故点的坐标为：或，或
39、【点评】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是充分掌握分类讨论的思想，对（2）（3）都要分类求解，避免遗漏14（1）；（2）或；（3）；或【分析】（1）根据二次函数的性质求解对称轴，然后利用对称轴求出定点即可；（2）画出函数图像，分为两种情况进行讨论，当时，开口向下，结合题意可得，函数的顶点为，求解即可；时，开口向上，结合图像可得，函数图像与线段的交点在之间，列式求解即可；（3）由题意可得，函数的顶点为，代入解析式求解即可；对分三种情况进行讨论，、分别求得最大值、最小值，列方程求解即可【解析】解：（1）二次函数：对称轴为：，当时，过点由对称性可
40、得，二次函数过点故答案为：；（2）函数图像如下：当时，开口向下，二次函数的图像与线段恰有一个公共点则二次函数的顶点为，代入函数解析式可得，解得当时，开口向上，二次函数的图像与线段恰有一个公共点由函数图像可得：函数图像与线段的交点在之间，即时，时，即，解得故答案为：或 （3）由题意可得，函数的顶点为，代入解析式得：，解得，函数解析式为，故答案为：； 当时，对t进行分类讨论，1）当计时，即，y随着x的增大而增大，当时，当时，解得（不合题意，舍去），2）当时，顶点的横坐标在取值范围内，）当时，在时，解得（不合题意，舍去）；）当时，在时，解得（不合题意，舍去），3）当时，y随着x的增大而减小，当时，当
41、时，解得（不合题意，舍去），综上所述，或【点评】此题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像与性质，并利用数形结合的思想和分类讨论的思想进行求解15（1）抛物线的解析式为：；（2）的最大值为4，此时；（3）存在，或或【分析】（1）运用待定系数法求解即可；（2）设，由，得，求出OQ，得PQ，根据三角形面积公式得出面积与m的函数关系式，配方求解即可；（3）根据平行四边形的判定列式，分为AM为边，与AM为对角线两种情况进行解答【解析】解：抛物线交轴于A（-1，0），B（4，0），解得，抛物线的解析式为：（2）点P为抛物线第一象限上的点，设当时，点又，又当时，的最大值为4，此时（3）由（2）得，B（4，0），A（-1,0），故沿BP平移个单位等同于向左平移2个单位，再向上平移3个单位，又抛物线沿BP平移个单位，则向左平移1个单位，向上平移个单位，得当时，解得，当时，即点E在的对称轴上，设，设又以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若AM为边时，有时，利用k相等列出方程，或4，或或若AM为对角线时，有AM的中点坐标与EF的中点坐标一致，得，解得x=1，y=故存在点E，其坐标为或或【