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1、中考数学高频考点突破二次函数与最值1如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，直线经过点（1）求的值；（2）若点是直线上方抛物线的一部分上的动点，过点P作轴于点F，交直线AB于点D，求线段的最大值（3）在（2）的条件下，连接，点是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由2在平面直角坐标系中，规定：抛物线的伴随直线为.例如：抛物线的伴随直线为，即（1）在上面规定下，抛物线的顶点为伴随直线为；抛物线与其伴随直线的交点坐标为和；（2）如图，顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点(点在点的右侧)与轴交于点
2、若求的值；如果点是直线上方抛物线的一个动点，的面积记为，当取得最大值时，求的值3如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，点和点分别从点和点同时出发沿轴正方向运动，同时点从点出发沿轴正方向运动，以，为邻边构造，已知点，的运动速度均为，点的运动速度为，运动时间为过点的抛物线交轴于另一点（点在点的右侧），且该二次函数的最大值不变，均为（1）当时，求的长；（用含的代数式表示）；当时，求点的坐标；（2）当时，试判断点是否恰好落在抛物线上，并说明理由；（3）若点关于直线的对称点恰好落在抛物线上，请求出所有满足条件的的值4如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2mxn的图像与坐标轴交于A、B、C三点，其
3、中A点的坐标为、点B的坐标是(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标；(2)若点D的坐标是，点F为该二次函数在第四象限内图像上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF设平行四边形CDEF的面积为S求S的最大值；在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图像上时，请求出点E的坐标5如图，二次函数的图象与y轴交于C点，交x轴于点A（-2，0），B（6，0），P是该函数在第一象限内图象上的动点，过点P作PQBC于点Q，连接PC，AC（1）求该二次函数的表达式；（2）求线段PQ的最大值；（3）是否存在点P，使得以点P，C，Q为顶点的三角形与ACO相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存
4、在，请说明理由6已知：在以为原点的平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且经过点，三点（1）求直线和该抛物线相应的函数表达式；（2）如图，点为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，过点作轴的平行线与直线交于点，求的最大值（3）如图，过点的直线交轴于点，且轴，点是抛物线上，之间的一个动点，直线，与分别交于，当点运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由7如图，函数y=x2xc(2020x1)的图象记为L1，最大值为M1；函数y=x22cx1(1x2020)的图象记为L2，最大值为M2L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L（1）当c=1时，求M1，M2的值；（
5、2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L上“美点”的个数；（3）若M1，M2的差为，直接写出c的值8如图1，抛物线yax2+2ax+c（a0）与x轴交于点A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OAOC（1）求抛物线的解析式；（2）点D是抛物线顶点，求ACD的面积；（3）如图2，射线AE交抛物线于点E，交y轴的负半轴于点F（点F在线段AE上），点P是直线AE下方抛物线上的一点，SABE，求APE面积的最大值和此动点P的坐标9如图所示，抛物线与轴交于两点，与轴交于，并且对称轴（1）求抛物线的解析式；（2）在轴上方的抛物线上，过的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值；
6、（3）点为抛物线对称轴上一点，当是以为直角边的直角三角形时，求点坐标；10如图，抛物线交轴于A（3，0），B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，点P的横坐标为（1）求此抛物线的表达式；（2）若点，求MA+MB的最小值，并求出此时点M的坐标（3）求面积的最大值，并求出此时点P的坐标11如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax-3a（a0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且xD=4xA（1）求出点A的坐标和直线l的函数解析式（其中k，b用含a的式子表示）；（
7、2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由12如图1，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点的横坐标为（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，连接，设的面积为求关于的函数表达式，并求出当为何值时，的面积有最大值；（3）如图2，设抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为在直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由13在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A
8、(2，0)，B(0，2)，C(1，0)三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线yx上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标14已知：如图所示的两条抛物线的解析式分别是y1ax2ax1，y2ax2ax1(其中a为常数，且a0)（1）请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论；（2）当a时，设y1ax2ax1与x轴分别交于M，N两点(M在N的左边)，y2ax2ax1与x轴分别交于E，F两点(E在
9、F的左边)，观察M，N，E，F四点坐标，请写出一个你所得到的正确结论，并说明理由；（3）设上述两条抛物线相交于A，B两点，直线l，l1，l2都垂直于x轴，l1，l2分别经过A，B两点，l在直线l1，l2之间，且l与两条抛物线分别交于C，D两点，求线段CD的最大值？15如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c的顶点坐标为(2，9)，与y轴交于点A(0，5)，与x轴交于点E，B（1）求二次函数yax2+bx+c的解析式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，线段PD最长？并求出最大值；（3）
10、若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标（请直接写出结果）16如图，抛物线y=ax2 x+c（a0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，2），已知B点坐标为（4，0） （1）求抛物线的解析式；（2）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，记点M到线段BC的距离为d，当d取最大值时，求出此时M点的坐标；（3）若点P是抛物线上一点，点E是直线y=x上的动点，是否存在点P、E，使以点A，点B，点P，点E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由17已知，如图抛物线yax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴
11、交于A，B两点，点A在点B左侧点A的坐标为（4，0），B的坐标为（1，0），且OC4OB（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求三角形ACD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由18如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点点P、Q是抛物线上的动点(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标试卷第9页，共9页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
12、参考答案：1（1）b=，c=3；（2）；（3）存在，G（1，）或(5，)或(3，)【分析】（1）先根据直线求得点A，B的坐标，代入到二次函数中，建立关于b，c的二元一次方程求解即可；（2）设点P（m， mm3），则D（m， m3）,用含m的代数式表示线段PD的长，转化为二次函数的问题求其最大值；（3）分CD为平行四边形的对角线和边两种情况，分类讨论，并结合中点坐标公式及平行四边形及平移的性质，计算求解即可【解析】解：（1）由得， 当时，y3；当时，即与坐标轴的交点坐标为分别将代入，得解得，b=，c=3（2）由（1）得yxx3，设点P（m， mm3），则D（m， m3）PD=mm3(m3)=mm
13、= (m2)所以当m2时，PD最大，最大值是（3）存在点G ，使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形他们分别是：G(1，)或G(3，)或G(5，)理由如下：由（2）得 m=-2时，点D(-2，)，由二次函数可求得点C(2，0)，对称轴为x-1设G(n， nn3)，Q(1，p)，CD与y轴交于点E，显然E为CD中点当CD为对角线时，对角线QE的中点即为点E，由中点坐标公式可得：n（-1）=0，所以n1，此时点G（1，）当CD为边时， i）若G在Q上边，由平行四边形及平移的性质可知，点D向右平移4个单位，向下平移个单位到点C，故点G也同样的平移到点Q， 则n4-1，则n=-5，此时点G(5
14、，)ii）若G在Q下边，由平行四边形及平移的性质可知，点D向右平移4个单位，向下平移个单位到点C，故点Q也同样的平移到点G，则-14n，则n=3，此时点G(3，)【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图形及性质及应用，平行四边形的性质及平移的性质，解题的关键是善于运用函数的思想，数形结合的思想解题2（1）(1，4)，y=x3，(0，3)，(1，4)；（2）m的值为；m=2【分析】（1）根据题干中的定义即可找出其伴随直线为y=(x+1)4，即y=x3，再联立抛物线求解即可（2）先与其伴随直线联立求得交点，再求出抛物线与x轴的交点C，D，根据CAB=90由勾股定理求出m；设直线B
15、C的解析式为y=kxb将B(2，3m)，C(1，0)代入求出y=mxm过P作x轴的垂线交BC于点Q，将三角形面积用含m的表达式表示出来即可【解析】（1）由伴随直线的定义可得其伴随直线为y=(x+1)4，即y=x3，联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或，其交点坐标为(0，3)和(1，4)故答案为：(1，4)；y=x3；(0，3)；(1，4)；（2）抛物线解析式为y=m(x1)24m，其伴随直线为y=m(x1)4m，即y=mx5m联立抛物线与伴随直线的解析式可得解得或，A(1，4m)，B(2，3m)在y=m(x1)24m中，令y=0可得x=1或x=3，C(1，0)，D(3，0)，AC2=416
16、m2，AB2=1m2，BC2=99m2CAB=90，AC2AB2=BC2，即416m21m2=99m2，解得：m= (抛物线开口向下，舍去)或m=，当CAB=90时，m的值为设直线BC的解析式为y=kxbB(2，3m)，C(1，0)，解得，直线BC的解析式为y=mxm过P作x轴的垂线交BC于点Q点P的横坐标为x，P(x，m(x1)24m)，Q(x，mxm)P是直线BC上方抛物线上的一个动点，PQ=m(x1)24mmxm=m(x2x2)=m(x)2，SPBC=2(1)PQ=m(x)2m，当x=时，PBC的面积有最大值m，S取最大时，即m=，解得：m=2【点评】此题考查二次函数与一次函数的综合问题
17、，其中包含面积的计算，难度较大3（1）；（2）不在抛物线上，见解析；（3）1【分析】（1）分别表示出点P与点E的坐标，即可得到PE的表达式；当时，可得E，P,D的坐标，结合，为邻边构造的性质，即可求解；（2）线求出点P，H的坐标，设抛物线的表达式为：，利用待定系数法，求出二次函数解析式，再求出点F的坐标，代入函数解析式验证，即可得到结论；（3）先求出二次函数的解析式（含参数t），再分两种情况：当时，当时，分别求出点Q的坐标，进而即可求出t的值【解析】（1）点，的运动速度均为，点的运动速度为，运动时间为P(-8+2t，0)，E(-5+t，0)，-8+2t-5+t，；当时，E(1，0)，P(4，0
18、)，D(0，4)，EP=3，OD=4，以，为邻边构造，如图所示，DFEP，DF=EP=3，；（2）当时，点坐标为，点坐标为，设抛物线的表达式为：，把，代入，得，当时，点坐标为，当时，点不在抛物线上；（3）P(-8+2t，0)，H(-2+2t，0)，抛物线的对称轴为：直线x=-5+2t，该二次函数的最大值为，设，把P(-8+2t，0)代入，解得：a=，过点的抛物线的表达式为：，当时，连接PQ交FE的延长线于点M，连接QE，则PME=90，EFPD，MPC=90P(-8+2t，0)，D(0，-8+2t)，OP=OD，OPD=45，MPE=45，由对称性，可知：MPE=MQE=45，PE=QE=3-
19、t，PEQ=180-45-45=90，Q(-5+t，3-t)，恰好落在抛物线上，解得：t1=1，t2=3（舍去），当时，P(-8+2t，0)，E(-5+t，0)，PE=t-3，同理可得：PEQ=90，MPE=MQE=45，PE=QE=t-3，Q在第三象限或第四象限，Q(-5+t，3-t)，恰好落在抛物线上，解得：t1=1（舍去），t2=3（舍去），综上所述：点关于直线的对称点恰好落在抛物线上时，t的值为1【点评】本题主要考查二次函数与平行四边形的综合，涉及平行四边形的性质，二次函数的待定系数法，函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，画出各个状态的
20、草图，学会分类讨论思想，是解题的关键4（1），（8，0）；（2）50；【分析】（1）把A点和B点坐标代入二次函数yx2mxn得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c即可得到抛物线的解析式，然后计算当y=0时，对应的x的值即可得到C的坐标；（2）连接OF、FD，如图设F(t,)，利用S=2SCDF=2(S四边形CFDO-SCDO)，利用分割法求出S四边形CFDO，利用三角形面积公式求出SCDO，得到S=，利用二次函数的性质得到当t=3时，S有最大值，最大值为50；由于四边形CDEF是平行四边形，得到CDEF，CD=EF，利用C点和D点的坐标特征可判断点C向下平移4个单位，再向左平移8个单位得到
21、了点D，则点F向下平移4个单位，再向左平移8个单位得到了点E，即点E(t-8,)，然后把点E(t-8,)代入抛物线解析式得到关于t的方程，再解方程求出t后即可【解析】解：（1）二次函数yx2mxn的图象过A(0，-8)，B(-4，0)解得二次函数解析式为令y=0，解得点C的坐标为(8,0)（2）连接OF、FD，如图设F(t,)四边形CDEF是平行四边形S=2SCDF=2(S四边形CFDO-SCDO)S四边形CFDO=SOCF+SODFSCDO=84=16S=2SCDF=2(-16)= =当t=3时，S有最大值，最大值为50四边形CDEF是平行四边形CDEF，CD=EF点C向下平移4个单位，再向
22、左平移8个单位得到了点D点F向下平移4个单位，再向左平移8个单位得到了点E即点E(t-8,)，又点E在抛物线上=(t-8)2-(t-8)-8解得t=7E(-1,)故答案为（1），（8，0）；（2）50；E(-1,)【点评】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，利用待定系数法求二次函数解析式，坐标与图形性质等知识属于二次函数综合题，掌握点平移的坐标规律是解题的关键5（1）；（2）PQ的最大值为；（3）或【分析】(1)利用待定系数法，列出二元一次方程组求解即可得出结论；(2)先确定出直线BC解析式，进而得出PM，再判断出OACOCB，求出AC，进而得出MPQ的余弦值，即可得出结论；(3)分两
23、种情况，、当QPCOAC时，利用抛物线的对称性即可得出结论，、先确定出直线CD的解析式，联立抛物线解析式即可得出结论【解析】解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式中得，解：，抛物线解析式为；（2）设，令x=0，则，B（6，0），直线BC的解析式为，如图1，过点P作PNx轴于N，交BC于M，点，AOC=COB=CQP=POM=MDB=90，OACOCB，ACO=CBO=MPQ，OACOCBNMBQMP，t=3时，PQ的最大值为；（3）、当QPCOAC时，ACO=CBA=PCQ，PCx轴，由抛物线的对称性知，点C与点P关于P关于抛物线的对称轴对称，；、当QCPOAC时，CAO=PCQ，tanCA
24、O=tanPCQ，如图2，过点B作BDBC交CP的延长线于D，过点D作DEx轴于E，OBCEDB，OE=OB+BE=12，直线CD的解析式为，联立解得，（舍）或，【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，解方程组，求出直线CD的解析式是解本题的关键6（1）；（2）；（3）是，的定值为18【分析】（1）直接利用待定系数法即可求出直线OB的解析式，然后将抛物线的解析式设为两点式，然后将点B的坐标代入即可求出抛物线的解析式；（2）设，则可表示出N的坐标，由MN的纵坐标相同可得到s和t的关系式，然后利用二次函数的性质求最大值即可；（3）设点，则可表示出P
25、Q,CQ,DQ,再利用相似三角形的性质可用t分别表示出EF和EG的长度，则可求出答案【解析】（1）设直线OB的解析式为， 将代入解析式中得，解得 ，直线OB解析式为； 抛物线经过点， 可设抛物线解析式为 抛物线经过， ，解得 ，抛物线解析式为 ；（2）设，则N的坐标为 ，轴， ，当时，MN有最大值，最大值为 ；（3），理由如下：过点P作轴交x轴于点Q，由， 设，则， ， ， ， 同理， ， ， 当P运动时，为定值18【点评】本题主要考查二次函数，一次函数与几何综合，掌握待定系数法，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键7（1）当c=1时，M1=，M2=2；（2）3030；（3）c=
26、或2【分析】(1)当c=1时，把函数的解析式化成顶点式即可求得，的值；(2)由已知可得点A，B重合时，L1上有1011个“美点”，L2上有2020个“美点”则L上“美点”的个数是1011+2020-1=3030；(3)当时，由于L2的对称轴为，分两种情况求解：当c1时，=c2+1；当c1时，=2c；再由已知列出等式即可求c的值【解析】(1)当c=1时，函数y=-x2+x+c=-x2+x+1=-(x-)2+，又-2020x1，M1=，y=-x2+2cx+1=-x2+2x+1=-(x-1)2+2，又1x2020，M2=2(2)当x=1时，y=-x2+x+c=c-；y=-x2+2cx+1=2c若点A
27、，B重合，则c-=2c，c=-，L1y=-x2+x- (-2020x1)；L2y=-x2-x+1(1x2020)在L1上，x为奇数的点是“美点”，则L1上有1011个“美点”； 在L2上，x为整数的点是“美点”，则L2上有2020个“美点”又点A，B重合，则L上“美点”的个数是1011+2020-1=3030；(3)y=-x2+x+c(-2020x1)上时，当时，y=-x2+2cx+1(1x2020)，对称轴为，当时，(舍去)或；当时，(舍去)或；综上，或【点评】本题考查了二次函数的图象及性质；能够根据函数所给的取值范围，通过适当的分类讨论，正确的求函数的最大值是解题的关键8（1）yx2+2x
28、3；（2）3；（3）P的坐标为（，）【分析】（1）先求出点C的坐标，再根据待定系数法即可得出答案；（2）根据（1）中求出的函数解析式得出点A、C和D的坐标，再利用割补法即可得出答案；（3）设点E的纵坐标为t，根据ABE的面积求出t的值，再代入函数解析式即可得出点E的坐标，将A和E的坐标代入即可得出直线AE的解析式，接着根据SAPESAPG+SPEG求出面积的函数关系式，再化为顶点式即可得出答案【解析】解：（1）抛物线yax2+2ax+c（a0）与x轴交于点A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OAOC，a+2a+c0，点C的坐标为（0，c），点A的坐标为（c，0），ac2+2ac+c0，解得
29、，或，函数图象开口向上，a0，a1，c3，抛物线的解析式为yx2+2x3；（2）yx2+2x3（x+1）24，抛物线与与y轴交于点C，顶点为D，OAOC，抛物线yax2+2ax+c（a0）与x轴交于点A，B（1，0）两点，点D的坐标为（1，4），点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（3，0），连接OD，如右图1所示，由图可知：SACDSOAD+SOCDSOAC3；（3）A（3，0），点B（1，0），AB4，设点E的纵坐标为t，t0，SABE，得t，把y代入yx2+2x3，得x2+2x3，解得，x1，x2，点E在y轴的右侧，点E（，），设直线AE的解析式为ymx+n（m0），得，直线AE的解析式
30、为yx1，过点P作y轴的平行线交AC于点G，如图2所示，设点P的横坐标为x，则P（x，x2+2x3），点G（x，x1），PG（x1）（x2+2x3）x2x+2，又A（3，0），E（，），SAPESAPG+SPEG ，当x时，SAPE取得最大值，最大值是，把x代入yx2+2x3，得y（）2+2（）3，此时点P的坐标为（，）【点评】本题考查的是二次函数的综合，难度较大，正确解出函数的解析式是解决本题的基础，熟练掌握割补法求面积是解决本题的关键9（1）；（2）的最大值为；（3）点的坐标为或【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）先求AC解析式，作PHy轴交AC于H，作PGy轴，设出P的坐标，由
31、MN的解析式的特点判断，利用三角函数把PM，PN的长度转化到PH，PG的上，利用及二次函数的性质进一步求解可得； （3）设D（-3，y），利用两点间的距离公式得到 ，然后分类：当ACD是以AC为直角边、CD为斜边和以AC为直角边、AD为斜边的直角三角形时，分别解方程求出y即可得到对应的D点坐标；【解析】解：（1）抛物线过，对称轴为直线，点坐标为，可设抛物线解析式为，将点代入，得：，解得，则抛物线解析式为；（2）设点坐标为，直线解析式为，过点作轴交于，作轴于，的解析式为，的最大值为；（3）设，则，当是以为直角边、为斜边的直角三角形时，即，解得，此时；当是以为直角边、为斜边的直角三角形时，即，解得
32、，此时点；综上，点的坐标为或【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想和数形结合的思想解决数学问题10（1）；（2）MA+MB的最小值为；（3）PBC面积的最大值为；P【分析】（1）把A、C两点坐标代入列方程组求出a、c的值，即可得答案；（2）由点M坐标可知点M在直线y=2上，令y=0，可得出点B坐标，作点B关于直线的对称点B，可得B坐标，连接BM、AB，根据轴对称的性质可得BM=BM，可得MA+MB的最小值为AB，利用
33、勾股定理可求出AB的长，根据A、B坐标，利用待定系数法可得直线AB的解析式，把y=2代入即可得点M坐标；（3）过P作PQ轴交BC于Q，根据B、C坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，设，把m代入BC解析式可用m表示出PQ的长，根据SPBC=PQOB可用m表示出PBC的面积，根据二次函数的性质即可得答案【解析】（1）把A（3，0），C，代入得，解得：抛物线的表达式为（2），点M在直线上，令得，作点B关于直线的对称点B，BM=BM，MA+MB的最小值为线段AB的长度，B（4，0），B(4，4)，AB，MA+MB的最小值为，设直线AB的解析式为，A（-3，0），B（4，4），解得，直线AB的解
34、析式为，当时，解得：，（3）如图，过P作PQ轴交BC于Q，设直线BC的解析式为，C，解得，直线BC的解析式为，P在抛物线上，且在BC上方，设，SPBC=PQOB=，当时，SPBC的最大值为，当m=2时，P【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、根据对称性质求最短路径及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题关键11（1）A（-1，0），y=ax+a；（2）a=- ；（3）能，点P（1，-）或（1，-4）【分析】（1）解方程即可得到结论，再根据直线l：y=kx+b过A（-1，0），得到直线l：y=kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得k=a，得到直线l的函数表达式为y
35、=ax+a；（2）过E作EFy轴交直线l于F，设E（x，ax2-2ax-3a），得到F（x，ax+a），求出EF=ax2-3ax-4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（3）令ax2-2ax-3a=ax+a，即ax2-3ax-4a=0，得到D（4，5a），设P（1，m），若AD是矩形ADPQ的一条边，若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论【解析】（1）当y=0时，ax2-2ax-3a=0，解得：x1=-1，x2=3，A（-1，0），B（3，0），直线l：y=kx+b过A（-1，0），0=-k+b，即k=b，直线l：y=kx+k，抛物线与直线l交于点A，D，ax2-2ax-3a
36、=kx+k，即ax2-（2a+k）x-3a-k=0，CD=4AC，点D的横坐标为4，-3- =-14，k=a，直线l的函数表达式为y=ax+a； （2）过E作EFy轴交直线l于F，设E（x，ax2-2ax-3a），则F（x，ax+a），EF=ax2-2ax-3a-ax-a=ax2-3ax-4a，SACE=SAFE-SCEF=（ax2-3ax-4a）（x+1）-（ax2-3ax-4a）x=（ax2-3ax-4a）=a（x-）2-a，ACE的面积的最大值=-a，ACE的面积的最大值为，-a=，解得a=- ；（3）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax2-2ax-3a=ax+a，即ax2
37、-3ax-4a=0，解得：x1=-1，x2=4，D（4，5a），抛物线的对称轴为直线x=1，设P（1，m），若AD是矩形ADPQ的一条边，则Q（-4，21a），m=21a+5a=26a，则P（1，26a），四边形ADPQ是矩形，ADP=90，AD2+PD2=AP2，52+（5a）2+32+（26a-5a）2=22+（26a）2，即a2= ， a0，a=- ，P（1，-）；若AD是矩形APDQ的对角线，则Q（2，-3a），m=5a-（-3a）=8a，则P（1，8a），四边形APDQ是矩形，APD=90，AP2+PD2=AD2，（-1-1）2+（8a）2+（1-4）2+（8a-5a）2=52+（5
38、a）2，即a2=，a0，a=-，P（1，-4），综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，-）或（1，-4）【点评】此题考查待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键12（1）y=x2+2x+3；（2），当t=时，S取最大值，最大值为；（3）M(1，6)【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）过点P作PFy轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；利
39、用二次函数的性质求出S的最大值；（3）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，利用平行四边形对角线互相平分可得出点P、E的坐标，进而可得出点M的坐标【解析】（1）将A(1，0)、B(3，0)代入y=x2+bx+c，解得，抛物线的表达式为y=x2+2x+3（2）如图1，过点P作PFy轴，交BC于点F设直线BC的解析式为y=mx+n(m0)，将B(3，0)、C(0，3)代入y=mx+n，得，解得：，直线BC的解析式为y=x+3点P的坐标为(t，t2+2t+3)，点F的坐标为(t，t+3)，PF=t2+2t+3(t+3)=t2+3t，SPFOBt2t(t)20，
40、当t时，S取最大值，最大值为（3）如图2，连接PC，交抛物线对称轴l于点E抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，抛物线的对称轴为直线x=1若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE点C的横坐标为0，点E的横坐标为1，点P的横坐标t=120=2，点P的纵坐标=22+22+3=3，点P的坐标为(2，3)点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(1，3)，点M的坐标为(1，6)【点评】本题考查了待定系数法求一次(二次)函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次(二次)函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解答本题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛
41、物线表达式；（2）利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；利用二次函数的性质求出S的最大值；（3）利用平行四边形的对角线互相平分找出点E的坐标13（1）yx2+x2；（2）Sm22m（2m0），S的最大值为1；（3）点Q坐标为：(2，2)或(1+，1)或(1，1+)或(2，2)【分析】（1）设此抛物线的函数解析式为：yax2+bx+c，将A，B，C三点代入yax2+bx+c，列方程组求出a、b、c的值即可得答案；（2）如图1，过点M作y轴的平行线交AB于点D，M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，设M点的坐标为（m，m2+m2），2m0，由A、B坐标可求出直线AB的解析式为yx2
42、，则点D的坐标为（m，m2），即可求出MD的长度，进一步求出MAB的面积S关于m的函数关系式，根据二次函数的性质即可求出其最大值；（3）设P（x，x2+x2），分情况讨论，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQOB，且PQOB，则Q（x，x），可列出关于x的方程，即可求出点Q的坐标；当BO为对角线时，OQBP，A与P应该重合，OP2，四边形PBQO为平行四边形，则BQOP2，Q横坐标为2，即可写出点Q的坐标【解析】（1）设此抛物线的函数解析式为：yax2+bx+c，将A（2，0），B（0，2），C（1，0）三点代入，得，解得：，此函数解析式为：yx2+x2（2）如图，过点M作y轴的平行线交AB于点D，M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，设M点的坐标为（m，m2+m2），2m0，设直线AB的解析式为ykx2，把A（2，0）代入得，-2k-2=0，解得：k1，直线AB的解析式为yx2，MDy轴，点D的坐标为（m，m2），MDm2（m2+m2）m22m，SMABSMDA+SMDBMDOA2（m22m）m22m（m+1）2+1，2m0，当m