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1、中考数学频考点突破-二次函数的最值1如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2+4x6的图象顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D其中点B的坐标是（2，0）（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y0时x的取值范围（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式2如图，二次函数y=ax22ax3a（a0）的图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D若以BD为直径的M经过点C（1）请直接写出C，D的坐标（用含a的代数式表示）；（2）求抛物线的函数表达式；（3）M上是否存在点E，使得EDB=CBD？若存在
2、，请求出所满足的条件的E的坐标；若不存在，请说明理由3如图，直线y1=k1x+b与双曲线 y2=k2x 在第一象限内交于A、B两点，已知A(1，m)，B(2，1) （1）直接写出不等式y2y1的解集； （2）求直线AB的解析式； （3）设点P是线段AB上的一个动点，过点P作PDx轴于点D，E是y轴上一点，求PED的面积S的最大值 4如图，在矩形ABCD中，AB2，BC4，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AEAHCGCF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AEx（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围（2）当x为何值时，S的值最大，并写
3、出S的最大值5一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元，为了扩大销售、增加利润，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1600元？（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？最大为多少元？6如图，正方形ABCD的边长为4，点G，H分别是BC、CD边上的点，直线GH与AB、AD的延长线相交于点E，F，连接AG、AH （1）当BG=2，DH=3时，则GH：HF= ，AGH= ； （2）若BG=3，DH=1，求DF、EG的长； （3）设BG=x，D
4、H=y，若ABGFDH，求y与x之间的函数关系式，并求出y的取值范围 7如图，已知二次函数yx2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，8）两点.（1）求该二次函数的表达式；（2）当2x5时，函数在点C处取得最大值，在点D处取得最小值，求BCD的面积.8已知二次函数为： y=x24x12（1）求它的图象与y轴的交点坐标；（2）求它的图象与x轴的交点坐标；（3）求其对称轴及最值.9在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k1）xk与直线y=kx+1交于A、B两点，点A在点B的左侧（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方
5、，试求出ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k1）xk（k0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），是否存在实数k使得直线y=kx+1与以O、C为直径的圆相切？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由10某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若 50元 /千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克（1）写出月销售利润y（单位：元） 与售价x（单位：元/千克） 之间的函数解析式（2）当售价定为多少时会获得最大利润？求出最大利润（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元销售单价应定为
6、多少？11已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，3）（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）如图甲，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E，是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图乙，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点B重合时立即停止运动，设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关系式12由于雾霾天气对人们健康的影响，市
7、场上的空气净化器成了热销产品某公司经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为200元经过一段时间的销售发现，每月的销售量y（台）与销售单价x（元）的关系为y=2x+1000（1）该公司每月的利润为w元，写出利润w与销售单价x的函数关系式；（2）若要使每月的利润为40000元，销售单价应定为多少元？（3）公司要求销售单价不低于250元，也不高于400元，求该公司每月的最高利润和最低利润分别为多少？13函数yax2+2ax+c（a，c为常数，且a0）在自变量x的值满足4x1时，其对应的函数值y满足5y58（1）求抛物线的对称轴及顶点坐标（2）当x1时，求y的值14在锐角ABC中，边BC长为18，高A
8、D长为12（1）如图，矩形EFCH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K，求 EFAK 的值； （2）设EHx，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值15如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0）、B（3，0）两点 （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当0x3时，求y的取值范围 16用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2（1）求出y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）（2）当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？答案解析部分1【答案】（1）解：把B（2，0）代入yax2+4
9、x6，得04a+86，解得a 12 ， y 12 x2+4x6 12 （x4）2+2，A（4，2），对称轴为直线x4，B，C关于直线x4对称，C（6，0），当y0时，x2或x6（2）D（0，6）， 点D平移到点A，抛物线向右平移4个单位，向上平移8个单位，可得抛物线的解析式为y 12 （x8）2+10【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax2+bx+c的性质【解析】【分析】（1）先求出抛物线的解析式，再化为顶点式，即可得出顶点A的坐标为（4，2），再根据抛物线的性质得出点C的坐标为（6，0），结合图象得出当x2或x6时，抛物线的图象在x轴的下方，即可得出当
10、y0时x的取值范围 ；（2）先求出点D的坐标，再根据平移规律即可得出平移后的抛物线的解析式.2【答案】（1）解：当x=0时，ax22ax3a3a，则点C的坐标为（0，3a）；y=ax22ax3a=a（x1）24a，点D的坐标为（1，4a）（2）解：当y=0时，ax22ax3a=0，解得x1=1，x2=3，则A（1，0），B（3，0），BD为M的直径，BCD=90，而BC2=（03）2+（3a0）2=9a2+9，CD2=（01）2+（3a+4a）2=a2+1，BD2=（31）2+（0+4a）2=16a2+4，在RtBCD中，BC2+CD2=BD2，9a2+9+a2+1=16a2+4，整理得a2=
11、1，解得a1=1，a2=1（舍去）；抛物线解析式为：y=x2+2x+3（3）解：存在a=1，CD2=a2+1=2，BC2=9a2+9=18，EDB=CBD，CD=BE，而BD为直径，BED=90，RtBEDRtDCB，DE=BC，设E（x，y），ED2=（x1）2+（y4）2，BE2=（x3）2+y2，（x1）2+（y4）2=18，（x3）2+y2=2，解得x=4，y=1或x= 85 ，y= 15 ，满足条件的E点坐标为（4，1）、（ 85 ， 15 ）【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）计算横坐标为0的函数值即可得到C点坐标，然后将解析
12、式配成顶点式即可得出点D的坐标；（2）先利用二次函数与x轴的交点问题确定A点和B点坐标，再根据圆周角定理得到BCD=90，则根据两点间的距离公式得BC2=9a2+9，CD2=a2+1，BD2=16a2+4，接着利用勾股定理得到9a2+9+a2+1=16a2+4，然后解方程求出a即可得到二次函数解析式；（3）先计算出CD2=2，BC2=18，再根据圆周角定理，由EDB=CBD得弧CD=弧BE，则CD=BE，接着证明RtBEDRtDCB，得到DE=BC，设E（x，y），根据两点间的距离公式得（x1）2+（y4）2=18，（x3）2+y2=2，然后解方程组得x=4，y=1或x= 85 ，y= 15
13、，从而可得满足条件的E点坐标3【答案】（1）解：A(1，m)，B(2，1)， 根据函数图象得，不等式y2y1的解集为0x1或x2；（2）解：点B(2，1)在双曲线 y2=k2x 上， k2=21=2，双曲线的解析式为y2= 2x ，A(1，m)在双曲线y2= 2x 上，m=12=2，A(1，2)，直线AB：y1=k1x+b过A(1，2)、B(2，1)两点，k+b=22k+b=1 ，k=1b=3 ，直线AB的解析式为：y=-x+3；（3）解：设点P(x，-x+3)，且1x2， 则S= 12 PDOD= 12x2+32x = 12(x32)2+98 ，120，k=255.即存在实数k使得直线 y=
14、kx+1 与以O、C为直径的圆相切【知识点】二次函数的最值；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用【解析】【分析】（1）将k=1代入函数解析式，再将两函数联立方程组，求出方程组的解，根据点A在点B的左侧，就可得出点A、B的坐标。（2）根据点P为抛物线上的一个动点，因此设点P（x21），过点P作PFy轴，交直线AB于点F，则F(x，x+1)，求出PF的长，SABP=SPFA+SPFB=12PF（xB-xA），得出SABP与x的函数解析式，求出顶点坐标，即可求出点P的坐标。（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E. F，则 E ( 1k ， 0 ) ，
15、 F ( 0 ， 1 ) ， O E = 1k ， O F = 1，利用勾股定理求出EF的长，再求出点C的坐标，表示出OC的长，设以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时 O Q C = 90 . 如图3所示，设点N为OC中点，连接NQ，则NQEF，分别表示出NQ、EN的长，然后证明EQNEOF，得出对应边成比例，建立方程求出k（k0）的值，即可证得结论。10【答案】（1）解：由题意得，设销售单价为每千克x元时，月销售量为 500(x50)10 ，每千克的销售利润是 (x40) 元，所以 y=(x40)50010(x50) ， y=10x2+1400x40000 ，配方化简得
16、，y=10(x2140x)40000=10(x70)2+9000（2）解：由（1）可知，当月销售单价为每千克70元时，月销售利润最大，最大利润为9000元（3）解：当 y=8000 时，由（1）得 800=10(x2140x)40000 ，整理得 (x70)2=100 ，解得 x1=60，x2=80 ，又 销售成本不超过10000元，得 4050010(x50)10000 ，解得 x75 ，故 x1=60 应舍去 销售单价应定为每千克80元【知识点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用；二次函数的最值；根据实际问题列二次函数关系式【解析】【分析】（1）根据月销售利润y=月销售量（售价-进件
17、），就可以求出y与x之间的函数解析式。（2）先求出（1）中的函数解析式的顶点坐标，即可求得结果。（3）根据月销售成本不超过10000元，即40销售量10000，求出自变量的取值范围，再根据月销售利润=8000，建立方程求解，即可得出符合条件的结果。11【答案】（1）解：抛物线的解析式：y=x2+4x3，由y=x2+4x3=（x2）2+1，可知：顶点D的坐标（2，1）（2）解：存在设直线BC的解析式为：y=kx+b，则 3k+b=0b=3 ，解得 k=1b=3 ，直线BC的解析式为y=x3，设P（x，x2+4x3），则F（x，x3），PF=（x2+4x3）（x3）=x2+3x=（m 32 ）2+
18、 94 ，当x= 32 时，PE有最大值为 94 存在一点P，使线段PE的长最大，最大值为 94 （3）解：A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，3），可求得直线AD的解析式为：y=x1；直线BC的解析式为：y=x3ADBC，且与x轴正半轴夹角均为45AFy轴，F（1，2），AF=2当0t 2 时，如答图11所示此时四边形AFFA为平行四边形设AF与x轴交于点K，则AK= 22 AA= 22 tS=SAFFA=AFAK=2 22 t= 2 t；当 2 t2 2 时，如答图12所示设OC与AD交于点P，AF与BD交于点Q，则四边形PCFA为平行四边形，ADQ为等腰直角三角形S=SPC
19、FASADQ=21 12 （t 2 ）2= 12 t2+ 2 t+1；当2 2 t3 2 时，如答图13所示设OC与BD交于点Q，则BCQ为等腰直角三角形BC=3 2 ，CC=t，BC=3 2 tS=SBCQ= 12 （3 2 t）2= 12 t23 2 t+9综上所述，S与t的函数关系式为：S= 2t(0t2)12t2+2t+1(2t22)12t232t+9(22t32)【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后化为顶点式即可求得顶点的坐标（2）先求得直线BC的解析式，设P（x，x2+4x3），
20、则F（x，x3），根据PF等于P点的纵坐标减去F点的纵坐标即可求得PF关于x的函数关系式，从而求得P的坐标和PF的最大值；（3）在运动过程中，分三种情形，需要分类讨论，避免漏解12【答案】（1）解：由题意得：w=（x-200）y=（x-200）（-2x+1000）=-2x2+1400x-200000（2）解：令w=-2x2+1400x-200000=40000，解得：x=300或x=400，故要使每月的利润为40000元，销售单价应定为300或400元（3）解：y=-2x2+1400x-200000=-2（x-350）2+45000，当x=250时y=-22502+1400250-200000
21、=25000；故最高利润为45000元，最低利润为25000元【知识点】二次函数的最值【解析】【分析】（1）利用利润公式：单件利润销量，转换为自变量的代数式，可求出关系式；（2）把利润的具体值代入函数关系式，建立方程，可出销售单价；（3）把二次函数解析式配成顶点式，结合自变量的取值范围和图像，求出最值.13【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线x 2a2a 1， 而a0，x1时，y有最大值，4x1时，其对应的函数值y满足5y 58 x1时，y 58 ；x4时，y5，即抛物线的对称轴为直线1，顶点坐标为（1， 58 ）；（2）解：把（1， 58 ），（4，5）代入yax2+2ax+c得 a2a+
22、c=5816a8a+c=5 ， 解得 a=58c=0 ，抛物线解析式为y 58 x2 54 x，当x1时，y 58 x2 54 x 58 54 158 【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax2+bx+c的图象【解析】【分析】（1）根据函数解析式可得对称轴为直线x=-1，图象开口向下，结合x、y的范围以及增减性可得x-1时，y58；x-4时，y-5，据此可得顶点坐标；（2）把（-1， 58 ），（-4，5）代入yax2+2ax+c 中可求出a、c的值，进而可得函数解析式，然后令x=1，求出y的值即可.14【答案】（1）解：AEFABC， EFBC AKAD ，边B
23、C长为18，高AD长为12，EFAK BCAD 32 ；（2）解：EHKDx， AK12x，EF 32 （12x），S 32 x（12x） 32 （x6）2+54，当x6时，S有最大值为54【知识点】二次函数的最值；相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比进行计算即可；（2）根据EHKDx，得出AK12x，EF 32 （12x），再根据S 32x（12x） 32 （x6）2+54，可得当x6时，S有最大值为5415【答案】（1）解：抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0）、B（3，
24、0）两点， 1b+c=09+3b+c=0 ，解得 b=2c=3 ，抛物线解析式为y=x22x3=（x1）24，顶点坐标为（1，4）（2）解：y=（x1）24， 抛物线开口向上，对称轴为x=1，当x1时，y随x的增大而减小，当x1时，y随x的增大而增大，当0x1时，当x=0时，y有最大值为3，当x=1时，y有最小值为4，当1x3时，当x=3时，y有最大值为0，当x=1时，y有最小值为4，当0x3时，4y0【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）2+k的性质；二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y=a（x-h）2+k的转化【解析】【分析】（1）把A、B两点坐
25、标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即可求得其顶点坐标；（2）由解析式可求得其对称轴，再结合函数的增减性分0x1和1x3分别求y的最大值和最小值即可求得y的取值范围16【答案】（1）解：已知一边长为xcm，则另一边长为（10-x） 则y=x（10-x）化简可得y=10x-x2；（2）解：y=10x-x2 = -（x2-10x）= -（x-5）2+25， 所以当x=5时，矩形的面积最大，最大为25cm2【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）已知一边长为xcm，则另一边长为（20-2x），根据面积公式即可解答；（2）把函数解析式用配方法化简，得出y的最大值学科网（北京）股份有限公司