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1、第六章平面向量及其应用6.2.4 向量的数量积 一般地，实数 与向量a 的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：(1)|a|=|a|(2)当0 时,a 的方向与a 方向相同；当0 时,a 的方向与a 方向相反；特别地，当=0或a=0时,a=0一、向量的夹角已知两个非零向量 和，作，则 叫做向量 和 的夹角OABOA BO A BOAB 我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）FS力F所做的功W可用下式计算：W=|F|S|cos 其中是F与S的夹角思考1：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？标量，大小由力、位移及它们的夹角确定。思考2：如果我们将公式中的力与位
2、移类比推广到两个一般向量，其 结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；二、平面向量的数量积的定义 已知非零向量 与，我们把数量 叫作 与 的数量积（或内积），记作，其中 为两向量的夹角；即：规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 说明：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.（2）a b中间的“”在向量的运算中不能省略，也不能写 成ab，ab 表示向量的另一种运算（外积）（3）在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是 0，180 思考3：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？当0 90时 为正
3、；当90 180时 为负。当=90时 为零。数量积符号由cos 的符号所决定例1.已知解：=-10解：由得因为所以。三、向量的投影投影投影向量OOOABC DA1B1投影向量OMNM1OMNM1四、平面向量的数量积的性质(3)当向量 与 共线同向时，；当向量 与 共线反向时，.特别地，或(5)=90=0=180cos1设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则已知向量 和实数，则向量的数量积满足：（1）（交换律）（2）（数乘结合律）（3）（分配律）五、平面向量的数量积的运算律思考4：向量的数量积满足结合律 吗？说明：例3.对任意，恒有，对任意向量，是否也有下面类似的结论？解：练习：
4、导与练大册子例5.已知 为单位向量，且 的夹角 为，求向量在上的投影向量。解：向量 在上的投影向量为练习：导与练大册子方法总结例7 已知|a|=6,|b|=4,(a+2b)(a-3b)=-72,则a与b的夹角为.例8.已知 且与不共线，当k 取何值时，向量与 互相垂直？解：与 互相垂直的充要条件是因为所以解得所以，当 时，与 互相垂直。练习：导与练大册子一、一、1.1.数乘向量的定义及运算律数乘向量的定义及运算律 2.2.向量共线定理向量共线定理 二、定理的应用：二、定理的应用：1.1.证明证明 向量共线向量共线 2.2.证明证明 三点共线三点共线:AB=:AB=BC A,B,CBC A,B,C三点共线三点共线 3.3.证明证明 两直线平行两直线平行:AB=AB=CD ABCD ABCDCD AB AB与与CDCD不在同一直线上不在同一直线上直线直线ABAB直线直线CDCD小结