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1、s 我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）力F所做的功W可用下式计算 W=|F|S|cos 其中是F与S的夹角F功是一个标量，它由力和位移两个向量来功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把确定。这给我们一种启示，能否把“功功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？看成这两个向量的一种运算的结果呢？第1页/共28页1、向量的夹角的概念、向量的夹角的概念 两个非零向量两个非零向量 和和 ，作，作 ，与与 反向反向OABOA 与与 同向同向OABB则则 叫做向量叫做向量 和和 的夹角的夹角记作记作与与 垂直，垂直，OAB注意注意:在两向量的夹角在两向量的夹
2、角定义中定义中,两向量必须是两向量必须是同起点的同起点的第2页/共28页练习练习1、如图，等边三角形中，求、如图，等边三角形中，求 （1）AB与与AC的夹角；的夹角；（2）AB与与BC的夹角。的夹角。ABC 通过平移通过平移变成共起点！变成共起点！第3页/共28页记作记作=已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 ，它们的夹角为，它们的夹角为 ，我们把数量，我们把数量 即有即有叫做叫做 与与 的数量积（或内积），的数量积（或内积），规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0，即即 表示数量而不表示向量,与、不同,它们表示向量；在运用数量积公式解题时,一定要注意向量夹角的取
3、值范围是（1）（2）（3）2、数量积的概念、数量积的概念（4）这是一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合第4页/共28页练习已知练习已知|a|=5，|b|=4，a与与b的夹角的夹角 ，求求a b.解：解：a b=|a|b|cos第5页/共28页(4)cos=(a b)/(|a|b|).(3)当当a与与b同向时同向时,a b=|a|b|;当当a与与b反向时反向时,ab=-|a|b|.特别地特别地,a a(或写成或写成 a 2)=|a|2或或|a|=a a 设设a，b都是非零向量，都是非零向量，e是与是与b方向相同的单方向相同的单位向量，位向量，是是a与与e的夹角的夹角,则则 ab=/2c
4、os=0(1)e a=a e=|a|cos.|a|b|cos=0 a b=0向向 量量a与与 b共共 线线|a b|=|a|b|a b=|a|b|cos(5)|a b|a|b|.(2)ab a b=0.3、向量数量积的性质、向量数量积的性质第6页/共28页练习练习3 3、判断下列命题是否正确、判断下列命题是否正确1.若若a=0,则对任意向量则对任意向量b，有，有a b=0.2.若若a0,则对任意非零向量则对任意非零向量b，有，有a b0.3.若若a0,且且a b=0,则则b=0.4.若若ab=0，则，则a=0或或b=0.5.对任意的向量对任意的向量a，有，有a2=a2.6.若若a0,且且a b
5、=a c,则则b=c.()()()()()()第7页/共28页 运算律和运算紧密相连。引入向量数量积后，运算律和运算紧密相连。引入向量数量积后，自然要看一看它满足怎样的运算律。看看向量数量自然要看一看它满足怎样的运算律。看看向量数量积能否满足下面的运算律？积能否满足下面的运算律？已知向量已知向量 和实数和实数 ，则向量的数量积满足：，则向量的数量积满足：（1）（交换律）（交换律）（2）（数乘结合律）（数乘结合律）（3）（分配律）（分配律）（不一定成立）（不一定成立）4、向量数量积的运算律、向量数量积的运算律第8页/共28页（3）12ABOA1B1C证明：在平面内取一点证明：在平面内取一点 ，作
6、，作 ,，（即（即 ）在）在 方向上的投影等于方向上的投影等于在在 方向上的投影的和，方向上的投影的和，即即即即第9页/共28页第10页/共28页第11页/共28页第12页/共28页第13页/共28页四、总结：四、总结：四、总结：四、总结：学习了平面向量数量积性质的应用，常见的题型学习了平面向量数量积性质的应用，常见的题型主要有：主要有：1、直接计算数量积（定义式以及夹角的定义）、直接计算数量积（定义式以及夹角的定义）2、由数量积求向量的模、由数量积求向量的模4、运用数量积的性质判定两向量是否垂直、运用数量积的性质判定两向量是否垂直3、由数量积确定两向量的夹角、由数量积确定两向量的夹角5、判断
7、三角形的形状、判断三角形的形状第14页/共28页OBAB1OBAB1第15页/共28页AOBOBAOBA当当 时时,当当 时时,当当 时时,第16页/共28页参考答案：参考答案：1；1；0；0.问题问题1 1：已知怎样用的坐标表示呢？请同学们看下列问题.设x轴上单位向量为，Y轴上单位向量为请计算下列式子：=平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示第17页/共28页问题问题2：推导出 的坐标公式.答案：答案：这就是向量的数量积的坐标表示，类似可得：若设则这就是A、B两点间的距离公式.第18页/共28页问题问题3：写出向量夹角公式的坐标表示式，向量 平行和垂直的坐标表示式.（1）答案：答案
8、：（2）（3）说明：这里式子中向量都是非零向量说明：这里式子中向量都是非零向量第19页/共28页例题分析例题分析例例1：想一想的夹角有多大？第20页/共28页例例2：已知A（1,2）,B（2,3）,C（2,5）,求证 ABC是直角三角形.想一想：还有其他证明方法吗？提示：可先计算三边长，再用勾提示：可先计算三边长，再用勾股定理验证。股定理验证。证明：证明：ABC是直角三角形第21页/共28页例例3：求与向量 的夹角为45o的 单位向量.分析：分析：可设x（m,n)，只需求m,n.易知再利用 （数量积的坐标法）即可！解：解：设所求向量为 ,由定义知：另一方面第22页/共28页由，知解得：或或说明：可设 进行求解.第23页/共28页，求求例例4 在在中，中，值。值。解：当解：当时，时，当当时，时，当当时，时，综上，所求综上，所求k的值为的值为 或或 或或第24页/共28页演练反馈演练反馈B 1、若 则 与 夹角的余弦值 为 （）2、已知：求证：答案：答案：第25页/共28页总结提炼总结提炼 A、B两点间的距离公式.（1）（2）（3）第26页/共28页第27页/共28页感谢您的欣赏感谢您的欣赏第28页/共28页