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1、抽象代数期末考试试卷及答案抽象代数试题一、单项选择题(本大题共5 小题，每小题3 分，共 1 5 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、6 阶有限群的任何子群一定不是()。A、2 阶 B、3阶 C、4阶 D、6阶2、设 G是群，G 有()个元素，则不能肯定G是交换群。A、4 个 B、5 个 C、6 个 D、7 个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于()A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次第4、下列哪个偏序集构成有界格()A、(N,)C、(2,3,4,6,1 2 ,|(整除关系)D、(P(A),G)5、设
2、S 3=,(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2),那么，在 S 3 中可以与(1 2 3)交换的所有元素有()A、(1),(1 2 3),(1 3 2)B、1 2),(1 3),(2 3)C、(1),(1 2 3)D、S 3 中的所有元素二、填空题(本大题共1 0 小题，每空3分，共 3 0 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是-的，每个元素的逆元素是-的。2、如果/是A与了间的一一映射，。是A的一个元，则 尸 次。)=-。3、区间 1,2 上的运算。=m i n a,。的单位元是-。4、可换群 G 中|a|=6,|x|=8,则|a
3、 x|=-。5、环 Z g 的零因子有-。6、一个子群H的右、左陪集的个数-。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-o8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-o9、设群G中元素。的阶为，如 果=e,那 么 与“存在整除关系为2三、解答题(本大题共3小题，每小题1 0分，共3 0分)1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链?2、S”S 2是A的子环，则S 1 C S 2也是子环。S 1+S 2也是子环吗？3、设有置换 0 =(1 3 4 5)(1 2 4 5),=(2 3 4)(4 5 6)。1 .求6 和r h；2 .确定置换6和，3的奇偶性。四
4、、证明题(本大题共2小题，第1题1 0分，第2小题1 5分，共2 5分)1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明炉W1的 充 分 必 要 条 件 是 和3近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题(本大题共5 小题，每小题3 分，共 1 5 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空题(本大题共1 0 小题，每空3分，共 3 0 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一;2、3、2；4、2 4；5、2啊 6 相等；7 商群；
5、特征;9、帅；三、解答题(本大题共3 小题，每小题1 0 分，共 3 0 分)1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1 种，四白一黑1 种，三白二黑 2 种，等等，可得总共8 种。2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,bG S i n S 2有 a-b,a bG S ln s 2：因为S L S 2是A 的子环，故 a-b,a bCS l 和 a-b,a bS 2,因而a-b,a bG S i n S 2,所以S i n S 2是子环。S 1+S 2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：设 4=%(Z),凡=:卜
6、 C Zb2=1:k易见S 与62均为子环，但S 1+S 2=1；卜瓦Z 卜 是子坏3、解：1.6=(1243)(56),r3 =(16524)；2.两个都是偶置换。四、证明题(本大题共2 小题，第 1题 10 分，第 2 小题15分，共 25分)1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那 么 由 理 想 的 定4义a%=lG,因而R的任意元b=这就是说=R,证毕。2、证 必要性：将 b 代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e,ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e,所以b=a-l.一.判断题(每小题2分，共20分)1
7、.实 数 集R关 于 数 的 乘 法 成 群.()2.若是群G的一个非空有限子集，且.公都有a b e H成 立，则 是G的 一 个 子 群.()3.循环群一定是交换群.()4.素数阶循环群是单群.()5.设G是有限群，a e G,是的阶，若a*=e,则 田.()6.设/是群G到群G的同态映射，是G的子群,则/()是G的 子 群.()57.交 换 群 的 子 群 是 正 规 子 群.()8 .设G是有限群,是G的子群，则|%卜曷.()9.有限域的特征是合数.()10 .整数环z的全部理想为形如 Z的理想.()二 选择题(每小题3分，共15分)11.下面的代数系统(G,*)中，()不是群.A.G
8、为整数集合，*为加法；B.G为偶数集合，*为加法；C.G为有理数集合，*为加法；D.G为整数集合，*为乘法.1 2.设是G的 子 群，且G有左陪集分类.如果的阶为6,那么G的阶|G|=()A.6；B.24；C.10；D.12.13.设S 3=,(12),(0,(23),(123),(132),贝()邑 中与元()不能交换的元的个数是6A.1；B.2；C.3；D.4.14.从同构的观点看，循环群有且只有两种，分 别 是（）A.G=（a）与 G的子群；B.整数加法群与模的剩余类的加法群；C.变换群与置换群；D.有理数加法群与模的剩余类的加法群.15.整数环Z 中，可逆元的个数是（）oA.1个 B.
9、2个 C.4个 D.无限个三.填空题（每小题3 分，共 15分）16.如果G 是全体非零有理数的集合，对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是.17.次对称群s .的阶是.18 .整 数 加 法 群 z关 于 子 群 必 的 陪 集为19.设N 是G 的正规子群，商群 中的单位元是 o20 .若R是 交 换 环，”式 则 主 理 想（。）=-四.计算题（第21小题8分，第22小题12分，共20 分）72 L令T2 3 4 5 61 2 3 4 5 65 4 3 2a=2 35 6 42 3 4 56 2 1 3 5计算夕6小.22.设 =,(123),(132)是3次对称群工的子群，求的
10、所有左陪集和右陪集，并说明“是否是邑的正规子群.五.证明题(每题 10分，共30分)23.设G是群，是G的子群，证明：awG,则 a H a 也是子群824.设G是群，H是G的正规子群.G关于”的陪集的集合为%=g|geG，证明：G/”对于陪集的乘法成为一个群，称为G对”的商群.25.证明：域P上全体矩阵的集合叫在矩阵的加法和乘法下成为环.9一.判断题(每小题2分，共20分)1-10 X X V V V V V V X V二.选择题(每小题3分，共15分)11.D；12.B；13.C；14.B；15.B.三.填空题(每小 题3分，共15分)16.1；17.！；18.nZ,“Z+l,Z+(-1)
11、；19.N；20.aR.四.计算下列各题(第 21小 题8分，第22小 题12分，共20分)21.解：2 3 4 5 6,(5 4 6 2 1 3)4 分,(1 2 3 4 5 6)a-=(3 1 2 6 4 5)8 分2 2.解：”的所有左陪集为”=(1),(123),(132),(12)H=(12),(13),(23)；4 分H的所有右陪集为”=(1),023),(132),H(12)=(12),(13),(23).对 Ver e S f 有 bH=Her f 即“是正规子群.12分10五.证明题（每 题 10分，共30分）23.证明：因为“是G的子群，对任意有个-e ”,4 分由题意，对
12、任意x,yeH f 有axaay a G aHa，从而axa aya）=axya G aHa,即 aHa 也 是 子 群.10分2 4 .证明：首先对于上述乘法是封闭的，且乘法满足结合律.3 分陪集 H=eH 是 它 的 单 位 元，eHgH=egH=gH,yg eH 7 分又任意g H，有 g-HgH=eH=gHg T H，即g为是g”的逆元.10分25.证明：MC）关于加法是封闭的，且满足结合律，3 分零元是源.，对任意“得仍）,有4.+（-4.）=。，即4”的负 元-A,x M关于乘法是封闭的，且满足结合律，单位元是纥.8 分乘 法 关 于 加 法 的 分 配 律 成 立.11分1012