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1、1 抽象代数试题一、单项选择题 (本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、6 阶有限群的任何子群一定不是（） 。A、2 阶B、3 阶 C、4 阶D 、 6 阶2、设 G是群， G有（ ）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4 个 B、5 个 C、6 个 D、7 个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（） 。A、偶数B、奇数 C、4 的倍数 D、2 的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、 （N,） B、 （Z,）C、 （2,3,4,6,12,|（整除关系）D、 (P(
2、A),) 5、设 S3(1) ，(12) ，(13) ，(23) ，(123) ，(132) ，那么，在 S3中可以与 (123)交换的所有元素有（）A、(1) ，(123) ，(132) B、12)，(13) ，(23) C、(1) ，(123) D、S3中的所有元素二、填空题 (本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是 -的，每个元素的逆元素是-的。2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则aff1-。3、区间 1 ，2 上的运算,minbaba的单位元是 -。4、可换群 G中|a|=6,|x|=8,则|
3、ax|= 。5、环 Z8的零因子有 -。6、一个子群 H的右、左陪集的个数 -。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/ 它自己的 -。8、无零因子环 R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-。9、 设群G中元素a的阶为m， 如果ean， 那么m与n存在整除关系为 -。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 2 三、解答题（本大题共3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、用 2 种颜色的珠子做成有5 颗珠子项链，问可
4、做出多少种不同的项链？2、S1，S2是 A的子环，则 S1S2也是子环。 S1+S2也是子环吗？3、设有置换)1245)(1345(，6)456)(234(S。1求和1；2确定置换和1的奇偶性。四、证明题（本大题共2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、一个除环 R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a 和 ab2a=e。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - -
5、- - - - - - - 3 近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题 (本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空题 (本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一； 2、a；3、2；4、24；5、；6、相等； 7、商群；8、特征；9、nm；三、解答题（本大题共3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔
6、在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2种，等等，可得总共8 种。2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b S1S2 有 a-b, ab S1S2：因为 S1，S2是 A的子环，故 a-b, ab S1和 a-b, ab S2 ，因而 a-b, ab S1S2 ，所以 S1S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1 )56)(1243(，)16524(1；2两个都是偶置换。四、证明题（本大题共2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明：假定是 R的一个理想而不是零
7、理想，那么a0，由理想的定名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 4 义11aa，因而 R的任意元1bb这就是说=R ，证毕。2、证 必要性：将 b 代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，所以 b=a-1。一判断题( 每小题 2 分, 共 20 分)1. 实数集R关于数的乘法成群. （）2. 若H是群
8、G的一个非空有限子集，且,a bH都有abH成立，则H是G的一个子群. （）3. 循环群一定是交换群. （）4. 素数阶循环群是单群. （）5. 设G是有限群，aG，n是a的阶，若kae，则|n k. （）6. 设f是群G到群G的同态映射，H是G的子群，则fH是G的子群 . （）7. 交换群的子群是正规子群. （）8. 设G是有限群，H是G的子群，则|GGHH. （）9. 有限域的特征是合数. （）10. 整数环Z的全部理想为形如nZ的理想 . （）二选择题( 每小题 3 分, 共 15 分) 11. 下面的代数系统,G中， （）不是群 . A. G为整数集合，为加法； B. G为偶数集合，为
9、加法； C. G为有理数集合，为加法； D. G为整数集合，为乘法 . 12. 设H是G的子群， 且G有左陪集分类,H aH bH cH. 如果H的阶为 6，那么G的阶G（）A. 6；B.24 ；C.10 ；D.12. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 5 13. 设31 , 12 , 13 , 23 , 123 , 132 ,S，则3S中与元123不能交换的元的个数是A. 1 ；B. 2 ； C. 3 ； D.4
10、. 14. 从 同 构 的 观 点 看 ， 循 环 群 有 且 只 有 两 种 ， 分 别 是 （）A. G= （ a） 与 G 的 子 群 ；B. 整 数 加 法 群 与 模n的 剩 余 类 的 加 法 群 ；C. 变 换 群 与 置 换 群 ；D. 有 理 数 加 法 群 与 模n的 剩 余 类 的 加 法 群 . 15. 整数环 Z 中，可逆元的个数是( )。A.1 个 B.2个C.4 个 D. 无限个三填空题( 每小题 3 分, 共 15 分)16. 如果G是全体非零有理数的集合，对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 . 17. n次对称群nS的阶是 _. 18. 整数加法群
11、Z关于子群nZ的陪集为 . 19. 设N是G的正规子群，商群NG中的单位元是。20. 若R是交换环 , aR则主理想a_. 四计算题( 第 21 小题 8 分, 第 22 小题 12 分，共 20 分)21. 令123456654321，465132654321，453126654321，计算1,.22. 设)132(),123(),1(H是 3 次对称群3S的子群， 求H的所有左陪集和右陪集，并说明H是否是3S的正规子群 . 五证明题( 每题 10 分, 共 30 分)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整
12、理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 6 23. 设G是群，H是G的子群，证明：aG，则1aHa也是子群24. 设G是群，H是G的正规子群 . G关于H的陪集的集合为|GgHgGH，证明：/G H对于陪集的乘法成为一个群，称为G对H的商群 . 25. 证明：域F上全体nn矩阵的集合nMF在矩阵的加法和乘法下成为环. 一判断题( 每小题 2 分, 共 20 分)1-10 二选择题( 每小题 3 分, 共 15 分) 11. D；12. B；13. C； 14. B；15. B. 三填空题( 每小题 3 分, 共 15 分) 16. 1 ； 1
13、7. !n；18. ,1,1nZ nZnZn； 19. N；20. aR. 四计算下列各题(第 21小题 8 分, 第 22小题 12 分，共 20 分) 21. 解：123456546213，4 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 7 1123456312645. 8 分22. 解：H的所有左陪集为)132(),123(),1(H，1 2 (1 2 ) , ( 1 3 ) , ( 2 3 ) H；4 分H的所有右
14、陪集为)132(),123(),1(H，12(12),(13),(23)H. 对3S，有HH，即H是正规子群 . 12 分五证明题( 每题 10 分, 共 30 分)23. 证明： 因为H是G的子群，对任意, x yH，有1xyH. 4 分由题意，对任意, x yH，有111,a xaayaa Ha，从而111111axaay aaxy aaHa，即1aHa也是子群 .10 分24. 证明： 首先GH对于上述乘法是封闭的，且乘法满足结合律. 3 分陪集HeH是它的单位元，,eHgHegHgHgH. 7 分又任意gH，有11gHgHeHgHgH，即1gH是gH的逆元 . 10 分25. 证明：nMF关于加法是封闭的，且满足结合律，3分零元是0n n，对任意n nnAMF，有0n nn nn nAA，即n nA的负元是n nA. nMF关于乘法是封闭的，且满足结合律，单位元是n nE.8 分乘法关于加法的分配律成立.10 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -