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1、一、单项选择题（本大题共5 小题,每小题 3 分，共15 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设 G 有 6 个元素的循环群，a 是生成元，则 G 的子集（）是子群。A、B、C、D、2、下面的代数系统（G，*）中，(）不是群A、G 为整数集合，*为加法 B、G 为偶数集合,为加法C、G 为有理数集合,为加法 D、G 为有理数集合,为乘法3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（)A、ab=abB、ab=maxa，b C、ab=a+2b D、ab=|a-b4、设、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（
2、24）(14）,=（1324），则=(）A、B、C、D、5、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题(本大题共 10 小题,每空 3 分,共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个-同构。2、一个有单位元的无零因子-称为整环。3、已知群中的元素的阶等于 50，则的阶等于-.4、a 的阶若是一个有限整数 n,那么 G 与-同构。5、A=1。2。3 B=2。5。6 那么 AB=-。6、若映射既是单射又是满射，则称为-.7、叫做域的一个代数元,如果存在的-使得。8、是代数系统的元
3、素，对任何均成立，则称为-。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、-。10、一个环 R 对于加法来作成一个循环群，则 P 是-。三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分,共 30 分)1、设集合 A=1,2，3G 是 A 上的置换群，H 是 G 的子群，H=I，（1 2），写出H 的所有陪集。2、设E 是所有偶数做成的集合,“是数的乘法，则“”是E 中的运算，（E，)是一个代数系统，问(E,)是不是群,为什么?3、a=493，b=391,求（a，b），a，b 和 p，q。四、证明题(本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2
4、小题 15 分,共 25 分）1、若G，是群，则对于任意的 a、bG,必有惟一的 xG 使得 a*xb。2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：ab当且仅当mab。近世代数模拟试题三近世代数模拟试题三一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、6 阶有限群的任何子群一定不是（)。A、2 阶B、3 阶 C、4 阶D、6 阶2、设 G 是群，G 有（)个元素，则不能肯定 G 是交换群.A、4 个 B、5 个 C、6 个 D、7 个3、有限布尔代数的元素的
5、个数一定等于（）。A、偶数B、奇数 C、4 的倍数 D、2 的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,)B、（Z,）C、(2，3,4,6,12，（整除关系）)D、（P(A),）5、设 S3（1)，(12)，(13)，(23），（123），（132），那么，在 S3 中可以与(123）交换的所有元素有()A、(1),(123）,(132)B、12），(13），(23)C、(1),（123)D、S3 中的所有元素二、填空题（本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、群的单位元是-的,每个元素的逆元素是-的。2、如果是与间的一
6、一映射，是的一个元，则-。3、区间1，2上的运算的单位元是-。4、可换群 G 中a=6，|x|=8,则|ax|=-。5、环 Z8的零因子有-。6、一个子群 H 的右、左陪集的个数-。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-。8、无零因子环 R 中所有非零元的共同的加法阶数称为 R 的-。9、设群中元素的阶为，如果,那么与存在整除关系为-.三、解答题（本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分）1、用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1，S2是 A 的子环,则 S1S2也是子环.S1+S2也是子环吗？3、设有置换,.1求和;2确定置换和的奇
7、偶性。四、证明题(本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、一个除环 R 只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M 为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。近世代数模拟试题一近世代数模拟试题一参考答案参考答案一、单项选择题。1、C；2、D；3、B;4、C；5、D；二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)。1、；2、单位元；3、交换环;4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、a；8、S=I 或 S=R；9、域；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分,共 30 分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘
8、积:可知为奇置换,为偶置换。和可以写成如下对换的乘积:2、解：设 A 是任意方阵，令,则 B 是对称矩阵,而 C 是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于 0，即：，所以,表示法唯一。3、答：（，）不是群，因为中有两个不同的单位元素 0 和 m。四、证明题（本大题共 2 小题,第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、对于 G 中任意元 x，y，由于，所以（对每个 x，从可得）。2、证明在 F 里有意义，作 F 的子集显然是 R 的一个商域证毕.近世代数模拟试题二近世代数模拟试题二参考答案参
9、考答案一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。1、C;2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空题（本大题共 10 小题，每空 3 分,共 30 分）.1、变换群；2、交换环；3、25；4、模 n 乘余类加群;5、2；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分)1、解：H 的 3 个右陪集为:I，(1 2)，（1 2 3），（1 3)，（1 3 2)，（2 3)H 的 3 个左陪集为：I,(1 2),（1 2 3）,(2 3）,（1 3 2）,（1 3）2、答：（E,）不
10、是群,因为（E，）中无单位元。3、解 方法一、辗转相除法.列以下算式：a=b+102b=3102+85102=185+17由此得到(a，b)=17，a，b=ab/17=11339。然后回代：17=102-85=102(b-3102)=4102b=4(a-b）b=4a-5b.所以 p=4,q=5。四、证明题（本大题共 2 小题,第 1 题 10 分,第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明 设 e 是群 G，的幺元。令 xa1b，则 axa*(a1*b)(a*a1)bebb。所以，xa1b 是 a*xb 的解。若 xG 也是 axb 的解，则 xex(a1*a）*xa1*（ax)a1*bx
11、.所以，xa1b 是 axb 的惟一解。2、容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合记为Zm，每个整数 a 所在的等价类记为a=xZ；mxa或者也可记为，称之为模 m 剩余类.若 mab 也记为 ab(m）。当 m=2 时,Z2 仅含 2 个元：0与1.近世代数模拟试题三近世代数模拟试题三参考答案参考答案一、单项选择题（本大题共 5 小题,每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、C；2、C；3、D;4、D；5、A；二、填空题(本大题共 10 小题,每空 3 分，共 30
12、 分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。1、唯一、唯一;2、；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群;8、特征;9、；三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分）1、解 在学群论前我们没有一般的方法,只能用枚举法。用笔在纸上画一下,用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只 1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2种，等等，可得总共 8 种。2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意 a，bS1S2 有 a-b,abS1S2:因为 S1，S2 是 A 的子环，故 a-b，abS1 和 ab，abS2，因而 ab，abS1S2，所以 S1S2 是子环。S1+S2 不一定是子环.在矩阵环中很容易找到反例：3、解:1,；2两个都是偶置换。四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分,第 2 小题 15 分,共 25 分）1、证明：假定是R 的一个理想而不是零理想,那么 a，由理想的定义，因而R 的任意元这就是说=R,证毕。2、证 必要性:将 b 代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算:ab=ab(ab2a）=（aba)b2a=ab2a=e,ba=(ab2a)ba=ab2（aba)=ab2a=e,所以 b=a1。