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1、高等代数（高等代数（IIII）期末考试试卷及答案（）期末考试试卷及答案（A A 卷）卷）一、一、填空题（每小题填空题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1 1、线性空间、线性空间Px的两个子空间的交的两个子空间的交L1xL1 x2 2、设、设1,2,.,n与与1,2,.,n是是 n n 维线性空间维线性空间 V V 的两个基，的两个基，由由1,2,.,n到到1,2,.,n的过渡矩阵是的过渡矩阵是 C C，列向量，列向量 X X 是是 V V中向量中向量在基在基1,2,.,n下的坐标，则下的坐标，则在基在基1,2,.,n下下的坐标是的坐标是3 3、设、设 A A、B B 是是 n
2、n 维线性空间维线性空间 V V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，的某一线性变换在不同基下的矩阵，则则 A A 与与 B B 的关系是的关系是4 4、设、设 3 3 阶方阵阶方阵 A A 的的 3 3 个行列式因子分别为：个行列式因子分别为：1,21,则其特征矩阵则其特征矩阵E A的标准形是的标准形是5 5、线性方程组、线性方程组AX B的最小二乘解所满足的线性方程组是：的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、二、单项选择题（每小题单项选择题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1 1、（）复数域）复数域 C C 作为实数域作为实数域 R R 上的线性空间可与下列哪一个上的线性空间可
3、与下列哪一个线性空间同构：线性空间同构：（A A）数域）数域 P P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间；上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B B）数域）数域 P P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C C）数域）数域 P P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D D）复数域）复数域 C C 作为复数域作为复数域 C C 上的线性空间。上的线性空间。2 2、（）设）设是非零线性空间是非零线性空间 V V 的线性变换，则下列命题正确的是：的线性变换，则下列命题正确的是：（A A）的核是零子空间的充要条件是的核是零子空间
4、的充要条件是是满射；是满射；（B B）的核是的核是 V V 的充要条件是的充要条件是是满射；是满射；（C C）的值域是零子空间的充要条件是的值域是零子空间的充要条件是是满射；是满射；（D D）的值域是的值域是 V V 的充要条件是的充要条件是是满射。是满射。3 3、（）矩阵矩阵A可逆的充要条件是：可逆的充要条件是：AA0;BA是一个非零常数；是一个非零常数；f XAX（A A 为对称阵）经正交变换后化为：为对称阵）经正交变换后化为：CA是满秩的；是满秩的；DA是方阵。是方阵。4 4、（）设实二次型）设实二次型221y122y2.nyn，则其中的则其中的1,2,.n是：是：A1;B全是正数；全是
5、正数；C是是 A A 的所有特征值；的所有特征值；D不确定。不确定。5 5、（）设）设 3 3 阶实对称矩阵阶实对称矩阵 A A 有三重特征根“有三重特征根“2”，则，则 A A 的若当的若当标准形是：标准形是：200 020A;002200 120B;002200 120C;012D以上各情形皆有可能。以上各情形皆有可能。三、三、是非题（每小题是非题（每小题 2 2 分，共分，共 1010 分）分）（请在你认为对的小题对应的括号内打（请在你认为对的小题对应的括号内打“”，否则打，否则打“”）1 1、（）设设 V V1 1，V V2 2均是均是 n n 维线性空间维线性空间 V V 的子空间，
6、的子空间，且且V1则则VV20V1V2。2 2、（）n n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下的矩阵是一对角矩阵。的矩阵是一对角矩阵。3 3、（）同阶方阵）同阶方阵 A A 与与 B B 相似的充要条件是相似的充要条件是E A与与E B等价。等价。4 4、（）n n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。5 5、（）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。四、四、解答题（每小题解答题（每小题 1010 分，共分，共 3030 分）分）1 1、
7、在线性空间、在线性空间P中，定义线性变换：中，定义线性变换：4a,b,c,da,b,ac,bda,b,c,dP4（1 1）求该线性变换）求该线性变换在自然基：在自然基：11,0,0,0,20,1,0,030,0,1,0,40,0,0,1下的矩阵下的矩阵 A A；（2 2）求矩阵）求矩阵 A A 的所有特征值和特征向量。的所有特征值和特征向量。2 2、（1 1）求线性空间）求线性空间Px3中从基中从基I:1,x1,x12到基到基II:1,x1,x1的过渡矩阵；的过渡矩阵；（2 2）求线性空间）求线性空间P2x3中向量中向量fx12x3x2在基在基2I:1,x1,x1下的坐标。下的坐标。3 3、在
8、、在 R R2 2中，中，a1,a2,b1,b2，规定二元函数：，规定二元函数：,a1b1a1b2a2b14a2b2（1 1）证明：这是证明：这是 R R2 2的一个内积。的一个内积。（2 2）求求 R R2 2的一个标准正交基。的一个标准正交基。五、五、证明题（每小题证明题（每小题 1010 分，共分，共 3030 分）分）1 1、设设 P P3 3的两个子空间分别为：的两个子空间分别为：W1x,x,xx x123132 x3 0,W2x,x,xx x12312x3 0证明：证明：（1 1）P W1W2；（2 2）W1W2不是直和。不是直和。2 2、设、设是数域是数域 P P 上线性空间上线
9、性空间 V V 的线性变换，证明的线性变换，证明W L1,2,.,r是是的不变子空间的兖要条件是的不变子空间的兖要条件是iWi 1,2,.,r3 3、已知、已知AE是是 n n 级正定矩阵，证明：级正定矩阵，证明：（1 1）A A 是正定矩阵；是正定矩阵；（2 2）A2E 3n答案答案一、一、填空题（每小题填空题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1 1、线性空间、线性空间Px的两个子空间的交的两个子空间的交L1xL1 x02 2、设、设1,2,.,n与与1,2,.,n是是 n n 维线性空间维线性空间 V V 的两个基，的两个基，由由1,2,.,n到到1,2,.,n的过渡矩阵是
10、的过渡矩阵是 C C，列向量，列向量 X X 是是 V V中向量中向量在基在基1,2,.,n下的坐标，则下的坐标，则在基在基1,2,.,n下下的坐标是的坐标是C1X3 3、设、设 A A、B B 是是 n n 维线性空间维线性空间 V V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，的某一线性变换在不同基下的矩阵，则则 A A 与与 B B 的关系是的关系是相似关系相似关系4 4、设、设 3 3 阶方阵阶方阵 A A 的的 3 3 个行列式因子分别为：个行列式因子分别为：1,21,则其特征矩阵则其特征矩阵E A的标准形是的标准形是010000015 5、线性方程组、线性方程组AX B的最小二乘解所满足的线
11、性方程组是：的最小二乘解所满足的线性方程组是：AAX AB二、二、单项选择题（每小题单项选择题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）2 2、（A A）复数域）复数域 C C 作为实数域作为实数域 R R 上的线性空间可与下列哪一个上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构：线性空间同构：（A A）数域）数域 P P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间；上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B B）数域）数域 P P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C C）数域）数域 P P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D
12、D）复数域）复数域 C C 作为复数域作为复数域 C C 上的线性空间。上的线性空间。2 2、（D D）设）设是非零线性空间是非零线性空间 V V 的线性变换，则下列命题正确的是：的线性变换，则下列命题正确的是：（A A）的核是零子空间的充要条件是的核是零子空间的充要条件是是满射；是满射；（B B）的核是的核是 V V 的充要条件是的充要条件是是满射；是满射；（C C）的值域是零子空间的充要条件是的值域是零子空间的充要条件是是满射；是满射；（D D）的值域是的值域是 V V 的充要条件是的充要条件是是满射。是满射。3 3、（B B）矩阵矩阵A可逆的充要条件是：可逆的充要条件是：AA0;BA是一
13、个非零常数；是一个非零常数；f XAX（A A 为对称阵）经正交变换后化为：为对称阵）经正交变换后化为：CA是满秩的；是满秩的；DA是方阵。是方阵。4 4、（C C）设实二次型）设实二次型221y122y2.nyn，则其中的则其中的1,2,.n是：是：A1;B全是正数；全是正数；C是是 A A 的所有特征值；的所有特征值；D不确定。不确定。5 5、（A A）设）设 3 3 阶实对称矩阵阶实对称矩阵 A A 有三重特征根“有三重特征根“2”，则，则 A A 的若当的若当标准形是：标准形是：200 020A;002200 120B;002200 120C;012D以上各情形皆有可能。以上各情形皆有
14、可能。三、三、是非题（每小题是非题（每小题 2 2 分，共分，共 1010 分）分）（请在你认为对的小题对应的括号内打（请在你认为对的小题对应的括号内打“”，否则打，否则打“”）1 1、（）设设 V V1 1，V V2 2均是均是 n n 维线性空间维线性空间 V V的子空间，的子空间，且且V1则则VV20V1V2。2 2、（）n n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下的矩阵是一对角矩阵。的矩阵是一对角矩阵。3 3、（）同阶方阵）同阶方阵 A A 与与 B B 相似的充要条件是相似的充要条件是E A与与E B等价。等价。4 4、（）n
15、n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。5 5、（）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。四、四、解答题（每小题解答题（每小题 1010 分，共分，共 3030 分）分）1 1、在线性空间、在线性空间P中，定义线性变换：中，定义线性变换：4a,b,c,da,b,ac,bda,b,c,dP4（1 1）求该线性变换）求该线性变换在自然基：在自然基：11,0,0,0,20,1,0,030,0,1,0,40,0,0,1下的矩阵下的矩阵 A A；（2 2）求矩阵）求矩阵 A A 的所有特征值和特征向量。的
16、所有特征值和特征向量。10解：解：（1 1）线性变换）线性变换在自然基下的矩阵是在自然基下的矩阵是A 10（2 2）因为）因为000100（5 5 分）分）010101E A 14所以矩阵所以矩阵 A A 的所有特征值是的所有特征值是1解齐次线性方程组解齐次线性方程组2341E AX 0得矩阵得矩阵 A A 的所有特征向量：的所有特征向量：k10,0,1,0 k20,0,0,1，其中，其中k1,k2不全为零。不全为零。（5 5 分）分）2 2、（1 1）求线性空间）求线性空间Px3中从基中从基I:1,x1,x1到基到基2II:1,x1,x1（2 2）求线性空间）求线性空间P22的过渡矩阵；的过
17、渡矩阵；x3中向量中向量fx12x3x2在基在基111 1,x,x2012001I:1,x1,x1下的坐标。下的坐标。解：解：（1 1）因为）因为1,x1,x121,x1,x121111,x,x20120011所以所以1,x1,x12 1,x1,x12111 111 012012 001 001 1,x1,x12111 111012012001001 1,x1,x12124014001124即所求的过渡矩阵为即所求的过渡矩阵为014（5 5 分）分）00121,x,x 1,x1,x1（2 2）因为）因为2111012001 1 22f x 12x3x 1,x,x2 故故3 1,x1,x1211
18、1 1 20122 24 x1 3 x100132 2所以所以fx在基在基I:1,x1,x1下的坐标是：下的坐标是：4（5 5 分）分）3 3 3、在、在 R R2 2中，中，a1,a2,b1,b2，规定二元函数：，规定二元函数：,a1b1a1b2a2b14a2b2（3 3）证明：这是证明：这是 R R2 2的一个内积。的一个内积。（4 4）求求 R R2 2的一个标准正交基。的一个标准正交基。（1 1）证明：）证明：,a1b1a1b2a2b14a2b2 11b1a1,a2b142 11因为因为是正定矩阵，是正定矩阵，14所以这个二元函数是所以这个二元函数是 R R2 2的一个内积。的一个内积
19、。（5 5 分）分）（2 2）解：考察自然基）解：考察自然基11,0,20,1 11它的度量矩阵正是它的度量矩阵正是14令：令：111,0,2,12,1122121211,111,11,1111,221,1再令：再令：1123则则1,2是是 R R2 2的一个标准正交基。的一个标准正交基。（5 5 分）分）（2 2）解法二：考察自然基）解法二：考察自然基11,0,1120,1 11它的度量矩阵正是它的度量矩阵正是140 1110r2r11010r2 1310114 01 c c031101131321c2 13 11令：令：1,21,201311即：即：13231,1则则1,2的度量矩阵是的度
20、量矩阵是 E E，从而是，从而是 R R2 2的一个标准正交基。的一个标准正交基。五、五、证明题（每小题证明题（每小题 1010 分，共分，共 3030 分）分）2 2、设设 P P3 3的两个子空间分别为：的两个子空间分别为：W1x,x,xx x123132 x3 0,W2x,x,xx x12312x3 0证明：证明：（1 1）P W1W2；（2 2）W1W2不是直和。不是直和。证明：证明：（1 1）WW1 1的一个基是：的一个基是：11,1,0,21,0,1WW2 2的一个基是：的一个基是：11,1,0,21,0,1因为因为W1W2 L1,2,1,2其中其中1,2,1是是W1W2的生成元的
21、一个极大无关组的生成元的一个极大无关组从而是从而是W1W2的一个基，的一个基，所以所以dimW1W23 P3W1W2（5 5 分）分）2,dimW2 2,dimW1W23（2 2）因）因dimW1即即dimW1W2 dimW1dimW所以所以W1W2不是直和。不是直和。（5 5 分）分）（2 2）之证法二：因为）之证法二：因为W1W2 L0,1,10所以所以W1W2不是直和。不是直和。2 2、设设是数域是数域 P P 上线性空间上线性空间 V V 的线性变换，的线性变换，证明证明W L1,2,.,r是是的不变子空间的兖要条件是的不变子空间的兖要条件是证明：证明：（充分性）设有（充分性）设有iW
22、i 1,2,.,riWi 1,2,.,r k11k22.krrW k11 k22.krrWW L1,2,.,r是是。（5 5 分）分）（必要性）设（必要性）设W L1,2,.,r是是，由由iW,i 1,2,.,riW,i 1,2,.,r（5 5 分）分）3 3、已知、已知AE是是 n n 级正定矩阵，证明：级正定矩阵，证明：（1 1）A A 是正定矩阵；是正定矩阵；（2 2）A2E 3n证明：证明：（1 1）设）设 A A 的特征值为的特征值为1,2,.,n因为因为AE是正定矩阵，是正定矩阵，故其特征值故其特征值i10,i 1,2,.,n1,i 1,2,.,n于是于是 A A 的特征值的特征值i所以所以 A A 是正定矩阵。是正定矩阵。（5 5 分）分）（2 2）因为因为 A A 的特征值的特征值i1,i 1,2,.,n所以所以 A+2EA+2E 的特征值的特征值i23,i 1,2,.,n A 2E i 2 3n（5 5 分）分）i1n