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1、第 4 讲函数的单调性与最值知识梳理知识梳理函数的单调性定义：设函数y f(x)的定义域为A，区间I A如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1 x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说y f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y f(x)的单调增区间如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1 x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说y f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y f(x)的单调减区间如果用导数的语言来，那就是：设函数y f(x)，如果在某区间I上f(x)0，那么f(x)为区间I上的增函数；如果在某区间I上f(x)0，那么f(x)为区间I上的减函数；1函数的最大（小
2、）值设函数y f(x)的定义域为A如果存在定值x0 A，使得对于任意x A，有f(x)f(x0)恒成立，那么称f(x0)为y f(x)的最大值；如果存在定值x0 A，使得对于任意x A，有f(x)f(x0)恒成立，那么称f(x0)为y f(x)的最小值。重、难点突破重、难点突破重点：掌握求函数的单调性与最值的方法难点：函数单调性的理解，尤其用导数来研究函数的单调性与最值重难点：1.对函数单调性的理解（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的x1，x2有三个特征：一是任意性；二是大小，即x1 x2(x1 x2)；三是同属于一
3、个单调区间，三者缺一不可；（3）若用导数工具研究函数的单调性，则在某区间I上f(x)0（f(x)0）仅是f(x)为区间I上的增函数（减函数）的充分不必要条件。（4）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明y f(x)在某区间I上的单调性，那么就要用严格的四个步骤，即取值；作差；判号；下结论。但是要注意，不能用区间I上的两个特殊值来代替。而要证明y f(x)在某区间I上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间I上两个特殊的x1，x2，若x1 x2，有f(x1)f(x2)即可。如果用导数证明y f(x)在某区间I上递增或递减，那么就证明在某区间I上f(x)0或f(x)0。（5）函数的单调
4、性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数y 1分别在(,0)x和(0,)内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即(,0)(0,)内是单调递减的，只能说函数y 1的单调递减区间为(,0)和(0,)x（6）一些单调性的判断规则：若f(x)与g(x)在定义域内都是增函数（减函数），那么。复合函数的单调性规则是“异减同f(x)g(x)在其公共定义域内是增函数（减函数）增”2函数的最值的求法（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时
5、常用此法（但有注意等号是否取得）。（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。热点考点题型探析热点考点题型探析考点 1函数的单调性题型 1：讨论函数的单调性 1,x 1,例 1(2008 广东)设k R,函数f(x)1 xF(x)f(x)kx,x R.x 1,x 1试讨论函数F(x)的单调性.解题思路分段函数要分段处理，由于每一段都是基本初等函数的复合函数，所以应该用导数来研究。1 1,x 1,kx解析:因为f(x)1 x,所以F(x)f(x)kx 1 x,xR.x 1,x 1x 1kx1(1)当 x0，F
6、(x)k,(x 1)(1 x)2当k 0时，F(x)0在(,1)上恒成立，故 F(x)在区间(,1)上单调递增；当k 0时，令F(x)且当x 1k1，解得，x 1 k 0,(x 1)k(1 x)2kk时，F(x)0；当1 x 1时，F(x)0kkkk故 F(x)在区间(,1)上单调递减,在区间(1,1)上单调递增；kk1 k,(x 1)(2)当 x1 时，x-10，F(x)2 x 1当k 0时，F(x)0在(1,)上恒成立，故 F(x)在区间(1,)上单调递减；11 k 0,(x 1)，解得x 12，当k 0时，令F(x)4k2 x 111x 1且当1 x 1时，；当时，F(x)0F(x)02
7、24k4k11)(1,)上单调递增；故 F(x)在区间(1,1上单调递减,在区间4k24k2综上得，当 k=0 时，F(x)在区间(,1)上单调递增，F(x)在区间(1,)上单调递减；1)上单调递减,在区间当 k1,故:3t22t k 013上式对一切tR均成立，从而判别式 412k 0 k .抢分频道抢分频道基础巩固训练：基础巩固训练：1（华师附中 09 高三数学训练题）若函数f(x)x|x a|b在区间(,0上为减函数，则实数a的取值范围是（）A.a 0；B.a 1；C.a 0；D.a 12x x a b(x a)解析 C；因为f(x)x|x a|b 2，由其图象知，若函数x x a b(
8、x a)22f(x)x2|x a|b在区间(,0上为减函数，则应有a 02（普宁市城东中学 09）若函数h(x)2x 范围是（）kk在(1,)上是增函数，则实数k的取值x3A2,)；B2,)；C(,2；D(,2解析 A；若函数h(x)2x kkk在(1,)上是增函数，则h(x)22 0对于x3xx(1,)恒成立，即k 2x2对于x(1,)恒成立，而函数u 2x2(x1,)的最大值为 2，实数k的取值范围是2,)3（09 汕头金中）下列四个函数中，在区间(0,)上为减函数的是（）x1x1Ay x；By ()；Cy xlog2x；Dy x3221141x11解析 C；显然y ()在(0,)上是增函
9、数，y x3在(0,)上也是增函数24411111而对y x求导得y ()x x()xln2 ()x(1 xln2)，对于x(0,)，y 042222x11，所以y x在区间(0,)上为增函数，从而应选择 C42x14（09 潮州金山中学）已知函数f(x)x2 2x 1，若存在实数t，当x1,m时，f(x t)x恒成立，则实数m的最大值是（）A1；B2；C3；D4解析 D；依题意，应将函数f(x)向右平行移动得到f(x t)的图象，为了使得在1,m上，f(x t)的图象都在直线y x的下方，并且让m取得最大，则应取t 2，这时m取得最大值 4(3a1)x4a,x 15（06 北京改编）已知f(
10、x)是(,)上的减函数，那么a的取log x,x 1a值范围是解析,)；要y logax在1，)上是减函数，则0 a 1，要(3a 1)x 4a在1 17 3(,1)上为减函数，则需3a 1 0并且(3a 1)1 4a 0，所以11 a 7326（2008 浙江理）已知 t 为常数，函数y x 2x t在区间0，3上的最大值为 2，则t 2解析1；显然函数y x 2x t的最大值只能在x 1或x 3时取到，若在x 1时取到，则12t 2，得t 1或t 3t 1，x 3时，y 2；t 3，x 3时，y 6（舍去）；若在x 3时取到，则96t 2，得t 1或t 5t 1，x 1时，y 2；t 5，
11、x 1时，y 6（舍去）所以t 1综合提高训练：综合提高训练：7.（06 陕西改编）已知函数f(x)ax22ax4(0 a 3),若x1 x2,x1 x2 a 1 0则f1(x)与f2(x)的大小关系为 解析f(x1)f(x2)；函数f(x)ax22ax4(0 a 3),的图象开口向上，对称轴为x 1，因0 a 3，故x1 x2(1 a)(2,1)，从而x1 x21(1,)，又22x1 x2，所以x2的对应点到对称轴的距离大于x1的对应点到对称轴的距离，故f(x1)f(x2)8已知函数f(x)3x 21122009(x)，求f()f()f()的值2x 12201020102010解析3x 23
12、(1 x)26027 3，；为f(x)f(1 x)22x 12(1 x)1令S f(122009)f()f()，则201020102010200920081S f()f()f()，201020102010从而120092200820091)f()f()f()f()f()201020102010201020102010 200931220096027)f()f()所以S f(20102010201022S f(9（09 年汕头金中）对于函数f(x)x2 2x,在使f(x)M成立的所有常数 M 中，我0,们把 M 的最大值1 叫做f(x)x 2x的下确界，则对于a,bR R且 a,b不全为a2b2
13、的下确界为（）(a b)2A211；B2；C；D424a2b2a2b2a2b21解析 A；因为，2222222(a b)a b 2ab(a b)(a b)21a2b2故的下确界为22(a b)10（08 年湖南）设x表示不超过x的最大整数（如2 2,1）,对于给定的nN N,*54x定义Cnn(n1)x(x1)(nx1)(xx1),x1,求当x,3时，函数C8x的值域解析(4,3216288338(,28；当x,2)时，x 1，C8x，因为函数u 在,2)2x33x2上是减函数，得4 56816；C8x当x2,3)时，因为2 x(x 1)6，x 2，x3x(x1)由单调性得285616283 28，故当x,3时，函数C8x的值域是(4,(,28333x(x1)2