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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思第 4 讲函数的单调性与最值知识梳理函数的单调性定义：设函数)(xfy的定义域为A，区间AI如果对于区间I内的任意两个值1x，2x，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说)(xfy在区间I上是单调增函数，I称为)(xfy的单调增区间如果对于区间I内的任意两个值1x，2x，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说)(xfy在区间I上是单调减函数，I称为)(xfy的单调减区间如果用导数的语言来，那就是：设函数)(xfy，如果在某区间I上0)(xf，那么)(xf为区间I上的增函数；如果在某区间I上0)(xf，那么)(xf为区间I上的减函数；1函
2、数的最大（小）值设函数)(xfy的定义域为A如果存在定值Ax0，使得对于任意Ax，有)()(0 xfxf恒成立， 那么称)(0 xf为)(xfy的最大值；如果存在定值Ax0，使得对于任意Ax，有)()(0 xfxf恒成立， 那么称)(0 xf为)(xfy的最小值。重、难点突破重点：掌握求函数的单调性与最值的方法难点：函数单调性的理解，尤其用导数来研究函数的单调性与最值重难点： 1.对函数单调性的理解（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的1x，2x有三个特征：一是任意性；二是大小，即)(2121xxxx；三是同属于一个单
3、调区间，三者缺一不可；（3）若用导数工具研究函数的单调性，则在某区间I上0)(xf（0)(xf）仅是)(xf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思为区间I上的增函数（减函数）的充分不必要条件。（4）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明)(xfy在某区间I上的单调性，那么就要用严格的四个步骤，即取值；作差；判号；下结论。但是要注意，不能用区间I上的两个特殊值来代替。而要证明)(xfy在某区间I上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间I上两个特殊的1x，2x，若21xx
4、，有)()(21xfxf即可。如果用导数证明)(xfy在某区间I上递增或递减，那么就证明在某区间I上0)(xf或0)(xf。（5） 函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制， 如函数xy1分别在)0,(和),0(内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即), 0()0,(内是单调递减的，只能说函数xy1的单调递减区间为)0,(和),0(（6）一些单调性的判断规则：若)(xf与)(xg在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(xgxf在其公共定义域内是增函数（减函数）。复合函数的单调性规则是“异减同增”2函数的最值的求法（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。（
5、2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得） 。（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。热点考点题型探析考点 1 函数的单调性题型 1：讨论函数的单调性例 1 (2008 广东 ) 设Rk, 函数1, 1, 1,11)(xxxxxfRxkxxfxF,)()(. 试讨论函数)(xF的单调性 . 解题思路 分段函数要分段处理，由于每一段都是基本初等函数的复合函数，所以应该用导数来
6、研究。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 解析 : 因为1, 1, 1,11)(xxxxxf, 所以RxkxxkxxkxxfxF,111)()(. (1) 当 x0 ，) 1( ,)1 (1)(2xkxxF当0k时，0)(xF在)1 ,(上恒成立，故F(x) 在区间)1 ,(上单调递增；当0k时，令)1(, 0)1(1)(2xkxxF，解得kkx1，且当kkx1时，0)(xF；当11xkk时，0)(xF故 F(x) 在区间)1 ,(kk上单调递减 , 在区间)1 ,1 (kk上
7、单调递增；(2) 当 x1 时， x-10 ，) 1( ,121)(xkxxF当0k时，0)(xF在), 1(上恒成立，故F(x) 在区间), 1(上单调递减；当0k时，令)1( ,0121)(xkxxF，解得2411kx，且当24111kx时，0)(xF；当2411kx时，0)(xF故 F(x) 在区间)411 , 1 (2k上单调递减 , 在区间),411(2k上单调递增；综上得，当k=0 时， F(x) 在区间)1 ,(上单调递增，F(x) 在区间), 1(上单调递减；当 k1,故:2320ttk上式对一切tR均成立，从而判别式14120.3kk抢分频道基础巩固训练：1 （华师附中09
8、高三数学训练题）若函数baxxxf|)(2在区间0,(上为减函数，则实数a的取值范围是（）A.0a； B.1a；C.0a；D.1a 解析 C ；因为)()(|)(222axbaxxaxbaxxbaxxxf，由其图象知，若函数baxxxf|)(2在区间0,(上为减函数，则应有0a2 （普宁市城东中学09）若函数32)(kxkxxh在), 1(上是增函数， 则实数k的取值范围是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思A 2 ,)；B2 ,)； C (,2；D(, 2 解析 A； 若函
9、数32)(kxkxxh在), 1(上是增函数，则02)(2xkxh对于), 1 (x恒成立，即22xk对于), 1(x恒成立，而函数), 1 (22xxu的最大值为2，实数k的取值范围是 2,)3 （ 09 汕头金中）下列四个函数中，在区间)41,0(上为减函数的是（）Axxy21；Bxy)21(；Cxxy2log； D31xy 解析 C ；显然xy)21(在)41, 0(上是增函数，31xy在)41, 0(上也是增函数而对xxy21求导得)2ln1()21(2ln)21()21(xxyxxx，对于)41,0(x，0y，所以xxy21在区间)41,0(上为增函数，从而应选择C 4 （09 潮州
10、金山中学）已知函数12)(2xxxf，若存在实数t，当mx, 1时，xtxf)(恒成立，则实数m的最大值是（）A1；B2； C 3；D4 解析 D； 依题意，应将函数)(xf向右平行移动得到)(txf的图象，为了使得在m, 1上，)(txf的图象都在直线xy的下方，并且让m取得最大，则应取2t，这时m取得最大值 4 5 （06 北京改编） 已知(31)4 ,1( )log,1aaxa xf xx x是(,)上的 减函数， 那么a的取值范围是 解析 )31,71；要xyalog在)1 ，上是减函数，则10a，要axa4)13(在) 1 ,(上为减函数，则需013a并且041)13(aa，所以31
11、71a6 （ 2008 浙江理） 已知 t 为常数，函数txxy22在区间 0， 3上的最大值为2，则t解析 1；显然函数txxy22的最大值只能在1x或3x时取到，若在1x时取到，则221t，得1t或3t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1t，3x时，2y；3t，3x时，6y（舍去）；若在3x时取到，则269t，得1t或5t1t，1x时，2y；5t，1x时，6y（舍去）所以1t综合提高训练：7.（06 陕西改编） 已知函数2( )24(03),f xaxaxa若01,2121
12、axxxx则)(1xf与)(2xf的大小关系为 解析 12()()f xf x；函数2( )24(03),f xaxaxa的图象开口向上，对称轴为1x，因30a，故) 1 ,2()1(21axx，从而)21, 1(221xx，又21xx，所以2x的对应点到对称轴的距离大于1x的对应点到对称轴的距离，故12()()f xf x8已知函数)21(1223)(xxxxf，求)20102009()20102()20101(fff的值解析 26027；为31)1(22)1(31223)1()(xxxxxfxf，令)20102009()20102()20101(fffS，则)20101()20102008
13、()20102009(fffS，从而32009)20101()20102009()20102008()20102()20102009()20101(2ffffffS所以26027)20102009()20102()20101(fffS9 （ 09 年汕头金中）对于函数Mxfxxxf)(,2)(2在使成立的所有常数M 中，我们把 M 的最大值 1 叫做的下确界xxxf2)(2，且则对于Rba,0, 不全为ba222)(baba的下确界为（）A21；B2；C41；D4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页读书之法 ,在
14、循序而渐进 ,熟读而精思 解析 A；因为21)()(2)(2222222222222bababaabbabababa，故222)(baba的下确界为2110 （08 年湖南） 设x表示不超过x的最大整数 （如22,145）, 对于给定的nN*,定义(1)(1),(1)(1)xnn nnxCx xxxx1, 求当x3,32时，函数xC8的值域解析 28,328(316,4(；当)2,23x时，1x，xCx88，因为函数xu8在)2 ,23上是减函数， 得31684x； 当)3 ,2x时，2 x，) 1(568xxCx， 因为6) 1(2xx，由单调性得28)1(56328xx，故当x3,32时，函数xC8的值域是28,328(316,4(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页