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1、2013 版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用 2.2 函数的单调性与最值【高考新动向】一、考纲点击 1理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最值。二、热点、难点提示 1.确定函数单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值，比较或应用函数值大小，是高考的热点及重点.2.常与函数的图象及其他性质交汇命题.3.题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇则以解答题形式出现.【考纲全景透析】一、函数的单调性（1）单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自变量
2、 x1,x2，改变量x=x2-x10 当 x1 x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的（2）单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 f(x)的单调区间。注：单调区间是定义域的子区间 函数的单调性反映在图象上是在某一区间上是上升的或下降的；而最大（小）值反映在图象上为其最高（低）点的纵坐标的值。二、函数的最值 前提 设函数 f(x)的定义域为 I
3、，如果存在实数 M 满足 条件 对于任意 xI，都有 f(x)M 存在 x0I，使得 f(x0)=M 对于任意 xI，都有 f(x)M 存在 x0I，使得 f(x0)=M 结论 M 为最大值 M 为最小值 注：函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在。相关提示：函数的单调区间与该函数定义域间的关系 函数的单调区间是该函数定义域的子集；函数的定义域不一定是函数的单调区间。一个函数在定义域内的单调性与在某几个子区间上的单调性的关系 如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增（减）函数，不能说这个函数在定义域上是增（减）函数，如函数
4、1()()tan.f xf xxx及 相同单调性函数的和、差、积、商函数的单调性 两个增（减）函数的和函数仍是增（减）函数，但两个增函数的差、积、商的函数单调性不确定，同样两个减函数的差、积、商的函数单调性也不确定。奇函数在对称区间上的单调性 奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反。因此，具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性。求函数单调性解题策略 看函数的类型，如果是基本函数，常常记住函数的单调区间；如果是复杂函数，常常利用导数进行研究；如果是抽象函数，常常利用定义解决，或者借助图象，或者用具体函数代替处理。【热点难点全析】一、函数单调性的判定 1
5、、用定义证明函数单调性的一般步骤，即：（1）取值：即设 x1、x2 是该区间内的任意两个值，且 x10),因为y=log5t在t(0,+)上为增函数，t=2x+1在(12，+)上为增函数，所以函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间为(12,+).答案：(12，+)(2)方法一：定义法：设 x1x2-1,则.1221121212x2x2xxyyx1x1x1x1 x1x2-1,x2-x10,x2+10,2112xx0 x1x1 即 y1-y20,y1y2.x2yx1在(-1,+)上是减函数.方法二：导数法：(),22x1x2x21yx1x1x1 在(-1，+)上，y0 且 2x0 的定义域
6、为 判断在上是增函数，下证明之：1 分 设任2 分 3 分 x2x10，2x10，2x20 则4 分 用数学归纳法易证 证略.12 分 二、应用函数的单调性 1应用函数的单调性可求解的问题(1)由 x1,x2 的大小，可比较 f(x1)与 f(x2)的大小；(2)知 f(x1)与 f(x2)的大小关系，可得 x1 与 x2 的大小关系；(3)求解析式中参数的值或取值范围；(4)求函数的最值；(5)得到图象的升、降情况，画出函数图象的大致形状.2例题解析 例 1(1)若 f(x)为 R 上的增函数，则满足 f(2-m)f(m2)的实数 m 的取值范围是_.(2)已知函数 y=f(x)是偶函数，y
7、=f(x-2)在0,2上是单调减函数，试比较 f(-1),f(0)，f(2)的大小.【方法诠释】(1)根据 f(x)的单调性，得到 2-m 与 m2 的大小关系，从而求解.(2)根据函数 f(x)的性质先得到 y=f(x)在0,2上的单调性或-2,2上的图象，进而借助于单调性或图象比较出函数值的大小.解析：(1)因为 f(x)为 R 上的增函数，且 f(2-m)f(m2)，则有:2-m0.解得:m1.所以 m 的取值范围为:(-,-2)(1,+).答案：(-,-2)(1,+)(2)方法一：因为 y=f(x-2)的图象可由 y=f(x)的图象向右平移 2 个单位而得到，而 y=f(x)为偶函数，
8、其图象关于直线 x=0 对称，函数 y=f(x-2)的图象关于直线 x=2 对称，又 y=f(x-2)在0,2上单调递减,函数 y=f(x-2)在2,4上单调递增，因此,y=f(x)在0,2上单调递增，又 f(-1)=f(1),01f(-1)f(0).方法二：由方法一可得函数 y=f(x)在-2,2上图象的大致形状为 由图象知 f(2)f(-1)f(0).注：1.根据函数的单调性，解含有“f”号的不等式时，要根据函数的性质，转化为如“f(g(x)f(h(x)”的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域.2.比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数
9、性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.例 2已知函数 f(x)对于任意 a，bR,总有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当 x0 时，f(x)1(1)求证：f(x)在 R 上是增函数；(2)若 f(4)=5，解不等式 f(3m2-m-2)3；(3)若关于 x 的不等式 f(nx-2)+f(x-x2)2 恒成立，求实数 n 的取值范围【解析】(1)设 x1,x2R，且 x1x2，则 x2-x10，f(x2-x1)1，f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-
10、10,f(x1)-f(x2)0，即 f(x1)f(x2)f(x)在 R 上是增函数.(2)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,f(2)=3,不等式 f(3m2-m-2)3 即为 f(3m2-m-2)f(2).又f(x)在 R 上是增函数，3m2-m-22，解得41m3 因此不等式的解集为m|41m3；(3)令 a=b=0,得 f(0)=2f(0)-1,f(0)=1.f(nx-2)+f(x-x2)2，即 f(nx-2)+f(x-x2)-11，f(nx-2+x-x2)f(0)由(1)知 nx-2+x-x20 恒成立，x2-(n+1)x+20 恒成立 =-(n+1)2-420,.2
11、21n2 21 注：判定复合函数的单调性及确定单调区间,关键是把复合函数分解成已知单调性的初等函数.另外，注意不要忽略函数的定义域.三、抽象函数的单调性及最值 例 1已知 f(x)是定义在 R 上的增函数，对 xR 有 f(x)0，且 f(5)=1，设 F(x)=f(x)+)(1xf，讨论 F(x)的单调性，并证明你的结论 解析：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。在 R 上任取 x1、x2，设 x1x2，f(x2)=f(x1)，,)()(11)()()(1)()(1)()()(2112112212xfxfxfxfxfxfxfxfxFxF f(x)是 R 上的增函数，且 f(10)
12、=1，当 x10 时 0 f(x)10 时 f(x)1；若 x1x25，则 0f(x1)f(x2)1，0 f(x1)f(x2)1，)()(1121xfxf0，F(x2)x15，则 f(x2)f(x1)1，f(x1)f(x2)1)()(1121xfxf0 F(x2)F(x1)综上，F(x)在（，5）为减函数，在（5，+）为增函数 注：对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目中所给性质和相应的条件，对任意 x1、x2 在所给区间内比较 f(x2)-f(x1)与 0 的大小，或 f(x1)/f(x2)与大小。有时根据需要，需作适当的变形：如11212122xxxxxxxx或等。例
13、2已知函数 f(x)对于任意 x，yR,总有 f(x)+f(y)=f(x+y)，且当 x0 时，f(x)0,f(1)=23.(1)求证：f(x)在 R 上是减函数；(2)求 f(x)在-3，3上的最大值和最小值 思路分析：用定义法判断抽象函数的单调性；求函数的最值需借助函数的单调性进行。解答：(1)方法一：函数 f(x)对于任意 x，yR，总有 f(x)+f(y)=f(x+y)，令 x=y=0，得 f(0)=0再令 y=-x，得 f(-x)=-f(x)在 R 上任取 x1x2，则x=x1-x20，y=f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=f(x),又x0 时，f(
14、x)0而x0，f(x)0，即y0,y=f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)=f(x)又x0 时，f(x)0，而x0，f(x)0，即y0），雨速沿 E 移动方向的分速度为 c（c)R，E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P 或 P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v-c|S成正比，比例系数为101；（2）其他面的淋雨量之和，其值为21.记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量.当移动距离 d=100，面积 S=23时，（）写出 y 的表达式；（）设 00,a1)的定义域和值域都是0,1，则 a
15、 等于()(A)13 ()2 ()22 (D)2 4.（2012龙岩模拟）函数 1 2xx x4f x1()x42的单调减区间为（）(A)（-,+）()(0,4)和(4,+)()(-,4)和(4,+)(D)（0，+）5.(2012杭州模拟)定义在 R 上的函数 f(x)在区间(-,2)上是增函数，且 f(x+2)的图象关于 x=0对称，则()(A)f(-1)f(3)()f(-1)=f(3)(D)f(0)=f(3)6.（预测题）定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x0,则函数 f(x)在a,b上有()(A)最小值 f(a)()最大值 f(b)()最小值 f(
16、b)(D)最大值 f(ab2)二、填空题(每小题 6 分，共 18 分)7.如果二次函数 f(x)=x2-(a-1)x+5 在区间(12,1)上是增函数，那么 f(2)的取值范围是_.8.函数 y=5x2x的最大值是_.9.(2012深圳模拟)f(x)=xax0a3 x4a(x0）满足对任意 x1x2,都有 1212f xf x0 xx成立，则 a 的取值范围是_.三、解答题(每小题 15 分，共 30 分)10.(2012青岛模拟)已知函数 f(x)=xx2,(1)判断函数 f(x)在区间(0,+)上的单调性并加以证明;(2)求函数 f(x)的值域.11.（2012南平模拟）已知函数 f(x
17、)=ax2-2x+1.(1)试讨论函数 f(x)的单调性；（2）若13a1,且 f(x)在1，3上的最大值为 M（a）,最小值为 N（a）,令 g(a)=M(a)-N(a),求 g(a)的表达式.【探究创新】(16 分)定义：已知函数 f(x)在 m,n(mn)上的最小值为 t,若 tm 恒成立，则称函数 f(x)在 m,n(mn)上具有“DK”性质.(1)判断函数 f(x)=x2-2x+2 在1,2上是否具有“DK”性质，说明理由.(2)若 f(x)=x2-ax+2 在a,a+1上具有“DK”性质，求 a 的取值范围.答案解析 1.【解析】选 D.由于函数 y=1x在(-,0)和(0，+)上
18、是递减的，且-30,因此函数 y=3x在(-,0)和(0，+)上都是递增的，这里特别注意两区间之间只能用“和”或“，”，一定不能用“”.2.【解析】选.由已知得m4-2,解得:m-8.3.【解析】选 D.当 0a1 时，f(x)在0，1上为增函数，由已知有aalog 10log 21,得 a=2,综上知 a=2.4.【解析】选.由函数解析式知 f(x)在(-,4)和（4，+）都是减函数，又 121f 44,2 4111(),2162减区间有两个(-,4)和（4，+）.5.【解析】选 A.因为 f(x+2)的图象关于 x=0 对称，所以 f(x)的图象关于 x=2 对称，又 f(x)在区间(-,
19、2)上是增函数，则其在(2，+)上为减函数，作出其图象大致形状如图所示.由图象知，f(-1)f(3)，故选 A.【方法技巧】比较函数值大小常用的方法(1)利用函数的单调性，但需将待比较函数值调节到同一个单调区间上.(2)利用数形结合法比较.(3)对于选择、填空题可用排除法、特值法等比较.6.【解题指南】先探究 f(x)在a,b上的单调性，再判断最值情况.【解析】选.设 x1x2,由已知得 f(x1)=f(x1-x2)+x2=f(x1-x2)+f(x2).又 x1-x20.f(x1)f(x2).即 f(x)在 R 上为减函数.f(x)在a,b上亦为减函数.f(x)min=f(b),f(x)max
20、=f(a),故选.7.【解析】f(x)=x2-(a-1)x+5 在(a12,+)上递增，由已知条件得a1212,则 a2,f(2)=11-2a7.答案：7,+)8.【解析】5x-20,x25,y0.又 y=221115255 252()2()xxx484(当且仅当 x=45时取等号).答案：5 24 9.【解析】由已知 x1x2,都有 1212f xf xxx0，知 f(x)在 R 上为减函数，则需00a1aa304a,a30 解得 00 时，f(x)=xx2221x2x2x2.设 0 x1x2,f(x1)-f(x2)=(1-12x2)-(1-22x2)=12122 xxx2x2,由 0 x1
21、x2 可得 f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)f(x2)，因此 f(x)在(0,+)上递增.(2)f-21-x0 x+2x=.2-1+x0 时，抛物线 f(x)=ax2-2x+1 开口向上，对称轴为 x=1a,函数 f(x)在（-，1a）上为减函数，在(1a,+)上为增函数，当 a0 时，抛物线 f(x)=ax2-2x+1 开口向下，对称轴为1xa,函数 f(x)在(-,1a)上为增函数，在（1a,+）上为减函数.（2）f(x)=a(x-1a)2+1-1a,又13a1,得 11a3,N(a)=f(1a)=1-1a.当 11a2,即12a1 时，M(a)=f(3)=9a-5,g(a)=9a
22、+1a-6.当 21a3,即11a32时，M（a）=f(1)=a-1,g(a)=a+1a-2,11 1a2,a,a3 2g a.119a6,a(,1a2【探究创新】【解析】(1)f(x)=x2-2x+2,x1,2,f(x)min=11,函数 f(x)在1,2上具有“DK”性质.(2)f(x)=x2-ax+2,xa,a+1，其对称轴为 x=a2.当a2a，即 a0 时，函数 f(x)min=f(a)=a2-a2+2=2.若函数 f(x)具有“DK”性质，则有 2a 总成立，即 a2.当 aa2a+1，即-2a0 时，f(x)min=f(a2)=-2a4+2.若函数 f(x)具有“DK”性质，则有-2a4+2a 总成立，解得 a.当a2a+1,即 a-2 时，函数 f(x)的最小值为 f(a+1)=a+3.若函数 f(x)具有“DK”性质，则有 a+3a,解得 a.综上所述，若 f(x)在a,a+1上具有“DK”性质，则 a 的取值范围为2,+).