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1、2020 年高考数学（理）一轮复习讲练测专题 2.2 函数的单调性与最值1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.知识点一函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数 f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D 上是增函数当 x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函
2、数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做 yf(x)的单调区间知识点二函数的最值前提设函数 y f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在 x0I，使得 f(x0)M(3)对于任意的xI，都有f(x)M；(4)存在 x0I，使得 f(x0)M结论M 为最大值M 为最小值【特别提醒】1.函数 yf(x)(f(x)0)在公共定义域内与y f(x)，y1f（x）的单调性相反.2.“对勾函数”yxax(a0)的单调增区间为(，a)，(a，)；单调减区间是a，0)，(0，a.考点一确定不含参函数的单调性(区间)【典例 1】（2019河北
3、石家庄二中模拟）函数f(x)|x23x2|的单调递增区间是()A.32，B.1，32和2，)C(，1和32，2D.，32和2，)【答案】B【解析】y|x23x2|x23x2，x1 或x2，x23x2，1x2.如图所示，函数的单调递增区间是1，32和2，)【方法技巧】函数不含有参数解决此类问题时，首先确定定义域，然后利用单调性的定义或借助图象求解即可。【变式 1】（2019 黑龙江大庆实验中学模拟）函数 f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是()A(，2)B(，1)C(1，)D(4，)【答案】D【解析】函数 y x2 2x8(x 1)29 图象的对称轴为直线x1，由 x22x80，解得 x4
4、或 x0，x11 0，x210，故当 a0 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)在(1,1)上单调递减；当 a0 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)在(1,1)上单调递增方法二：(导数法)f(x)ax x1axx1x 12ax1axx12ax12.当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)在(1,1)上单调递减；当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)在(1,1)上单调递增【方法技巧】判断函数单调性常用以下几种方法：(1)定义法：一般步骤为设元作差 变形 判断符号 得出结论(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)
5、的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)g(x)增减性质进行判断；【变式 2】（2019安徽蚌埠二中模拟）判断并证明函数f(x)ax21x(其中 1a3)在1,2上的单调性【解析】函数f(x)ax21x(1a3)在1,2 上单调递增证明：设1 x1x22，则f(x2)f(x1)ax221x2ax211x1(x2x1)ax1x21x1x2，由 1 x10,2x1x24，1x1x24，11x1x214.又因为 1a3，所以 2a(x1 x2)0，从而
6、f(x2)f(x1)0，即 f(x2)f(x1)，故当 a(1,3)时，f(x)在1,2 上单调递增考点三解函数不等式【典例 3】（2019山东潍坊一中模拟）已知函数f(x)为 R 上的减函数，则满足f1xf(1)的实数 x 的取值范围是()A(1,1)B(0,1)C(1,0)(0,1)D(，1)(1，)【答案】C【解析】由f(x)为 R 上的减函数且f1xf(1)，得1x1，x0，即|x|1，x 0.所以 1x 0或0 x1.故选 C.【方法技巧】求解函数不等式问题，主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用【变式 3】
7、（2019广东深圳中学模拟）设函数f(x)是奇函数，且在(0，)内是增函数，又f(3)0，则 f(x)0 的解集是()Ax|3x3 Bx|x3 或 0 x3 Cx|x3 Dx|3x0 或 0 x3【答案】B【解析】f(x)是奇函数，f(3)0，f(3)f(3)0，解得 f(3)0.函数 f(x)在(0，)内是增函数，当 0 x3 时，f(x)3 时，f(x)0.函数 f(x)是奇函数，当3x0；当 x 3 时，f(x)0.则不等式f(x)0 的解集是 x|0 x3 或 x0，解得a13，a18，a0，所以 a18，13.【方法技巧】根据函数单调性把问题转化为单调区间关系的比较。【变式 4】（2
8、019成都实验外国语学校模拟）设函数f(x)x24x，x4，log2x，x4.若函数 f(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数a 的取值范围是()A(，1 B1,4 C4，)D(，14，)【答案】D【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，若f(x)在(a，a1)上单调递增，需满足a4或 a12，即 a1或 a4，故选 D.考点五函数的最值【典例 5】(2018 全国)若 f(x)cos xsin x在0，a上是减函数，则a 的最大值是()A.4B.2C.34D【答案】C【解析】f(x)cos xsin x2sinx4，当 x4 2，2，即 x 4，34时，y sin x4单调递
9、增，f(x)2sin x4单调递减，4，34是 f(x)在原点附近的单调减区间，结合条件得 0，a?4，34，a34，即 amax34.【方法技巧】求函数最值(值域)的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【变式5】（2019陕西西安铁一中模拟）已知函数f(x)x2x 3，x1，lg(x2 1)，x1，则 ff(3)_，f(x)的最小值是 _.【答案】0223【解析】f(3)lg(3)21lg 101，ff(3)f(1)0，当 x1时，f(x)x2x3223，当且仅当x2时，取等号，此时f(x)min2230；当 x1 时，f(x)lg(x21)lg 1 0，当且仅当x0 时，取等号，此时f(x)min 0.f(x)的最小值为2 23.