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1、第十四章第十四章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一个数学工具，它可以将时域里的高阶微分方程变换为复频域里的代数方程，从而大大简化求解过程。由于这个变换是唯一的这个变换是唯一的，因而复频域里的解也唯一地对应着原时域里复频域里的解也唯一地对应着原时域里微分方程的解微分方程的解，通过反变换即可得到微分方程的解。这样就为分析解决高阶电路提供了一个简便和实用的方法运算法。因此，拉普拉斯变换涉及到正变换正变换和反变换反变换两方面。14-1拉普拉斯变换的定义14-2拉普拉斯变换的性质14-3拉普拉斯反变换的部分分式展开法14-4运算电路14-5应用拉普拉斯变换法分析线性电路14-1拉普拉斯变换的定义
2、一、拉普拉斯变换的由来（一）傅立叶级数1、付氏三角级数 如右图fT(t)是一个周期函数，非正弦，若加在激励端分析其响应是很困难的，可以用第十三章将非正弦信号分解为傅立叶三角级数。将其分解为f1(t)+f2(t)。f1(t)和f2(t)均为正弦信号可以分别求其响应，而后叠加得到fT(t)的响应。通常，一个周期为T的周期函数fT(t)，在-T/2，T/2上满足狄里赫利条件，总可以分解为如下的正弦函数的和：其中：T为周期函数fT(t)的周期；为基波角频率；2、傅氏级数的指数形式2、傅氏级数的指数形式利用欧拉公式：或：式1.1可写为：式中：上式可合成为:故1.1可写为:付氏级数的物理意义：用正弦函数的
3、叠加来等效任意的非正弦周期函数。3、傅氏变换傅氏变换 当周期函数fT(t)在所讨论的区间上满足狄里克利条件,fT(t)可展开为付氏级数：其中：定义：令定义：令n0 0=，则定义周期函数则定义周期函数fT(t)的傅里叶变换为：的傅里叶变换为：则则FT()()傅立叶反变换傅立叶反变换为：为：问题：我们遇到的大量的非周期函数怎么进行傅傅里叶变换呢？对于一个非周期函数对于一个非周期函数f(t)，可以认为是周期函数，可以认为是周期函数fT(t)在在T时演变而来。时演变而来。当当n n 无穷小时无穷小时,频谱就成为连续的频谱就成为连续的,但但Cn仍可以是有仍可以是有限值（因为当限值（因为当TT时，时，C
4、Cn n无穷小），因而仍可定义无穷小），因而仍可定义T TCn为非周为非周期函数的付氏变换期函数的付氏变换,因而对于非周期函数因而对于非周期函数f(t)（相当于（相当于TT）有：）有：记为：1 1 f(t)满足狄里克利条件满足狄里克利条件2 2 f(t)在在(-,+,+)上绝对可积上绝对可积成立条件：成立条件：4、付氏变换的物理意义：付氏变换的物理意义：（1 1）把 f(t)看成无穷多个0频率、振幅为无穷小的正弦波的合成。F()是频谱密度，也是单位频率所贡献的振幅。（2）非周期函数 f(t)可表示成-+频率的指数函数的连续和。（二）（二）拉普拉斯变换（拉普拉斯变换（Laplace变换）变换）1
5、 1、问题的提出：、问题的提出：付氏级数可以将一个非正弦的周期信号分解为若干个不同频率的正弦信号的叠加。付氏变换则可将时域里的信号f(t)表达式转换为频率的表达式（频域），从而方便了频谱分析。而我们在分析动态电路，尤其是高阶动态电路时，最困难的是解时域里的高阶微分方程。能否借鉴付氏变换的思路，利用数学工具将时域函数也进行一番变换，最后将时域里的高阶微分方程，变换成另一域里的代数方程以便于求解呢？付氏变换说：存在付氏变换的条件存在付氏变换的条件：一是：一是满足狄里克利条件（连续或有限个第一间断点，区间内收敛）；二是二是在(-,+)上可积，就一定存在古典意义下的付氏变换。但绝对可积的条件是很强的，
6、许多函数，即使是很简单的函数（单位阶跃函数，正弦函数，余弦，以及线性函数等）都不满足这个条件。其次，其次，可以进行付氏变换的函数必须在整个自变量轴（时间轴）上有意义。但在物理、电子技术等实际应用中，许多以时间为自变量的函数往往在t00）。（1）(t)(t)可以使在t0 0时的无意义变为有意义（均等于0）。因而可以使(-,+)区间变为0,+)区间。（因为在(-,0)上值为0，不需考虑）。（2）e-t可以使可能不可积的函数(t)变得绝对可积，最后改造好的函数为g(t)=(t)(t)(t)(t)e-t。只要选得合适，这个函数g（t）的付氏变换总是存在的。于是对(t)(t)乘以(t)(t)和e-t，再
7、求付氏变换的运算，就产生了拉普拉斯变换。2 2、拉普拉氏变换、拉普拉氏变换式中S=+j称为复频率算子；f(t)=(t)(t)实际上还是(t)。上式运算实际上相当于对任意函数f(t)乘以e-st后在0,+上取积分。这个运算就是拉氏变换。此时G()的变量由转为s，可记为F（s）。若将f（t）的拉氏变换记为F(s)，则：定义：定义：一个定义在0,+)区间上的函数f(t)，它的拉氏变换式为：记作：F(s)=Lf(t)数学上可记为0,+，电工中由于需要考虑(t)函数,而(t)又仅在0-0+上有效，为了也能将(t)考虑在内,因此区间定为0-+)。拉氏反变换定义为：说明说明:(1)f(t)是时域里的函数；F
8、(s)是复频域(s域)里的函数,与t无关；拉氏变换是从时域时域到复频域复频域的变换,是唯一的。（2）式中s=+j是复变量，称为复频率。为虚变量，是振荡频率；为实变量，是衰减系数。（3）变换条件：(拉氏变换存在定理)a.在t0时的任意区间上f(t)分段连续。b当t时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即总存在常数M0及C0,使下式成立：|f（t）|M ect 。（0t+）满足条件a、b的f（t）的拉氏变换F（s）总存在：习惯上称F(s)为f(t)的象函数；而称f(t)为F(s)的原函数。（三）例题（三）例题1 1、求、求(t)(t)的拉氏变换的拉氏变换L(t)(t)。解：解：2 2、求、求L
9、（t）解：解：3、求求L(t-T)解：解：由此可推出如下结论：如果如果f（t）F（s），），则则 f(t-T)(t-T)F(s)F(s)e e-sT-sT。4、求e ett(t)(t)的拉氏变换。5、求求Lsint、Lcost 同理可得：求拉氏变换式，都是利用定义式通过求积分得到，别无它法。工程上，常常将常用函数的拉氏变换事先求出来，制成一个对照表。见书上Page294的表格，使用时查表或背会了使用。但表格中能列出的总是有限的，这时可以利用拉氏变换的可以利用拉氏变换的基本性质，由一个拉氏变换式推出另一个函数的拉氏变换。基本性质，由一个拉氏变换式推出另一个函数的拉氏变换。14-2 14-2 拉氏
10、变换的基本性质拉氏变换的基本性质一、一、唯一性：唯一性：定义在0，)区间上的时域函数f（t）与其在复频域上的象函数F（s）存在一一对应的关系。二、二、线性性质线性性质如果Lf1（t）=F1(s)，Lf2（t）=F2(s)，则LA1f1(t)+A2 f2(t)=A1F1(s)+A2 F2(s)例1、f(t)=A(t)A(t-T)求F(s)。解：解：例2、f(t)=A(1-e-t)(t)求Lf(t)例3、f1（t）=sint，f2（t）=cost，求F1（s）和F2（s）。解：解：三、微分性质：三、微分性质：若某函数的象函数为：Lf(t)=F(s)，则：例例4、求 的象函数。解：解：例例5、已知：
11、，求Lcost。解解：四、积分性质：四、积分性质：若Lf(t)=F(s)则：例例6求Lt。解：解：进一步可求得：其中m为正整数五延迟性质：五延迟性质：如果Lf(t)=F(s)则：例例7求图示函数的象函数。解：解：回顾：六位移性质：六位移性质：如果Lf(t)=F(s)则：Letf（t）=F(s+)。例8求Le-tsint解：同理可得：七周期性质：七周期性质：若Lf（t）=F（s），其中：0tT时f（t）=fT（t）；若T为其它值时，f（t）=0，则以f（t）为一个周期的周期函数fT（t）的象函数为：，其中T为周期。例例9、求图示半波整流电压u（t）拉氏变换（象函数）。解解：先利用延迟性质求出每个
12、波形的象函数，然后把无穷多个这种象函数相加（利用线性性质）。（1）第一号波f1（t）的象函数F1（s）。(2)求第二号波f2（t）的象函数F2（s）。前(n+1)项的和为：如果利用拉氏变换的周期性质会更简便一些：(1)第一个波形f1（t）的象函数为：(2)以f1（t）为一个周期波形，周期为T的周期函数u（t）的象函数为：14-3 拉氏反变换（部分分式法）拉氏反变换（部分分式法）学习拉氏变换的主要目的之一就是通过拉氏变换将时域里难以解决的高阶微分方程转换为复频域（S域）里的代数方程，便于求解。当求出待求量的象函数后，还必须通过拉氏反变换才能得到时域里待求量的原函数。因此，拉氏反变换也是解题的极为
13、关键的一步。拉氏反变换的定义为：但一般情况求拉氏反变换都不用此定义式，因为这样的积分太麻烦了。前边已介绍了拉氏变换的唯一性及常见函数的拉氏变换对照表。对于比较简单的拉氏反变换可以通过查P350表得到，但对于较复杂的象函数，则可通过下边的部分分式法分解为简单的象函数之和，然后分别查表并利用线性性质得到。部分分式法：就是将任意一个有理函数分解为许多简单项之和，而这些简单项都可以在拉氏变换表中找到。从而得到完整的拉氏反变换式称为部分分式法部分分式法，或称为分解定理分解定理。部分分式法是进行拉氏反变换的主要方法。比如：分解为若干个简单分式之和，从而分别查表得到原函数。例如：由于这里F（s）比较简单，从
14、分式到部分分式和，可以用观察法或拼凑法得到，但如果给定的象函数比较复杂，用观察法和拼凑法就不能揍效了。下边就系统地介绍部分分式法的规范步骤和系统地介绍部分分式法的规范步骤和方法。方法。一、一、F（S）为真分式情况。）为真分式情况。1 1、若分母、若分母D（s）=0具有具有n个单实根：个单实根：即：即：为真分式情况（m n）的情况）的情况先用长除法变成真分式，再用部分分式法求反变换。例例9 9、，求拉氏反变换（求原函数）。解：解：在电工技术中遇到的F（S）在是假分式时，一般情况下为分子分母次数相同，这时原函数中出现冲激函数，若分子的次数比分母高，原函数中必然出现冲激函数的微分。例如：14-4 运
15、算电路运算电路先回顾一下前几次课的内容：1、拉普拉斯变换，即由原函数原函数象函数；象函数；用定义积分和性质2、拉普拉斯反变换，由象函数象函数原函数；原函数；部分分式法存在的问题：对于一个较复杂的高阶动态电路来说，写出高阶微分方程本身就是一件十分困难的事，怎么办？有没有一个简单的办法可以避开写微分方程，而可以直接方便地写出对应的S域的代数方程呢？解题解题思路思路是：是：时域n阶微分方程S域的代数方程待求量的象函数对应的待求量原函数有！有！先将时域电路转换为S域的运算电路模型，在运算电路模型中直接写出S域的代数方程。先看电路元件的运算模型：一、电路元件的运算模型一、电路元件的运算模型1、电阻元件R
16、：时域：u（t）=Ri（t）电阻为R，量纲为；复频域：U（s）=RI（s）复阻抗：Z（s）=R2、电感元件、电感元件 L：时域：电流初始值为：iL(0)可看作附加电压源。方向和UL（s）相反。复阻抗Z（s）=Ls3、电容元件、电容元件C：时域：电容初值为uc（0）4、电源电源us（t），），is（t）的运算模型：思考题：1思考题2：思考题3：有互感问题如何画运算电路。如果同名端同名端或一个电流方向改变一个电流方向改变呢？请自己做一下请自己做一下！二、二、KCL、KVL方程运算形式：方程运算形式：对任一结点，KCL：i=0对任一回路，KVL：u=0I（s）=0U（s）=014-5 应用拉普拉斯变
17、换法分析线性电路应用拉普拉斯变换法分析线性电路步骤：1、求出储能元件的初始值：uC（0-0-），），iL（0-），），目的目的是：求储能元件的附加电压源。2、画对应的运算电路图。注意：直流电源的运算模型电源的运算模型和附加电压源方向附加电压源方向。3、在运算模型上直接运用KCL、KVL，以及适用于直流电路的所有分析方法和定理，写出电路方程，求解待求量在S域里的象函数。4、用部分分式法进行拉氏反变换，得到对应时域电路里的解。一、例题1、图示电路，已知is=1A，us(t)=e-3t，求ic(t)=？（t0）。解：解：（1）求初始值指uc（0-）、iL（0-）：iL（0-）=is=1AL iL（0
18、-）=1 uc（0-）=3Vuc（0-）/s=3/s（2）画运算电路图：（3）建立方程，求出待求量iC（t）的象函数IC（s），可用4种方法。支路电流法：回路法（IC回路方程）：节点电压法：如图取参考节点和Un1Un1戴维南定理：（4）拉氏反变换（部分分式法）：小结：小结：运算法1、求独立初始条件：求独立初始条件：uc（0-），），iL（0-）2 2、画运算电路图、画运算电路图*独立电源以象函数表示。独立电源以象函数表示。*各支路电压电流也以象函数表示。各支路电压电流也以象函数表示。*开关画动作后的状态。开关画动作后的状态。3 3、用直流稳态电路的所有方法、定理和定律来建立方程（运、用直流稳态
19、电路的所有方法、定理和定律来建立方程（运算电路的电路方程）求待求量的象函数。算电路的电路方程）求待求量的象函数。4 4、用部分分式法进行拉氏反变换，得到时域里待求量表达式。、用部分分式法进行拉氏反变换，得到时域里待求量表达式。例例2、具有互感的问题图示电路，已知L1=1H，L2=4H，M=2H，R1=R2=1，is=1A。求i1（t），i2（t）（t0）。解：解：求初始值：i1(0)=1Ai2(0-)=0AL1 iL(0-)=1，L2 iL(0-)=0画运算电路图或者：列方程：拉氏反变换二、输入阻抗二、输入阻抗例3、在零状态下，将电路转化成运算电路后电路的端口复阻抗Z（s）。(是s的函数)求下
20、图零状态电路的输入阻抗。解：（1）画运算电路图。（2）用串并联关系求Zin(s)。比较两个复阻抗Z(s)和Z(j)可知：这两种计算方法是可以类比的，只是算子不同，一个为s，一个为j。都是为了方便分析计算，将电路从时域转换到其它复频域中。思考一下：如果这个电路加上正弦激励信号，就可以采用相量法，要画出相量模型。例例4、求输入阻抗Zin(s)。解：解：画运算电路*零状态下，所有附加电压源为0。*保留受控源不变，控制量用相应象函数表示。*含受控源时求Zin（s）用外加激励法。用外加激励法计算：三、分析带强迫跃变的问题三、分析带强迫跃变的问题由于电路换路后电路结构的改变，使得电路的电压或电流被强迫发生
21、突变。比如书上P306例13-13：例题例题5、图示电路，K在t=0时打开，求：t0时i1(t)，u1(t)，u2(t)。若在时域里分析非常麻烦，要用到磁通链守恒来分析，现在用运算法来分析：定性分析：定性分析：集总电路在任何时刻都必须满足KCL、KVL。在K打开的瞬间t=0+时，也要满足KCL、KVL。因此会使i1（0+）和i2（0+）强迫达成一致。解：解：(1)i1（0）=10/2=5Ai2（0）=0A。（2）画运算电路图：（3）列方程计算象函数（4）拉氏反变换（5）画出波形：说明：说明：*应用拉氏变换分析电路问题时，从0时刻考虑起。*拉氏变换后的电路（运算电路）也必然满足KCL、KVL。i
22、1(t)从5A,必然存在一个反向冲激电压加在L1上即(t)，使i1(t)瞬间从5A降到。i2(t)从0A，也必然存在一个正向冲激电压加在L2上即(t)，使i2(t)瞬间从0A上升到。而环路总电压并无冲激：i1(t)(R1+R2)+u1(t)+u2(t)=10V。练习练习1、求图示函数的拉氏变换（象函数）：解：解：2、画运算电路图。解：解：求初始条件（0时刻值）画运算电路：3、图示电路中：（1）us=(t)V时，求冲激响应h(t)=uC(t)；（2）us(t)为图示波形电压时，求电容的零状态响应uC(t)。解：解：（1）us=(t)时：uC(0)=0iL(0)=0运算电路如下图：（2）先写us（t）表达示：us(t)=5(t)5(t2)V方法一：（常规办法）uC（0）=0、iL（0）=0故：均无附加电压源。运算电路如图：引出方法二：将电路看作如下的电路网络：由表达式：如果定义：输出和输入象函数的比值H（s）为网络在该输入到输出的传递函数：，则对任意激励 有：当输入激励为：e(t)=(t)时（单位冲激激励是）E(s)=1，其响应为：实际上网络函数就是电路的单位冲激响应的象函数。当输入 时，响应即为：实际上，这个方法就是下一章我们要研究的网络函数。