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1、20140107拉普拉斯变换拉普拉斯变换-拉普拉斯变换拉普拉斯变换 系统的数学模型以微分方程的形式表达输出与输入的关系统的数学模型以微分方程的形式表达输出与输入的关系。经典控制理论的系。经典控制理论的：时域法、频域法。：时域法、频域法。2. 数学模型与传递函数 频域分析法是经典控制理论的核心，被广泛采用，该方频域分析法是经典控制理论的核心，被广泛采用，该方法间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。法间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。复数和复变函数复数和复变函数 复数复数 （有一个实部（有一个实部 和一个虚部和一个虚部 ， 和和 均为实数）均为实数） 两个复数相等：当且仅当它们的实部和
2、虚部分别相等。两个复数相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。 一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。 2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换1j称为称为 对于复数对于复数 ：以：以为横坐标为横坐标(实轴实轴)、 为纵坐标为纵坐标(虚轴虚轴)所构成所构成的平面称为复平面或的平面称为复平面或 平面。复数平面。复数 可在复平面可在复平面 中用中用点点()表示：一个复数对应于复平面上的一个点。表示：一个复数对应于复平面上的一个点。 2.2.1 复数和复变函数复数和复变函数 o复平面复平面 1 2j 1 2s1= 1+j 1s2= 2+j 2 复数复数
3、可以用从原点指向点可以用从原点指向点()的向量表示。的向量表示。 向量的长度称为复数的模：向量的长度称为复数的模： 2.2.1 复数和复变函数复数和复变函数 o 1 2j s1s2r1=|s1|r2=|s2|22 rs 向量与向量与轴的夹角轴的夹角称称为复数为复数 的复角：的复角：)/arctan( 根据复平面的图示可得：根据复平面的图示可得：，2.2.1 复数和复变函数复数和复变函数 o 1 2j s1s2r1=|s1|r2=|s2|欧拉公式：欧拉公式：sinjcosje：jres 以复数以复数为自变量构成的函数为自变量构成的函数称为复变函数：称为复变函数： ：分别为复变函数的实部和虚部。分
4、别为复变函数的实部和虚部。2.2.1 复数和复变函数复数和复变函数(a) 当当时，时，则，则称为称为的的 ； 通常，在线性控制系统中，复变函数通常，在线性控制系统中，复变函数是复数是复数 的单值的单值函数。即：对应于函数。即：对应于 的一个给定值，的一个给定值，就有一个唯一确定的就有一个唯一确定的值与之相对应。值与之相对应。)()()(jipszsksG 当复变函数表示成当复变函数表示成(b) 当当时，时，则，则称为称为的的 。当当时，求复变函数时，求复变函数 的实部的实部 和虚部和虚部 。2.2.1 复数和复变函数复数和复变函数复变函数的实部复变函数的实部122u复变函数的虚部复变函数的虚部
5、2v： 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量 的乘积，的乘积，将时将时间表示的微分方程，变成以间表示的微分方程，变成以 表示的代数方程。表示的代数方程。2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换0d)()()(tetftfLsFst复变量复变量原函数原函数象函数象函数拉氏变换符号拉氏变换符号：在一定条件下，把实数域中的实变函数：在一定条件下，把实数域中的实变函数 f(t) 变变换到复数域内与之等价的复变函数换到复数域内与之等
6、价的复变函数 F(t) 。 设有时间函数设有时间函数 f(t)，当，当 t a的所有复数的所有复数s (Res表示表示s的实部的实部)都都使积分式绝对收敛，故使积分式绝对收敛，故Res a是拉普拉斯变换的定义域，是拉普拉斯变换的定义域， a称称为收敛坐标。为收敛坐标。：M、a为实常数。为实常数。典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换 (1) 单位阶跃函数定义：单位阶跃函数定义：2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换0, 10, 0)( 1ttt0001dd)( 1)( 1stststestetettL：sesesstt111lim0 单位脉冲函数定义：单位脉冲函数定义：2.2.3 典型
7、时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换1d)(tt且：且：0, 00,)(ttt(0)d)()(fttft：1d)()(00tststetettL 单位速度函数定义：单位速度函数定义：2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换0,00)(ttttf： 00d1dststetsttetL2020011d11sestese tsststst 指数函数表达式：指数函数表达式：2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换atetf)(式中：式中：a是常数。是常数。：asteteeeLtasstatat1dd0)(0 正弦信号函数定义：正弦信号函数定义
8、：2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换0,sin00)(ttttf由欧拉公式，正弦函数表达为：由欧拉公式，正弦函数表达为：tjtjj21sin-eetttesinjcostjtte-sinjcostj两式相减两式相减：0tjtj0dj21dsinsinteeetettLst-st220t )j(t )j(j1j1j21dj21sss-tees-s- 余弦信号函数定义：余弦信号函数定义：2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换0,cos00)(ttttf由欧拉公式，余弦函数表达为：由欧拉公式，余弦函数表达为：tjtj21cos-eetttesi
9、njcostjtte-sinjcostj两式相加两式相加：0tjtj0d21dcoscosteeetettLst-st220t )j(t )j(j1j121d21ssss-tees-s-拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 (1) 若若 、 是任意两个是任意两个，且：，且：2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换,)()(11sFtfL)()(22sFtfL：02121d)()()()(tetftftftfLst0201d)(d)(tetftetfstst)()(21sFsF则：则：)()()()(2121sFsFtftfL 若：若：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质)(
10、)(asFtfeLat：则：则：)()(sFtfL0d)()(teetftfeLstatat0)(d)(tetftas)(asF 若：若：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质)0()(d)(dfssFttfL：则：则：)()(sFtfLf(0)是是 t =0 时的时的 f(t) 值值00)(ddd)(dd)(dtfetettfttfLstst)0()(d)()(00fssFtetfstfestst同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：tfsfsFsttfLd)0(d)0()(d)(d222 推广到推广到n阶导数的拉普拉斯变换：阶导数的拉普拉斯变
11、换：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质如果：函数如果：函数 f(t) 及其各阶导数的初始值均为零，即及其各阶导数的初始值均为零，即)0()0()(d)(d21fsfssFsttfLnnnnn)0()0(1)(2)(n-n-fsf0)0()0()0()0()0()1()2( nnfffff则：则：)(d)(dsFsttfLnnn 若：若：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质则：则：tfssFsttfLd)0(1)(1d)()()(sFtfL函数函数 f(t) 积分的初始值积分的初始值 00d1d)(dd)(d)(ststesttftettfttfL00d
12、)(d)(ttfsesettfstst)(1d)0(1sFstfs 同理，对于同理，对于n重积分的拉普拉斯变换：重积分的拉普拉斯变换：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质tfssFsttfLnnnd)0(1)(1d)()(tfstfsnnd)0(1d)0(1)()2(1：函数：函数 f(t) 各重积分的初始值均为零，则有各重积分的初始值均为零，则有)(1d)()(sFsttfLnn：利用积分定理，可以求时间函数的拉普拉斯变换；利：利用积分定理，可以求时间函数的拉普拉斯变换；利用微分定理和积分定理，可将微分用微分定理和积分定理，可将微分-积分方程变为代数方程。积分方程变为代数
13、方程。 若：若：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质则：则：)(lim)(lim0ssFtfst)()(sFtfL：根据拉普拉斯变换的微分定理，有：根据拉普拉斯变换的微分定理，有)0()(limdd)(dlim000fssFtettfssts由于由于，上式可写成，上式可写成1lim0stse)0()(limdd)(d00fssFtttfs)0()(lim)0()(lim0fssFftfst 若：若：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质则：则：)(lim)(lim0ssFtfst)()(sFtfL：根据拉普拉斯变换的微分定理，有：根据拉普拉斯变换的微分定理
14、，有)0()(limdd)(dlim0fssFtettfssts由于由于，上式可写成，上式可写成0limstse)0()(lim0fssFs)(lim)0(ssFfs拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 将象函数将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数变换成与之相对应的原函数f(t)的过程，称之的过程，称之为拉普拉斯反变换。其公式：为拉普拉斯反变换。其公式：2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换 拉氏反变换的求算有多种方法，如果是简单的象函数，拉氏反变换的求算有多种方法，如果是简单的象函数，可直接查拉氏变换表；对于复杂的，可利用可直接查拉氏变换表；对于复杂的，可利用。jjd)(j21)(aaatsesFtf
15、简写为：简写为：)()(1sFLtf 如果把如果把 f(t) 的拉氏变换的拉氏变换 F(s) 分成各个部分之和，即分成各个部分之和，即2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换)()()()(21sFsFsFsFn 假若假若F1(s)、F2(s)，Fn(s)的拉氏反变换很容易由拉氏变的拉氏反变换很容易由拉氏变换表查得，那么换表查得，那么)()()()()(121111sFLsFLsFLsFLtfn )()()(21tftftfn 当当 F(s) 不能很简单地分解成各个部分之和时，可采用部分不能很简单地分解成各个部分之和时，可采用部分分式展开将分式展开将 F(s) 分解成各个部分之和，然后对每一部
16、分查拉氏分解成各个部分之和，然后对每一部分查拉氏变换表，得到其对应的拉氏反变换函数，其和就是要得的变换表，得到其对应的拉氏反变换函数，其和就是要得的 F(s) 的拉氏反变换的拉氏反变换 f(t) 函数。函数。 在系统分析问题中，在系统分析问题中，F(s)常具有如下形式：常具有如下形式：2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换式中式中A(s)和和B(s)是是s的多项式，的多项式， B(s)的阶次较的阶次较A(s)阶次要高。阶次要高。 对于这种称为有理真分式的象函数对于这种称为有理真分式的象函数 F(s)，分母，分母 B(s) 应首先应首先进行因子分解，才能用部分分式展开法，得到进行因子分解，才能
17、用部分分式展开法，得到 F(s) 的拉氏反变的拉氏反变换函数。换函数。 )()(sBsAsF拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换由象函数求原函数的方法：由象函数求原函数的方法：(1)利用公式利用公式dseSFjtfstjj)(21)( (2)对对F(S)进行部分分式展开进行部分分式展开)()()()(21SFSFSFSFn )()()()(21tftftftfn 象函数的一般形式：象函数的一般形式：)( )()()(110110mnbSbSbaSaSaSDSNSFnnnmmm nSSnSDmn 10)(. 1个个单单根根的的根根为为，设设利用部分分式利用部分分式F(S)分解为：分解为：nnSSkSSk
18、SSkSF 2211)(tsntstsnekekektf 2121)()( )()()(110110mnbSbSbaSaSaSDSNSFnnnmmm 1)(11SSSSSFk 2)(22SSSSSFk nSSnnSSSFk )(6554)(:2 SSSSF例例3221 SKSK21354 SSSK3725432 SSSK)(7)(3)(32tetetftt iiSSiSSiiSDSSSNSFSSk )()()()()()()(limSDSNSSSNissi )()(iiSDSN 3525421 SSSk7525432 SSSk不定式不定式006554)(:2 SSSSF例例3221 SKSK例
19、例13-6 。的原函数的原函数求求)(10712)(23tfsssssF 解：令解：令D D(s)=0(s)=0，则，则 s s1 1 = 0 = 0，s s2 2= =2 2，s s3 3= =5 5 10143)(2 sssD1 . 01014312)()(0211 sssssssDsNK6 . 05 . 032 KKtteetf526 . 05 . 01 . 0)( 有共轭复根有共轭复根，设设0)(. 2 SDmn jS 2, 1)()()()()()(SQjSjSSNSDSNSF )()(21SQSPjSkjSk jsjssDsNsFjsK )()()()(1 jsjssDsNsFjs
20、K )()()()(2 tjtjeKeKtf)(2)(1)( K1、k2也是一对共轭复根也是一对共轭复根111211 jjekkekk ，则，则设设)cos(2)(11)(1)(1)(2)(111 tekeekeekekektfttjjtjjtjtj。的的原原函函数数求求例例)(523)(7132tfSSSSF 21, 0)(12jssD 则则解解：令令 4525 . 0223)()(21211jSjssssDsNk)452cos(2)452cos(2)(1 tetektftt 4525 . 0223)()(21212jSjssssDsNk重根重根有有，设设nSDmn0)(. 3 )()(11
21、10nmmmSSaSaSaSF nnnnSSkSSkSSkSSkSF)()()()(1111112112111 1)()(11SSnnSFSSk 1)()(111SSnnSFSSdsdk 1)()(! 2112221SSnnSFSSdsdk 1)()()!1(111111SSnnnSFSSdsdnk 222211)1()1( SKSKSK2)1(4 SSS例：例：4)1(4)0(021 SssssK3)1(4)1(12222 SssssK1221)()1( SSFSdsdK441 SSSdsdttteetf 344)(2222131321211)1()1()1()(sKsKsKsKsKsF 1
22、11213 ssK221131212 ssssdsdK362112114122211 ssssdsdK1)1(10322 ssK3)1(3)1(1040321 ssssdsdK23213)1(1)1(213)(ssssssF tetteetfttt 35 . 023)(2的原函数。的原函数。求求例例23)1(1)(8-13sssF 小结：小结：1.) n =m 时将时将F(S)化成真分式化成真分式)()()(0S SD DS SP PC CS SF F 1.由由F(S)求求f(t) 的步骤的步骤2.)求真分式分母的根，确定分解单元求真分式分母的根，确定分解单元3.)求各部分分式的系数求各部分分
23、式的系数4.)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换 。2.拉氏变换法分析电路拉氏变换法分析电路 )()(titu正变换正变换 反变换反变换U(S)I(S) 65119)(22 SSSSSF例：例：655412 SSS37231 SS)()37()()(23teettftt 相量形式相量形式KCL、KVL元件元件 复阻抗、复导纳复阻抗、复导纳相量形式相量形式电路模型电路模型i运算电路运算电路类似地类似地)()(titu元件元件 运算阻抗、运算导纳运算阻抗、运算导纳运算形式运算形式KCL、KVL运算形式运算形式电路模型电路模型u I U I(S)U(S) 2
24、.电路元件的运算形式电路元件的运算形式R：u=Ri)()(SGUSI )()(SRISU 1.运算形式的电路定律运算形式的电路定律 0 0 uKVLiKCL 0)(SU 0 (S) I+ u -iR+ U(S) -I(S)RL:dtdiLu )0()()( LiSSLISUSiSLSUSI)0()()( SLSLi i(0(0- -)/)/S S+ + U U( (S S) ) - -I I( (S S) )I I( (S S) )L Li i(0(0- -) )+ + U U(S) (S) - -SLSLi i+ + u u - -L+ u -iC:SuSISCSUccc)0()(1)( )
25、0(10 ctccudtiCu)0()()( cCCCuSSCUSII IC C(S)(S)1/1/SCSCu uc c(0(0- -) )/S/S+ + U UC C(S) -(S) - + + U UC C(S) -(S) - CuCuc c(0(0- -) )1/1/SCSCI IC C(S)(S) dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu12222111 )0()()0()()()0()()0()()(11222222211111MiSSMIiLSISLSUMiSSMIiLSISLSUM ML L1 1L L2 21 12 2+ +u u1 1- -+ +u u2 2- -L L1
26、 1i i1 1(0(0- -）MiMi2 2(0(0- -）MiMi1 1(0(0- -）L L2 2i i2 2(0(0- -）+ +U U2 2(S)(S)- -+ +U U1 1(S(S) )- -I I1 1(S)(S)I I2 2(S)(S)SLSL1 1SLSL2 2+ SM + +121uuiRu )()()()(121SUSURSISU (s)(s)U U+ +1 1(s)(s)- - R RI(S)+ +U U2 2- -U1(S)+ +u u1 1- -+ +u u2 2- - u u1 1R Ri0)0( 0)0( Lciu tcdtiCdtdiLiRu01)(1)()
27、()(SISCSSLIRSISU )1)(SCSLRSI 运算阻抗运算阻抗)()()(SZSISU )()()(SYSUSI )(1)(SZSY 运算形式运算形式欧姆定理欧姆定理SCSLRSZ1)( + +u u- -i iR RL LC C+ +U U(S)(S)- -I(S)I(S)R RSLSL1/1/SCSC0)0( 0)0( Lciu)0(10 ctcudtiCdtdiLiRusuSISCLiSSLIRSISUc)0()(1)0()()()( suLisUSCSLRSIc)0()0()()1)( 运算阻抗运算阻抗SCSLRSZ1)( + +u u- -i iR RL LC C+ +U
28、 U(S)(S)- -I(S)I(S)R RSLSL1/1/SCSC uc(0-)/s Li(0-)3.运算电路运算电路运算电路运算电路如如 L 、C 有初值时，初值应考虑为附加电源有初值时，初值应考虑为附加电源R RR RL LL LC Ci1 1i2 2EE( (t t) )时域电路时域电路0)0( 0)0( Lciu物理量用象函数表示物理量用象函数表示元件用运算形式表示元件用运算形式表示R RR RL LSLSL1/1/SCSCI1(S)E/SE/SI 2 2( (S)S)例例551F1F2020101010100.50.5H H5050V V+-uc c+ -iL时域电路时域电路t=0
29、时打开开关时打开开关AiL510/10550)0( VuC25)10/10(5)0( t0运算电路运算电路20200.50.5S S-+-1/S25/S2.55IL(S)UC(S)拉普拉斯变换法分析电路拉普拉斯变换法分析电路步骤：步骤： 1.由换路前电路计算由换路前电路计算uc(0-) , iL(0-) 2. 画运算电路图画运算电路图3. 应用电路分析方法求象函数应用电路分析方法求象函数4. 反变换求原函数反变换求原函数例例1：200200V V30300.10.1H H1010- -u uc c+ +10001000FFiL Lt = 0时闭合时闭合k,求求iL，uL。100)0( cu已已
30、知知：VAiL5)0()1( 解解：(2)画运算电路画运算电路SSL1 . 0 SSSC1000101000116 200/200/S S3030 0.10.1s s0.50.510101000/1000/S S100/100/S SI IL L(S)(S)I I2 2(S)(S)Vuc100)0( 例例1：200200V V30300.10.1H H1010- -u uc c+ +10001000FFiL L )3(回路法回路法221)200()40000700(5)( SSSSSI5 . 0200)(10)1 . 040)(21 SSISSISSISSI100)()100010()(10-
31、21 200/200/S S3030 0.10.1s s0.50.510101000/1000/S S100/100/S SI IL L(S)(S)I I2 2(S)(S)I1(S)I2(S)2222111)200(200)( SKSKSKSI(4)反变换求原函数反变换求原函数200030)(321 SSSSD，个根个根有有221)200()40000700(5)( SSSSSI01)( SSSFK5200400)40000700(50222 SSSSS1500)200)(200222 SSSFK2222111)200(200)( SKSKSKSI0)()200(200221 SSFSdsdK
32、21)200(1500)200(05)( SSSSIAttetit)()15005()(2001 t tt tL LL Ltetee edtdtt tdidiL Lt tu u20020030000150)()( SLSISUL)()(1 求求UL(S)UL(S)5 . 0)()(1 SLSISUL2)200(30000200150 SSVteetuttL)30000150()(200200 200/200/S S3030 0.10.1s s0.50.510101000/1000/S S100/100/S SI IL L(S)(S)I I2 2(S)(S)?RC+uc is (t)例例13-1
33、0 求冲激响应求冲激响应0)0( CuR1/SC+Uc(S) IS1SCSISCRRSUC1)(/1)( )/1(RCSRCR 1)()( RSCRSCSSCUSICC1111 RSCRSCRSC)0(1/ teCuRCtc)0(1)(/ teRCtiRCtc tuc(V)C10ticRC1 )(t 例例13-11 图示电路已处于稳态，图示电路已处于稳态，t=0时将开关时将开关S闭合，已知闭合，已知us1=2e-2t V,us2=5V,R1=R2=5 ,L1=1H,求求t0时的时的uL(t).22221 seLuLtssLuLs552 ARuisL1)0(22 S R1 R2 iL + US1
34、 L uL US2 R1 R2 + UL(s) sL Li(0-)+ 22 ss5SLLiRSRSSUSLRRL)0(15122)()111(2121 )52)(2(2)( SSSSULVeetuttL)54()(5 . 22 ML L1 1L L2 2R1R2 usSi1i2例例13-12 图示电路，已知图示电路，已知R1=R2=1 ，L1=L2=0.1H，M=0.5H，us=1V，试求：，试求：t=0时开关闭合后的电流时开关闭合后的电流i1(t)和和i2(t)。0)0()0(21 iiSssMIsIsLR1)()()(2111 0)()()(2221 sIsLRssMIsLsL1 1sLs
35、L2 2s1R1R2sM)(1SI)(2SIt = 0时打开开关时打开开关k ,求电流求电流 i .0)0(5)0(21 iAi)12 . 00075. 0(11 . 0)(21 sssssI12 . 00075. 005. 0)(22 sssIAeetitt)5 . 05 . 01()(2067. 61 Aeetitt)(5 . 0)(2067. 62 例例.13-13 +- UskR1L1L2R2i1i20.3H0.1H10V223310/10/S S2 20.30.3S S1.51.53 30.10.1S SI I(S)(S)SSSI4 . 055 . 110)( SSS)4 . 05(
36、5 . 110 5 .1275. 12 SStei5 .1275. 12 )0()0(1 iiti523.750)0()0(2 ii5 . 1)(3 . 0)(1 ssIsUL375. 05 .1256. 6 SUL1(S)(1 . 0)(2ssIsUL 5 .1219. 2375. 0 StLetu5 .12219. 2)(375. 0 tLetu5 .12156. 6)(375. 0 10/10/S S2 20.30.3S S1.51.53 30.10.1S SI I(S)(S)uL1-6.56t-0.375 (t)0.375 (t)uL2t-2.19tLetu5 .12219. 2)(3
37、75. 0 tLetu5 .12156. 6)(375. 0 ti523.750Aii75. 31 . 0375. 0)0()0(22 Ai75. 33 . 0375. 053 . 0)0(1 小结：小结：运算法分析动态电路的步骤运算法分析动态电路的步骤1.由换路前电路计算由换路前电路计算uc(0-) , iL(0-) 。2. 画运算电路图画运算电路图3. 应用电路分析方法求象函数。应用电路分析方法求象函数。4. 反变换求原函数。反变换求原函数。磁链守恒：磁链守恒：)0()()0()0(212211 iLLiLiL75. 34 . 0053 . 0 序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象
38、函数象函数 F(s)=Lf(t)11 (单位阶跃函数单位阶跃函数)1s2 (t) (单位脉冲函数单位脉冲函数)13K (常数常数)Ks4t (单位斜坡函数单位斜坡函数)1s22.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s) = Lf(t)5t n (n=1, 2, )n!s n+16e -at1s + a7tn e -at (n=1, 2, )n!(s+a) n+18 1 T1Ts + 1tTe2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F
39、(s) = Lf(t)9sin t s2+ 210cos tss2+ 211e -at sin t (s+a)2+ 212e -at cos ts+a(s+a)2+ 22.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s) = Lf(t)13 (1- -e -at )1s(s+a)14 (e -at - -e -bt )1(s+a) (s+b)15 (b be -bt - -ae at )s(s+a) (s+b)16sin( t + ) cos + s sin s2+ 21a1b- -a1b- -a2.2.3 典型时间函
40、数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s) = Lf(t)17 e -nt sin n 1- - 2 t n2s2+2ns+ n218 e -nt sin n 1- - 2 t1s2+2ns+ n219 e -nt sin( n 1- - 2 t - - )ss2+2ns+ n2 = arctan n1- - 21 n 1- - 211- - 21- - 2 2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s) = Lf(t)20 1- - e -nt sin( n 1- - 2 t + + ) n2s(s2+2ns+ n2) = arctan211- -cos t 2s(s2+ 2)22 t - - sin t 2s(s2+ 2)23 t sin t2 s(s2+ 2)211- - 21- - 2