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1、 第三章第三章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 3.1 3.1 引言引言 3.2 3.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 3.3 3.3 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域 3.4 3.4 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换 3.5 3.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 小小 结结1 3.1 3.1 引言引言 傅立叶分析工具在研究信号和线性时不变系傅立叶分析工具在研究信号和线性时不变系统的很多问题时，是极为有用的。但傅立叶变统的很多问题时，是极为有用的。但傅立叶变换有不足之处。换有不足之处。1 1、要求信号、要求信号f(t)绝对
2、可积。而有些常用信绝对可积。而有些常用信号不满足该条件。号不满足该条件。2、有些重要函数如、有些重要函数如eat (a0)的傅立叶变换的傅立叶变换不存在，无法用傅立叶分析方法处理。不存在，无法用傅立叶分析方法处理。而拉氏变换作为傅氏变换的推广，解决了上述不足。而拉氏变换作为傅氏变换的推广，解决了上述不足。2拉氏变换与傅氏变换的关系：拉氏变换与傅氏变换的关系：1、傅立叶变换是将时间函数、傅立叶变换是将时间函数f(t)分解为无穷多分解为无穷多项项虚指数信号虚指数信号ej t之和。之和。2、拉普拉斯变换是将时间函数、拉普拉斯变换是将时间函数f(t)分解为无穷多项分解为无穷多项复复指数信号指数信号es
3、t之和。其中之和。其中s=+j s称为复频率称为复频率3、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广 3.1 3.1 引言引言返回返回3 3.2 3.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换1 1、傅立叶变换定义、傅立叶变换定义当函数当函数f(t)满足狄里赫利条件时满足狄里赫利条件时42 2、当函数不满足绝对可积条件时、当函数不满足绝对可积条件时F F一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换称为收敛因子称为收敛因子其中其中令令s=+j 因为上式中因为上式中t为积分变量为积分变量,故积分结果必为故积分结果必为
4、s的函数的函数将将f(t)乘以乘以衰减因子衰减因子e-t (为为 一实常数一实常数)，恰当地选取，恰当地选取 的值的值 就有可以使就有可以使f(t)e-t 变得变得绝对可积绝对可积，即，即5令令s=+j，,因因 为常数，所以为常数，所以d =1/j ds，且当，且当时，时，s j 进行积分换元进行积分换元用傅立叶反变换的定义方法求拉氏反变换用傅立叶反变换的定义方法求拉氏反变换两边同乘两边同乘e t(1)式和式和(2)式为双边拉普拉斯变换对式为双边拉普拉斯变换对一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换6二、拉普拉斯变换定义二、拉普拉斯变换定义1 1、双边拉普拉斯变换、双边拉普
5、拉斯变换s称复频率，称复频率，Fb(s)称信号的复频谱称信号的复频谱72 2、单边拉普拉斯变换、单边拉普拉斯变换f(t)为有始函数，即为有始函数，即t0,幅度发散幅度发散 0的任何值，都有的任何值，都有所以其收敛域为所以其收敛域为s平面的右半面平面的右半面3.线性增长信号线性增长信号 tn对于对于 0的任何值，都有的任何值，都有所以其收敛域为所以其收敛域为s平面的右半面平面的右半面 3.3 3.3 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域124.指数函数指数函数 3.3 3.3 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域返回返回只有当只有当 时，才有时，才有所以其收敛域为所以其收敛域为s平面上平
6、面上 的部分的部分.13 3.4 3.4 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换设设f(t)为有始函数，只讨论单边拉氏变换为有始函数，只讨论单边拉氏变换1、单位阶跃信号、单位阶跃信号u(t)L L即即L L即即L L2、指数函数、指数函数143、tn n为正整数为正整数 L LL L即即L L 3.4 3.4 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换154、正弦函数、正弦函数则则 3.4 3.4 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换16即即同理同理 3.4 3.4 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换175、冲激函数、冲激函数(t)即即同理同理 3.4 3.4 常用函
7、数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换返回返回18 3.5 3.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 利用拉氏变换进行系统分析时，常常需要从象函利用拉氏变换进行系统分析时，常常需要从象函数数F(s)求出原函数求出原函数f(t)。一、部分分式法一、部分分式法其中，其中，ai,bj均为实数，均为实数，m，n为正整数为正整数 部分分式法的实质部分分式法的实质：将：将F(s)展开为简单分式之和，展开为简单分式之和，再逐项求出其拉氏反变换。再逐项求出其拉氏反变换。19一、当一、当m m n n时时 设设N(s)比比D(s)高高r阶阶 将将F(s)化为化为s的多项式与真分式之和的多项式与真分式之和 则其拉氏反
8、变换为：则其拉氏反变换为：一、部分分式法一、部分分式法20二、二、F(s)F(s)为真分式的情况为真分式的情况1、D(s)=0 的根为单实根的根为单实根将上式展开为将上式展开为 n个简单分式之和，即个简单分式之和，即其中，其中，ki为待为待定系数定系数 一、部分分式法一、部分分式法21 1.为了确定为了确定ki，在方程两端同时乘以因子，在方程两端同时乘以因子(s-pi)，再令再令s=pi，则，则 一、部分分式法一、部分分式法或用罗比塔法则导出另一公式：或用罗比塔法则导出另一公式：22 当当s=pi时，时，(s-pi)和和D(s)均为零，所以均为零，所以 由罗比塔法则可由罗比塔法则可以求得以求得
9、 一、部分分式法一、部分分式法23 确定了确定了ki 之后，求出各简单分式对应的之后，求出各简单分式对应的时间函数，迭加后即为时间函数，迭加后即为f(t)一、部分分式法一、部分分式法24例：已知例：已知求求f(t)解：解：有两个互异实根有两个互异实根将将F(s)展开为部分分式：展开为部分分式：一、部分分式法一、部分分式法25即即 一、部分分式法一、部分分式法所以：所以：26、D(s)=0 的根为重实根的情况的根为重实根的情况设设p1为为r重实根重实根式中：含有单极点因子的部分分式系数求法与前述同式中：含有单极点因子的部分分式系数求法与前述同 一、部分分式法一、部分分式法27含有重极点因子的部分
10、分式系数求法如下：含有重极点因子的部分分式系数求法如下：一、部分分式法一、部分分式法28 一、部分分式法一、部分分式法29、D(s)=0 的根为共轭复根的情况的根为共轭复根的情况因为因为D(s)的系数均为实数，所以有复的系数均为实数，所以有复根出现时，必为成对的共轭复根。根出现时，必为成对的共轭复根。一、部分分式法一、部分分式法设设则则30（）用上面所讲方法进行部分分式展开（）用上面所讲方法进行部分分式展开这种方法要进行复数运算，比较麻烦这种方法要进行复数运算，比较麻烦（）配方法（）配方法 一、部分分式法一、部分分式法31已知正弦函数已知正弦函数余弦：余弦：所以，可以把含有共轭复根的部分分式用
11、配方所以，可以把含有共轭复根的部分分式用配方法写成如下形式：法写成如下形式：或或 一、部分分式法一、部分分式法32例：例：极点为极点为 一、部分分式法一、部分分式法返回返回33 3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质1、线性性质、线性性质若若则则2、时间平移、时间平移若若则则34例：周期函数例：周期函数f(t)，周期为，周期为T，若，若f1(t)表示从表示从t=0开开始始 的第一个周期的波形，且的第一个周期的波形，且f1(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F1(s)，求求f(t)的拉氏变换的拉氏变换解：解：且且 3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质353
12、、s域平移域平移若若则则4、尺度变换、尺度变换若若则则 3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质365、时域微分、时域微分若若则则 3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质37 当当f(t)为有始函数时，为有始函数时，f(0-),f(0-),f(n-1)(0-)均为均为0，此时，此时 3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质386、时域积分、时域积分若若则则 3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质397、s域微分特性域微分特性若若则则 3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质8、s域积分特性域
13、积分特性若若则则409、初值定理、初值定理若函数若函数f(t)及其导数及其导数f(t)存在拉氏变换，则存在拉氏变换，则f(t)的初值为：的初值为：3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质10、终值定理、终值定理若函数若函数f(t)及其导数及其导数f(t)存在拉氏变换，且存在拉氏变换，且sF(s)的所的所有极点都位于有极点都位于s平面的左半平面，则平面的左半平面，则f(t)的终值为：的终值为：41频域卷积频域卷积若若则则若若则则时域卷积时域卷积11、卷积定理、卷积定理 3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质返回返回42第三章小第三章小 结结拉氏变换与傅氏变换是傅氏变换的推广。拉氏变换与傅氏变换是傅氏变换的推广。拉氏变换是研究连续线性非时变系统强有力的工具。拉氏变换是研究连续线性非时变系统强有力的工具。作业：作业：3-1（7，9）、）、3-2（7，11）3-3（2）3-5（1，2）、）、3-7（6，8）、）、3-8（1，2）3-9（1，3）返回返回43课堂练习：求如图所示课堂练习：求如图所示 f(t)的拉氏变换的拉氏变换44证明：证明：令令则则2、时间平移、时间平移返回返回45证明：证明：分部积分：分部积分：6、时域积分、时域积分返回返回46