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1、三点直线平面的投影三点直线平面的投影V Vxo二、两投影面体系的建立二、两投影面体系的建立H H正投影面 V 水平投影面 H投 影 轴 OX返回第1页/共177页V VxoH H三三 、两投影面体系中点的投影、两投影面体系中点的投影A点的水平投影 aA点的正面投影 aa aa aA AZ ZY YX X返回第2页/共177页V VxoH Ha a a aA Aa ax xH HV VO OX Xaaa aa ax x四、两面投影图的性质1)1)aa aa OXOX 2)2)a aax ax=Aa Aa aax aax=AaAa返回第3页/共177页O OX Xa aa aa ax x注：因为平
2、面是无限大的，所 以一般不画出平面边框。返回第4页/共177页四、其他分角内点的投影四、其他分角内点的投影返回V VH HB Bb bb bbxbxO OX Xa aa ab bb bc cc cd dd dC CD Dd d第5页/共177页V VxoH HV VH HO OX Xaaa abbb bccc c五、特殊点的投影CcCcc caab bBbBbAaAa返回第6页/共177页xVHoW水平投影面-H HXV-OX正立投影面-V YXW-OZ 侧立投影面-W HXZ-OY zy返回3-1-2 3-1-2 3-1-2 3-1-2 三面投影面体系中点的投影三面投影面体系中点的投影三面投
3、影面体系中点的投影三面投影面体系中点的投影一、三投影面体系的建立一、三投影面体系的建立第7页/共177页xzyVWHo二、二、三投影面体系中点的投影三投影面体系中点的投影A点的水平投影 a A点的正面投影 a A点的侧面投影 a H Ha aa aa aV VW WX XO OZ ZY YW WY YH Ha aa aa aA A返回第8页/共177页1.aaz=aay=x1.aaz=aay=x a a“az=aax=yaz=aax=y aax=aay=z aax=aay=z三、三投影面体系中点的投影规律x xz zy yV VW WH Ho oO Oaaa aaaa ay ya ax xa
4、az zx xy yz z2.aa2.aa oxox aa aa ozozZ Zaaa aaaX XO OY YW WY YH Ha ax xayaya az za ay y返回第9页/共177页HVX0ZYX0ZYWYHW四、投影面和投影轴上点的投影四、投影面和投影轴上点的投影(1)(1)投影面投影面上的点有一个坐标为零；在该投影面上的投影与该点重合，在相上的点有一个坐标为零；在该投影面上的投影与该点重合，在相邻投影面上的段影分别在相应的投影轴上。邻投影面上的段影分别在相应的投影轴上。aBaAabdaaCaDbbbbbccaccddd投影面V上的点B投影面H上的点A(2)投影轴上的点有两个坐
5、标为零；在包含这条轴的两个投影面上的投影都与该点重合，在另一段影面上的投影则与点O重合。投影轴X上的点D投影轴Y上的点C返回第10页/共177页a aa aa a”b bb bb b”c c”c cc cd dd d d d”e ee e”e e返回例例例例1 1：指出如图：指出如图：指出如图：指出如图A A、B B、C C、D D、E E点在空间的位置。点在空间的位置。点在空间的位置。点在空间的位置。X XY YY YW WY YH HZ Z第11页/共177页x xz zy yV VW WH Ho o3-1-3 3-1-3 两点的相对位置两点的相对位置两点中X值大的点 在左两点中Y值大的点
6、 在前 两点中Z值大的点 在上aaaaa abbbbb bB BA AX XZ ZY YW WY YH HO Oaaaaa abbb bbb返回第12页/共177页aab ba(b)a(b)X XO Od dc cd d(c(c)返回3-1-4 判断重影点的可见性c(c)ddCDa(b)abAB第13页/共177页X XZ ZY YW WY YH HO Oa aa aa a返回例题例题1 1 已知点已知点A A的正面与侧面投影，求点的正面与侧面投影，求点A A的水平投影的水平投影第14页/共177页Z ZY YX XY YO Oa aa aa a注：因为平面是无限大的，所 以一般不画出平面边框
7、。返回第15页/共177页a aa aa aX XZ ZY YW WY YH HO Ob bb bb b5 58 89 9返回例题例题2 2 已知已知A A点在点在B B点之前点之前5 5毫米，之上毫米，之上9 9毫米，之右毫米，之右8 8毫毫米，求米，求A A点的投影。点的投影。第16页/共177页a”a”返回XY YH HYWZ Za aa aa”a”xzyVWHoA例例3 3、A A点的三面投影是否有错？点的三面投影是否有错？(A(A点点HH在面上在面上)第17页/共177页3-2-1 直线的投影3-2-2 直线对投影面的相对位置3-2-6 直角投影定理3-2-3 一般位置线段的实长及它
8、与投影面的夹角3-2-4 属于直线的点3-2-5 两直线的相对位置3-2 3-2 直线的投影直线的投影返回第18页/共177页 直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。H HA AB Ba ab bD DC Cc(d)c(d)3-2-1 3-2-1 直线的投直线的投影影返回第19页/共177页3-2-2 3-2-2 直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置二、特殊位置直线一、一般位置直线返回第20页/共177页xzyVWHo一、一般位置直线一、一般位置直线一、一般位置直线一、一般位置直线投影特性：投影特性：1 1、a ba b、a a b b、a a b
9、 b 小于实小于实长长 2 2、a ba b、a a b b、a a b b 均倾斜均倾斜于投影轴于投影轴 3 3、不反映不反映 HH 、V V 、WW 的实际的实际值。值。ABbbabaa返回H H V V W Wzxabaoyabb第21页/共177页二、特殊位置直线二、特殊位置直线1、直线平行于一个投影面2、直线垂直于一个投影面3、从属于投影面的直线返回第22页/共177页1 1、平行于一个投影面的直线、平行于一个投影面的直线水平线/水平面正平线/正平面侧平线/侧平面返回第23页/共177页xzyVWHo水平线水平线水平线水平线投影特性：投影特性：1 1、ab/OXab/OX，ab/OY
10、ab/OY 2 2、ab=ABab=AB 3 3、反映反映V V 、W W 角的真实大小角的真实大小A Aa aB Ba ab ba ab bb bX Xa ab ba ab bb ba ao oz zY YH HY YW WV VW WV VW W返回第24页/共177页xzyVWHo正平线正平线正平线正平线A Aa aB Ba ab ba ab bb bX Xa ab ba ab bb ba aO OZ ZY YH HY YW W投影特性投影特性：1 1、ab/OX ab/OX，ab/OZab/OZ。2 2、ab=ABab=AB。3 3、反映反映HH 、WW角的真实大小。角的真实大小。H
11、H W W H HW W返回第25页/共177页xzyVWHo侧平线侧平线投影特性：投影特性：1 1、ab/OZ ab/OZ，ab/OYab/OY。2 2、ab=ABab=AB。3 3、反映反映 HH 、V V 角的真实大小。角的真实大小。A Aa aB Ba ab ba ab bb bX XZ Za ab bb bb ba aO OY YH HY YW Wa aH H V VH H V V 返回第26页/共177页2 2 2 2、垂直于一个投影面的直线、垂直于一个投影面的直线、垂直于一个投影面的直线、垂直于一个投影面的直线铅垂线水平面正垂线正平面侧垂线侧平面返回第27页/共177页xzyVW
12、Ho铅垂线铅垂线投影特性：投影特性：1 1、a b a b 积聚积聚 成一点成一点 2 2、a a b b OX ;OX ;a a b b OYOY 3 3、a a b b =a=a b b =AB=ABABba(b)aabzbxaba(b)oyya返回第28页/共177页xzyVWHo正垂线正垂线投影特性：投影特性：1 1、a a b b 积聚积聚 成一点成一点 2 2、a b a b OX ;OX ;a a b b OOZ Z 3 3、a b=aa b=a b b =AB=ABABbababazxabbaoyyab返回第29页/共177页xzyVWHo侧垂线侧垂线投影特性：投影特性：1 1
13、、a a b b 积聚积聚 成一点成一点 2 2、a b a b OY ;OY ;a a b b OOZ Z 3 3、a b=aa b=a b b =AB=ABABbaa(b)ab返回zxabbaoyyab第30页/共177页例题例题 判定直线判定直线ABAB、CDCD的名称的名称XOXOababcdcd返回第31页/共177页3 3 3 3、从属于投影面的直线、从属于投影面的直线、从属于投影面的直线、从属于投影面的直线从属于投影面的直线从属于投影面的铅垂线从属于投影轴的直线返回第32页/共177页从属于V面的直线xzyVWHoABbbabaazxabaoyyabb返回第33页/共177页zy
14、bxaba(b)oyaxzyVWHoABba(b)aab返回从属于V投影面的铅垂线第34页/共177页从属于OX轴的直线xzyVWHoABbba(b)aazxabaoyya(b)bAB返回第35页/共177页3-2-33-2-33-2-33-2-3 一般位置线段的实长及它与投影面的夹角一般位置线段的实长及它与投影面的夹角一般位置线段的实长及它与投影面的夹角一般位置线段的实长及它与投影面的夹角求直线的实长及对水平投影面的夹角H角小结例题求直线的实长及对正面投影面的夹角V角求直线的实长及对侧面投影面的夹角W角返回第36页/共177页xoABbbaaCH H求直线的实长及对水平投影面的夹角求直线的实
15、长及对水平投影面的夹角HH角角|ZA-B|xaabobH HABab|ZA-B|H HAB|ZA-B|abH H|ZA-B|AB返回第37页/共177页xoaABbbaCZYV V求直线的实长及对正面投影面的夹角求直线的实长及对正面投影面的夹角 V V V V 角角|YA-B|axabobabABV V|YA-B|ABV VABV Vab|YA-B|YA-B|返回第38页/共177页xzyVWHo求直线的实长及对侧面投影面的夹角求直线的实长及对侧面投影面的夹角WW 角角ABbbabaaW W|XA-B|XA-B|W W返回yyzxabaoabb第39页/共177页|YA-B|ZA-B|XA-B
16、|xaaobbbaYYZab|ZA-B|ABH Hab|YA-B|ABV VW WAB|XA-B|ab小结小结返回第40页/共177页实长AB|ZA-B|YA-B|XA-B|ab 、ab、abH H 、V V、W W一般位置线段的实长及它与投影面的夹角一般位置线段的实长及它与投影面的夹角一般位置线段的实长及它与投影面的夹角一般位置线段的实长及它与投影面的夹角 (直角三角形法直角三角形法直角三角形法直角三角形法)返回第41页/共177页例题例题1 1 已知已知 线段的实长线段的实长ABAB，求它的水平投影（解法，求它的水平投影（解法1 1）bxaobABaaABab此题有两解返回第42页/共17
17、7页例题例题1 1 已知已知 线段的实长线段的实长ABAB，求它的水平投影（解法，求它的水平投影（解法2 2）aV Vab|YA-B|AB此题有两解bxaobAB|YA-B|返回第43页/共177页例题例题2 2 已知已知 线段的实长线段的实长ABAB，求它的水平投影（解法，求它的水平投影（解法2 2）aab|YA-B|AB此题有两解bxaobAB|YA-B|返回第44页/共177页V V|YA-B|ZA-B|H H|XA-B|W W返回|XA-B|ZA-B|bxaobABABab例题例题3 3 如图已知如图已知 线段的实长线段的实长ABAB，求，求ABAB直线对直线对投影面的倾角投影面的倾角
18、 H H H H 、V V V V、W W W W。第45页/共177页3-2-4 3-2-4 属于直线的点属于直线的点xoABbbaaCcCc2 2、定比性：、定比性：属于线段的点，分线段之比等于投影之比 A C:C B=a c:c b=ac:cb=ac:cb返回1 1、从属性：、从属性：属于直线上的点，它的投影属于对应的直线的投影。第46页/共177页例题例题1 1 已知线段已知线段ABAB的投影图，试将的投影图，试将ABAB分成分成AC:CB=2:1 AC:CB=2:1 两段，求分点两段，求分点C C的两面投影。的两面投影。boxaabcc返回第47页/共177页xoABbbaacCcH
19、Vobxabaccaccb返回例题2 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。第48页/共177页bboxaaBCL例题3 已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影，使BC 的实长等于已知长度L。cLABZA-Bcab返回第49页/共177页3-2-5 3-2-5 两条直线的相对位置两条直线的相对位置 一、平行两直线 四、交叉两直线重影点的可见性判别例题二、相交两直线 三、交叉两直线返回第50页/共177页xo一、平行二直线一、平行二直线1、两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。反之，若两直线在同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行。2、平行两线段之比等于其投影之比。baadbb
20、ccxobaabdcdcABCD返回第51页/共177页二、相交二直线二、相交二直线 两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两直线。反之，若两直线在同一投影面上的投影相交，且交点属于两直线，则该两直线相交。obxaabkcddckxoBDACKbbaaccddkk返回第52页/共177页 凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。三、交叉两直线boxaabcddc返回第53页/共177页例题例题1 1 交叉二直线交叉二直线 obxaabcddc11(2)2xoBDACbbaaccdd211(2)21返回第54页/共177页xoBDACbbaaccdd(3)41(2)43341212四
21、、判断两直线重影点的可见性正面重影点水平重影点返回第55页/共177页例题例题 2 2 判断两直线重影点的可见性判断两直线重影点的可见性bobcddcxaa3(4)34121(2)返回第56页/共177页例题 判断下列各题中两直线的相对位置abcdacbdbacdacdbAB与CD为平行两直线AB与CD为相交两直线返回第57页/共177页abcdabcda(c)bdacb(d)AB与CD为交叉两直线AB与CD为交叉两直线例题 判断下列各题中两直线的相对位置返回第58页/共177页例题例题 3 3 判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置(解法解法1)1)xaacddcbbodacbyyz返回第
22、59页/共177页例题例题4 4 判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置(解法解法2)2)boaacddcbx111d1c返回第60页/共177页例题例题5 5 判断两直线的相对位置（解法一）判断两直线的相对位置（解法一）ababcdcdOXZYHYWa”b”c”d”返回第61页/共177页例题 判断两直线的相对位置ababcdcdOX（解法二）（解法二）返回第62页/共177页3-2-63-2-6直角投影定理直角投影定理一、垂直相交的两直线的投影例题1二、交叉垂直的两直线的投影例题3例题2返回第63页/共177页一、垂直相交的两直线的投影一、垂直相交的两直线的投影AHBCacbcOXbac
23、ba定理返回第64页/共177页定理一：垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理二：相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。返回第65页/共177页二、交叉垂直的两直线的投影二、交叉垂直的两直线的投影OXbabamnnmBHACcbaMNnm返回第66页/共177页定理三：相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理四：两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。返回第67页/共177页例题例题1
24、 1 过点过点A A作作EFEF线段的垂线线段的垂线ABABbbaaofeefx返回第68页/共177页例题例题2 2 过点过点E E作线段作线段ABAB、CDCD的公垂线的公垂线EFEF。ffocbaabxcddee返回第69页/共177页b例题例题3 3 作三角形作三角形ABCABC，ABC 第111页/共177页VHWP1 1、平面上对水平投影面的最大斜度线、平面上对水平投影面的最大斜度线 EFEFBA AB平行于 H，EF垂直于 ABEF返回第112页/共177页VHWPCD2 2、平面上对正面投影面的最大斜度线、平面上对正面投影面的最大斜度线 CDCDBA AB平行于V，CD垂直于
25、AB返回第113页/共177页VHWP3 3、平面上对侧面投影面的最大斜度线、平面上对侧面投影面的最大斜度线 MNMN AB 平行于W，MN垂直于CDBAMN返回第114页/共177页例1 求 ABC对水平面的最大斜度线。ddxoabcabcee返回第115页/共177页例例2 2 求求 ABCABC平面与水平投影面的夹角平面与水平投影面的夹角HH 。ddxoabcabceebevBE返回第116页/共177页例例3 3 求求 ABCABC平面与正面投影面的夹角平面与正面投影面的夹角vv 。ddxoabcabcebeev BE返回第117页/共177页例题4 已知直线EF为某平面对H面的最大斜
26、度线，试作出该平面。返回ffeeaa第118页/共177页3-43-41 1 平行3-43-42 2 相交3-43-4 直线与平面、直线与平面、平面与平面的平面与平面的相对位置相对位置3-43-43 3 垂直返回第119页/共177页一、直线/平面二、平面/平面3-4-1 平行返回第120页/共177页一、直线与平面平行PCDBA 若一直线平行于属于定平面的一条直线，则该直线与平面平行返回第121页/共177页例例例例1 1 1 1 试判断直线试判断直线试判断直线试判断直线ABABABAB是否平行于定平面是否平行于定平面是否平行于定平面是否平行于定平面 fgfgbaabcededc（直线直线A
27、B不平行于定平面不平行于定平面）返回第122页/共177页ba例例例例2 2 2 2 试过点试过点试过点试过点K K K K作作作作水平线水平线水平线水平线ABABABAB平行于平行于平行于平行于CDECDECDECDE平面平面平面平面 cededkkcaffb返回第123页/共177页cf f例例例例3 3 3 3 已知已知DE/ABCDE/ABC，补全其正面投影。，补全其正面投影。返回第124页/共177页二、两平面平行二、两平面平行 若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行PSEFDACB返回第125页/共177页fededfcaacbb例例1 1 试判
28、断直线试判断直线ABAB是否平行于定平面是否平行于定平面 mnmnrrss返回第126页/共177页例例2 2 已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线ABAB和和CDCD给定。试过点给定。试过点K K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面 。emnmnfefsrsddcaacbbkkr返回第127页/共177页例例3 3 试判断两平面是否平行。试判断两平面是否平行。efefsrsddcaacbbrPHSH返回第128页/共177页三、直线与特殊位置平面相交四、一般位置平面与特殊位置平面相交一、直线与平面相交只有一个交点二、两平 面的交线是直线 3-4-2 3-4-2 相交相交返回第
29、129页/共177页一、直线与平面相交一、直线与平面相交Pq直线与平面相交只有一个交点交点q交点是直线与平面的共有点共有点BAK返回第130页/共177页MBCAFKNLq两平面的交线是一条直线q这条直线为两平面的共有线返回二、平面与平面相交第131页/共177页xbbaaccmmnn 由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交点可直接求出。VHPHPoABCacbkNKMkk（一）、直线与平面相交三、特殊情况相交（利用积聚性求）返回第132页/共177页xbbaaccmmnnk1(2)12k返回1、直接判断法、直接判断法2、重影点法、重影点法1、求出交点、求出交点2、标注、标注3、判别可见性、判
30、别可见性q求交点的步骤：求交点的步骤：q判断直线的可见性判断直线的可见性q注意的问题注意的问题1、交点永远可见、交点永远可见2、交点是可见与不可见的分界点、交点是可见与不可见的分界点第133页/共177页例1 求交点并判断可见性XOabcabcefe(f)kk1 12 2()1 12 2返回第134页/共177页例例 2 2 如图已知直线如图已知直线ABAB和铅垂面和铅垂面 STUVSTUV的的两面投影，求交点两面投影，求交点K K。kkbabufsfaX0vusfabvuSVUFABkKvs21返回第135页/共177页VHMmnlPABCacPHkfFKNLnlmmlnbaccabfkfk
31、由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。返回（二）平面与平面相交第136页/共177页返回fkfkbbacnlmcmalnXO12（）121、直接判断法、直接判断法2、重影点法、重影点法1、求出交线、求出交线2、标注、标注3、判别可见性、判别可见性q求交线的步骤：求交线的步骤：q判断平面的可见性判断平面的可见性q注意的问题注意的问题1、交线永远可见、交线永远可见2、交线是可见与不可见的分界线、交线是可见与不可见的分界线3、交线是两平面最短的一断重合线。、交线是两平面最短的一断重合线。第137页/共177页例例3 3 如图已知如图已知 ABCABC和铅垂的长方形和铅垂的长方形STUV
32、STUV的两的两面投影求作交线面投影求作交线KHKH，并表，并表明明这两个平面图形在正这两个平面图形在正面投影重合处的可见性。面投影重合处的可见性。khkhsfabvuFBkcSVUAKLCl21返回第138页/共177页求作直线求作直线DEDE与一般位与一般位置的置的 ABCABC的交点的交点M M，以及判断直线以及判断直线DEDE的投的投影的可见性。影的可见性。n通过直线DE作投影面H的垂直面P为辅助平面，求出 ABC与辅助平面P的交线KL，PHklmmn直线DE与KL都在辅助平面P上，它们的交点就是DE与ABC的交点M。（一）一）一般位置直线与一般位置平面相交一般位置直线与一般位置平面相
33、交返回四 一般情况相交第139页/共177页求作两个一般位置的平求作两个一般位置的平面图形的交线，以及判面图形的交线，以及判断这两个平面图形的群断这两个平面图形的群重合处的可见性。重合处的可见性。交线的两个端点，分交线的两个端点，分别是一个平面图形上别是一个平面图形上的两条边直线与另一的两条边直线与另一平面图形的两个交点。平面图形的两个交点。现在按前例同样的方现在按前例同样的方法分别作出这两个交法分别作出这两个交点。点。21（二）一般位置平面与一般位置平面相交（二）一般位置平面与一般位置平面相交aabbcc1(2)4vulk6tlktss 3u 43v655PHQH返回第140页/共177页例
34、例例例1 1 1 1 如图已知等腰三角形如图已知等腰三角形DEFDEF的顶点的顶点D D和一腰和一腰DEDE在水平线在水平线DGDG上，上，另一腰另一腰DF/ABCDF/ABC，点，点F F在直线在直线MNMN上，完成三角形上，完成三角形DEFDEF的两面投影的两面投影用三角形法用三角形法作作DFDF的真的真长长解解 DF一定在过D点的平行于ABC的平面上，先作出这个平面，PVff DF的真长真长n cb0bcm g d nmgdXaa返回第141页/共177页3-4-3 垂直该直线垂直于这个平面上的任意两条相交直线。1.直线平面的几何条件(图一)n一个平面上有一条直线垂直于另一平面。2.平面
35、平面的几何条件(图二)返回BCDEAPAQPB(图一)(图二)第142页/共177页(一)特殊情况垂直返回AQPBdcbaq若若：QP、ABQ 则则：ABP，且ab cdBCDEAPQq若若：ABP、QAB 则则：QP第143页/共177页 例例例例1111如图所示，过点如图所示，过点A A向向 BCDEBCDE作垂线作垂线AFAF，并，并作出垂足作出垂足 F F以及点以及点A A与与BCDEBCDE的真实距离。的真实距离。解解解解 过一点向一个过一点向一个平面只能作一条垂平面只能作一条垂线由于线由于 BCDEBCDE是正垂面，是正垂面，按直线与垂直于投按直线与垂直于投影面的平面相垂直影面的平
36、面相垂直以及直线与垂直于以及直线与垂直于投影面的平面相交投影面的平面相交的投影特性可知：的投影特性可知：AFAF是正平线。是正平线。是正平线。是正平线。f fa f 即是AF的真实距离真实距离返回第144页/共177页n直线与一般位置平面相垂直的投影特性：直线与一般位置平面相垂直的投影特性：nnmmn根据一边平行于投影面的直根据一边平行于投影面的直角的投影特性可知：角的投影特性可知：g d d m，dg dn返回若：若：DG DEF。在。在DEF上取正平线上取正平线DM和水平线和水平线DN，则：，则：DG DM，DG DN。直线的正面投影，垂直于这个平面上的正平线的正面投影；直线的正面投影，垂
37、直于这个平面上的正平线的正面投影；直线的侧面投影，垂直干这个平面上的侧平线的侧面投影。直线的侧面投影，垂直干这个平面上的侧平线的侧面投影。直线的水平投影，垂直于这个平面上的水平线的水平投影；直线的水平投影，垂直于这个平面上的水平线的水平投影；(二)一般情况垂直第145页/共177页例例例例2 2 判断判断判断判断 ABCDABCDABCDABCD与与与与 EFGEFGEFGEFG是否互相垂直是否互相垂直是否互相垂直是否互相垂直?只要检验是否能在只要检验是否能在只要检验是否能在只要检验是否能在 ABCDABCD上作出一条直线垂直于上作出一条直线垂直于上作出一条直线垂直于上作出一条直线垂直于 EF
38、G EFG。mmnnkk作作bk 垂直于垂直于em检验检验bk是否垂直于是否垂直于en返回第146页/共177页例例例例3 3 3 3 过点过点过点过点A A A A作平行于直线作平行于直线作平行于直线作平行于直线CJCJCJCJ且垂直于且垂直于且垂直于且垂直于 DEFDEFDEFDEF的面。的面。的面。的面。只要过点只要过点只要过点只要过点A A作直线平行于作直线平行于作直线平行于作直线平行于CJCJ，作直线垂直于，作直线垂直于，作直线垂直于，作直线垂直于 DEFDEF，则相交两，则相交两，则相交两，则相交两 直线所确定的平面即为所求。直线所确定的平面即为所求。直线所确定的平面即为所求。直线
39、所确定的平面即为所求。bbmmknnk返回第147页/共177页3-5 3-5 投影变换投影变换 3-6-1 3-6-1 概概 述述 3-6-2 3-6-2 换面法换面法返回第148页/共177页3-5-1 3-5-1 概概概概 述述述述 aabbaabbccddbaabccddaabbccaabb 两点之间距离aabbcc 三角形实形aabbccdd 直线 与平面的交点abcdabcd 两平面夹角返回第149页/共177页投影变换法：投影变换法：1.换面法换面法2.旋转法旋转法返回第150页/共177页1、换面法的基本概念3、点的投影变换规律4、六个基本问题2、新投影面的选择的原则 3-5-
40、2 换面法5、例题返回第151页/共177页VAHaCBcbX一、换面法的基本概念a1c1b1V1c1b1a1X1bcabacXX1换面法空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。V/H 体系变为V1/H 体系返回第152页/共177页（二）、新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：1、新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。2、新投影面必须垂直于一个不变投影面。VAHaCBcbXV1c1b1a1X1返回第153页/共177页二、点的投影变换规律二、点的投影变换规律（一）、点的一次变换（三）、点的两次
41、变换（二）、点的投影变换规律返回第154页/共177页（一）、点的一次变换（一）、点的一次变换VHXHX1V1a1aAa返回第155页/共177页aXVHaVHHXX1V1a1X1V1a1aAaX1HV1a1返回第156页/共177页(二)、点的投影变换规律1、点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。2、点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。X1HV1a1aXVHa返回第157页/共177页a2a1aa1XVHXHV1VXH（三）、点的两次变换（三）、点的两次变换V1X1H1a2XH2V1a1aAa返回第158页/共177页三、六个基本问题三、六个基本问题（一）、把一
42、般位置直线变为投影面平行线（三）、把一般位置直线变为投影面垂直线（二）、把投影面平行线变为投影面垂直线（四）、把一般位置平面变为投影面垂直面（六）、把一般位置平面变为投影面平行面（五）、把投影面垂直面变为投影面平行面返回第159页/共177页VHXAaBb abV1X1（一）、把一般位置直线变为投影面平行线 a1b1a1b1 X1V1HbabaXVH返回第160页/共177页例题例题1 1 把一般位置直线变为把一般位置直线变为HH1 1投影面平行线投影面平行线 a1b1babaXHVX1H1V返回第161页/共177页VHXaAabBbH1X1X1H1Va1b1XVHaa（二）、把（二）、把投
43、影面平行线投影面平行线变为变为投影面垂直线投影面垂直线 bba1b1返回第162页/共177页X2H2V1aaXVH Hbba2b2X1HV1a1b1(三）把一般位置的直线变三）把一般位置的直线变 换为投影面垂直线换为投影面垂直线返回第163页/共177页acXVHbbac（四）、把一般位置平面变为投影面垂直面 VHXcbabCAcBaddDX1H1a1c1b1d1dX1H1Vdb1a1c1d1返回第164页/共177页（四）、把一般位置平（四）、把一般位置平面面变为变为投影面垂直面投影面垂直面acXVHbbacddeeX1HV1c1b1e1 d1返回第165页/共177页（五）、把（五）、把
44、投影面垂直面投影面垂直面变为变为投影面平行面投影面平行面（1 1）VAHaCBcbXV1c1b1a1X1a1c1b1X1bcabacX新轴平行于具有集聚性的投影返回第166页/共177页（五）、把（五）、把投影面垂直面投影面垂直面变为变为投影面平行面投影面平行面（2 2）a1c1b1bcabacX作图1X1H1Va1b1c1bcabacXVH作图2X1HV1返回第167页/共177页(六六)把一般位置平把一般位置平面面变为变为投影面平行面投影面平行面 (1)(1)1 先将一般位置平面变换为投影面的垂直面2 再将投影面的垂直面变换为投影面的平行面步骤：返回第168页/共177页（六）（六）把一般
45、位置平把一般位置平面面变为变为投影面平行面投影面平行面(2)(2)acXVHbbacddeeX1HV1c1b1e1 d1X2V1H1b1a1c1a1返回第169页/共177页例题例题1 1 正平线正平线ABAB是正方形是正方形ABCDABCD的边，点的边，点C C在在B B的前上方，的前上方，正方形对正方形对V V面的倾角面的倾角4545，补全正方形的两面投影。，补全正方形的两面投影。abbaXHVc1 d1a1 b1H1VX1dcdc返回第170页/共177页例题例题2 2 求求ABCABC的角平分线的角平分线CECE。acXVHbbacdX1H1Vdb1a1c1d1X2V1H1b1c1a1
46、e1e1ee返回第171页/共177页例例例例3 3 3 3 过点过点A A作作 BCDBCD的垂线的垂线AKAK并求真实距离并求真实距离XHVbcecdeV1Hc1d1X1bb1a1k1kkad真实距离真实距离返回第172页/共177页ced f cefdc1d1e1f 1d1 e1c1f1XHVV1HX1V1X2H145例题例题4 4 如图已知如图已知 CDE CDE及及 FDE FDE的夹角为的夹角为4545，试用换面法完成，试用换面法完成 FDE FDE 的正面投影。的正面投影。返回第173页/共177页例题例题例题例题5 5 5 5 在直线在直线在直线在直线ABABABAB上上上上找
47、一点找一点找一点找一点K K K K，使其与，使其与，使其与，使其与 CDECDECDECDE及及及及 FDE FDE FDE FDE等距。等距。等距。等距。ced f abbacefdc1d1e1f 1a1b1d1 e1c1f1a1b1k1k1kkXHVV1HX1V1X2H1返回第174页/共177页ddX2VHH1V1c1 b1 a1 d1 c1b1a1k k1k k1 HV1X160例题例题6 6 用换面法过用换面法过A A点作直线点作直线AKAK与与BCBC相交于相交于K K点，点，AKB=60AKB=60。返回第175页/共177页nmdeem(n)dVHXV1HX1d1e1n1m1e1(d1)n1m1a1AB=25mmb1,c1b1a1c1abcBC=30mmbcaH1V1X2例题例题例题例题7 7 用换面法求直角用换面法求直角 ABCABC，使点，使点A A在在MNMN上，上，BCBC在在DEDE上，且上，且BC=30mm,AB=25mm,BC=30mm,AB=25mm,ABC=90ABC=90。返回第176页/共177页感谢您的观看。感谢您的观看。第177页/共177页