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1、课程主讲人：第2章 点、直线和平面的投影Harbin Engineering University工程图学基础 第2章 工程图学基础投影法概述2.1直线的投影2.3平面的投影2.4换面法2.6第2章 点、直线和平面的投影点的投影2.2直线与平面及两平面的相对位置2.5工程图学基础2.1 投影法概述 中心投影法 平行投影法2.1.2 正投影法的主要投影特性 工程上常用的投影图工程图学基础投影法的概念投影面Pa 投影投射线bS 投射中心A 空间点B 将投射线通过物体向选定的面投射，并在该平面上得到图形的方法称为投影法。工程图学基础2.1.1 2.1.1 中心投影法中心投影法中心投影法 : 投射线汇
2、交一点的投影法投射中心投射线平面图形投影面投影工程图学基础2.1.2 2.1.2 平行投影法平行投影法平行投影法 : 投射线相互平行的投影法 （投射中心位于无限远处）平行投影法斜投影法正投影法 工程图样（零件图和装配图）多面投影图 单面投影图 单面投影图 辅助图样（正等轴测图） 辅助图样 （斜二轴测图）工程图学基础正投影法与斜投影法正投影法正投影法斜投影法斜投影法正投影法：投射线与投影面相垂直的平行投影法。斜投影法：投射线与投影面相倾斜的平行投影法。工程图学基础1. 实形性CDEBAPabedc 当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。2.1.3 2.1.3 正投影法的主要投影特性正
3、投影法的主要投影特性工程图学基础2. 积聚性edca（b）CDEBAP 当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。工程图学基础3. 类似性CDEedcBAabP当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。工程图学基础2.1.4 2.1.4 工程上常用的投影图工程上常用的投影图1.正投影图（多面） 2.轴测图（单面） 3.透视图（单面） 4.标高投影图（单面） 工程图学基础2.2 点的投影 点在三投影面体系中的投影 两点之间的相对位置关系2.2.2 工程图学基础2.2.1 2.2.1 点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影 1. 三投影面体系的建立 HVXOZYW 三投影面体
4、系由V、H、W 三个投影面构成。 H、V、W 面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称为第一分角。工程图学基础2. 点的投影HVXZYWOA 点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定V 面不动，H 面向下旋转90，W 面向右旋转90。aaaHa a VWXOZYWYHaa a XOZYWYHa工程图学基础3. 点的投影规律HVXZYWOayaxazxyzaaaHa aa VWXOZYWYHaxayazay点的V 面投影与H 面投影之间的连线垂直OX 轴，aaOX ；点的V 面投影与W 面投影之间的连线垂直OZ 轴，a a OZ；
5、点的H 面投影到OX 轴的距离及点的W 面投影到OZ 轴的距离两者相等，反映点到V面的距离。 长对正 高平齐 宽相等A工程图学基础例1 已知点A 的正面与侧面投影，求点A 的水平投影。ZYHXYWOa a a工程图学基础Haa VWXOZYWYHaxayazay4. 点的投影与直角坐标的关系 点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。yAxAzAHVXZYWOAayaxazxyzaaaa yA工程图学基础例2 已知点B 的坐标为（25,20,30)，求作点B 的三面投影。XYWYHZO（1）在OX 轴上截取坐标长度25，过截点作垂直线。（2）在OZ 轴上截取坐标长度30，过
6、截点作水平线，作出投影b。（3）在OY 轴上截取坐标长度20，作出投影b、b。bbb302520工程图学基础5.特殊位置点的投影投影面上的点 一个投影与投影面重合，另两个投影投影轴上。投影轴上的点 两个投影与投影轴重合，另一个投影在原点上。与原点重合的点 点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。 HVXZYWAaa a Bb Cc c c Ob a aa XOZYWaxayayb c c b b c YH工程图学基础6. 点在其他分角中的投影投影特点： (1) 第二分角中的B点, 其V面投影b和H面投影b都在X轴上方。 (2) 第三分角中的C点, 其V面投影c在X轴下方, H面投影c在X轴的上
7、方。 (3) 第四分角中的D点, 其V面投影d和H面投影d都在X轴下方。工程图学基础XOZY1. 两点相对位置的确定a a ab b bBA 两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大的点在前；Z坐标值大的点在上。 XZYWYHOaa ab bb 两点之间的相对位置关系两点之间的相对位置关系工程图学基础2. 重影点 若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。Dc(d)a(b)abABcdCOX工程图学基础重影点可见性判别XYHZYWOc(d )ba(b)acda b c d 判断
8、重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。工程图学基础例3 已知点A在点B的右10毫米、前6毫米、上12毫米，求点A的投影。a a aXZYWYHOb bb 12106工程图学基础2.3 直线的投影 直线的三面投影图 直线与投影面的相对位置及投影特性2.3.2 直线上点的投影2.3.3 两直线的相对位置2.3.4 直角投影定理2.3.5 工程图学基础OXZY2.3.1 2.3.1 直线的三面投影图直线的三面投影图ABbbabaaZXOYHYW 空间任何一直线可由直线上任意两点所确定，直线在某一投影面的投影可由该直线上某两点的
9、同面投影所确定。a a ab bb 工程图学基础2.3.2 直线对投影面的相对位置及投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于 面）侧平线（平行于 面）水平线（平行于 面）正垂线（垂直于 面）侧垂线（垂直于 面）铅垂线（垂直于 面）一般位置直线一般位置直线(投影面的倾斜线)与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面工程图学基础XZYO1.投影面平行线的投影特性Xabab baOZYHYWAB 投影特性： 1. ab OX ; a b OZ 2. a b =AB 3. 反映、 角的真实大小aababb工程图学基础水平线
10、XZYOaababb a b ab baAB投影特性： 1、ab OX ; ab OYW 2、ab=AB 3、反映、 角的真实大小XOYHYWZ工程图学基础XZYO侧平线XZOYHYWa b babaAB投影特性： 1、ab OZ ; ab OYH 2、ab =AB 3 、反映 、 角的真实大小aa b a bb工程图学基础投影面平行线的投影特性 1.直线在所平行的投影面上的投影,反映其实长和与其它两个投影面的倾角（具有实形性）。 2.直线在其它两个投影面上的投影分别平行直线所平行投影面包含的两个投影轴,且小于实长。 正平线正平线 水平线水平线 侧侧 平线平线工程图学基础2. 投影面垂直线的投
11、影特性OXZY投影特性： 1. ab 积聚 成一点 2 . ab OX ; ab OZ 3 . ab = ab =ABABZX(a)b baOYHYWabb(a)baba正垂线工程图学基础OXZYZb Xa b a(b)OYHYWa 投影特性：1、a b 积聚 成一点 2、 a bOX ; a b OY 3、 a b = a b = AB铅垂线 垂直于水平投影面的直线ABb a(b)a ab工程图学基础侧垂线 垂直于侧面投影面的直线OXZYAB投影特性：1、ab 积聚 成一点 2 、 ab OYH ; ab OZ 3 、 ab = ab =ABbaa(b)abZXa(b)baOYHYWab工程
12、图学基础投影面垂直线的投影特性 正垂线正垂线铅垂线铅垂线侧垂线侧垂线1.直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点（具有积聚性）。2.直线在其它两个投影面上的投影分别垂直于所垂直投影面包含的两个投影轴,且反映其实长。 工程图学基础OXZY3. 一般位置直线投影特性ABbbabaaZXabaOYHYWabb投影特性：1. ab、 ab、a b均小于实长 2. ab、ab、a b均倾斜于投影轴 3. 不反映 、 、 实角工程图学基础直线上的点具有两个特性： 1.从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。 2.定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即A C: C B = a
13、 c : c b= ac : cb = ac : c b 2.3.3 直线上的点Ccc c工程图学基础b Xa abcc 例4 已知线段AB的投影图，将AB分成1：2两段，求分点C 的投影。O工程图学基础ka b ba例5 已知点K 在线段AB上，求点K 的正面投影。aa b ba b k kk k 应用第三投影应用第三投影应用定比定理应用定比定理工程图学基础 若空间两直线互相平行，其各组同面投影必平行。反之，若两直线的各组同面投影都互相平行，则空间两直线必平行。 1.平行两直线XbaabdcdcXbaadbbccABCD2.3.4 2.3.4 两直线的相对位置两直线的相对位置工程图学基础例5
14、 判断图中两条直线是否平行。 对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。ABAB与与CDCD平行。平行。FEFE与与GHGH不平行。不平行。 对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。a b c d ehgff h g e h f e g abcdc a b d 工程图学基础2.相交两直线 两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点符合点的投影规律。 反之，若两直线在同一投影面上的投影相交，且交点符合点 的投影规律，则该两直线相交。OXBDACKbbaaccddkkObXaabkcddck工程图学基础3.交叉两直线 凡不满足平行和相交条件的直线为交
15、叉两直线。 XOBDACbb aa c cdd 211 (2 )21b Xa abc d dc11 (2 )2O工程图学基础dacboYWYHZXaacddcbb例6 判断两直线的相对位置工程图学基础bbcddcXaa3(4)34122(1)例7 判断两直线重影点的可见性O 判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号工程图学基础2.3.5 直角投影定理AHBCacbcXbacba 互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面平行线时，则两直线在投影面上的投影必定互相垂直。 反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其中一条
16、直线平行于该投影面时，则空间两直线一定垂直。O工程图学基础1.垂直相交的两直线的投影BHACbcacXabcab已知：已知：ABH面，面，ABBC，求证：，求证：abc=90证明：证明： ABH面面 ABBb 又又ABBC AB平面平面BbcC 又又ABab ab平面平面BbcC abbc， 即即:abc=ABC=90 工程图学基础2.交叉垂直的两直线的投影BHACcbaMNnmXbabamnnmAB AC, 且ABH 面, 则有ab ac工程图学基础bbaaOfeefX例8 过点 A 作EF 线段的垂线 AB。工程图学基础2.4 平面的投影 平面的表示法 平面与投影面的相对位置及投影特性2.
17、4.2 平面上的点和直线2.4.3 工程图学基础2.4.1 2.4.1 平面的表示法平面的表示法aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd（1）不在一直线上的三个点；（2）一直线和直线外一点；（3）相交两直线；（4）平行两直线；（5）任意平面图形。工程图学基础2.4.2 平面对投影面的相对位置及投影特性投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般一般位置位置平面平面特殊特殊位置位置平面平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面 铅垂面 正平面 侧平面 水平面工程图学基础1.投影面垂直面c
18、c 为什么？为什么？是什么位置的平面？abca b b a 类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性铅垂面铅垂面工程图学基础投影面垂直面投影特性正垂面正垂面铅垂面铅垂面侧垂面侧垂面1. 平面在所垂 直的投影面上的投影积聚成倾斜于投影轴的直线并反映该平面对其它两个投影面的倾角。2. 平面的其它两个投影都是小于原图形的类似形。 工程图学基础2.投影面平行面投影特性： （1） abc 、 abc 积聚为直线（具有积聚性）。 （2） 正平面投影abc反映 ABC实形（具有实形性）。 cabbacbcaVWHbacabcbcaCBA工程图学基础投影面平行面投影特性正平面正平面水平面水平面侧平面侧平面1.在所
19、平行的投影面上，平面的投影反映实形。2.在其它两个投影面上，平面的投影积聚成直线并平行于该平面所平行投影面包含的两个投影轴。 工程图学基础3.一般位置平面abbaccbacabcbacabCAB投影特性： （1 ）abc 、 abc 、 abc 均为 ABC 的类似形。 （2 ）不直接反映、 。 工程图学基础例13 正垂面ABC 与H 面的夹角为45，已知其水平投影及顶点B 的正面投影，求ABC 的正面投影及侧面 投影。a c b c a abcb 思考：思考：此题有几个解？此题有几个解？45工程图学基础2.4.3 平面上的点和直线1. 点和直线在平面上的几何条件（1）点在平面上的几何条件：点
20、在平面内的某一直线上。（2）直线在平面上的几何条件： 通过平面上的两点； 通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。 MNABMABCNM工程图学基础例14 已知平面由直线AB、AC所确定，在平面内任作一条直线。abcb c a d d解法一解法一解法二解法二有多少解？有多少解？有无数解！n m nmabcb c a 工程图学基础例15 已知平面ABC ，（1）判断点K 是否在平面ABC 上。（2）已知该平面上一点E 的正面投影e作出水平投影。k kabcabcddee11XO工程图学基础例16 已知AC 为正平线，补全平行四边形ABCD 的水平投影。bckada d b c ada d b
21、c k bc解法一解法一解法二解法二工程图学基础2.平面上的投影面平行线VHPPVPH平面上投影面平行线既在平面上又平行于投影面的直线。 在一个平面上对V、H、W投影面分别有三组投影面平行线。平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与所属平面保持从属关系。水平线正平线XO工程图学基础例17 已知点E 在ABC 平面上，且点E 距离H 面15，距离V 面10，求点E 的投影。Xabcbac343 4 12121015eeO工程图学基础2.5 直线与平面及两平面的相对位置 平行问题 相交问题 垂直问题 综合举例工程图学基础2.5.1 平行问题 若一直线平行于平面上的一直线，则该直线与平
22、面平行。反之，若平面上不存在与此直线平行的直线，则可断定直线与平面不平行。 PBDCA1.直线与平面平行工程图学基础例1 过点作水平线平行于平面ABC。m d mdkk b a abc cXO 分析：ABC上的水平线有无数条，但其方向是确定的，因此过点K 作平行于ABC 的水平线也是唯一的。 作图步骤 先在ABC 内任作水平线AD； 再过点K作KMAD 即kmad，k m a d， 则直线KM为一水平线且平行于已知平面ABC。 工程图学基础2. 平面与平面平行 若一平面上的两相交直线对应地平行于另一平面上的两相交直线，则这两个平面平行。ACBDFEPQ工程图学基础f e d edfc a ac
23、b bm n mnr rss 结论：两平面平行结论：两平面平行XO例2 判断两平面是否平行。工程图学基础例3 已知平面由平行两直线AB 和CD 确定。过点K 作一平面平行于已知平面 。emnmnfefsrsrddcaacbbkkXO工程图学基础2.5.2 相交问题 直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有线的投影。 PABKDBCALKEF工程图学基础作图方法积聚性法 当直线或平面的投影具有积聚性时，可利用积聚性的特性直接做出交点或
24、交线的一个投影，然后再利用在直线或平面上取点的方法求出另一投影。 VHPHPACacNMkbBK工程图学基础1. 投影面倾斜线与特殊位置平面相交bbaaccmmnnkkXOVHPHPACacNMkbBK 当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。 工程图学基础直线可见性的判别bbaaccmmnkkn 特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能够直接判别直线的可见性-观察法，由水平投影可知KM段在平面前，故正面投影上k m 为可见。 XOVHPHPACacNMkbBK工程图学基础2. 投影面垂直线与投影面倾斜面
25、相交 XOa a(b)b c d cefdf kk 分析：直线AB是铅垂线，H 面投影有积聚性，故交点的H 面投影k 必和a（b）重合。又因交点K 是CDE上的点，因此可用求面上取点的方法，求出点K 的V 面投影k。 e 可见性判别-重影点法 点位于AB上在前。点 位于平面上在后；故k1 为可见。1 （2 ）21工程图学基础3. 投影面倾斜面与特殊位置平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。VHEdXOefclaLBkKCFDAb bacfdec e a d f lkl k XO工程图学基础平面可见性的判别VHEefdBCa
26、cklLKFDb bacfdec e a d f lkl k XO工程图学基础4. 两个垂直于同一投影面的平面相交XOa c b d e f abcdef1 (2 ) 两个平面同时垂直于某投影面，其交线为该投影面垂直线。两正垂面ABC与DEF 相交，交线为正垂线。 abc与与def的交点的交点1(2) 即为即为交线的正面投影，由此在交线的正面投影，由此在ac上求上求得得2，在，在df上求得上求得1，12为交线的为交线的水平投影。水平投影。 平面水平投影的重叠部分，平面水平投影的重叠部分，其可见性利用重影点进行判其可见性利用重影点进行判断。断。 (3)43 4 12工程图学基础2.5.3 2.5
27、.3 垂直问题垂直问题 当直线与投影面垂直面垂直时，直线一定与该平面所垂直的投影面平行，并且直线的投影一定与该平面有积聚性的同面投影垂直。 1.直线与投影面垂直面垂直工程图学基础2. 平面与投影面垂直面垂直 左图投影面倾斜面ABC 与正垂面EFG垂直。在ABC 内与正垂面EFG 垂直的直线AD一定是一条正平线，且adefg。右图两铅垂面ABC 与EFGH 垂直，其水平投影abcef(g)(h)。 工程图学基础2.5.4 综合举例 平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。 综合问题解题的一般步骤：
28、1. 分析题意 2. 明确所求结果，找出解题方法 3. 拟定解题步骤工程图学基础工程图学基础工程图学基础2.6 换面法 更换投影面的原则 2.6.1 点的投影变换 换面法的四个基本问题 换面法应用举例工程图学基础2.6.1 更换投影面的原则a1c1b1V/H 体系变换为V1/H 体系XaVAHCB c b a bcV1X1c1b1a11. 新投影体系的建立bcabacXVHX1V1H 空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。工程图学基础VAHCBc bX aabc V1X1c1 b1a12. 新投影面的选
29、择原则 (1) 新投影面必须与空间几何元素处于有利于解题的特殊位置。 (2) 新投影面必须垂直于不变投影面，构成一个相互垂直的两投影面的新体系。工程图学基础2.6.2 点的投影变换1. 点的一次变换VHX旧投影体系 X VH 新投影体系V1HX1 A点的两个投影：a， aA点的两个新投影：a，a1 X1V1ax1V1HX1ax1a1 A a aaxaVHX a axa1 工程图学基础点的投影变换规律V1HX1ax1VHXX1V1ax1a1 A a aaxaVHX a axa1 点的新投影和不变投影的连线，垂直于新投影轴。 点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。工程图学基础点
30、投影变换的作图更换H面VHXV1HX1 由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于旧投影到旧投影轴的距离。aa X1H1Vaxax1ax1更换V面a1a1 XVHaa ax工程图学基础VXHa2aaa1XVHX1HV12. 点的两次变换V1X1X2H2V1H2X2a2a1 a Aa 两次换面是在第一次换面的基础上进行。必须一个投影面变换之后，在新的两投影面体系中再交替地更换另一个投影面。同时，新、旧投影面的概念也随之改变。工程图学基础2.6.3 四个基本问题1. 将一般位置直线变为投影面平行线VHXA aBb a bV1X1 a1 b1a1b1 X1V1H ba b
31、 aXVH 投影面倾斜线经一次换面后可变为投影面平行线。直线在新投影面上的投影反映直线的实长及其与不变投影面的倾角。工程图学基础把一般位置直线AB变为H1投影面平行线 。XVHa1b1H1VX1a b ab 工程图学基础2. 将一般位置直线变为投影面垂直线 将投影面倾斜线变换为投影面垂直线，需要经过两次换面，首先将投影面倾斜线变换成为某投影面的平行线，然后再将投影面平行线变换成为另一投影面的垂直线。 VH a aXB b bAa b abXVHX1H1V1X1V1a1b1X2H2a2b2ax2H2V1X2a2b2 a1 b1 工程图学基础3. 将一般位置平面变为投影面垂直面 在平面内取一条投影
32、面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。ddaXVHbbacca1b1d1 (c1 )V1X1H Xbcdab1d1 (c1 )a1X1HadbABCD 工程图学基础a cXVHbbac d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H14. 将一般位置平面变为投影面平行面 需经几次变换？一次换面,把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；二次换面，再变换成新投影面的平行面。AD是正平线工程图学基础换面法解题的基本过程 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体与原投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几何元素（点、直线、平面等）。 根据要求得到的结果
33、，确定出有关几何元素对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确的解题思路与方法。 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变换前后的关系， 既要在新投影体系中正确无误地求得结果，又能将结果返回到原投影体系中去。2.6.4 换面法应用举例工程图学基础 求C点到直线AB的距离，就是求垂线CK的实长。当直线AB垂直于投影面时，CK平行于投影面，其投影反映实长。距离距离如何确定如何确定k k1 1点点的位置？的位置？APBKCca(bk)例1 求点C 到直线AB 的距离。工程图学基础e例2 已知E 到平面ABC 的距离为N，求点E 的正面投影e。a c b bac eNkN ddX1
34、VH1b1a1c1d1k1ke1工程图学基础例3 过点C 作直线CD 与AB 相交成60角。 AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实际大小（60），因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面。 d X1HV1X1V1H2ab a c b XVHca2b260c1 d2a1 b1 dc2 d1 有几个解？工程图学基础例4 求平面ABC 和ABD 的两面角。 H2V1X2HV1X1c d b a dacbd1 c1 a1 d2b1 c2a2 b2VHX 当两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。.Harbin Engineering University谢谢大家！