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1、31点的投影点的投影 Pb APB1B2B3一、点在一个投影面上的投影一、点在一个投影面上的投影a n 点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置n 采用多面投影，可确定点的空间位置。采用多面投影，可确定点的空间位置。第1页/共64页HWV二、点的三面投影二、点的三面投影投影面投影面u正投影面（简称正面或正投影面（简称正面或V面）面）u水平投影面（简称水平面或水平投影面（简称水平面或H面）面）u侧投影面（简称侧面或侧投影面（简称侧面或W面）面）投影轴投影轴oXZOX轴 V面与H面的交线OZ轴轴 V面与面与W面的交线面的交线OY轴轴 H面与面与W面的交线
2、面的交线Y三个投影面互相垂直第2页/共64页WHVoX空间点空间点A A在三投影面体系上的投影在三投影面体系上的投影a 点点A A的正面投影的正面投影a点点A A的水平投影的水平投影a 点点A A的侧面投影的侧面投影a aa AZY空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母表示。小写字母表示。第3页/共64页WVHXYZOVHWAaa a xaazay向右翻向下翻不动投影面展开投影面展开aaZaa yayaXYYO azx第4页/共64页 a a aOXaOX轴轴 aa aax x=a=a a az z=y=A=y=A 到到 V V 面的距离面的距离a a a a
3、x x=a=a a ay y=z=A=z=A 到到 H H 面的距面的距离离aaaay y=a a a az z=x=A=x=A 到到 W W 面的距离面的距离YZaza XYayOaaxaya a a a a OZOZ轴轴XYZOVHWAaa a xaazay点的投影规律点的投影规律连影垂轴连影垂轴第5页/共64页例例1：已知点的两个投影，求第三投影。：已知点的两个投影，求第三投影。a aaxa a aaxazaz解法一解法一:解法二解法二:a 通过作通过作4545线线使使a a a az z=aa=aax x用圆规直接量用圆规直接量取取a az=aax第6页/共64页 侧面投影a反映A点Y
4、和Z的坐标。OAVHWaaaXZY点的三面投影和坐标的关系为：点的三面投影和坐标的关系为：水平投影水平投影 a 反映反映A点点X和和Y的坐标；的坐标；正面投影正面投影 a反映反映A点点X和和Z的坐标；的坐标；xzyxzy第7页/共64页aaa作图步骤：作图步骤：（1 1 1 1）画出坐标原点及各轴）画出坐标原点及各轴;（2 2 2 2）根据）根据A A A A点的坐标求其点的坐标求其V V V V、H H H H面的投影面的投影 a,a ;a,a ;a,a ;a,a ;（3 3 3 3）根据点的投影规律求出第三投影）根据点的投影规律求出第三投影 aaaa。例例1.1.1.1.已知已知A A A
5、 A点的坐标为（点的坐标为（5 5 5 5，10101010，15151515）,求其三面投影。求其三面投影。A第8页/共64页特殊位置点：特殊位置点：投影面上的点投影面上的点 点的某一点的某一个坐标为零，其一个投个坐标为零，其一个投影与投影面重合，另外影与投影面重合，另外两个投影分别在投影轴两个投影分别在投影轴上。上。投影轴上的点投影轴上的点 点的两个坐标为零，其两个投影与所在投点的两个坐标为零，其两个投影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。影轴重合，另一个投影在原点上。与原点重合的点与原点重合的点 点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。第9页/共
6、64页 d d e e f f e f dzxYW YH0例：已知点的两投影，求其第三投影例：已知点的两投影，求其第三投影 a a a第10页/共64页三、两点的相对位置三、两点的相对位置 两点的相对位置指两点在空间的上两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。下、前后、左右位置关系。判断方法：判断方法：x x 坐标大的在左坐标大的在左 y y 坐标大的在前坐标大的在前z z 坐标大的在上坐标大的在上XYHYWZObab a a b aaB点在A点之前、之右、之下bb第11页/共64页作图步骤：作图步骤：（2 2）根据点的投影规律）根据点的投影规律,求其第三投影求其第三投影 b”b
7、”。（1 1）根据）根据B B的相对位置求的相对位置求 其其V.HV.H面的投影面的投影 b,b;b,b;例例2.2.已知已知B B点在点在A A下下1010，A A后后5 5，A A左左1010 mmmm处，求处，求B B点的三投影。点的三投影。AB第12页/共64页 空间两点在某一投影空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的则称此两点为该投影面的重影点。重影点。A A、B B为为V V面的重影点面的重影点 重影点重影点XYZOVHWAaa a(b)xaazayBbb被挡住的投被挡住的投影加影加()XYZOVHWAaa(a)bxaazayBbb
8、第13页/共64页重影点的判别与标注重影点的判别与标注重影点的判别：重影点的判别：投影在投影在V V面上重合时，前者可见面上重合时，前者可见(Y(Y坐标大的可见坐标大的可见)投影在投影在H面上重合时，上者可见面上重合时，上者可见(Z坐标大的可见坐标大的可见)；投影在投影在W面上重合时，左者可见面上重合时，左者可见(X坐标大的可见坐标大的可见)。标注：标注：将在某投影面上不可见的点加括号标注以示区别。将在某投影面上不可见的点加括号标注以示区别。第14页/共64页作图步骤：作图步骤：作图步骤：作图步骤：2.2.2.2.求求求求D D D D点的三投影点的三投影点的三投影点的三投影 d,dd,dd,
9、dd,d ,d,d,d,d ”1.1.1.1.求求求求C C C C点的三投影点的三投影点的三投影点的三投影 c,cc,cc,cc,c,c,c,c,c”;ABCD（C）例例3.已知已知C点距点距W面面5、距、距V面面10、距、距H面面10 mm，D点距点距W面面15、距、距V面面 10、距距H面面5 mm，求，求 C、D二点的三面投影二点的三面投影,并判别其可见性。并判别其可见性。第15页/共64页一、直线的三面投影bbbaaa直线的投影由线上二点直线的投影由线上二点A、B确定确定:将将A、B的同面投影相连即为线的三面投影的同面投影相连即为线的三面投影32直线的投影直线的投影第16页/共64页
10、AMBabm1、直线对一个投影面的投影特性、直线对一个投影面的投影特性二、直线的投影特性二、直线的投影特性ABab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 ab=0 积聚性积聚性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=AB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 ab=ABcos直线投影的基本特性直线投影的基本特性 一般情况下，一般情况下，直线的投影仍然为直线的投影仍然为直线，特殊情况为一个点。直线，特殊情况为一个点。abABA第17页/共64页 若点在直线上若点在直线上,则点的投则点的投影必在直线的同名投影上。并将影
11、必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：同的比例。即：若点的投影有一个不在直线的同若点的投影有一个不在直线的同名投影上，名投影上，则该点必不在此直线上。则该点必不在此直线上。点在直线上的判别方法点在直线上的判别方法：ABCVHbcc b a a定比定理2 2、直线上的点、直线上的点第18页/共64页直线上的点具有两个特性：直线上的点具有两个特性：1)1)从属性从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否面投影上。利用这一特性可以在直线上
12、找点，或判断已知点是否在直线上。在直线上。2)2)定比性定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即即 ABbb aa XOcc CA C :C B=a c :c b=a c :c b =a c :c b 第19页/共64页例例1：判断点：判断点K是否在线段是否在线段AB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上，上，故点故点K不在不在AB上。上。abka b k 第20页/共64页例例2：线段：线段AB上的一点上的一点K把把AB分成分成 AK：KB=1：2，求作点求作点K的投影。的投影。a b k abka b k k1b1作图步骤：作图
13、步骤：1、过、过a作直线作直线ab1，并取，并取ak1 ：k1b1=1：2 2、连、连bb1，过，过k1作作bb1的平行线与的平行线与ab相交，得点相交，得点K的水平投影的水平投影k 3、作点、作点K的侧面投影和正面投影的侧面投影和正面投影。第21页/共64页例例3 3 已知点已知点C C 在线段在线段ABAB上，求点上，求点C C 的正面投影。的正面投影。ObXaabccaccbXOABbbaacCcHV第22页/共64页三、三、直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线：投影面垂直线投影面垂直线：正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧
14、平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线：统称特殊位置直线 平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜垂直于某一投影面垂直于某一投影面与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线第23页/共64页平行于平行于 V V 面的直线面的直线 Y Y坐标相等，称为坐标相等，称为 正平线；正平线；直线与直线与 V V 面的夹角称为面的夹角称为 ;在所平行的投影面上的投影反映实长及倾角的真实大小在所平行的投影面上的投影反映实长及倾
15、角的真实大小另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴1.1.投影面平行线投影面平行线 总有一组坐标相等总有一组坐标相等,一个倾角为零一个倾角为零.定定 义：义：倾倾 角：角：投影规律：投影规律：(总有一个倾角为总有一个倾角为0)第24页/共64页投影面平行线水平线水平线正平线正平线侧平线侧平线第25页/共64页直线与直线与 V V 面的夹角称为面的夹角称为 ；垂直于垂直于 V V 面的直线面的直线 X.ZX.Z坐标相等，称为坐标相等，称为 正垂线；正垂线；H H X.YX.Y 铅铅W Y.Z W Y.Z 侧侧H H W W 总有二组坐标相等总有二组坐标相等,
16、二个倾角为零二个倾角为零.定定 义：义：倾倾 角：角：投影规律：投影规律：2.2.投影面垂直线投影面垂直线 (总有二个倾角为总有二个倾角为0)第26页/共64页投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线第27页/共64页直线与直线与 V V 面的夹角称为面的夹角称为 ;H H W W a ab bba3.3.投影面倾斜线投影面倾斜线 一般位置直线一般位置直线 定定 义：义：倾倾 角：角：投影规律：投影规律：H与三投影面均倾斜的直线；与三投影面均倾斜的直线；三投影均小于实长，三倾角均不是真实大小。三投影均小于实长，三倾角均不是真实大小。(三倾角不为三倾角不为0 和和90)第28页/共64页
17、四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置空间两直线的相对位置可分为：空间两直线的相对位置可分为：两直线平行两直线平行两直线相交两直线相交两直线交叉（异面）两直线交叉（异面）平行平行相交相交交叉交叉第29页/共64页 两直线平行两直线平行投影特性：投影特性：空间两直线平行，空间两直线平行，则其同名投影必然相则其同名投影必然相互平行互平行。反之亦然。反之亦然。aVHc bcdABCDb d a 第30页/共64页abcdc a b d 例例4：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置对于一般位置直线，只要有两个同直线，只要有两个同名投影互相平行，空名投影互相平行，空间两直
18、线就平行。间两直线就平行。AB/CD第31页/共64页例例5 5 试判断直线试判断直线ABAB、CDCD是否平行是否平行 X方法一方法一补画第三投影补画第三投影,判断是否平行判断是否平行adbadcbcdbac方法二方法二ab:cd不等于不等于ab:cd结论结论:AB与与CD不平行不平行 要用两个投影判断空间两直要用两个投影判断空间两直线是否平行时，其中应包括反线是否平行时，其中应包括反映实长的投影。映实长的投影。第32页/共64页HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk 两直线相交两直线相交判别方法：判别方法：若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交若空间两
19、直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必须符合点的投影规律点的投影必须符合点的投影规律(kk ox 轴轴)。交点交点K K是两直是两直线的共有点线的共有点第33页/共64页cabb a c d k kd例例1：过：过C点作水平线点作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影第34页/共64页例例2 试作一直线试作一直线MN与与AB、CD两直线相交两直线相交,且平行且平行 EF (m)a af fO OX Xeef fd de ec cb bcc(a)b(a)bdd分分 析析作图步骤作图步骤（1）过）过m作直线作直线mn平行平行ef,且与且与cd交于交于nn(2)由由n求得求得nn(3)过过
20、n作作nm平行平行ef,交交ab于于m,直线直线MN即为所求。即为所求。m第35页/共64页d b a abcdc1(2 )3(4)投影特性：投影特性：1)1)同名投影可能相交，同名投影可能相交，但但“交点交点”不符合空间点的不符合空间点的投影规律。投影规律。2)2)“交点交点”是两直线上的是两直线上的一对重影点的投影一对重影点的投影，用其可帮，用其可帮助判断两直线的空间位置。助判断两直线的空间位置。123 4 HV3.3.两直线交叉（异面）两直线交叉（异面）第36页/共64页例例 判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置baacddcbX11d1c1两直线交叉两直线交叉第37页/共64页判断
21、两直线重影点的可见性XOBDACbb aa c cdd(3)4 1(2)43341 2 12 判断重影点判断重影点的可见性时，需的可见性时，需要看重影点在另要看重影点在另一投影面上的投一投影面上的投影，影，坐标值大的坐标值大的点投影可见，反点投影可见，反之不可见，之不可见，不可不可见点的投影加括见点的投影加括号表示。号表示。第38页/共64页例例 判断两直线重影点的可见性判断两直线重影点的可见性bObcddcXaa3(4)34121(2)第39页/共64页 练习练习1 1：已知立体上直线：已知立体上直线 ABAB、CD CD 的空间位置，在投影图中标注的空间位置，在投影图中标注 其投影位置，并
22、填空。其投影位置，并填空。(C)(d)第40页/共64页 练习练习2 2：已知直线已知直线ABAB、ACAC的二投影，求二直线的第三投影的二投影，求二直线的第三投影,并说明其并说明其 空间位置和反映实长的投影。空间位置和反映实长的投影。第41页/共64页一、平面的表示法一、平面的表示法abca b c 1、不在同、不在同一直线上一直线上的三个点的三个点abca b c 2、直线、直线及线外及线外一点一点abca b c dd 3、两平、两平行直线行直线abca b c 4、两相、两相交直线交直线abca b c 5、任意平、任意平面图形面图形(三三角形、四角形、四边形、圆边形、圆等等)23平面
23、的投影平面的投影第42页/共64页平行平行垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影反映实形投影反映实形 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影积聚成直线投影积聚成直线 平面倾斜投影面平面倾斜投影面-投影类似原平面投影类似原平面 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性二、平面的投影特性第43页/共64页 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面:特殊位置平面特殊位置平面 正垂面正垂面:侧垂面侧垂面:铅垂面铅垂面:正平面正平面:侧平面侧平面:水平面水平面:垂直于
24、某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜第44页/共64页VWHQQV投影特性：投影特性：1、a b c 积聚为一条线积聚为一条线 2、abc、a b c 为为 ABC的类似形的类似形 3、a b c 与与OX、OZ的夹角的夹角反映反映、角的真实大角的真实大小小 ababbacccAcCabB正垂面正垂面(V V面面)第45页/共64页侧垂面侧垂面(WW面面)VWHSWS投影特性：投影特性：1、a b c 积聚为一条线积聚为一条线 2、abc、a b c 为为
25、ABC的类似形的类似形 3、a b c 与与OZ、OY的夹角的夹角反映反映、角的真实大小角的真实大小 CabABcabbbaaccc第46页/共64页VWHPPH投影特性：投影特性：1、abc积聚为一条线积聚为一条线 2、a b c、a b c 为为 ABC的类似形的类似形 3、abc与与OX、OY的夹角的夹角反映反映、角的真实大小角的真实大小 ABCacbababbaccc铅垂面铅垂面(H H面面)第47页/共64页VWH投影特性：投影特性：1、水平投影、水平投影abc、侧面投影、侧面投影 a b c 积聚为一条线，具有积聚为一条线，具有积聚性积聚性 2、正平面投影、正平面投影a b c 反
26、映反映 ABC实形实形 cabbacbcabacabcbcaCBA正平面正平面(V V面面)第48页/共64页VWH投影特性：投影特性：1、正面投影正面投影a b c、侧面投影、侧面投影 a b c 积聚为一条线，具有积聚为一条线，具有积聚性积聚性 2、水平投影水平投影abc反映反映 ABC实形实形 CABabcbacabccabbbaacc水平面水平面(H H面面)第49页/共64页投影特性：投影特性：1、水平投影水平投影 abc、正面投影正面投影a b c 积聚为一条线，具有积聚积聚为一条线，具有积聚性性 2、侧平面投影侧平面投影a b c 反映反映 ABC实形实形 VWHabbbaccc
27、abcbacabcCABa侧平面侧平面(WW面面)第50页/共64页一般位置平面一般位置平面投影特性投影特性 1、abc、a b c 、a b c 均为均为 ABC的的类似形类似形 2、不反映不反映、的真实角度的真实角度 abcbacababbaccbacCAB第51页/共64页 练习练习1:1:已知立体上平面已知立体上平面P P、Q Q、R R的空间位置，在投影图中的空间位置，在投影图中 标注其投影位置标注其投影位置,并填空。并填空。水平水平铅垂铅垂侧垂侧垂第52页/共64页 练习练习2:2:已知平面的两个投影已知平面的两个投影,求作其第三投影求作其第三投影,并填空。并填空。1(6)1(6)
28、2 266554433112 2 7(6)7(6)331(245)1(245)2 21(6)1(6)1(6)1(6)1(6)1(6)第53页/共64页三、平面上的直线和点三、平面上的直线和点1 1、平面上取任意直线、平面上取任意直线判断直线在平面内的依据判断直线在平面内的依据定理一定理一:若一直线通过平面上的两点，则此直线必在若一直线通过平面上的两点，则此直线必在该平面内该平面内.定理二定理二:若一直线通过平面上的一点，且平行于该平若一直线通过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内面上的另一直线，则此直线在该平面内.第54页/共64页abcb c a abcb c a d
29、 mnn m d例例1 1：已知平面由直线：已知平面由直线ABAB、ACAC所确定，试在平面内任作一条直线。所确定，试在平面内任作一条直线。解法一：解法一：解法二：解法二：根据定根据定理一理一根据定根据定理二理二有多少解？有多少解？有无数解有无数解第55页/共64页例例2：在平面：在平面ABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到H面的距面的距 离离为为10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？第56页/共64页 平面上的点平面上的点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
30、辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。面上取点的方法：面上取点的方法：若点位于平面内的任一直线上，则此点位于该平面内。若点位于平面内的任一直线上，则此点位于该平面内。(面上取线，线上找点面上取线，线上找点)第57页/共64页例例1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。bacc a k b kabcab k c d kd利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解第58页/共64页例2 已知 ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。ddabcabceeD 点不在该点不在该 平面上平面上第59页/共64页例例3.已
31、知平面五边形已知平面五边形ABCDE的正面投影和水平投影的正面投影和水平投影abc,试完成五边形的水平投影。试完成五边形的水平投影。c cb ba abbccaaddee作作 图图(1)连接连接ac,bd相交于相交于f，求出，求出f;再连再连bf并延长并延长求得求得d;f f f fd d(2)作作egab交交bc于于g，求出，求出g;再作再作geab并求出并求出e;ggg ge e(3)连接连接cd、de、ea 第60页/共64页a b c bac例4 4 已知 ABC ABC 给定一平面，试过点C C 作属于该平面的正平线，过点A A 作属于该平面 的水平线。m n nm第61页/共64页
32、例5 5:已知点E E 在 ABC ABC 平面上，且点E E 距离H H 面1515，距离V V 面1010，试求点E E的投影。m mn nm m n n r rs sr r s s 10101515e e e e作作 图图(1)(1)作作 ABC ABC 距离距离V V面面10 10 的直线的直线SR;SR;(3)MN与与SR的交点即为的交点即为所求。所求。(2)(2)作作 ABC ABC 距离距离H H面面15 15 的直线的直线MN;MN;第62页/共64页圆的投影圆的投影特性：圆的投影特性：1、圆平面在所、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形平行投影面上的投影反映实形；2、圆平面在所、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆的直径；的直径；3、圆平面在所、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的。其长轴是圆的平行于这个投影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径垂直平行于这个投影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径垂直的直径的投影；的直径的投影；第63页/共64页感谢您的观看。第64页/共64页