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1、机械制图模块三 点、直线、平面的投影教学课件点、直线、平面的投影ACADEMIC THESIS GRADUATION DEFENSE PPTSuitable for company promotion,product introduction,development plan,business financing,etc.模块三模块三目标学习目标：（1）掌握点、直线、平面的投影特性；（2）掌握属于直线的点的投影特性；（3）掌握属于平面的点和直线的投影特性。技能目标：（1）能够正确地绘制点、直线、平面的投影。相关描述 组成物体的基本几何元素是点、直线和平面。为了表达物体的结构，必须首先掌握几何元
2、素的投影规律。学习情境一：点的投影Projection of point01点的投影一、点的三面投影特性 点是立体上最基本的几何元素，一般体现为棱线与棱线的交点，如图3-1(a)所示的点A。根据投影关系，主视图上的a为点A的正面投影；俯视图上的a为点A的水平投影；左视图上的a为点A的侧面投影，如图3-1(b)所示。图3-1 立体上点的投影动画立体上点的投影点的投影 为了统一表达，规定空间点用大写字母表示，如A、B、C等；水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c等；正面投影用相应的小写字母加撇表示，如a、b、c；侧面投影用相应的小写字母加两撇表示，如a、b、c。投影与投影之间的连线简称连影线。
3、因为投影面相互垂直，所以连影线也相互垂直，八个顶点A、a、aY、a、a、aX、O、aZ构成正六面体，根据正六面体的性质，可以得出点的三面投影图的投影特性如下。（1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即aa OX；点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，即aa OZ；同时aaYHOYH，aaYWOYW。（2）点的投影到投影轴的距离，反映空间点到另一投影面的距离，即 aaX=a aYW=Aa，也即空间点A到H面的距离；aaX=aaZ=Aa，也即空间点A到V面的距离；aaZ=aaYH=Aa，也即空间点A到W面的距离。为了表示点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离，即aaXaa
4、Z，可自O点作45角平分线，aaYH、aaYW的延长线必与这条辅助线交于一点，如图3-1(c)所示。点的投影例3-1 已知点A的正面投影a和侧面投影a，点B的正面投影b和水平投影b，如图3-2(a)所示，分别求其第三面投影。图3-2 已知点的两面投影求第三面投影分析：已知点A的正面投影和侧面投影，则点A的空间位置可以确定，因此可作出其水平投影；同理，已知点B的正面投影和水平投影，可作出其侧面投影。作图：如图3-2(b)所示，过a作OYW的垂线与45辅助线相交，过交点作OYH的垂线与过a的垂直于OX的连影线相交，交点即为水平投影a；同理，可作出点B的侧面投影b。动画已知点的两面投影求第三面投影点
5、的投影二、点的投影与直角坐标 若将三面投影体系看作直角坐标系，则投影面为坐标面，投影轴为坐标轴，这时点O即为坐标原点，如图3 1所示。规定OX轴从点O向左为正，OY轴从点O向前为正，OZ轴从点O向上为正，反之为负。从图3-1可得，点A(xA，yA，zA)的投影与坐标有下述关系：xA=OaX=aaZ；yA=OaY=aaX；zA=OaZ=aaX。因此，如果已知点的坐标(x，y，z)，就可以画出点的投影图。点的投影例3-2 已知点A的坐标（10，4，12），点B的坐标（5，11，0），如图3-3所示，分别求出各点的三面投影图。图3-3 根据点的坐标做出投影分析：由于已知点A、B的坐标，则根据点的投影
6、与坐标的关系，可作出点A、B的三面投影图；zB=0，所以点B在H面上。点的投影作图：如图3-3所示，点A的投影：从O分别沿X、YH、Z上量取OaX=xA=10,OaZ=zA=12,OaY=yA=4,然后过aX、aZ作X轴、Z轴的垂线，交于a；过aX、aYH作X轴、Y轴的垂线，交于a,最后由a和a求出a。点B的投影：从O分别沿X、Y轴上量取ObX=xB=5,ObY=yB=11,然后过bX、bY作X轴、Y轴的垂线，交于b；由于zB=0，因而B与b重合，b与bX重合,b与bYW重合。图3-3 根据点的坐标做出投影点的投影三、特殊位置点的投影特殊情况下，点可以属于投影面或投影轴。1.属于投影面的点 当
7、点的某一个坐标为0时，点就从属于一个投影面。如图3-4所示，点A的Z坐标zA=0，则点A在H面上。点A的水平投影a与空间点A重合，正面投影a在OX轴上，侧面投影a在OYW轴上。因此，属于投影面的点的投影特性如下。（1）点的一个投影与空间点本身重合。（2）点的另外两个投影在坐标轴上。图3-4 特殊位置点的投影点的投影2.在投影轴上的点 当点的两个坐标为0时，点就在投影轴上。如图3-4所示，点B的X坐标xB=0，Y坐标yB=0，则点B在Z轴上。点B的正面投影b、侧面投影b及空间点B重合在OZ轴上，点B的水平投影b与原点O重合。因此，在投影轴上的点的投影特性如下：空间点和它的两个投影重合于投影轴上，
8、另外一个投影与原点O重合。图3-4 特殊位置点的投影点的投影四、两点的相对位置 分析两点的各个同面投影之间的坐标关系，可以判断空间两点的相对位置。根据X坐标值的大小可以判断两点的左右位置；根据Z坐标值的大小可以判断两点的上下位置；根据Y坐标值的大小可以判断两点的前后位置。如图3-3所示，点B的X和Z坐标均小于点A的相应坐标，而点B的Y坐标大于点A的Y坐标，因而，点B在点A的右方、下方、前方。图3-3 根据点的坐标做出投影点的投影 重影点需判别可见性。根据正投影特性，可见性的区分应是前遮后、上遮下、左遮右。在图3-5(a)中，点A在上，点B在下，点A遮挡点B，点B的H面投影不可见。规定不可见点的
9、投影加括号表示。当A、B两点无左右、前后距离差，点A在点B正上方或正下方时，两点的H面投影重合，如图3-5所示，点A和点B为对H面的重影点。同理，若一点在另一点的正前方或正后方，则两点是对V面的重影点；若一点在另一点的正左方或正右方，则两点是对W面的重影点。图3-5重影点动画重影点学习情景二：直线的投影Projection of a straight line02直线的投影 一般情况下，直线的投影仍是直线，如图3-6(a)所示中的直线AB。在特殊情况下，若直线垂直于投影面，则直线的投影可积聚为一点，如图3-6(a)中的直线CD。直线的投影可由直线上两点的同面投影来确定。如图3-6(b)所示，分
10、别作出直线上两点A、B的三面投影，将其同面投影相连，即得到直线AB的三面投影图。图3-6 直线的投影直线的投影一、各种位置直线的投影特性 在三面投影体系中，直线与投影面的相对位置可以分为三种：直线平行于某一投影面，直线垂直于某一投影面，直线倾斜于三个投影面。平行于某一投影面的直线为投影面的平行线，垂直于某一投影面的直线为投影面的垂直线，倾斜于三个投影面的直线为一般位置直线。将投影面的平行线和投影面的垂直线统称为特殊位置直线。1.投影面平行线 投影面平行线与一个投影面平行，与另外两个投影面倾斜。与H面平行的直线为水平线，与V面平行的直线为正平线，与W面平行的直线为侧平线。它们的投影图及投影特性见
11、下表。规定直线（或平面）对H、V、W面的倾角分别用、表示。直线的投影直线的投影直线的投影由此可概括出投影面平行线的投影特性：（1）投影面平行线在其所平行的投影面上的投影反映实长，它与投影轴的夹角分别反映直线对另外两个投影面的夹角。（2）投影面平行线在另外两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴。直线的投影2.投影面垂直线 投影面垂直线与一个投影面垂直，与另外两个投影面平行。与H面垂直的直线为铅垂线，与V面垂直的直线为正垂线，与W面垂直的直线为侧垂线。它们的投影图及投影特性见下表。直线的投影直线的投影从表中可概括出投影面垂直线的投影特性：（1）投影面垂直线在其所垂直的投影面上的投影积聚成一点。（
12、2）投影面垂直线在另外两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴，且反映实长。直线的投影3.一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角，如图3-7所示。一般位置直线的投影特性是三个投影都是倾斜于投影轴的直线，其长度小于实长。图3-7 一般位置直线的投影直线的投影二、直线上的点直线上的点的投影特性如下。（1）直线上的点的投影必定在直线的同面投影上。如图3-8所示，直线AB上的点K的投影k、k、k分别在ab、ab、ab上。（2）点分线段之比等于点的投影分线段的投影之比。如图3-8所示，线段AK和KB的比例关
13、系，等于同面投影中两线段的比例关系，即AK/KB=ak/kb=ak/kb=ak/kb。图3-8 直线上的点的投影特性直线的投影三、两直线的相对位置两直线的相对位置有三种：两直线平行、两直线相交及两直线交叉。1.两直线平行 如果空间两直线相互平行，那么它们的同面投影必定相互平行，且符合定比性。如图3-9所示，AB CD，则ab cd，ab cd,ab cd；且AB/CD=ab/cd=ab/cd=ab/cd。反之，如果两直线的各同面投影相互平行，那么两直线在空间一定相互平行。图3-9 两平行直线的投影直线的投影2.两直线相交 如果空间两直线相交，那么它们的同面投影必定相交，且投影的交点符合点的投影
14、规律。如图3-10所示，直线AB与直线CD相交于点K，则ab与cd交于k，ab与cd交于k，ab与cd交于k。反之，如果空间两直线的同面投影均相交，且交点符合空间点的投影规律，那么这两条直线在空间一定相交。图3-10 两相交直线的投影直线的投影3.两直线交叉 既不平行又不相交的直线为两交叉直线，如图3-11所示。交叉直线在空间是不相交的,但它们的投影却有可能相交。交叉直线的投影的交点仅仅是这两条直线对该投影面的重影点，如图3-12(a)所示，交叉直线AB与CD的正面投影相交,其交点1(2)分别是直线AB上的点和直线CD上的点的重影点。有时也会出现一对或两对投影平行的情况,如图3-12(b)所示
15、。图3-11 两交叉直线 图3-12 两交叉直线的投影学习情景三：平面的投影Projection of plane03平面的投影一、平面的表示方法 由初等几何可知，不属于同一直线的三点确定一平面。因此，可用下列任意一组几何元素的投影表示平面：不在同一直线上的三个点，如图3-13(a)所示；一直线和不属于该直线的一点，如图3-13(b)所示；两相交直线，如图3-13(c)所示；两平行直线，如图3-13(d)所示；任意平面图形，如图3-13(e)所示。图3-13 平面表示法平面的投影二、各种位置平面的投影特性 在三面投影体系中，平面按与投影面的相对位置关系可以分为三种：投影面垂直面、投影面平行面、
16、倾斜于投影面的平面。将投影面平行面和投影面垂直面称为特殊位置平面，将倾斜于投影面的平面称为一般位置平面。1.投影面垂直面 垂直于一个投影面的平面为投影面垂直面。与H面垂直的平面为铅垂面，与V面垂直的平面为正垂面，与W面垂直的平面为侧垂面。它们的投影图及投影特性见表3-3。平面的投影从上表中可概括出投影面垂直面的投影特性：（1）投影面垂直面在其所垂直的投影面上的投影积聚成一直线，直线与投影轴的夹角分别反映该平面与另外两个投影面的夹角。（2）投影面垂直面在另外两个投影面上的投影均为该平面的类似形。平面的投影2.投影面平行面 平行于一个投影面的平面为投影面平行面。与H面平行的平面为水平面，与V面平行
17、的平面为正平面，与W面平行的平面为侧平面。它们的投影图及投影特性见表3-4。平面的投影3.一般位置平面一般位置平面与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实形，而是缩小的类似形，如图3-14所示。图3-14 一般位置平面的投影平面的投影三、平面上的点和直线 由初等几何可知，属于平面的点和直线要满足下列几何条件。（1）若点位于平面内的一直线上，则此点在该平面内。（2）若一直线通过平面内的两个点，或一直线通过平面上一已知点且平行于平面内的另一直线，则该直线必在平面内。如图3-15所示，相交两直线AB、BC决定一平面P，点K、M分别在AB、BC上，因此直线KM在平面P内。又如，点M是BC
18、上的一个点，过点M作MN AB，则MN一定也在平面P上。图3-15 平面上的点和直线平面的投影例3-3 已知ABC上点K的水平投影k，求其正面投影k，如图3-16(a)所示。分析：已知点K在ABC上，可利用若点位于平面内，则点在该平面内的一直线上这一特性，求出k。作图：如图3-16(b)所示，连接ak，交cb于1，这样A1为平面ABC上的直线。求出1，连接a1，并延长与过k作的投影连线交于k,k即为所求。图3-16 求ABC上点K的正面投影k动画求ABC上点K的正面投影k平面的投影例3-4 完成平面ABCDE的正面投影，如图3-17(a)所示。分析：已知A、B、C三点的正面投影和水平投影，则平
19、面的空间位置已经确定，因此可利用点在平面上的特性作出其正面投影。作图：如图3-17(b)所示，连接ac和ac，即得ABC的两面投影；连接be，交ac于1，求出其正面投影1，连接b1，并延长与过e的连影线交于e；同理，求出ABC上点D的正面投影d；连接c、d、e、a，即得平面ABCDE的正面投影。图3-17 完成平面ABCDE的正面投影动画完成平面ABCDE的正面投影平面的投影例3-5 已知平面ABC两面投影，求出平面上水平线BD和正平线BE的两面投影，如图3-18(a)所示。分析：由于水平线的正面投影平行于OX轴，故可先求出BD的正面投影；同理，正平线的水平投影平行于OX轴，故可求出BE的水平
20、投影。作图：如图3-18(b)所示，过b作bd OX轴，交ac于d，作dd OX交ac于d，连接bd即为水平线BD的水平投影；同理，过b作be OX轴，交ac于e，作ee OX交ac于e，连接be即为正平线BE的正面投影。图3-18 平面上水平线和正平线的求法动画求平面上水平线BD和正平线BE的两面投影思考与练习1.点的投影是如何形成的？2.试述点、直线、平面的投影特性。3.如何判断空间点是否属于一直线？4.直线与直线的相对位置有哪几种？5.如何判断空间点及直线是否属于一平面？谢谢观看ACADEMIC THESIS GRADUATION DEFENSE PPTSuitable for company promotion,product introduction,development plan,business financing,etc.