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1、系统的稳定性系统的稳定性q本章基本内容：本章基本内容：1.1.1.1.系统稳定的概念系统稳定的概念系统稳定的概念系统稳定的概念2.2.2.2.系统稳定的基本条件系统稳定的基本条件系统稳定的基本条件系统稳定的基本条件3.3.3.3.系统稳定性的判定：系统稳定性的判定：系统稳定性的判定：系统稳定性的判定：RouthRouth判据判据判据判据 NyquistNyquist判据判据判据判据 BodeBode判据判据判据判据4.4.4.4.系统相对稳定性的概念系统相对稳定性的概念系统相对稳定性的概念系统相对稳定性的概念5.5.5.5.系统相对稳定裕度的概念及其计算系统相对稳定裕度的概念及其计算系统相对稳
2、定裕度的概念及其计算系统相对稳定裕度的概念及其计算系统的稳定性系统的稳定性q基本要求：基本要求：1.1.1.1.掌握系统稳定与相对稳定的概念掌握系统稳定与相对稳定的概念掌握系统稳定与相对稳定的概念掌握系统稳定与相对稳定的概念2.2.2.2.掌握三个系统稳定判据及其应用掌握三个系统稳定判据及其应用掌握三个系统稳定判据及其应用掌握三个系统稳定判据及其应用3.3.3.3.掌握系统相对稳定裕度的概念及其计算掌握系统相对稳定裕度的概念及其计算掌握系统相对稳定裕度的概念及其计算掌握系统相对稳定裕度的概念及其计算q重点与难点：重点与难点：1.1.1.1.三个系统稳定判据及其应用三个系统稳定判据及其应用三个系
3、统稳定判据及其应用三个系统稳定判据及其应用2.2.2.2.系统相对稳定裕度的计算系统相对稳定裕度的计算系统相对稳定裕度的计算系统相对稳定裕度的计算系统稳定性的概念系统稳定性的概念没有外力作用的没有外力作用的自由振荡自由振荡若若是是减幅减幅的，的，则系统是则系统是稳定稳定的的；自由振荡自由振荡若若是是增幅增幅的，的，则系统就是则系统就是不稳定不稳定的。的。1单摆单摆2小球小球偏离初始状态后能恢复到初始状态的系统是稳定的系统偏离初始状态后能恢复到初始状态的系统是稳定的系统q稳定的含义稳定的含义:系统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过系统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过系统在任何足够小的初
4、始偏差作用下，其过渡过系统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称系统是稳定的，否则系统原平衡状态的性能，则称系统是稳定的，否则系统原平衡状态的性能，则称系统是稳定的，否则系统原平衡状态的性能，则称系统是稳定的，否则系统是不稳定的。是不稳定的。是不稳定的。是不稳定的。q理解理解：(1)(1)线性系统的稳定性线性系统的稳定性线性系统的稳定性线性系统的稳定性取决于系统本身的结构与参数取决于系统本身的结构与
5、参数取决于系统本身的结构与参数取决于系统本身的结构与参数，与输入无关与输入无关与输入无关与输入无关；(2)(2)外力消失后的振荡是由外力消失后的振荡是由外力消失后的振荡是由外力消失后的振荡是由初始偏差初始偏差初始偏差初始偏差造成的造成的造成的造成的;(3)(3)不稳定现象的发生和系统具有不稳定现象的发生和系统具有不稳定现象的发生和系统具有不稳定现象的发生和系统具有正反馈正反馈正反馈正反馈相关相关相关相关;(4)(4)控控控控制制制制理理理理论论论论中中中中仅仅仅仅讨讨讨讨论论论论输输输输入入入入为为为为零零零零，系系系系统统统统仅仅仅仅存存存存有有有有不不不不为为为为零零零零的的的的初态初态初
6、态初态时的稳定性。时的稳定性。时的稳定性。时的稳定性。q系统不稳定现象：系统不稳定现象：二阶系统中的三种情况二阶系统中的三种情况二阶系统中的三种情况二阶系统中的三种情况0000 1111 减幅（收敛）振荡减幅（收敛）振荡减幅（收敛）振荡减幅（收敛）振荡 =0=0=0=0 等幅振荡等幅振荡等幅振荡等幅振荡 0000 增幅（发散）振荡增幅（发散）振荡增幅（发散）振荡增幅（发散）振荡系统不稳定现象的发生系统不稳定现象的发生系统不稳定现象的发生系统不稳定现象的发生取决于系统的内部结构参数取决于系统的内部结构参数取决于系统的内部结构参数取决于系统的内部结构参数，与系统输入无关；与系统输入无关；与系统输入
7、无关；与系统输入无关；系统发生不稳定现象说明系统中必有反馈，而且是正系统发生不稳定现象说明系统中必有反馈，而且是正系统发生不稳定现象说明系统中必有反馈，而且是正系统发生不稳定现象说明系统中必有反馈，而且是正反馈。反馈。反馈。反馈。不稳定不稳定稳定稳定q系统稳定的定义：系统稳定的定义：原来原来原来原来处处处处在平衡状在平衡状在平衡状在平衡状态态态态的系的系的系的系统统统统受到受到受到受到扰动扰动扰动扰动后会偏离原来后会偏离原来后会偏离原来后会偏离原来的平衡状的平衡状的平衡状的平衡状态态态态，扰动扰动扰动扰动消失后，系消失后，系消失后，系消失后，系统统统统能回到原来的平衡状能回到原来的平衡状能回到
8、原来的平衡状能回到原来的平衡状态态态态或达到新的平衡状或达到新的平衡状或达到新的平衡状或达到新的平衡状态态态态，则，则，则，则称称称称该系统是该系统是该系统是该系统是稳稳稳稳定定定定的的的的。否否否否则，系统是不稳定的。则，系统是不稳定的。则，系统是不稳定的。则，系统是不稳定的。q系统稳定的条件：系统稳定的条件：结论：结论：结论：结论：当系统所有的特征根都具有负实部，即所有特征当系统所有的特征根都具有负实部，即所有特征当系统所有的特征根都具有负实部，即所有特征当系统所有的特征根都具有负实部，即所有特征根都位于复平面的左半平面根都位于复平面的左半平面根都位于复平面的左半平面根都位于复平面的左半平
9、面，该系统就是稳定的。该，该系统就是稳定的。该，该系统就是稳定的。该，该系统就是稳定的。该条件是系统稳定的条件是系统稳定的条件是系统稳定的条件是系统稳定的充要充要充要充要条件。条件。条件。条件。所有所有所有所有ResResi i0 0 0 系统不稳定，发散系统不稳定，发散系统不稳定，发散系统不稳定，发散Routh(代数代数)稳定判据稳定判据q基于方程式基于方程式基于方程式基于方程式根与系数的关系根与系数的关系根与系数的关系根与系数的关系而建立而建立而建立而建立q通过对系统特征方程式的各项系数进行代数运算，通过对系统特征方程式的各项系数进行代数运算，通过对系统特征方程式的各项系数进行代数运算，通
10、过对系统特征方程式的各项系数进行代数运算，得出得出得出得出全部特征根都具有负实部的条件全部特征根都具有负实部的条件全部特征根都具有负实部的条件全部特征根都具有负实部的条件，从而判断系，从而判断系，从而判断系，从而判断系统的稳定性统的稳定性统的稳定性统的稳定性q系统的特征方程式系统的特征方程式系统的特征方程式系统的特征方程式若所有特征根都具有负实部，若所有特征根都具有负实部，系统稳定的系统稳定的系统稳定的系统稳定的必要条件必要条件必要条件必要条件:特征方程所有的系数都大于特征方程所有的系数都大于特征方程所有的系数都大于特征方程所有的系数都大于0 0则有：所有系数则有：所有系数ai都大于都大于0q
11、系统系统系统系统特征方程特征方程特征方程特征方程为为为为 a a0 0s sn n+a+a1 1s sn-1n-1+a+an-1n-1s+as+an n=0=0q列列列列RouthRouth劳斯表劳斯表劳斯表劳斯表:s sn n :a :a0 0 a a2 2 a a4 4 a a6 6 s sn-1 n-1:a:a1 1 a a3 3 a a5 5 a a7 7 s sn-2 n-2:b:b1 1 b b2 2 b b3 3 b b4 4 s sn-3 n-3:c c1 1 c c2 2 c c3 3 s s2 2 e e1 1 e e2 2s s1 1 f f1 1s s0 0 g g1
12、1系统稳定的系统稳定的充要条件充要条件q系系系系统统统统的特征方程式的特征方程式的特征方程式的特征方程式为为为为 列列列列劳劳劳劳斯表斯表斯表斯表 ：6061455666101166121sssss01234劳斯稳定判据劳斯稳定判据q(1)(1)(1)(1)系统稳定的系统稳定的系统稳定的系统稳定的必要条件必要条件必要条件必要条件是是是是特征方程所有的系数特征方程所有的系数都大于都大于0 0；q(2)(2)(2)(2)系统稳定的系统稳定的系统稳定的系统稳定的充要条件充要条件充要条件充要条件是劳斯表的是劳斯表的是劳斯表的是劳斯表的第一列元素全第一列元素全大于零大于零；q(3)(3)(3)(3)劳斯
13、表第一列劳斯表第一列劳斯表第一列劳斯表第一列元素符号改变的次数元素符号改变的次数元素符号改变的次数元素符号改变的次数代表特征方程代表特征方程代表特征方程代表特征方程正实部根的数目正实部根的数目。q例：设系统的特征方程式为例：设系统的特征方程式为例：设系统的特征方程式为例：设系统的特征方程式为 试判别系统的稳定性。试判别系统的稳定性。试判别系统的稳定性。试判别系统的稳定性。q解：解：解：解：特征方程符号相同，又特征方程符号相同，又特征方程符号相同，又特征方程符号相同，又不缺项不缺项不缺项不缺项，故满足稳定的必，故满足稳定的必，故满足稳定的必，故满足稳定的必要条件。要条件。要条件。要条件。列劳斯表
14、判别：列劳斯表判别：列劳斯表判别：列劳斯表判别：第一列各数均为正数第一列各数均为正数第一列各数均为正数第一列各数均为正数故系统稳定故系统稳定故系统稳定故系统稳定q验证验证验证验证:将特征方程式因式分解为将特征方程式因式分解为将特征方程式因式分解为将特征方程式因式分解为 求得所有特征根为：求得所有特征根为：求得所有特征根为：求得所有特征根为：可见可见可见可见,所有特征根均有负实部所有特征根均有负实部所有特征根均有负实部所有特征根均有负实部，所以系统稳定。，所以系统稳定。，所以系统稳定。，所以系统稳定。劳斯表中可能出现的两种特殊情况：劳斯表中可能出现的两种特殊情况：q1.1.第一列出现第一列出现0
15、 0元素元素:如：如：如：如：处理方法：处理方法：处理方法：处理方法：用一个正数用一个正数用一个正数用一个正数0000来代替第一列的来代替第一列的来代替第一列的来代替第一列的0 0 0 0元元元元素，继续列写劳斯表。素，继续列写劳斯表。素，继续列写劳斯表。素，继续列写劳斯表。若该元素的上下两元素若该元素的上下两元素若该元素的上下两元素若该元素的上下两元素无符号变化无符号变化无符号变化无符号变化，且都为正，且都为正，且都为正，且都为正，说明该系统有一对说明该系统有一对说明该系统有一对说明该系统有一对共轭虚根共轭虚根共轭虚根共轭虚根，系统处于，系统处于，系统处于，系统处于临界稳临界稳临界稳临界稳定
16、定定定；若若若若有符号变化有符号变化有符号变化有符号变化，即有一个元素为负，则系统是，即有一个元素为负，则系统是，即有一个元素为负，则系统是，即有一个元素为负，则系统是不稳定不稳定不稳定不稳定的，而且的，而且的，而且的，而且符号改变几次就有几个不稳定符号改变几次就有几个不稳定符号改变几次就有几个不稳定符号改变几次就有几个不稳定根根根根存在。存在。存在。存在。q例如例如例如例如:特征方程式：特征方程式：特征方程式：特征方程式：q劳斯表劳斯表劳斯表劳斯表()()(-)符号有变化，说明系统存在不稳定根符号有变化，说明系统存在不稳定根符号变化符号变化2次，系统的不稳定根有次，系统的不稳定根有2个个q列
17、劳斯表列劳斯表列劳斯表列劳斯表q 上上上上下下下下两两两两行行行行符符符符号号号号不不不不变变变变，说说说说明明明明有有有有纯纯纯纯虚虚虚虚根根根根存存存存在在在在，系系系系统统统统临临临临界界界界稳定稳定稳定稳定。q将特征方程式因式分解为将特征方程式因式分解为将特征方程式因式分解为将特征方程式因式分解为q特征根为特征根为特征根为特征根为 q系系系系统统统统等幅振等幅振等幅振等幅振荡荡荡荡q2.2.出现全出现全0 0行行:处理方法：处理方法：处理方法：处理方法：由全由全由全由全0 0 0 0行上方的元素行得到辅助方程，行上方的元素行得到辅助方程，行上方的元素行得到辅助方程，行上方的元素行得到辅
18、助方程，对其求导，用求导后的方程系数作为劳斯表新的对其求导，用求导后的方程系数作为劳斯表新的对其求导，用求导后的方程系数作为劳斯表新的对其求导，用求导后的方程系数作为劳斯表新的行元素继续列写劳斯表。行元素继续列写劳斯表。行元素继续列写劳斯表。行元素继续列写劳斯表。由辅助方程可以求得系统特殊的特征根，如为由辅助方程可以求得系统特殊的特征根，如为由辅助方程可以求得系统特殊的特征根，如为由辅助方程可以求得系统特殊的特征根，如为相相相相反数的一对实根反数的一对实根反数的一对实根反数的一对实根、或、或、或、或一对纯虚根一对纯虚根一对纯虚根一对纯虚根、或、或、或、或一对共轭复一对共轭复一对共轭复一对共轭复
19、根根根根。8 242 12 160 0 0q某某某某行行行行所所所所有有有有项项项项系系系系数数数数均均均均为为为为零零零零的的的的情情情情况况况况，说说说说明明明明特特特特征征征征方方方方程程程程有有有有对对对对称的根称的根称的根称的根.q建辅助方程建辅助方程建辅助方程建辅助方程,求导后继续计算求导后继续计算求导后继续计算求导后继续计算q例例例例：系系系系统统统统特征方程式特征方程式特征方程式特征方程式为为为为q列列列列劳劳劳劳斯表斯表斯表斯表 q由辅助方程由辅助方程由辅助方程由辅助方程 s s4 4+6+6s s2 2+8=0+8=0可得：可得：可得：可得：q虽然无根在右半平面，但有根在虽
20、然无根在右半平面，但有根在虽然无根在右半平面，但有根在虽然无根在右半平面，但有根在虚轴虚轴虚轴虚轴上，上，上，上，q系统临界稳定系统临界稳定系统临界稳定系统临界稳定。Routh稳定判据的应用稳定判据的应用q1.1.1.1.可在不求特征根的情况下可在不求特征根的情况下可在不求特征根的情况下可在不求特征根的情况下判别系统的稳定性判别系统的稳定性判别系统的稳定性判别系统的稳定性；q2.2.2.2.可确定使系统稳定的系统结构可确定使系统稳定的系统结构可确定使系统稳定的系统结构可确定使系统稳定的系统结构参数的取值范围参数的取值范围参数的取值范围参数的取值范围,分析系统参数变化分析系统参数变化分析系统参数
21、变化分析系统参数变化对稳定性的影响对稳定性的影响对稳定性的影响对稳定性的影响q3.3.3.3.可检验可检验可检验可检验稳定裕度稳定裕度稳定裕度稳定裕度,求使系统具有一定稳定裕度的求使系统具有一定稳定裕度的求使系统具有一定稳定裕度的求使系统具有一定稳定裕度的结构参数的取值范围。结构参数的取值范围。结构参数的取值范围。结构参数的取值范围。令令令令s=z-s=z-s=z-s=z-(0),0),0),0),将其代入系统特征方程，可得将其代入系统特征方程，可得将其代入系统特征方程，可得将其代入系统特征方程，可得关于关于关于关于z z z z的多项式，以判断系统的相对稳定性。的多项式，以判断系统的相对稳定
22、性。的多项式，以判断系统的相对稳定性。的多项式，以判断系统的相对稳定性。q例例例例:说明如图所示系统的稳定条件说明如图所示系统的稳定条件说明如图所示系统的稳定条件说明如图所示系统的稳定条件q解：解：解：解：求出闭环传递函数求出闭环传递函数求出闭环传递函数求出闭环传递函数q特征方程特征方程特征方程特征方程 TsTs+(1+(1+K K)=0)=0 q例：单位反馈系统的开环传递函数为例：单位反馈系统的开环传递函数为例：单位反馈系统的开环传递函数为例：单位反馈系统的开环传递函数为 试求试求试求试求K K K K的稳定范围。的稳定范围。的稳定范围。的稳定范围。q解：系统的闭环特征方程：解：系统的闭环特
23、征方程：解：系统的闭环特征方程：解：系统的闭环特征方程：q列劳斯表列劳斯表列劳斯表列劳斯表 系统稳定的充分必要条件系统稳定的充分必要条件 K0 K00.35-0.025K00.35-0.025K0得得 K14 K14所以保证系统稳定，所以保证系统稳定，K K的取值的取值范围为范围为0K140K14。q系统的结构图如下，试确定系统的结构图如下，试确定系统的结构图如下，试确定系统的结构图如下，试确定K K K K和和和和a a a a取何值时，系统将取何值时，系统将取何值时，系统将取何值时，系统将以角频率以角频率以角频率以角频率 =2rad/s=2rad/s=2rad/s=2rad/s进行持续振荡
24、。进行持续振荡。进行持续振荡。进行持续振荡。解：理解题意，解：理解题意，解：理解题意，解：理解题意，系统持续振荡，即系统作等幅振荡，亦即系系统持续振荡，即系统作等幅振荡，亦即系系统持续振荡，即系统作等幅振荡，亦即系系统持续振荡，即系统作等幅振荡，亦即系统存在共扼纯虚根；统存在共扼纯虚根；统存在共扼纯虚根；统存在共扼纯虚根；角频率角频率角频率角频率=2rad/s=2rad/s=2rad/s=2rad/s，即共扼纯虚根为即共扼纯虚根为即共扼纯虚根为即共扼纯虚根为s=s=s=s=j2j2j2j2qq由结构图求系统闭环传递函数由结构图求系统闭环传递函数由结构图求系统闭环传递函数由结构图求系统闭环传递函
25、数qq特征方程特征方程特征方程特征方程qq列劳斯表：列劳斯表：列劳斯表：列劳斯表：a 0令令得到全得到全0行行使系统存在纯虚根使系统存在纯虚根求纯虚根求纯虚根联联立立求求解解q系统结构图如下，已知系统结构图如下，已知系统结构图如下，已知系统结构图如下，已知T T T T1 1 1 1=0.1,T=0.1,T=0.1,T=0.1,T2 2 2 2=0.25=0.25=0.25=0.25，试求使系统，试求使系统，试求使系统，试求使系统特征根均位于特征根均位于特征根均位于特征根均位于s=-1s=-1s=-1s=-1线的左侧线的左侧线的左侧线的左侧的的的的K K K K的取值范围。的取值范围。的取值范
26、围。的取值范围。解：理解题意，使系统特征根均位于解：理解题意，使系统特征根均位于解：理解题意，使系统特征根均位于解：理解题意，使系统特征根均位于s=-1s=-1s=-1s=-1线的左侧，线的左侧，线的左侧，线的左侧，即对即对即对即对RouthRouthRouthRouth判据判据判据判据(s=0)(s=0)(s=0)(s=0)进行坐标移动。进行坐标移动。进行坐标移动。进行坐标移动。令令令令s=s+1s=s+1s=s+1s=s+1，则，则，则，则s=s-1s=s-1s=s-1s=s-1，代入系统特征方程并整理，代入系统特征方程并整理，代入系统特征方程并整理，代入系统特征方程并整理后再利用后再利用
27、后再利用后再利用RouthRouthRouthRouth判据进行求解。判据进行求解。判据进行求解。判据进行求解。q先求系统闭环传递函数先求系统闭环传递函数先求系统闭环传递函数先求系统闭环传递函数q特征方程：特征方程：特征方程：特征方程：q将将将将s=s-1s=s-1s=s-1s=s-1代入整理可得：代入整理可得：代入整理可得：代入整理可得：q列劳斯表：列劳斯表：列劳斯表：列劳斯表：q根据根据根据根据RouthRouthRouthRouth稳定判据可知：稳定判据可知：稳定判据可知：稳定判据可知：q若要系统稳定则需若要系统稳定则需若要系统稳定则需若要系统稳定则需q所以，当所以，当所以，当所以，当0
28、.675K4.80.675K4.80.675K4.80.675K4.8时，该系统所有特征根均位于时，该系统所有特征根均位于时，该系统所有特征根均位于时，该系统所有特征根均位于s=-1s=-1s=-1s=-1的左侧。的左侧。的左侧。的左侧。Nyquist(几何几何)稳定判据稳定判据qNyquist稳定判据的特点：稳定判据的特点：1.1.1.1.不需要求取系统特征根就可以判断系统是否稳定；不需要求取系统特征根就可以判断系统是否稳定；不需要求取系统特征根就可以判断系统是否稳定；不需要求取系统特征根就可以判断系统是否稳定；2.2.2.2.利用闭环控制系统的开环传递函数求取系统开环频利用闭环控制系统的开
29、环传递函数求取系统开环频利用闭环控制系统的开环传递函数求取系统开环频利用闭环控制系统的开环传递函数求取系统开环频率特性即可判断闭环系统是否稳定；率特性即可判断闭环系统是否稳定；率特性即可判断闭环系统是否稳定；率特性即可判断闭环系统是否稳定；3.3.3.3.如果系统不稳定，可以求出系统不稳定的闭环极点如果系统不稳定，可以求出系统不稳定的闭环极点如果系统不稳定，可以求出系统不稳定的闭环极点如果系统不稳定，可以求出系统不稳定的闭环极点的个数；的个数；的个数；的个数；4.4.4.4.可以求出系统的相对稳定的稳定裕度，从而指出提可以求出系统的相对稳定的稳定裕度，从而指出提可以求出系统的相对稳定的稳定裕度
30、，从而指出提可以求出系统的相对稳定的稳定裕度，从而指出提高和改善系统动态性能的途径；高和改善系统动态性能的途径；高和改善系统动态性能的途径；高和改善系统动态性能的途径；5.5.5.5.是一种几何判据。是一种几何判据。是一种几何判据。是一种几何判据。1、幅角原理、幅角原理q幅角原理是幅角原理是幅角原理是幅角原理是NyquistNyquistNyquistNyquist稳定判据的数学基础稳定判据的数学基础稳定判据的数学基础稳定判据的数学基础q分析问题的思路是从分析问题的思路是从分析问题的思路是从分析问题的思路是从相角的变化来判断系统的稳定相角的变化来判断系统的稳定相角的变化来判断系统的稳定相角的变
31、化来判断系统的稳定。q对于系统的一个极点对于系统的一个极点对于系统的一个极点对于系统的一个极点s=ps=ps=ps=p：令令令令D(s)=s-p D(s)=s-p D(s)=s-p D(s)=s-p D(j D(j D(j D(j)=j)=j)=j)=j-p-p-p-p若把若把若把若把D(jD(jD(jD(j)看成矢量看成矢量看成矢量看成矢量由由由由P P P P点指向点指向点指向点指向j j j j极点极点q如果如果如果如果P P P P点在点在点在点在负负负负实轴上（实轴上（实轴上（实轴上（系统是稳定的系统是稳定的系统是稳定的系统是稳定的），当），当），当），当由由由由0+0+0+0+时，
32、矢量时，矢量时，矢量时，矢量D(jD(jD(jD(j)逆时针旋转逆时针旋转逆时针旋转逆时针旋转90909090；q如果如果如果如果P P P P点在点在点在点在正正正正实轴上（实轴上（实轴上（实轴上（系统是不稳定的系统是不稳定的系统是不稳定的系统是不稳定的），当），当），当），当由由由由0+0+0+0+时，矢量时，矢量时，矢量时，矢量D(jD(jD(jD(j)顺时针旋转顺时针旋转顺时针旋转顺时针旋转90909090；极点极点q这样就可以将稳定问题转化为这样就可以将稳定问题转化为这样就可以将稳定问题转化为这样就可以将稳定问题转化为D(jD(jD(jD(j)的相角变化问的相角变化问的相角变化问的相
33、角变化问题：题：题：题：对对对对n n n n阶系统：阶系统：阶系统：阶系统：当当当当由由由由0+0+0+0+时，如果时，如果时，如果时，如果D(jD(jD(jD(j)逆时针旋转逆时针旋转逆时针旋转逆时针旋转n n n n 90909090，系统，系统，系统，系统稳定稳定稳定稳定；不等于不等于不等于不等于n n n n 90909090，系统，系统，系统，系统不稳定不稳定不稳定不稳定；若有若有若有若有m m m m个极点在右半平面，则个极点在右半平面，则个极点在右半平面，则个极点在右半平面，则D(jD(jD(jD(j)逆时针旋转逆时针旋转逆时针旋转逆时针旋转(n-m)(n-m)(n-m)(n-
34、m)90909090。当当当当由由由由-+-+-+-+时，上面的结论中的角度改为时，上面的结论中的角度改为时，上面的结论中的角度改为时，上面的结论中的角度改为n n n n 180180180180 或或或或(n-m)(n-m)(n-m)(n-m)180180180180。q即，当即，当即，当即，当从从从从-+-+-+-+变化时：变化时：变化时：变化时：SSSS左半平面左半平面左半平面左半平面上的零、极点矢量均变化上的零、极点矢量均变化上的零、极点矢量均变化上的零、极点矢量均变化+弧度；弧度；弧度；弧度；SSSS右半平面右半平面右半平面右半平面上的零、极点矢量均变化上的零、极点矢量均变化上的零
35、、极点矢量均变化上的零、极点矢量均变化-弧度。弧度。弧度。弧度。q设设设设n n n n阶系统阶系统阶系统阶系统有有有有P P P P个开环极点在个开环极点在个开环极点在个开环极点在SSSS右半平面右半平面右半平面右半平面，则有，则有，则有，则有(n-(n-(n-(n-P)P)P)P)个开环极点在个开环极点在个开环极点在个开环极点在SSSS左半平面左半平面左半平面左半平面，系统开环极点的相角，系统开环极点的相角，系统开环极点的相角，系统开环极点的相角为：为：为：为：q构造一个复变函数构造一个复变函数构造一个复变函数构造一个复变函数F(s)F(s)F(s)F(s)：q若若若若F(s)F(s)F(
36、s)F(s)有有有有P P P P个极点个极点个极点个极点、Z Z Z Z个零点个零点个零点个零点位于位于位于位于SSSS平面的平面的平面的平面的右右右右半平面，半平面，半平面，半平面，q则当则当则当则当由由由由-+-+-+-+时，时，时，时，极点相位变化：极点相位变化：极点相位变化：极点相位变化：零点相位变化：零点相位变化：零点相位变化：零点相位变化：F(jF(j )的相位变化：的相位变化：的相位变化：的相位变化：q结论：当结论：当结论：当结论：当由由由由-+-+-+-+时，时，时，时，F(jF(jF(jF(j)将围绕将围绕将围绕将围绕原点原点原点原点逆时逆时逆时逆时针针针针方向旋转方向旋转
37、方向旋转方向旋转N=P-ZN=P-ZN=P-ZN=P-Z圈。圈。圈。圈。q注意：注意：注意：注意：P P P P为为为为F(S)F(S)F(S)F(S)位于右半平面的极点位于右半平面的极点位于右半平面的极点位于右半平面的极点Z Z Z Z为为为为F(S)F(S)F(S)F(S)位于右半平面的零点位于右半平面的零点位于右半平面的零点位于右半平面的零点F(jF(jF(jF(j)2 2 2 2、开环传递函数、闭环传递函数与、开环传递函数、闭环传递函数与、开环传递函数、闭环传递函数与、开环传递函数、闭环传递函数与F(s)F(s)F(s)F(s)之间的关系之间的关系之间的关系之间的关系q如图为控制系统的
38、一般结构图：如图为控制系统的一般结构图：如图为控制系统的一般结构图：如图为控制系统的一般结构图：q如果令如果令如果令如果令q则根据结构图可求得：则根据结构图可求得：则根据结构图可求得：则根据结构图可求得：q令令令令F(s)=1+GF(s)=1+GF(s)=1+GF(s)=1+GK K K K(s)(s)(s)(s)，则有，则有，则有，则有q比较上面三个表达式，可知：比较上面三个表达式，可知：比较上面三个表达式，可知：比较上面三个表达式，可知：F(s)F(s)F(s)F(s)与与与与G G G GK K K K(s)(s)(s)(s)有相同的极点；有相同的极点；有相同的极点；有相同的极点；F(s
39、)F(s)F(s)F(s)的零点与的零点与的零点与的零点与G G G GB B B B(s)(s)(s)(s)的极点相同；的极点相同；的极点相同；的极点相同；q结论：结论：结论：结论：q线性定常系统稳定的充要条件是闭环系统的特征方线性定常系统稳定的充要条件是闭环系统的特征方线性定常系统稳定的充要条件是闭环系统的特征方线性定常系统稳定的充要条件是闭环系统的特征方程的特征根都具有负实部程的特征根都具有负实部程的特征根都具有负实部程的特征根都具有负实部,即即即即G G G GB B B B(s)(s)(s)(s)在在在在s s s s平面的右半平平面的右半平平面的右半平平面的右半平面没有极点面没有极
40、点面没有极点面没有极点，亦即，亦即，亦即，亦即F(s)F(s)F(s)F(s)在在在在s s s s平面的右半平面没有零点，平面的右半平面没有零点，平面的右半平面没有零点，平面的右半平面没有零点，即即即即Z Z Z Z0 0 0 0。GGGGK K K K(j)=F(j)-1(j)=F(j)-1(j)=F(j)-1(j)=F(j)-1，GGGGK K K K(j)(j)(j)(j)曲线曲线曲线曲线逆时针逆时针逆时针逆时针方向围绕方向围绕方向围绕方向围绕(-1(-1(-1(-1，j0)j0)j0)j0)点的圈数为点的圈数为点的圈数为点的圈数为N=P-ZN=P-ZN=P-ZN=P-Z 3、结论、结
41、论qZ=P-NZ=P-NZ=P-NZ=P-N，q如果如果如果如果Z=0Z=0Z=0Z=0，则系统稳定；否则系统不稳定。，则系统稳定；否则系统不稳定。，则系统稳定；否则系统不稳定。，则系统稳定；否则系统不稳定。q其中，其中，其中，其中，P P P P为系统开环极点位于为系统开环极点位于为系统开环极点位于为系统开环极点位于S S S S平面右半平面的个数；平面右半平面的个数；平面右半平面的个数；平面右半平面的个数；N N N N为系统开环为系统开环为系统开环为系统开环NyquistNyquistNyquistNyquist曲线逆时针包围曲线逆时针包围曲线逆时针包围曲线逆时针包围(-1(-1(-1(
42、-1，j0)j0)j0)j0)点点点点的圈数；的圈数；的圈数；的圈数；Z Z Z Z为系统闭环极点位于为系统闭环极点位于为系统闭环极点位于为系统闭环极点位于S S S S平面右半平面的个数。平面右半平面的个数。平面右半平面的个数。平面右半平面的个数。Nyquist稳定判据稳定判据qNyquistNyquist稳定判据内容：稳定判据内容：当当当当由由由由-到到到到+时，若系统开环频率特性时，若系统开环频率特性时，若系统开环频率特性时，若系统开环频率特性逆时针逆时针逆时针逆时针包围包围包围包围（-1,j0-1,j0-1,j0-1,j0）点点点点P P P P圈，其中圈，其中圈，其中圈，其中P P
43、P P是开环传递函数在是开环传递函数在是开环传递函数在是开环传递函数在s s s s平面右平面右平面右平面右半平面的极点数，则闭环系统稳定。半平面的极点数，则闭环系统稳定。半平面的极点数，则闭环系统稳定。半平面的极点数，则闭环系统稳定。q推论：推论：推论：推论：对开环稳定的系统即对开环稳定的系统即对开环稳定的系统即对开环稳定的系统即P P P P0 0 0 0，其闭环稳定的充，其闭环稳定的充，其闭环稳定的充，其闭环稳定的充要条件是：要条件是：要条件是：要条件是：系统的开环频率特性不包围系统的开环频率特性不包围系统的开环频率特性不包围系统的开环频率特性不包围(-1,j0)(-1,j0)(-1,j
44、0)(-1,j0)点。点。点。点。q如，某系统如，某系统如，某系统如，某系统 ，其，其，其，其NyquistNyquistNyquistNyquist曲线如图，曲线如图，曲线如图，曲线如图，判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。12+0 0 0 01.1.NyquistNyquistNyquistNyquist曲线逆时针包围曲线逆时针包围曲线逆时针包围曲线逆时针包围(-1,j0)(-1,j0)(-1,j0)(-1,j0)点点点点一圈，即一圈，即一圈，即一圈，即N=1N=1N=1N=12.2.而而而而开环有一个位于右半平面的极点，即开环有一个位于右半平面的极点，
45、即开环有一个位于右半平面的极点，即开环有一个位于右半平面的极点，即P=1P=1P=1P=1，所以闭环系统稳定。所以闭环系统稳定。所以闭环系统稳定。所以闭环系统稳定。由图可知：由图可知：由图可知：由图可知：3.3.所以所以所以所以Z=P-N=0Z=P-N=0Z=P-N=0Z=P-N=0Nyquist稳定判据稳定判据q几点说明：几点说明：1.1.1.1.开环开环开环开环NyquistNyquistNyquistNyquist曲线曲线曲线曲线关于实轴对称关于实轴对称关于实轴对称关于实轴对称；故一般只画；故一般只画；故一般只画；故一般只画由由由由0 0 0 0+到到到到+时的曲线，然后对称画出时的曲线
46、，然后对称画出时的曲线，然后对称画出时的曲线，然后对称画出-到到到到0 0 0 0-的一半。的一半。的一半。的一半。2.2.2.2.积分环节的处理积分环节的处理积分环节的处理积分环节的处理:当开环传递函数含有积分环节时，当开环传递函数含有积分环节时，当开环传递函数含有积分环节时，当开环传递函数含有积分环节时，由由由由-到到到到+时，时，时，时，积分环节对应的积分环节对应的积分环节对应的积分环节对应的NyquistNyquistNyquistNyquist曲线是半径为曲线是半径为曲线是半径为曲线是半径为按按按按顺时针顺时针顺时针顺时针方向从方向从方向从方向从v v v v 90909090 到到
47、到到-v-v-v-v 90909090 的圆弧。的圆弧。的圆弧。的圆弧。当只画当只画当只画当只画由由由由0 0 0 0到到到到+时的曲线时，就补画从时的曲线时，就补画从时的曲线时，就补画从时的曲线时，就补画从-v-v-v-v 90909090 到到到到0 0 0 0 半径为半径为半径为半径为的圆弧。的圆弧。的圆弧。的圆弧。3.3.3.3.开环不稳定的系统，闭环时有可能稳定的；开环不稳定的系统，闭环时有可能稳定的；开环不稳定的系统，闭环时有可能稳定的；开环不稳定的系统，闭环时有可能稳定的；开环稳定的系统，闭环也有可能不稳定。开环稳定的系统，闭环也有可能不稳定。开环稳定的系统，闭环也有可能不稳定。
48、开环稳定的系统，闭环也有可能不稳定。4.4.4.4.若若若若P=0P=0P=0P=0，仅考察，仅考察，仅考察，仅考察G G G GK K K K(j)(j)(j)(j)是否围绕是否围绕是否围绕是否围绕(-1,j0)(-1,j0)(-1,j0)(-1,j0)点；点；点；点；若若若若P0P0P0P0，应先求出，应先求出，应先求出，应先求出P P P P，再查，再查，再查，再查G G G GK K K K(j)(j)(j)(j)逆时针围绕逆时针围绕逆时针围绕逆时针围绕(-1,j0)(-1,j0)(-1,j0)(-1,j0)点的圈数，若少于点的圈数，若少于点的圈数，若少于点的圈数，若少于P P P P
49、则闭环系统不稳定。则闭环系统不稳定。则闭环系统不稳定。则闭环系统不稳定。5.Nyquist5.Nyquist5.Nyquist5.Nyquist稳定判据的应用，其关键是作稳定判据的应用，其关键是作稳定判据的应用，其关键是作稳定判据的应用，其关键是作G G G GK K K K(j(j(j(j)的的的的NyquistNyquistNyquistNyquist曲线。曲线。曲线。曲线。由图可知：由图可知：由图可知：由图可知：N=0N=0N=0N=0由开环传递函数可知：由开环传递函数可知：由开环传递函数可知：由开环传递函数可知：P=0P=0P=0P=0所以：所以：所以：所以：Z=P-N=0Z=P-N=
50、0Z=P-N=0Z=P-N=0故系统闭环稳定，而且故系统闭环稳定，而且故系统闭环稳定，而且故系统闭环稳定，而且无论无论无论无论K K K K取何值取何值取何值取何值,闭环系统稳定闭环系统稳定闭环系统稳定闭环系统稳定。例例例例1 1 1 1：0 0 0 0型系统型系统型系统型系统，开环传递函数为，开环传递函数为，开环传递函数为，开环传递函数为试判系统闭环是否稳定。试判系统闭环是否稳定。试判系统闭环是否稳定。试判系统闭环是否稳定。解：先作系统开环解：先作系统开环解：先作系统开环解：先作系统开环NyquistNyquistNyquistNyquist曲线曲线曲线曲线例例例例2:2:2:2:存在存在存