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1、解：对上式进行拉氏变换，得将初始条件代入，得第1页/共59页拉氏反变换，得结论：对图3-1所示系统，在施加一个初始扰动y(0)=a后，系统将永远按振幅为a，频率为的余弦波振动，永远不能恢复到原始静止平衡状态。第2页/共59页例：第3页/共59页设等式右端常数项为H，则第4页/共59页结论：如图所示系统，在施加一初始扰动后，系统的运动随时间增长而衰减，最后可恢复到原始静止状态。稳定性概念：稳定性概念：当系统受到扰动作用后，将偏离当系统受到扰动作用后，将偏离原来的平衡位置，当扰动消除后，如果系统能在原来的平衡位置，当扰动消除后，如果系统能在一定的时间范围内以足够的准确度恢复到初始平一定的时间范围内
2、以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则称系统是稳定的系统，反之则称系统衡状态，则称系统是稳定的系统，反之则称系统是不稳定系统。是不稳定系统。第5页/共59页系统输出的一般表达：为暂态分量，为稳态分量（见第二章）稳定的概念亦可理解为：当输入发生变化时，如果系统的输出经过一段时间后，暂态分量消失，只有稳态分量，则该系统是稳定的。所以研究系统稳定性实际就是研究系统输出的暂态分量是否满足：第6页/共59页由于暂态分量只与系统结构参数有关（如例），与输入量无关。所以，研究系统稳定性就是研究系统输出的暂态分量与系统结构参量的关系，通过系统结构参数来判定稳定性以及在确定稳定的条件下系统参数的变化范围。第7页/
3、共59页5-2 5-2 线性系统稳定的线性系统稳定的 充分和必要条件充分和必要条件第8页/共59页1、线性常微分方程解的特性在数学分析中我们知道，对线性常微分方程的解分两部分，即齐次通解齐次通解特解第9页/共59页齐次通解即齐次方程加初始条件所确定的解其解法如下：（1）写出其特征方程为第10页/共59页实数根（2）求出对应的特征根：设有q个实根r对共轭复根：（3）写出齐次通解的一般形式：其中，Ak、Bk、Ck为由初始条件确定的常数第11页/共59页由上式可以看出，研究暂态分量式是否成立，实际上就是研究齐次方程的通解随时间的变化趋势，也就是分析是否成立？第12页/共59页2、趋势分析(1)if任
4、一则系统发散，不稳定。（2）if任一，则系统发散，不稳定。（3）if任一，则系统等幅振荡，也不稳定。（4）只有对所有的成立时，才成立，即系统才稳定。第13页/共59页3、控制系统稳定的充分与必要条件由上面分析可以得到控制系统稳定的充分与必要条件是：系统特征方程的所有根具有负实系统特征方程的所有根具有负实部、或者说，闭环传递函数的极点均部、或者说，闭环传递函数的极点均位于复平面（位于复平面（S平面）的左半部（不包平面）的左半部（不包括虚轴）。括虚轴）。第14页/共59页5-3 5-3 系统稳定性判定方法系统稳定性判定方法-劳斯（劳斯（Routh）判据）判据第15页/共59页用特征方程的根直接判定
5、系统的稳定性，须求解特征方程。实际上我们在判定稳定性时，需要知道的只是根的符号。因此，Routh于1877年提出了不需求特征根而进行稳定性判定的劳斯判据。下面介绍这一方法：第16页/共59页1 1系统稳定的必要条件：系统稳定的必要条件：若线性系统特征方程为:如果为特征方程的根，根据代数理论中根和系数的关系有：第17页/共59页由上式可知，当则也就是说特征方程的各项系数必须同号且不为0。由此得出系统稳定的必要条件：即如果系统稳定，则系统特征方程的各项系即如果系统稳定，则系统特征方程的各项系数同号且均不为零。数同号且均不为零。第18页/共59页2.2.劳斯判据劳斯判据应用必要条件只能证明特征方程缺
6、项（系数为0）或有不同号系数的系统为不稳定系统，而不能对系数全大于0的系统进行判别。第19页/共59页（1）劳斯表：对于系统特征方程可列出下表第20页/共59页其中：按上面给出的计算方法，一直算到第n行（S1），第n+1行是S0仅第1列有数即特征方程中系数a0。第21页/共59页（2）劳斯判据：若劳斯表中第一列数均大于零若劳斯表中第一列数均大于零,即即:则系统稳定；若劳斯表第一列出现小于零则系统稳定；若劳斯表第一列出现小于零的数，则系统不稳定，并且第一列各数符的数，则系统不稳定，并且第一列各数符号改变的次数等于特征方程的正实部根的号改变的次数等于特征方程的正实部根的数目。数目。第22页/共59
7、页例1已知系统的特征方程为试用劳斯判据判定系统的稳定性。第23页/共59页解：列劳斯表并计算：结论：表中第1列数均大于零，故系统稳定。第24页/共59页例2，已知系统特征方程为：试判定系统的稳定性。解：列劳斯表 从劳斯表可以看出从劳斯表可以看出（括号中的数字表示（括号中的数字表示同一行数字可约分），同一行数字可约分），系统不稳定，且有两系统不稳定，且有两个正实部根。个正实部根。第25页/共59页3 3、利用劳斯判据确定、利用劳斯判据确定使系统稳定的参数使系统稳定的参数例，已知一反馈控制系统的开环传递函数为试确定使闭环系统稳定的K的取值范围。第26页/共59页解：系统闭环传递函数为特征方程为：第
8、27页/共59页解出上面不等式组，得当0K2.403时，系统稳定，当K=2.403时，称闭环系统为临界稳定，实际上是等幅振荡系统。列劳斯表：若闭环系统稳定，应该有 第28页/共59页 5-4 奈魁斯特稳定判奈魁斯特稳定判据据第29页/共59页奈魁斯特（Nyquist）曲线与开环幅相频率特性：第30页/共59页奈魁斯特（Nyquist）稳定判据可简称为奈氏判据，它是利用开环幅相频率特性曲线判断闭环系统稳定性的图式稳定判别法。由于系统的频率特性可用实验方法获得，所以奈氏判据对那些无法使用劳斯判据等方法判别稳定性的系统，具有重要意义。第31页/共59页 5-4 奈魁斯特稳定判据奈魁斯特稳定判据闭环系
9、统稳定的充要条件闭环系统稳定的充要条件:当频率由至变化时，奈氏曲线逆时针包围（-1，j0）点的圈数R等于开环传递函数的右极点数P。当开环传递函数没有右极点时，闭环系统稳定的充要条件为奈氏曲线不包围（-1，j0）点。如果R不等于P，则闭环系统不稳定，闭环右极点数（即正实部特征根的闭环右极点数（即正实部特征根的个数）个数）Z可由下式求出，即：可由下式求出，即：Z=P-R第32页/共59页 5-4 奈魁斯特稳定判据奈魁斯特稳定判据为简单直见，使用奈氏判据时，一般只画出频率从零变化到无穷大时的开环幅相频率特性曲线即可。这时奈氏判据表达式可改写为：Z=P-2N式中N开环幅相频率特性曲线包围（-1，j0）
10、点的圈数，沿增加方向，逆时针包围时，N取正值；P开环传递函数的右极点数；Z闭环传递函数的右极点数。第33页/共59页 5-4 奈魁斯特稳定判据奈魁斯特稳定判据若开环传递函数中含有个积分环节时，绘制开环幅相频率特性曲线后，还应从频率对应的点开始，逆时针方向用虚线补画一条半径为无穷大，角度为90的圆弧。此时，系统的开环幅相曲线应包括补画的虚线部分。第34页/共59页 5-4 奈魁斯特稳定判据奈魁斯特稳定判据例：已知两单反馈控制系统的开环传递函数分别为第35页/共59页 5-4 奈魁斯特稳定判据奈魁斯特稳定判据其开环幅相频率特性曲线分别中图4-46（a）、(b)所示，试用奈氏判据分别判断对应的闭环系
11、统的稳定性。第36页/共59页 5-4 奈魁斯特稳定判据奈魁斯特稳定判据解（1）系统1：由开环传递函数的表达式知，P=0，由图4-46（a）所示开环幅相频率特性曲线知，N=0。由奈氏判据，有Z=P-2N=0，故闭环系统稳定。（2）系统2：由开环传递函数表达式知，P=0，由图4-46（b）所示开环幅相频率特性曲线知，N=-1。由奈氏判据，有P-2N=2，故闭环系统不稳定第37页/共59页 5-4 奈魁斯特稳定判据奈魁斯特稳定判据例：单位反馈系统的开环传递函数为，开环幅相频率特性曲线如下图所示，试判断闭环系统的稳定性。解：由G(s)表达式及图知，P=1，N=1/2。由奈氏判据，有P-2N=0，故闭
12、环系统稳定。此例说明：开环系统有不稳定环节时，闭环系统仍有可能是稳定的。第38页/共59页解：由G(s)表达式及图知，P=1，N=1/2。由奈氏判据，有P-2N=0，故闭环系统稳定。此例说明：开环系统有不稳定环节时，闭环系统仍有可能是稳定的。第39页/共59页例:已知系统的开环传递函数为试判断闭环系统的稳定性。5-4 奈魁斯特稳定判据奈魁斯特稳定判据第40页/共59页 5-4 奈魁斯特稳定判据奈魁斯特稳定判据解：根据开环传递函数绘制的开环幅相频率特性曲线如图所示。由表达式及图知，P=0，N=-1。根据奈氏判据，有Z=P-2N=2，故闭环系统不稳定，闭环右极点数为2。第41页/共59页第42页/
13、共59页第43页/共59页第44页/共59页5-5 系统的系统的相对稳定性相对稳定性第45页/共59页一、相对稳定性概念一、相对稳定性概念左图是开环左图是开环幅相频率特性幅相频率特性曲线相对（曲线相对（-1-1，j0j0）点的位）点的位置与对应的系置与对应的系统单位阶跃响统单位阶跃响应示意图。图应示意图。图中各系统的开中各系统的开环传递函在右环传递函在右半半S S平面的极点平面的极点数数P P皆为零。皆为零。如果结构如果结构参数有变参数有变化可能不化可能不稳定稳定稳定性好第46页/共59页由图可见，当开环幅相曲线包围（-1，j0）点时，对应的系统单位阶跃响应h(t)发散，系统不稳定；当开环幅相
14、线通过（-1，j0）点时，对应的系统单位阶跃响应h(t)呈等幅振荡；当开不幅相曲线不包围（-1，j0）点时，系统稳定。第47页/共59页但由图中(c)、（d）可知，开环幅相曲线距（-1，j0）点的远近程度不同，系统的稳定程度也不同，开环幅相曲线距（-1，j0）点越远，闭环系统稳定的程度愈高，这就是所谓相对稳定性。第48页/共59页二、二、系统的稳定裕量第49页/共59页系统的相对稳定性通常以稳定裕量来表示。系统的稳定裕量（也称稳定裕度）包括幅值裕量和相角裕量。相角裕量相角裕量幅值裕量幅值裕量第50页/共59页（1）幅值裕量开环幅相频率特性曲线与负实轴相交时的幅值的倒数定义为幅值裕量（或增益裕量
15、），用表示，取对数后得，幅值裕量的物理意义是，如果系统的开环增益放大倍，则系统处于临界稳定状态。第51页/共59页（2）相角裕量开环幅相频率特性曲线上幅值为1这一点的相解与180之和定义为相角裕量，用 表示，即 式中 用负角度计算。相角裕量的物理意义是，如果再滞后时，系统处于临界稳定状态。第52页/共59页在对数坐标图中，幅值裕量的分贝值为 相角裕量为 第53页/共59页幅值穿越频率与相角穿越频率位置与系统稳定性的关系：第54页/共59页 对于最小相位系统，只有当幅值裕量、相角裕量都为正值时，系统才是稳定的。而且当,愈大时，系统稳定性愈好，但稳定裕量过大会使系统响应变慢。经验证明，当取 时，系统的综合性能较好。第55页/共59页例：已知系统的开环传递函数为：试求K=2和K=20时，系统的幅值裕量和相角裕量。解：分别绘制K=2和K=20时的系统对数坐标图，如图4-58（a）、(b)所示。第56页/共59页第57页/共59页由以上图可知：当K=2时，闭环系统稳定。当K=20时，闭环系统不稳定。第58页/共59页感谢您的观看。感谢您的观看。第59页/共59页