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1、控制工程系统的稳定性控制工程系统的稳定性你现在浏览的是第一页，共86页系统的稳定性系统的稳定性q基本要求：基本要求：1.1.掌握系统稳定与相对稳定的概念掌握系统稳定与相对稳定的概念2.2.掌握三个系统稳定判据及其应用掌握三个系统稳定判据及其应用3.3.掌握系统相对稳定裕度的概念及其计算掌握系统相对稳定裕度的概念及其计算q重点与难点：重点与难点：1.1.三个系统稳定判据及其应用三个系统稳定判据及其应用2.2.系统相对稳定裕度的计算系统相对稳定裕度的计算你现在浏览的是第二页，共86页系统稳定性的概念系统稳定性的概念没有外力作用的没有外力作用的自由振荡自由振荡若若是是减幅减幅的，的，则系统是则系统是
2、稳定稳定的的；自由振荡自由振荡若若是是增幅增幅的，的，则系统就是则系统就是不稳定不稳定的。的。1单摆单摆2小球小球偏离初始状态后能恢复到初始状态的系统是稳定的系统偏离初始状态后能恢复到初始状态的系统是稳定的系统你现在浏览的是第三页，共86页q稳定的含义稳定的含义:系统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过系统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称系统是稳定的，否则系统原平衡状态的性能，则称系统是稳定的，否则系统是不稳定的。是不稳定的。q理解理解：(1)线性系统的稳定性线性系统的稳定性取
3、决于系统本身的结构与参数取决于系统本身的结构与参数，与输入无关与输入无关；(2)外力消失后的振荡是由外力消失后的振荡是由初始偏差初始偏差造成的造成的;(3)不稳定现象的发生和系统具有不稳定现象的发生和系统具有正反馈正反馈相关相关;(4)控控制制理理论论中中仅仅讨讨论论输输入入为为零零，系系统统仅仅存存有有不不为为零零的的初态初态时的稳定性。时的稳定性。你现在浏览的是第四页，共86页q系统不稳定现象：系统不稳定现象：二阶系统中的三种情况二阶系统中的三种情况00 11 减幅（收敛）振荡减幅（收敛）振荡=0=0 等幅振荡等幅振荡 00 增幅（发散）振荡增幅（发散）振荡系统不稳定现象的发生系统不稳定现
4、象的发生取决于系统的内部结构参数取决于系统的内部结构参数，与系统输入无关；与系统输入无关；系统发生不稳定现象说明系统中必有反馈，而且是正系统发生不稳定现象说明系统中必有反馈，而且是正反馈。反馈。不稳定不稳定稳定稳定你现在浏览的是第五页，共86页q系统稳定的定义：系统稳定的定义：原来原来处处在平衡状在平衡状态态的系的系统统受到受到扰动扰动后会偏离原来后会偏离原来的平衡状的平衡状态态，扰动扰动消失后，系消失后，系统统能回到原来的平衡状能回到原来的平衡状态态或达到新的平衡状或达到新的平衡状态态，则，则称称该系统是该系统是稳稳定定的的。否否则，系统是不稳定的。则，系统是不稳定的。q系统稳定的条件：系统
5、稳定的条件：结论：结论：当系统所有的特征根都具有负实部，即所有特征当系统所有的特征根都具有负实部，即所有特征根都位于复平面的左半平面根都位于复平面的左半平面，该系统就是稳定的。该，该系统就是稳定的。该条件是系统稳定的条件是系统稳定的充要充要条件。条件。所有所有Resi0 系统不稳定，发散系统不稳定，发散你现在浏览的是第六页，共86页Routh(代数代数)稳定判据稳定判据q基于方程式基于方程式根与系数的关系根与系数的关系而建立而建立q通过对系统特征方程式的各项系数进行代数运算，通过对系统特征方程式的各项系数进行代数运算，得出得出全部特征根都具有负实部的条件全部特征根都具有负实部的条件，从而判断系
6、，从而判断系统的稳定性统的稳定性q系统的特征方程式系统的特征方程式若所有特征根都具有负实部，若所有特征根都具有负实部，系统稳定的系统稳定的系统稳定的系统稳定的必要条件必要条件:特征方程所有的系数都大于特征方程所有的系数都大于0则有：所有系数则有：所有系数ai都大于都大于0你现在浏览的是第七页，共86页q系统系统特征方程特征方程为为 a0sn+a1sn-1+an-1s+an=0q列列Routh劳斯表劳斯表:sn :a0 a2 a4 a6 sn-1:a1 a3 a5 a7 sn-2:b1 b2 b3 b4 sn-3:c1 c2 c3 s2 e1 e2s1 f1s0 g1系统稳定的系统稳定的充要条件
7、充要条件你现在浏览的是第八页，共86页q系系统统的特征方程式的特征方程式为为 列列劳劳斯表斯表 ：6061455666101166121sssss01234你现在浏览的是第九页，共86页劳斯稳定判据劳斯稳定判据q(1)(1)系统稳定的系统稳定的必要条件必要条件是是特征方程所有的系数都特征方程所有的系数都大于大于0 0；q(2)(2)系统稳定的系统稳定的充要条件充要条件是劳斯表的是劳斯表的第一列元素全第一列元素全大于零大于零；q(3)(3)劳斯表第一列劳斯表第一列元素符号改变的次数元素符号改变的次数代表特征方程代表特征方程正实部根的数目正实部根的数目。你现在浏览的是第十页，共86页q例：设系统的
8、特征方程式为例：设系统的特征方程式为 试判别系统的稳定性。试判别系统的稳定性。q解：解：特征方程符号相同，又特征方程符号相同，又不缺项不缺项，故满足稳定的必，故满足稳定的必要条件。要条件。列劳斯表判别：列劳斯表判别：第一列各数均为正数第一列各数均为正数故系统稳定故系统稳定故系统稳定故系统稳定你现在浏览的是第十一页，共86页q验证验证:将特征方程式因式分解为将特征方程式因式分解为 求得所有特征根为：求得所有特征根为：可见可见,所有特征根均有负实部所有特征根均有负实部，所以系统稳定。，所以系统稳定。你现在浏览的是第十二页，共86页劳斯表中可能出现的两种特殊情况：劳斯表中可能出现的两种特殊情况：q1
9、.1.第一列出现第一列出现0 0元素元素:如：如：处理方法：处理方法：用一个正数用一个正数00来代替第一列的来代替第一列的0 0元元素，继续列写劳斯表。素，继续列写劳斯表。若该元素的上下两元素若该元素的上下两元素无符号变化无符号变化，且都为正，且都为正，说明该系统有一对说明该系统有一对共轭虚根共轭虚根，系统处于，系统处于临界稳临界稳定定；若若有符号变化有符号变化，即有一个元素为负，则系统是，即有一个元素为负，则系统是不稳定不稳定的，而且的，而且符号改变几次就有几个不稳定符号改变几次就有几个不稳定根根存在。存在。你现在浏览的是第十三页，共86页q例如例如:特征方程式：特征方程式：q劳斯表劳斯表(
10、)()(-)符号有变化，说明系统存在不稳定根符号有变化，说明系统存在不稳定根符号变化符号变化2次，系统的不稳定根有次，系统的不稳定根有2个个你现在浏览的是第十四页，共86页q列劳斯表列劳斯表q上上下下两两行行符符号号不不变变，说说明明有有纯纯虚虚根根存存在在，系系统统临临界界稳定稳定。q将特征方程式因式分解为将特征方程式因式分解为q特征根为特征根为 q系系统统等幅振等幅振荡荡你现在浏览的是第十五页，共86页q2.2.出现全出现全0 0行行:处理方法：处理方法：由全由全0 0行上方的元素行得到辅助方程，行上方的元素行得到辅助方程，对其求导，用求导后的方程系数作为劳斯表新的对其求导，用求导后的方程
11、系数作为劳斯表新的行元素继续列写劳斯表。行元素继续列写劳斯表。由辅助方程可以求得系统特殊的特征根，如为由辅助方程可以求得系统特殊的特征根，如为相相反数的一对实根反数的一对实根、或、或一对纯虚根一对纯虚根、或、或一对共轭复一对共轭复根根。你现在浏览的是第十六页，共86页8 242 12 160 0 0q某某行行所所有有项项系系数数均均为为零零的的情情况况，说说明明特特征征方方程程有有对对称的根称的根.q建辅助方程建辅助方程,求导后继续计算求导后继续计算q例例：系系统统特征方程式特征方程式为为q列列劳劳斯表斯表 你现在浏览的是第十七页，共86页q由辅助方程由辅助方程 s4+6s2+8=0可得：可得
12、：q虽然无根在右半平面，但有根在虽然无根在右半平面，但有根在虚轴虚轴上，上，q系统临界稳定系统临界稳定。你现在浏览的是第十八页，共86页Routh稳定判据的应用稳定判据的应用q1.1.可在不求特征根的情况下可在不求特征根的情况下判别系统的稳定性判别系统的稳定性；q2.2.可确定使系统稳定的系统结构可确定使系统稳定的系统结构参数的取值范围参数的取值范围,分析系统参数变化分析系统参数变化对稳定性的影响对稳定性的影响q3.3.可检验可检验稳定裕度稳定裕度,求使系统具有一定稳定裕度的求使系统具有一定稳定裕度的结构参数的取值范围。结构参数的取值范围。令令s=z-s=z-(0),0),将其代入系统特征方程
13、，可得将其代入系统特征方程，可得关于关于z z的多项式，以判断系统的相对稳定性。的多项式，以判断系统的相对稳定性。你现在浏览的是第十九页，共86页q例例:说明如图所示系统的稳定条件说明如图所示系统的稳定条件q解：解：求出闭环传递函数求出闭环传递函数q特征方程特征方程 Ts+(1+K)=0 你现在浏览的是第二十页，共86页q例：单位反馈系统的开环传递函数为例：单位反馈系统的开环传递函数为 试求试求K K的稳定范围。的稳定范围。q解：系统的闭环特征方程：解：系统的闭环特征方程：q列劳斯表列劳斯表 系统稳定的充分必要条件系统稳定的充分必要条件 K0 K00.35-0.025K00.35-0.025K
14、0得得 K14 K14所以保证系统稳定，所以保证系统稳定，K K的取值的取值范围为范围为0K140K14。你现在浏览的是第二十一页，共86页q系统的结构图如下，试确定系统的结构图如下，试确定K K和和a a取何值时，系统将取何值时，系统将以角频率以角频率=2rad/s=2rad/s进行持续振荡。进行持续振荡。解：理解题意，解：理解题意，系统持续振荡，即系统作等幅振荡，亦即系系统持续振荡，即系统作等幅振荡，亦即系统存在共扼纯虚根；统存在共扼纯虚根；角频率角频率角频率角频率=2rad/s=2rad/s，即共扼纯虚根为，即共扼纯虚根为s=s=j2j2你现在浏览的是第二十二页，共86页qq由结构图求系
15、统闭环传递函数由结构图求系统闭环传递函数由结构图求系统闭环传递函数由结构图求系统闭环传递函数qq特征方程特征方程特征方程特征方程qq列劳斯表：列劳斯表：列劳斯表：列劳斯表：a 0令令得到全得到全0行行使系统存在纯虚根使系统存在纯虚根求纯虚根求纯虚根联联立立求求解解你现在浏览的是第二十三页，共86页q系统结构图如下，已知系统结构图如下，已知T T1 1=0.1,T=0.1,T2 2=0.25=0.25，试求使系统，试求使系统特征根均位于特征根均位于s=-1s=-1线的左侧线的左侧的的K K的取值范围。的取值范围。解：理解题意，使系统特征根均位于解：理解题意，使系统特征根均位于s=-1s=-1线的
16、左侧，线的左侧，即对即对RouthRouth判据判据(s=0)(s=0)进行坐标移动。进行坐标移动。令令s=s+1s=s+1，则，则s=s-1s=s-1s=s-1s=s-1，代入系统特征方程并整理后，代入系统特征方程并整理后，代入系统特征方程并整理后，代入系统特征方程并整理后再利用再利用再利用再利用RouthRouthRouthRouth判据进行求解。判据进行求解。判据进行求解。判据进行求解。你现在浏览的是第二十四页，共86页q先求系统闭环传递函数先求系统闭环传递函数q特征方程：特征方程：q将将s=ss=s-1-1代入整理可得：代入整理可得：你现在浏览的是第二十五页，共86页q列劳斯表：列劳斯
17、表：q根据根据RouthRouth稳定判据可知：稳定判据可知：q若要系统稳定则需若要系统稳定则需q所以，当所以，当0.675K4.80.675K4.8时，该系统所有特征根均位于时，该系统所有特征根均位于s=-1s=-1的左侧。的左侧。你现在浏览的是第二十六页，共86页Nyquist(几何几何)稳定判据稳定判据qNyquist稳定判据的特点：稳定判据的特点：1.1.不需要求取系统特征根就可以判断系统是否稳定；不需要求取系统特征根就可以判断系统是否稳定；2.2.利用闭环控制系统的开环传递函数求取系统开环频利用闭环控制系统的开环传递函数求取系统开环频率特性即可判断闭环系统是否稳定；率特性即可判断闭环
18、系统是否稳定；3.3.如果系统不稳定，可以求出系统不稳定的闭环极点如果系统不稳定，可以求出系统不稳定的闭环极点的个数；的个数；4.4.可以求出系统的相对稳定的稳定裕度，从而指出提可以求出系统的相对稳定的稳定裕度，从而指出提高和改善系统动态性能的途径；高和改善系统动态性能的途径；5.5.是一种几何判据。是一种几何判据。你现在浏览的是第二十七页，共86页1、幅角原理、幅角原理q幅角原理是幅角原理是NyquistNyquist稳定判据的数学基础稳定判据的数学基础q分析问题的思路是从分析问题的思路是从相角的变化来判断系统的稳定相角的变化来判断系统的稳定。q对于系统的一个极点对于系统的一个极点s=ps=
19、p：令令D(s)=s-p D(s)=s-p D(j D(j)=j)=j-p-p若把若把D(jD(j)看成矢量看成矢量由由P P点指向点指向j j极点极点你现在浏览的是第二十八页，共86页q如果如果P P点在点在负负实轴上（实轴上（系统是稳定的系统是稳定的），当），当由由0+0+时，矢量时，矢量D(jD(j)逆时针旋转逆时针旋转9090；q如果如果P P点在点在正正实轴上（实轴上（系统是不稳定的系统是不稳定的），当），当由由0+0+时，矢量时，矢量D(jD(j)顺时针旋转顺时针旋转9090；极点极点你现在浏览的是第二十九页，共86页q这样就可以将稳定问题转化为这样就可以将稳定问题转化为D(jD(
20、j)的相角变化问的相角变化问题：题：对对n n阶系统：阶系统：当当由由0+0+时，如果时，如果D(jD(j)逆时针旋转逆时针旋转n n 9090，系统，系统稳定稳定；不等于不等于n n 9090，系统，系统不稳定不稳定；若有若有m m个极点在右半平面，则个极点在右半平面，则D(jD(j)逆时针旋转逆时针旋转(n-m)(n-m)9090。当当由由-+-+时，上面的结论中的角度改为时，上面的结论中的角度改为n n 180180或或(n-m)(n-m)180180。你现在浏览的是第三十页，共86页q即，当即，当从从-+-+变化时：变化时：SS左半平面左半平面上的零、极点矢量均变化上的零、极点矢量均变
21、化+弧度；弧度；SS右半平面右半平面上的零、极点矢量均变化上的零、极点矢量均变化-弧度。弧度。q设设n n阶系统阶系统有有P P个开环极点在个开环极点在SS右半平面右半平面，则有，则有(n-(n-P)P)个开环极点在个开环极点在SS左半平面左半平面，系统开环极点的相角，系统开环极点的相角为：为：你现在浏览的是第三十一页，共86页q构造一个复变函数构造一个复变函数F(s)F(s)：q若若F(s)F(s)有有P P个极点个极点、Z Z个零点个零点位于位于SS平面的平面的右右半平面，半平面，q则当则当由由-+-+时，时，极点相位变化：极点相位变化：极点相位变化：极点相位变化：零点相位变化：零点相位变
22、化：零点相位变化：零点相位变化：F(jF(j )的相位变化：的相位变化：的相位变化：的相位变化：你现在浏览的是第三十二页，共86页q结论：当结论：当由由-+-+时，时，F(jF(j)将围绕将围绕原点原点逆时逆时针针方向旋转方向旋转N=P-ZN=P-Z圈。圈。q注意：注意：P P为为F(S)F(S)位于右半平面的极点位于右半平面的极点Z Z为为F(S)F(S)位于右半平面的零点位于右半平面的零点F(jF(j)你现在浏览的是第三十三页，共86页2 2、开环传递函数、闭环传递函数与、开环传递函数、闭环传递函数与F(s)F(s)之间的关系之间的关系q如图为控制系统的一般结构图：如图为控制系统的一般结构
23、图：q如果令如果令q则根据结构图可求得：则根据结构图可求得：你现在浏览的是第三十四页，共86页q令令F(s)=1+GF(s)=1+GK K(s)(s)，则有，则有q比较上面三个表达式，可知：比较上面三个表达式，可知：F(s)F(s)与与G GK K(s)(s)有相同的极点；有相同的极点；F(s)F(s)的零点与的零点与G GB B(s)(s)的极点相同；的极点相同；你现在浏览的是第三十五页，共86页q结论：结论：q线性定常系统稳定的充要条件是闭环系统的特征方线性定常系统稳定的充要条件是闭环系统的特征方程的特征根都具有负实部程的特征根都具有负实部,即即G GB B(s)(s)在在s s平面的右半
24、平平面的右半平面没有极点面没有极点，亦即，亦即F(s)F(s)在在s s平面的右半平面没有零点，平面的右半平面没有零点，即即Z Z0 0。你现在浏览的是第三十六页，共86页G GK K(j)=F(j)-1(j)=F(j)-1，G GK K(j)(j)曲线曲线逆时针逆时针方向围绕方向围绕(-1(-1，j0)j0)点的圈数为点的圈数为N=P-ZN=P-Z 你现在浏览的是第三十七页，共86页3、结论、结论qZ=P-NZ=P-N，q如果如果Z=0Z=0，则系统稳定；否则系统不稳定。，则系统稳定；否则系统不稳定。q其中，其中，P P为系统开环极点位于为系统开环极点位于S S平面右半平面的个数；平面右半平
25、面的个数；N N为系统开环为系统开环NyquistNyquist曲线逆时针包围曲线逆时针包围(-1(-1，j0)j0)点点的圈数；的圈数；Z Z为系统闭环极点位于为系统闭环极点位于S S平面右半平面的个数。平面右半平面的个数。你现在浏览的是第三十八页，共86页Nyquist稳定判据稳定判据qNyquistNyquist稳定判据内容：稳定判据内容：当当由由-到到+时，若系统开环频率特性时，若系统开环频率特性逆时针逆时针包围包围（-1,j0-1,j0）点点P P圈，其中圈，其中P P是开环传递函数在是开环传递函数在s s平面右平面右半平面的极点数，则闭环系统稳定。半平面的极点数，则闭环系统稳定。q
26、推论：推论：对开环稳定的系统即对开环稳定的系统即P P0 0，其闭环稳定的充，其闭环稳定的充要条件是：要条件是：系统的开环频率特性不包围系统的开环频率特性不包围(-1,j0)(-1,j0)点。点。你现在浏览的是第三十九页，共86页q如，某系统如，某系统 ，其，其NyquistNyquist曲线如图，曲线如图，判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。12+0 0 0 01.1.NyquistNyquist曲线逆时针包围曲线逆时针包围(-1,j0)(-1,j0)点一圈，即点一圈，即N=1N=12.2.2.2.而开环有一个位于右半平面的极点，即而开环有一个位于右半平面的极点，即而开环有一个位于右半平面的
27、极点，即而开环有一个位于右半平面的极点，即P=1P=1P=1P=1，所以闭环系统稳定。所以闭环系统稳定。由图可知：由图可知：由图可知：由图可知：3.3.所以所以所以所以Z=P-N=0Z=P-N=0Z=P-N=0Z=P-N=0你现在浏览的是第四十页，共86页Nyquist稳定判据稳定判据q几点说明：几点说明：1.1.开环开环NyquistNyquist曲线曲线关于实轴对称关于实轴对称；故一般只画；故一般只画由由0 0+到到+时的曲线，然后对称画出时的曲线，然后对称画出-到到0 0-的一半。的一半。2.2.积分环节的处理积分环节的处理:当开环传递函数含有积分环节时，当开环传递函数含有积分环节时，由
28、由-到到+时，时，积分环节对应的积分环节对应的NyquistNyquist曲线是半径为曲线是半径为按按顺时针顺时针方向从方向从v v 9090到到-v-v 9090的圆弧。的圆弧。当只画当只画由由0 0到到+时的曲线时，就补画从时的曲线时，就补画从-v-v 9090到到0 0半径为半径为的圆弧。的圆弧。3.3.开环不稳定的系统，闭环时有可能稳定的；开环不稳定的系统，闭环时有可能稳定的；开环稳定的系统，闭环也有可能不稳定。开环稳定的系统，闭环也有可能不稳定。你现在浏览的是第四十一页，共86页4.4.若若P=0P=0，仅考察，仅考察G GK K(j)(j)是否围绕是否围绕(-1,j0)(-1,j0
29、)点；点；若若P0P0，应先求出，应先求出P P，再查，再查G GK K(j)(j)逆时针围绕逆时针围绕 (-1,j0)(-1,j0)点的圈数，若少于点的圈数，若少于P P则闭环系统不稳定。则闭环系统不稳定。5.Nyquist5.Nyquist稳定判据的应用，其关键是作稳定判据的应用，其关键是作G GK K(j(j)的的NyquistNyquist曲线。曲线。你现在浏览的是第四十二页，共86页由图可知：由图可知：由图可知：由图可知：N=0N=0N=0N=0由开环传递函数可知：由开环传递函数可知：P=0P=0P=0P=0所以：所以：Z=P-N=0Z=P-N=0Z=P-N=0Z=P-N=0故系统闭
30、环稳定，而且故系统闭环稳定，而且故系统闭环稳定，而且故系统闭环稳定，而且无论无论无论无论K K K K取何值取何值,闭环系统稳定闭环系统稳定。例例1 1：0 0型系统型系统，开环传递函数为，开环传递函数为试判系统闭环是否稳定。试判系统闭环是否稳定。解：先作系统开环解：先作系统开环NyquistNyquist曲线曲线你现在浏览的是第四十三页，共86页例例2:2:存在存在导前环节导前环节的的0 0型系统型系统系统开环传递函数为系统开环传递函数为试对其闭环判稳。试对其闭环判稳。解：作解：作NyquistNyquist曲线曲线(1)(1)(1)(1)当当当当T T T T1 1 1 1、T T T T
31、2 2 2 2、T T T T3 3 3 3很大，而很大，而很大，而很大，而T T T T4 4 4 4、T T T T5 5 5 5很小，在很小，在很小，在很小，在 为有限值时，有可能使为有限值时，有可能使为有限值时，有可能使为有限值时，有可能使曲线包围曲线包围曲线包围曲线包围(-1,j0)(-1,j0)(-1,j0)(-1,j0)点，如曲线点，如曲线点，如曲线点，如曲线1 1 1 1所示，则系统闭环不稳定。所示，则系统闭环不稳定。所示，则系统闭环不稳定。所示，则系统闭环不稳定。(2)(2)(2)(2)若减小若减小若减小若减小K K K K，或增大，或增大，或增大，或增大T T T T4 4
32、 4 4、T T T T5 5 5 5，其，其，其，其NyquistNyquistNyquistNyquist曲线如曲线曲线如曲线曲线如曲线曲线如曲线2 2 2 2所示，不所示，不所示，不所示，不包围包围包围包围(-1,j0)(-1,j0)(-1,j0)(-1,j0)点，则系统闭环稳定。点，则系统闭环稳定。点，则系统闭环稳定。点，则系统闭环稳定。你现在浏览的是第四十四页，共86页例例3 3：型系统型系统，开环传递函数为，开环传递函数为解：作解：作NyquistNyquist曲线曲线特殊：特殊：积分环节，补画半圆积分环节，补画半圆。P=0，N=0闭环系统稳定闭环系统稳定。你现在浏览的是第四十五页
33、，共86页例例4 4：型系统型系统，开环传递函数为，开环传递函数为解：作解：作NyquistNyquist曲线曲线特殊：根据特殊：根据T T1 1、T T2 2的取值不同，其的取值不同，其NyquistNyquist曲线就不同，曲线就不同，有以下三种情况：有以下三种情况：(a)T1T2不包围不包围(-1,j0)点，点，系统闭环稳定系统闭环稳定经过经过(-1,j0)点，点，系统闭环临界稳定系统闭环临界稳定包围包围(-1,j0)点，系点，系统闭环不稳定统闭环不稳定你现在浏览的是第四十六页，共86页Nyquist稳定判据应用稳定判据应用q1.1.根据开环传递函数判断系统闭环的稳定性根据开环传递函数判
34、断系统闭环的稳定性方法方法:1)1)画画NyquistNyquist曲线曲线，注意与负实轴的交点与，注意与负实轴的交点与(-1,j0)(-1,j0)点的位置关系点的位置关系2)2)数圈数数圈数N N，注意，注意逆时针为正逆时针为正、顺时针为负顺时针为负3)3)观察观察开环传递函数开环传递函数的的右半平面极点数右半平面极点数P P4)4)计算计算Z=P-NZ=P-N，判断系统稳定性，判断系统稳定性你现在浏览的是第四十七页，共86页q2.2.根据系统某参数的取值讨论系统稳定性根据系统某参数的取值讨论系统稳定性方法方法:1)1)画画NyquistNyquist曲线，注意参数对与负实轴的交曲线，注意参
35、数对与负实轴的交点的影响点的影响与与(-1,j0)(-1,j0)点的位置关系点的位置关系2)2)根据参数取值范围不同，负实轴上交点与根据参数取值范围不同，负实轴上交点与(-(-1,j0)1,j0)点的位置不同，分别：点的位置不同，分别：I.I.数圈数数圈数N N，注意逆时针为正、顺时针为负，注意逆时针为正、顺时针为负II.II.观察传递函数的右半平面极点数观察传递函数的右半平面极点数P PIII.III.计算计算Z=P-NZ=P-N，判断系统稳定性，判断系统稳定性你现在浏览的是第四十八页，共86页例例5 5：对非最小相位系统：对非最小相位系统 判断其系统判断其系统稳定性。稳定性。解：分析该系统
36、的特点：解：分析该系统的特点：(a)(a)在在ss右半平面有一个极点，即右半平面有一个极点，即P=1P=1，开环系统，开环系统不稳定；不稳定；(b)(b)型系统。型系统。q求系统开环频率特性：求系统开环频率特性：你现在浏览的是第四十九页，共86页q作作NyquistNyquist曲线如图曲线如图:q求出求出求出求出NyquistNyquistNyquistNyquist曲线与负实轴的交点曲线与负实轴的交点曲线与负实轴的交点曲线与负实轴的交点交点与交点与(-1,j0)的位的位置关系将决定系统置关系将决定系统闭环的稳定性闭环的稳定性q可得：可得：可得：可得：2 23时曲线与实轴相交，交点为：时曲线
37、与实轴相交，交点为：你现在浏览的是第五十页，共86页q讨论：讨论：K1K1即交点在即交点在(-1,j0)的右侧的右侧时，时，NyquistNyquist曲线逆时针曲线逆时针围绕围绕(-1,j0)(-1,j0)点一圈，则点一圈，则N=1N=1,Z=P-N=0,Z=P-N=0，闭环系统，闭环系统稳定稳定。K1K1即交点在即交点在(-1,j0)的左侧的左侧时，时，NyquistNyquist曲线顺时针曲线顺时针围绕围绕(-1,j0)(-1,j0)点一圈，则点一圈，则N=-1N=-1,Z=P-N=2,Z=P-N=2，闭环系统，闭环系统不稳定不稳定。你现在浏览的是第五十一页，共86页例例6 6：对于系统
38、：对于系统 ，试分析，试分析K K对对 系统稳定性的影响。系统稳定性的影响。解：作解：作NyquistNyquist曲线曲线注意：注意：K K对对NyquistNyquist曲线的影响：曲线的影响：起始点起始点与坐标轴的交点与坐标轴的交点曲线形状不变，只是范围变换曲线形状不变，只是范围变换你现在浏览的是第五十二页，共86页q取取K=1K=1和和K=100K=100作作NyquistNyquist曲线如图曲线如图qNyquistNyquist曲线与负实轴的交点为曲线与负实轴的交点为-K/60-K/60qP=0P=0当曲线当曲线不包围不包围(-1,j0)(-1,j0)点点时，系统闭环稳定时，系统闭
39、环稳定当当-K/60-1-K/6060 K60 时系统闭环稳定时系统闭环稳定当当 K=60 K=60 时系统临界稳定时系统临界稳定当当 K60 K60 时系统不稳定。时系统不稳定。1/6100/6-1/60-10/6-1K=1K=100你现在浏览的是第五十三页，共86页例例7:7:单位反馈系统开环传递函数为单位反馈系统开环传递函数为 试讨论不同试讨论不同K K值时系统的稳定性。值时系统的稳定性。方法？方法？1.1.画出画出画出画出NyquistNyquist曲线；曲线；曲线；曲线；2.2.考虑到考虑到考虑到考虑到KK对系统开环对系统开环对系统开环对系统开环NyquistNyquist曲线的影响
40、曲线的影响曲线的影响曲线的影响不改变形状，不改变形状，只作缩小或放大，改变与坐标轴的交点只作缩小或放大，改变与坐标轴的交点求出与坐标求出与坐标轴的交点轴的交点特别是与负实轴的交点；特别是与负实轴的交点；3.比较交点与比较交点与(-1,j0)点的位置关系；点的位置关系；4.4.根据根据根据根据NyquistNyquist稳定判据进行讨论。稳定判据进行讨论。稳定判据进行讨论。稳定判据进行讨论。你现在浏览的是第五十四页，共86页解：解：1.1.求系统频率特性：求系统频率特性：幅频、相频、实频、虚频幅频、相频、实频、虚频2.2.画画NyquistNyquist曲线：曲线：3.3.求交点：求交点：4.4
41、.讨论讨论不同不同K K值时值时系系统对稳统对稳定性的影响定性的影响：当当 时，曲线时，曲线不包围不包围(-1,j0)(-1,j0)点点，系统稳定。，系统稳定。当当 时，曲线时，曲线通过通过(-1,j0)(-1,j0)点点，系统临界稳定。，系统临界稳定。当当 时时，曲，曲线线包包围围(-1,j0)(-1,j0)点点，系，系统统不不稳稳定。定。你现在浏览的是第五十五页，共86页Bode稳定判据稳定判据qNyquistNyquist稳定判据是利用系统开环频率特性的极坐标稳定判据是利用系统开环频率特性的极坐标图来判定系统闭环的稳定性。图来判定系统闭环的稳定性。q如果将系统开环极坐标图变为开环对数坐标
42、图即如果将系统开环极坐标图变为开环对数坐标图即BodeBode图，同样也可以用来判定系统闭环的稳定性图，同样也可以用来判定系统闭环的稳定性BodeBode稳定判据。稳定判据。你现在浏览的是第五十六页，共86页穿越的概念穿越的概念q在在NyquistNyquist图中画一个单位圆，负实轴上所有点的相图中画一个单位圆，负实轴上所有点的相位为位为-180-180。q当当NyquistNyquist曲线穿过负实轴时，曲线穿过负实轴时，如果是在如果是在(-1,j0)(-1,j0)点点左边穿过，则称为左边穿过，则称为“穿越穿越”。(-1,j0)(-1,j0)(-1,j0)(-1,j0)正穿越正穿越正穿越正
43、穿越：自上而下，相位增加自上而下，相位增加自上而下，相位增加自上而下，相位增加负穿越负穿越：自下而上，相位减小自下而上，相位减小你现在浏览的是第五十七页，共86页q特殊的：当特殊的：当NyquistNyquist曲线从负实轴出发时，沿曲线从负实轴出发时，沿增加增加的方向，开环的方向，开环NyquistNyquist曲线曲线自自(-1,j0)(-1,j0)点左边的负实轴向下为半次正穿越；点左边的负实轴向下为半次正穿越；自自(-1,j0)(-1,j0)点左边的负实轴向上为半次负穿越。点左边的负实轴向上为半次负穿越。q总结：总结：(-1,j0)正穿越正穿越半次正穿越半次正穿越半次负穿越半次负穿越负穿
44、越负穿越你现在浏览的是第五十八页，共86页q例：例：a a a a点、点、点、点、b b b b点：正穿越；点：正穿越；点：正穿越；点：正穿越；c c c c点：负穿越；点：负穿越；点：负穿越；点：负穿越；你现在浏览的是第五十九页，共86页比较不同比较不同K值的三个系统值的三个系统qK K很小很小，负穿越一次，负穿越一次q顺时针包围顺时针包围2 2圈，圈，N=-2N=-2q不稳定不稳定qK K较大较大，负、正穿越各一次，负、正穿越各一次q顺时针包围顺时针包围1 1圈、逆时针包围圈、逆时针包围1 1圈，圈，N=0N=0q稳定稳定qK K更大更大,正穿越一次、负穿越二次正穿越一次、负穿越二次正穿越
45、一次、负穿越二次正穿越一次、负穿越二次q顺时针包围顺时针包围2 2圈，圈，N=-2N=-2q不稳定不稳定 你现在浏览的是第六十页，共86页q分析图可知：分析图可知：正穿越一次，正穿越一次，NyquistNyquist曲线就逆时针包围曲线就逆时针包围(-1,j0)(-1,j0)点一圈；点一圈；负穿越一次，负穿越一次，NyquistNyquist曲线就顺时针包围曲线就顺时针包围(-1,j0)(-1,j0)点一圈；点一圈；q因此，因此，开环开环NyquistNyquist曲线逆时针包围曲线逆时针包围(-1,j0)(-1,j0)点的圈点的圈数等于正、负穿越次数之差。数等于正、负穿越次数之差。你现在浏览
46、的是第六十一页，共86页Nyquist稳定判据的推导稳定判据的推导q利用穿越的概念对系统进行稳定性判断：利用穿越的概念对系统进行稳定性判断：NyquistNyquist曲线逆时针包围曲线逆时针包围(-1,j0)(-1,j0)点的圈数点的圈数N=NN=N+-N-N-（N N+正穿越次数，正穿越次数，N N-负穿越次数），如果负穿越次数），如果Z=P/2-N=0Z=P/2-N=0，则系统闭环稳定。，则系统闭环稳定。其中其中P P为系统开环位于为系统开环位于S S右半平面的极点数，右半平面的极点数，Z Z为系为系统闭环位于统闭环位于S S右半平面的极点数。右半平面的极点数。：0 0+你现在浏览的是第
47、六十二页，共86页举例举例q系统开环频率特性分别为如图所示，试判断闭环系系统开环频率特性分别为如图所示，试判断闭环系统的稳定性。统的稳定性。你现在浏览的是第六十三页，共86页q用用NyquistNyquist稳定判据穿越次数来判稳：稳定判据穿越次数来判稳：NyquistNyquist图图N N+=1=1，N N-=1=1，N=NN=N+-N-N-=0=0若开环系统稳定即若开环系统稳定即P=0P=0，则系统闭环稳定；，则系统闭环稳定；若系统开环不稳定即若系统开环不稳定即P0P0，则系统闭环不稳，则系统闭环不稳定。定。你现在浏览的是第六十四页，共86页Nyquist图与图与Bode图的关系图的关系
48、qNyquistNyquist图中的图中的单位圆单位圆对应到对应到BodeBode图中是对数幅频特图中是对数幅频特性曲线中的性曲线中的0dB0dB线线即为即为横轴横轴；qNyquistNyquist图中的图中的负实轴负实轴对应到对应到BodeBode图中是对数相频特图中是对数相频特性曲线中的性曲线中的-180-180线线；qNyquistNyquist曲线曲线与单位圆的交点与单位圆的交点对应到对应到BodeBode图中是对数图中是对数幅频特性曲线幅频特性曲线与横轴的交点与横轴的交点；(-1,j0)(-1,j0)(-1,j0)(-1,j0)-180-180-180-180 你现在浏览的是第六十五
49、页，共86页ReReReReImImImImqNyquistNyquist曲线曲线与单位圆的交点与单位圆的交点处所对应的频率为处所对应的频率为 C C，称为称为剪切频率剪切频率或或幅值穿越频率幅值穿越频率；qNyquistNyquist曲线曲线与负实轴的交点与负实轴的交点处所对应的频率为处所对应的频率为 g g，称为称为相位穿越频率相位穿越频率；穿越频率穿越频率(-1,j0)(-1,j0)(-1,j0)(-1,j0)-180-180-180-180 20lgA(20lgA(20lgA(20lgA()()C Cg g C C g g你现在浏览的是第六十六页，共86页qNyquistNyquist
50、图中的图中的正穿越正穿越在在BodeBode图中为相频特性曲线图中为相频特性曲线沿沿增加的方向、增加的方向、自下而上自下而上的穿过的穿过-180-180线线；q反之，相频特性曲线沿反之，相频特性曲线沿增加的方向、增加的方向、自上而下自上而下的的穿过穿过-180-180线线，称为，称为负穿越负穿越；q若对数相频特性曲线若对数相频特性曲线自自-180-180线开始向上，称为线开始向上，称为半次半次正穿越正穿越；自；自-180-180线开始向下，称为线开始向下，称为半次负穿越半次负穿越。-180-90GH-270半次负穿越半次负穿越半次正穿越半次正穿越w正穿越正穿越负穿越负穿越你现在浏览的是第六十七