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1、6.1 6.1 窄带随机过程的定义窄带随机过程的定义窄带系统-很多无线电系统的通频带 是比较窄的，它们远小于其中心频率 ，这种系统只允许输入信号靠近 附近的频率分量通过，故称为窄带系统。其满足：为高频载波。窄带随机过程-&若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波0 附近的一个较窄的频率范围内，且满足0时，则称该过程为窄带随机过程。记为：Z(t)。第1页/共51页例：图6.1为以窄带随机过程的功率谱密度函数问题:对应于功率谱密度GZ()的窄带随机过程Z(t)的表达式为何？即如何。第2页/共51页1.由可知:若Gz()占的频带很窄，则ZT()也一定占很窄的频带,即其系统函数具有与功率转移函数相
2、似的形式2.由信号与线性系统可知：时域中的一个慢变化信号对一高频(0)信号调幅变换时,信号具有如图所示的频响特征。窄带随机过程的时域表达(一):第3页/共51页B(t)Z(t)的一个样本函数 B(t)-窄带随机过程Z(t)的包络函数-慢变化(t)-窄带随机过程Z(t)的相位函数-慢变化，B(t),(t)都是随时间 t 慢变化的随机过程。第4页/共51页表达式(二)：其中：由于与正交，故称X(t)-Z(t)的同相分量，Y(t)-Z(t)的正交分量。引入表达式 2 的目的是将Z(t)分解成两个相互正交的分量，以便于分别分析。第5页/共51页表达式1和表达式2两者间的几何关系：表达式1：表达式2：第
3、6页/共51页表达式1：表达式2：问题的提出：平稳窄带过程B(t)与(t)X(t)和Y(t)统计特性或功率谱密度如何确定呢？第7页/共51页一般时域信号S(t)满足共轭对称性，即，由此可知：时域实信号正、负频域的频谱可互求。6.2 解析信号与希尔伯特变换 1 解析信号的引入-仅在正频域有值的复信号.第8页/共51页从有效利用信号的角度出发，实信号负频域部分是冗余余的，所以只要保留正频域的频谱，记为，即可。时域复信号。Fourier变换问题：如何由给定的时域实信号构造对应的时域复信号?第9页/共51页2解析信号的构造 对给定的时域实信号s(t)，设构造的时域复信号为其中，为一由s(t)构造的信号
4、，其构造方法可为，即，第10页/共51页H(w)的设计要求：1要满足使得Z(w)只有正频域频谱；2要使z(t)信号与s(t)信号的总能量保持不变。故此，H s(t)，称为Hilbert变换。由此可得:第11页/共51页Hilbert 变换与反变换:第12页/共51页H(w)或h(t)称为Hilbert变换器。它不改变信号的幅频特性，只改变信号的相频特性。由此方法构造的复信号称为实信号s(t)的解析信号:H全通滤波器90相移器第13页/共51页3Hilbert变换的性质 性质1.HH =性质2 若 ，则 HH 性质3 和x(t)的能量及平均功率相等，即。第14页/共51页性质4.平稳随机过程X(
5、t)和其对应的Hilbert变换的自相关函数满足：性质5.平稳随机过程X(t)的互相关函数满足：变换后平均功率不变X(t)在同一时刻正交为奇函数第15页/共51页性质6.设具有有限带宽Dw的信号a(t)的傅氏变换A(w),假定，则有HH即:幅度调制信号(窄带过程),仅对载波进行Hilbert 变换.第16页/共51页6.3 窄带随机过程的性质的功率谱密度或统计特性设:若Z(t)是任意的窄带、宽平稳、实随机过程，零均且功率谱密度满足：问题：若已知如何确定第17页/共51页则X(t)和Y(t)具有下列性质：性质1X(t)和Y(t)各自宽平稳且联合宽平稳。性质2性质3性质4性质5性质6性质7第18页
6、/共51页性质8性质9性质10性质11性质12其中，Lp为求等效低通运算。即，令0=0第19页/共51页窄带随机过程性质的证明，p.165168。窄带随机过程的性质的证明与讨论：1.均值(性质2)由的条件，可知：2.相关函数第20页/共51页由Z(t)的平稳性：可知，Z(t)的自相关函数应该与时间t无关，而仅与有关。即t可为任何值，而不影响。故，(1)令t=0，可得：（2）令t=/20，可得：性质1.若Z(t)是宽平稳的,则X(t)与Y(t)也是宽平稳的。第21页/共51页v、以及、的性质：性质5.窄带随机过程的同相和正交分量的自相关函数相等。由上述关系式（2）-（1），可得性质7.同相和正交
7、分量的互相关函数为奇函数。由式（3）同理可得：由互相关函数性质：第22页/共51页性质8.同时刻的X(t)与Y(t)正交 同时刻互不相关。和为奇函数性质8.零均窄带平稳随机过程Z(t)、X(t)、Y(t)的平均功率及方差相同。前面假设窄带平稳随机过程的均值为零，即:X(t),Y(t),Z(t)的平均功率相同令令第23页/共51页性质性质4证明:第24页/共51页第25页/共51页例6.6 对于窄带平稳随机过程。若其均值为零，功率谱密度为 其中W,w，w0都是正实常数。试求:1.Z(t)的平均功率；2.X(t)的功率谱密度；3.X(t),Y(t)的互相关函数；4.X(t),Y(t)是否正交？第2
8、6页/共51页解解:,其中第27页/共51页和所以 X(t),Y(t)处处正交 低通特性对称的窄带过程,X(t),Y(t)处处正交.一般情况只满足 同时刻正交。第28页/共51页6.4 6.4 窄带高斯随机过程窄带高斯随机过程Z(t)Z(t)的概率分的概率分布布1.同相分量X(t)/正交分量Y(t)的概率分布由，可得：Z(t)为高斯X(t1)和Y(t2)也是高斯随机变量。高斯过程若是宽平稳的，则一定是严平稳的，而严平稳随机过程的概率密度函数与时间起点无关,第29页/共51页，t的任意性。，t的任意性。故，其中，可替换为或。第30页/共51页结论:零均窄带平稳高斯随机过程Z(t)，其同相分量X(
9、t)和正交分量Y(t)(1)同样是平稳高斯随机过程，且具有一般平稳过程的性质。同时刻的X(t)与Y(t)统计独立。mx=my=0同时刻的X(t)与Y(t)不相关高斯过程(2)由同时刻的X(t)与Y(t)正交第31页/共51页设B(t)和(t)的二维概率密度函数为：则，2Z(t)的包络B(t)和相位(t)的概率分布若Z(t)为零均窄带平稳高斯随机过程，则第32页/共51页由边缘分布可得。B(t)和(t)的二维概率密度函数为:第33页/共51页结论:零均窄带平稳高斯随机过程：(1)其包络B(t)服从瑞利分布，(2)相位(t)服从均匀分布。(3)B(t)与(t)在同一时刻t是统计独立的。另外:有窄带
10、过程，则必存在非窄带过程。因此，相对于窄带过程我们可以给非窄带过程下一个粗略的定义，即：功率谱分布的频率范围可与其所在的中心频率比拟的（或不满足ffo条件的）随机过程，称为非窄带过程。第34页/共51页例2：求窄带高斯随机过程包络平方的概率分布。设包络的平方为：，已知：。求。解：第35页/共51页6.5 6.5 余弦波加窄带高斯过程余弦波加窄带高斯过程模拟通信系统接收机前端模型:加性噪声:平稳窄带零均高斯过程加白噪声第36页/共51页其中：是0，2上均匀分布的随机变量。S(t)为随相余弦信号；。研究余弦信号加窄带高斯过程的重要性。且:加性噪声-平稳窄带零均高斯过程第37页/共51页设合成信号：
11、令：其中：。第38页/共51页问题：余弦信号加窄带高斯过程之和R(t)的包络函数B(t)和相位函数(t)的统计特征如何？1.包络函数B(t)的统计特征若给定（即为一确定值），则同理:第39页/共51页在给定的条件下，X(t)和Y(t)为高斯分布,在任意时刻t，随机变量Xt和Yt的联合概率密度函数为：利用上式可得由此可求出的表达式如下：第40页/共51页第41页/共51页包络的条件概率：上式与q 无关，故可得：第42页/共51页上式称为：广义瑞利分布或莱斯密度函数。若a=0，则退化为瑞利分布。其中，是零阶修正贝塞尔函数。其级数形式为。第43页/共51页很小,或噪声平均功率很大a)当x1时，有即信
12、噪比很大时:在慢变化系数因子中,用a取代Bt,可得高斯分布。x1信噪比很小第44页/共51页第45页/共51页2.相位函数的统计特征代入，并求积分可得：，故，相位分布积分较复杂。第46页/共51页小结：小结：Z(t)为零均窄带高斯过程，其。1.由可知，X(t)和Y(t)分别与XN(t)和YN(t)呈线性关系，而且二者分别是均值为 和 窄带高斯过程；第47页/共51页2由可知，B(t)和(t)与X(t)和Y(t)为非线性关系，令，则：当时，B(t)为瑞利分布；当和可比较时，B(t)为广义瑞利分布；当r较大时，B(t)趋于正态分布；相位(t)分布较复杂。当r从0逐渐变大时，从均匀分布逐渐趋向于正态分布。第48页/共51页例：余弦信号加窄带高斯随机包络平方的概率分布设包络的平方为：已知：求。任意时刻t的包络平方为：，。解：第49页/共51页第50页/共51页谢谢您的观看！第51页/共51页