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1、第五章 窄带系统和窄带随机信号 引言 上一章讨论了随机过程通过线性系统后输出信号的统计特性。本章讨论随机过程通过一种特殊的线性系统窄带系统。随机信号通过窄带系统后，输出信号即为窄带随机信号。第五章 窄带系统和窄带随机过程窄带系统窄带随机信号的基本概念窄带高斯随机信号包络和相位分布窄带随机信号包络的自相关特性正弦信号叠加窄带高斯噪声的合成振幅分布5.1 窄带系统及其特点一、窄带系统 只允许靠近中心频率 附近很窄范围()的频率成分通过的系统称为窄带系统。二、信号与系统复频域分析 传输函数零极点表示其中(a)频率特性(b)极点分布图5-1 窄带系统特性与极点分布 物理可实现的无源网络，其传输函数的极
2、点只能出现在左半平面或虚轴上；窄带系统是低耗的无源系统，则极点靠近虚轴；“窄带-对称”网络：极点簇对其中心线 对称；冲激响应函数：，其中 慢变化部分，快变化部分。图5-2 窄带系统包络线5.1.2 窄带对称网络的包络线定理 求线性系统的冲激响应函数 从变化域到时间域：(1)先求得系统的传递函数 ;(2)再经过拉普拉斯反变换：例如：CLR窄带系统冲激响应窄带-对称系统的包络定理窄带-对称系统的包络定理：1)求解出系统传递函数 的零-极点形式;2)画出 的“极点分布图”；3)去除第三象限的极点，并将二象限的极点沿虚轴平移，使其中心与实轴重合；(b)极点分布(a)极点分布4)对 取拉氏反变换,得到其
3、中 ,是 在第二象限极点个数.、是 在幅度和相位上对 幅度补偿。5)由 恢复其中 ，单位阶跃的函数。例 5.1 用包络线定理求RCL电路的单位冲激响应解：1)电路的传输函数CLR2)画出 的“极点分布图”,得到 极点分布图；3)对 取拉氏反变换,得到其中4）由 恢复5.2 窄带随机信号的基本概念在许多电子系统中，通常是用一个宽带随机过程作为输入来激励一个窄带滤波器。此时，在滤波器输出端得到的便是一个窄带随机过程。窄带随机信号的定义平稳随机信号 ，若其功率谱密度函数 为则称此随机信号为窄带随机信号。窄带窄带 系统系统5.2.2 窄带随机过程的准正弦振荡表示 若从示波器来观测某次输出的波形（某个样
4、本函数），则窄带随机过程表示成具有角频率 以及慢变幅度与慢变相位的正弦振荡。式中 称为窄带随机过程的包络，称为窄带随机过程的随机相位，它们是缓慢变化的。式中X(t)和Y(t)在几何上正交，有：窄带随机过程的垂直分解分量 和 统计特性(为零均值的宽平稳过程)1.宽平稳随机过程，且是联合宽平稳的；2.各态历经，且 ；3.自相关函数 ；4.总功率 ；5.功率谱密度 ；6.互相关函数 ；7.互功率谱密度 ；8.，同时刻是相互正交的。高频窄带系统包络检波器理想带通限幅器低通网络宽带随机信号 接收机5.3窄带高斯随机信号分析正态随机过程（白噪声）通过窄带系统后的输出为窄带正态随机过程。窄带正态随机过程是在
5、电子技术中最常遇到的窄带过程，本节研究其包络和相位的统计特性。窄带正态随机过程（窄带高斯信号）表示：同时 因此，和 独立同分布，有 引入变量代换关系包络服从瑞利分布相位服从均匀分布同一时刻，包络和相位是相互独立包络服从瑞利分布同一时刻，包络和相位是相互独立相位服从均匀分布5.4 窄带随机信号包络线的自相关特性CLR拖尾CLR注：1.衰减因子 ，衰减越快，的拖尾(尾迹)越长;包络R(t)的相关性越弱。2.衰减因子 ，衰减越慢，的拖尾(尾迹)越长；包络R(t)的相关性越弱。求 ，？解:(1)CLr例1：(2)白噪声通过理想带通滤波器，系统的带通特性如上图所示，求：（1）输出信号 的自相关函数 ；（
6、2）输出信号包络 的自相关函数 。例2：解:(1)(2)小结：白噪声通过窄带系统后，输出信号的自相关函数和输出信号包络的自相关函数的关系为：5.4 正弦信号叠加窄带高斯噪声的合成振幅分布 前面两节讨论的是白噪声通过窄带系统后的输出窄带高斯噪声的统计特性。本节讨论正弦信号（有用信号）窄带高斯噪声的统计特性。数学模型：求合成振幅 的分布（1）对给定的 ，的分布情况：是相互独立的(2)求(3)根据二维随机变量的函数变换，求莱斯分布(3)根据联合密度函数 ，求边缘密度(a)当 ，时，即窄带系统无信号而只有噪声：瑞利分布令 ，则：(b)当 较小时，信号与噪声相当：莱斯分布(c)当 时，信号较噪声强很多，输出合成振幅Q主要取决于信号振幅P，服从以P为均值的高斯分布。高斯分布莱斯分布曲线本章总结：本章总结：窄带随机过程的概念窄带随机过程包络和相位分布 包络服从瑞利分布；相位服从均匀分布窄带随机过程包络线的自相关特性正弦信号叠加窄带高斯噪声的合成振幅分布