《2022-2023学年深圳市高二上期末考试数学模拟试卷及答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年深圳市高二上期末考试数学模拟试卷及答案解析.pdf（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022-2023学年深圳市高二上期末考试数学模拟试卷一.选 择 题（共8小题）1.（2010安徽模拟）已知复数Z 满 足（lgi）z=i,则 2=)A V 3 i2 2B.D.c返上4 42.（2019 秋罗湖区校级期末）己知集合4 小2-2x-3 0）,8=x|/g x V0,贝=3.A.x-1X1 B.x|0 x l C.x|l x 3 D.0（2019 秋宝安区期末）等差数列 斯 中，4=3 3,445=153,贝 I J 201是该数列的第（）项.A.6 0B.6 1C.6 2D.6 3)4.（2009 浙江）设a,0是两个不同的平面，/是一条直线，以下命题正确的是（）5.A.若/_
2、 L a,a lp,则/u 0C.若a 仇 则B.若/a,D.若/a,（2020秋宝安区期末）如图，在三棱柱44。-小囱。1中,a 仇 则/u 0a lp,则/邛A1为 41。的中点，若 标=W，A A；=c,B C=b，则 B M T 表 示 为（)A.-，1 a+1 fb+fc2 2B.La+Lb+c2 21 1 D.a*b+c2 26.（2019 秋宝安区期末）方程%（3+f -1）=。和%2+（，+/_）2=o所表示的图形是()A.前后两者都是一条直线和一个圆B.前后两者都是两点C.前者是一条直线和一个圆，后者是两点D.前者是两点，后者是一条直线和一个圆第1页 共2 4页7.(2019
3、 秋深圳期末)如图是抛物线拱形桥，当水面在/时，拱顶高于水面2 米，水面宽为 4 米，当水面宽为2泥 米 时，水位下降了()米.A.JR B.2 C.1 D.工28.(2019 峨眉山市模拟)已知函数f(x)=h+k(l n x-x)，若 x=l 是函数/Q)的唯一极X值点，则实数%的取值范围是()A.(-8,e B.(-e)C.(-e,+)D.-e,+)二.多 选 题(共 4 小题)9.(2020秋惠州期末)对于函数/(x)=亚，下列说法正确的有()XA./(x)在 x=e 处取得极大值工eB./(x)有两个不同的零点C./(2)/(T T)/(3)D.若/(x)1X10.(2020烟台模拟
4、)在 4BC中，。在线段4 5 上，且 4D=5,B D=3,若 CB=2CD,c o s N C D 8=-返，则()5A.s inNC D B*B./BC 的面积为 8C.Z 8 C的周长为8+4 而 D./8 C为钝角三角形2 211.(2020秋龙岗区期末)已知P是左、右焦点分别为Q,尸 2的椭圆之一+=1 上的动4 2点，M(0,2),下列说法正确的有()A.|尸 1|+|尸 产 2|=4B.|P Ei|-放|的最大值为2&C.存在点 P,使N Q P F2=120D.|M P|的最大值为2+&12.(2020秋龙岗区期末)如图，正方体的棱长是1,下列结论正确的第 2 页 共 2 4
5、 页有（)C,D,A.直线8c与平面N BCi O i 所成的角为工4B.C 到平面ABCD距 离为长亚2C.两条异面直线CDi 和 8。所成的角为三4D.三棱锥DI-D A B中三个侧面与底面均为直角三角形三.填 空 题（共 4小题）2 21 3.（2 0 2 0 秋光明区期末）双曲线。-匚=1的 渐 近 线 方 程 为.4 361 4.（2 0 2 0 秋龙岗区期末）复数z=（1 2+4“-/）.（8。-1 6）i 在复平面上对应的点在第四象限，则实数。的 取 值 范 围 为.1 5.（2 0 2 0 秋宝安区期末）侧棱长为3y的正三棱锥人/2 C 中，N A y B=N B UC=/B
6、A=4 0 ,过点z H 乍截面/E E,则截面Z E 尸 周 长 的 最 小 值 为.1 6.（2 0 2 0 秋南山区校级期末）光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图，一个光学装置由有公共焦点B，乃 的椭圆r与双曲线构成，现一光线从左焦点尸1发出，依次）与 反射，又 回 到 了 点 历 时 八 秒；若将装置中的广去掉，此光线从点Q 发出，经 两次反射后又回到了点Q,历时f 2 秒；若 及=4 小 则与 的 离 心 率 之 比 为.第3页 共2 4页四.解 答 题（共 5 小题）1 7.（
7、2 0 1 9 秋深圳期末）已知数列 斯 （6 N*）是公差不为0的等差数列，m =l,且。2,。4,。8 成等比数列.（1）求数列“的通项公式；（2）设 数 列 的前项和为刀”求an *an -l1 8.（2 0 1 9 秋宝安区期末）已知圆工2+炉=4上一定点/（2,0）,B（1,1）为圆内一点，P,。为圆上的动点.（I）求线段/P中点的轨迹方程；（I I ）若N P B0=9 O ,求线段P0中点的轨迹方程.1 9.（2 0 1 9 秋宝安区期末）如图所示，在长方体Z88中，A B=A D=,AA=2,M 是棱CCj 的中点.证明：平 面 平 面 小 8 1 M.2 0.（2 0 1 9
8、 秋深圳期末）在梯形/8 C。中，AB/CD,Z B A D=,A B=2 A D=2 C D=4,3P为 的 中 点，线段ZC 与。P交于。点（如 图 1）.将Z CZ）沿/C 折起到/C。的位置，使得二面角/8-Z C-。为直二面角（如图2）.（1）求证：B C 平面PO D；（2）线段尸。上是否存在点。，使得C。与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 为 第？若存在,求出_当_的值；若不存在，请说明理由.PD第4页 共2 4页2 1.（2 0 1 3 五华县一模）己知在平面直角坐标系X。），中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为尸（-J 5，0）,且右顶点为。（2,0）.设点力的坐标是（
9、1,）.（1）求该椭圆的标准方程；（2）过原点。的直线交椭圆于点8、C,求 4 8 C面积的最大值.第5页 共2 4页2022-2023学年深圳市高二上期末考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一.选 择 题（共8小题）1.（201 0安徽模拟）已知复数z满 足（l Si）z=i，则2=（）A.返 上 B.返J C.员1 D.金 口2 2 2 2 4 4 4 4【考点】复数的运算.【专题】计算题.【分析】首先根据所给的等式表示出z,是一个复数除法的形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轨复数，分子和分母同时进行乘法运算，得到最简形式.【解答】解：（l+i）z=i _ i=_ _ _ _
10、 _如+i Z=l+V 3i-（n V 3 i）（l-V 3i）=4故选：D.【点评】本题考查复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共钝复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果.2.（201 9 秋罗湖区校级期末）己知集合/=X|X2-2X-3W0,8=x|/gx 0,则/A 8=（）A.x|-1X1 B.x|0 x l C.x|l x 3 D.0【考点】交集及其运算.【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；数学运算.【分析】求出集合4B,由此能求出【解答】解：集合“=*!-2才-3忘0 =3-1忘 忘3,B=xlgx0=x|0 x 1 ,：.AQB=xlOxl）
11、.故选：B.【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.3.（201 9秋宝安区期末）等差数列 斯 中，。5=33,445=1 53,则201是该数列的第（）第6页 共2 4页项.A.6 0 B.6 1 C.6 2 D.6 3【考点】等差数列的通项公式.【专题】计算题.【分析】由已知中等差数列。中，卷=33,。45=1 53,我们易求出数列的公差，进而得到数列的通项公式，根据。“=201,构造关于的方程，解方程即可得到答案.【解答】解：.数列 “为等差数列又45=33,445=1 53,.=3则。=045+3（M -45）当。”=1 53+3（n -45）=
12、201 时=6 1故 选:B.【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，其中根据已知条件求出等差数列的通项公式，是解答本题的关键.4.（2009 浙江）设a,0是两个不同的平面，/是一条直线，以下命题正确的是（）A.若/_ L a,a _ L 0,则/u 0 B.若/a,a 0,则/u 0C.若/J _ a,a 0,则D.若/a,al p,则【考点】命题的真假判断与应用.【专题】空间位置关系与距离.【分析】本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论,发现B,。中由条件均可能得到/。，即4 B,。三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案.【解答】
13、解：若 L a,a p,则/u 0或/仇 故/错 误；若/a,a 仇 则/u 0或/0,故 8 错误；若/L a,a 仇 由平面平行的性质，我们可得故C正确；若/a,al p,贝或/0,故。错误；故选：C.【点评】判断或证明线面平行的常用方法有：第7页 共2 4页 利用线面平行的定义(无公共点)；利用线面平行的判定定理(au a,ba,a/ba/a)；利用面面平行的性质定理(a0,au a=a0)；利用面面平行的性质(a 仇aCa,aa/).线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据.垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由
14、求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来.5.(2 0 2 0秋宝安区期末)如图，在三棱柱4 8 C-N 1 B C1中，M为小G的中点，若屈=之,A A；=3 B C=b)则就可表示为()C 一尹尹彳D.尹声1 1 1 A.-Aa+A b+c B.a+b+c2 2 2 2【考点】空间向量及其线性运算.【专题】数形结合；转化思想；空间向量及应用.【分析】利用向量的三角形法则、多边形法则、向量共线定理即可得出.【解答】解：B H=B A+初+川=-A B+初+/A C=一 语 田 力(B C-B A)=总
15、正 +点 矽 拓1 -1 -=-a+2 2故选：A.【点评】本题考查了向量的三角形法则、多边形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.6.(2 0 1 9秋宝安区期末)方程x (%V-1)=0和F+(x V -1)2=0所表示的图形是第8页 共2 4页A.前后两者都是一条直线和一个圆B.前后两者都是两点C.前者是一条直线和一个圆，后者是两点D.前者是两点，后者是一条直线和一个圆【考点】曲线与方程.【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】分别将方程化简，即可得到相应的图形.【解答】解：方程=0，即x=0或f+/=l，表示一条直线和一个圆；
16、方程/+（+/-1）2=0,即，=0并且/+y 2 ,=0,表示是两点（0,1）和（0,-1）.故选：C.【点评】本题考查曲线和方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.7.（2 0 1 9秋深圳期末）如图是抛物线拱形桥，当水面在/时，拱顶高于水面2米，水面宽为4米，当水面宽为2依 米 时，水位下降了（）米.A.JR B.2 C.1 D.A2【考点】抛物线的标准方程.【专题】计算题：方程思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】距离适当的平面直角坐标系，设出抛物线方程，由点4在抛物线上求得抛物线方程，再 取 求 解.【解答】解：建系如图，设拱桥所在抛物线为x 2=ay
17、 （a+)D.-e,+)【考点】利用导数研究函数的极值.【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用.【分析】由/(x)的 导 函 数 形 式 可 以 看 出6=0在(0,+8)无变号零点，令g (x)=ex-kx,gf(x)-k,需要对进行分类讨论来确定导函数为。时的根.【解答】解：:函 数f(x)二上+k(l n x-x)的定义域是(，+8)，x f()=e(xT)k(l-x)=(e -k x)(x-1)2 v 2 XA XX=1是函数/(x)的唯-个极值点，x=l是导函数，(X)=0的唯一根.夕-京=0在(0,+8)无变号零点，令 g(x)=F-kxg (x)=e-k%W O时，g|(x)
18、0恒成立.g(x)在(0,+8)时单调递增的g (x)的最小值为g (0)=1,g (x)=0无解女 0时，g (x)=0有解为：1=/拉%0 V x V 左时，g (x)0,g(x)单调递增；g (x)的最小值为g U nk)=k-kink：.k-kink 沁:kWe,由y=，和y=c x图象，它们切于(1,e)f -米=0在(0,+)无变号零点，第1 0页 共2 4页综上所述，k e.故选：B.【点评】本题考查由函数的导函数确定极值问题.对参数需要进行讨论.属于中档题.二.多 选 题(共 4 小题)9.(2020秋惠州期末)对于函数/(x)=卫区，下列说法正确的有()XA./(x)在 x=
19、e 处取得极大值工eB./(x)有两个不同的零点C./(2)/(ii)1x【考点】利用导数研究函数的极值.【专题】整体思想；转化法；导数的综合应用.【分析】求函数的导数，结合函数单调性，极值，函数零点的性质分别进行判断即可.【解答】解：函数的导数/(x)=上 噤，0),令/(x)=0 得 x=c,则当OVxVe时，(x)0,函数为增函数，当时，/(%)e 时为减函数，V /(n)f(4),故/(2)/(n)0),x x第1 1页 共2 4页贝(x)=-lm,当 0 x 0,当 X1 时-，h(x)1成立，故。正确故选：ACD.【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性，极值，函数零点
20、问题，求函数的导数，利用导数研究的性质是解决本题的关键.1 0.(2 0 2 0烟台模拟)在 N 8 C中，。在线段N 5上，且/。=5,B D=3,若CB=2CD,c o s Z CP S=-返，则()5A.s in/CDB*B.4 8 C 的面积为 8C.Z B C的周长为8+力 D./B C为钝角三角形【考点】三角形中的几何计算.【专题】整体思想；综合法；高考数学专题；解三角形.【分析】由已知结合余弦定理余弦定理，同角平方关系及三角形的面积公式分别判断各选项即可.【解答】解：由c osN C 5=-匹 可 得si n N C 8=、匚 工=空 ,故 N错误;5 V 5 5设 C D=x,
21、CB=2x,在C 8。中由余弦定理可得，二 度 与 止 量5 6 x整理可得，5 x2-2而x-1 5=0，解可得，x y/S,即 CDy/t CB2y/所以 S,ABC=SBCD+SADC=y X 3 X-/5 XX 5X遥x 2 5=8,故8正确;5第 1 2 页 共 2 4 页由余弦定理可知，c o s 凶2+BD 2 g 2尸 效2+AB 2-典2,2BC-BD 2BC-AB即20+9-5 2 0+6 4-A J,解可得，屁=2 娓,故周长Z8+/C+BC=8+2粕+2泥2X 3X 2泥 2X 8X 2证=8+4代，故C正确；由余弦定理可得，cosC-20+20-64.3_0,2X2V
22、5X2V5 5故C为钝角，。正确，故选：BCD.【点评】本题综合考查了余弦定理，三角形的面积公式及同角平方关系的应用，属于综合试题.2 211.（2020秋龙岗区期末）已知P是左、右焦点分别为Q,尸2的椭圆+=1上的动4 2点，M（0,2）,下列说法正确的有（）A.|PFi|+|尸 产2|=4B.|尸 乃|-放|的最大值为2加C.存在点 P,使/QPF2=120D.的最大值为2+企【考点】椭圆的性质.【专题】转化思想；综合法；参数法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算.【分析】由椭圆的定义与性质逐个选项判断正误即可.【解答】解：由题设可得：a=2,6=&=c,由椭圆的定义可得：|P
23、Fi|+|PF2|=2a=4,故选项4正确；由椭圆的性质可知：|P乃|-|尸 产2国 西|=2c=2&（当P为椭圆的右顶点时取”=）,第1 3页 共2 4页故选项8正确；又由椭圆的性质可知：当 点 P为椭圆的上顶点或下顶点时，N RPF 2 最 大,此时Z F.P F o c r-t an-=1 5/3)2 b/F P F；-1 1 -小8 1。功 的棱长是1,下列结论正确的有()A.直线8c与平面Z 5 C 0 1 所成的角为生4B.C到 平 面 距 离 为 长 返2C.两条异面直线C 0 1 和 8。所成的角为三4D.三棱锥。1-D A B中三个侧面与底面均为直角三角形【考点】异面直线及其
24、所成的角；直线与平面所成的角：点、线、面间的距离计算.【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；空间角；数学运算.【分析】连接8 i C,B C ,设 8 i C n 8 C i =O,则 C O _ L8 Ci，证明CO_ L平面NB CiD i,即可求得直线8c与平面/8。功 所成的角及C 到平面/8GG距离，从而判断力,B；找出两条异面直线CDi和BC所成的角并求大小判断C；由正方体的结构特征判断D.【解答】解：如图，在正方体出C i d中，连接囱C,B C i,设历C n 8 G=O,J S!|COBCi,第1 4页 共2 4页：ABm BBCC,Z8u平面/8C1G，平面 851
25、cle_L平面/B C Q,.平面 381clec平面 ABCD=BC,COBC,；.COJ_平面ZBCiOi，则/C 8 O 为直线8C 与平面/B G D i所成的角为？L,故/正确;_4C。为 C 到平面距离，长为/BC=喙，故 8 正确：由/BC i5,A B=C D ,可得四边形ZB C iD i为平行四边形，得 BCi 皿,则N/O iC 为异面直线CDi和 BCi所成的角，为 三，故 C 错误；3:底面 N8C。，：.DDLAD,D D i l D B,可得 5。/,Z）iDB 为直角三角形，.78，平面 441010,A B L A D ,可得8/。，为直角三角形，三棱锥D-D
26、 A B中三个侧面与底面均为直角三角形，故。正确.故选：ABD.【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题.三.填 空 题（共 4 小题）2 213.（2020秋光明区期末）双曲线2 _=1 的渐近线方程为y=3x4 36【考点】双曲线的性质.【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】直接利用双曲线方程，求解渐近线方程即可.2 2 2 2【解答】解：双 曲 线-工=1的 渐 近 线 方 程 为 二 匚=0.4 36 4 36解得双曲线的渐近线方程为：y=3x.故答案为：y=+3x.
27、第1 5页 共2 4页【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题.1 4.(2 0 2 0 秋龙岗区期末)复数z=(1 2+4 a-a 2)-(8 a-1 6)i在复平面上对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为(2,6).【考点】复数的代数表示法及其几何意义.【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数系的扩充和复数；数学运算.【分析】根据复数z=(1 2+4。-/).(8 a-1 6)i在复平面上对应的点在第四象限，可得 1 2+4 a -a 2 。，,(8 a-1 6)0,解得实数a的取值范围.【解答】解：复数z=(1 2+4 a-a2)-(8 a-1 6)i
28、在复平面上对应的点在第四象限，贝 U 1 2+4 a -J。，_ (8 a _ i6)o,解得：2 a 6.二实数。的取值范围为(2,6),故答案为：(2,6).【点评】本题考查了复数的几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.1 5.(2 0 2 0 秋宝安区期末)侧棱长为3 的 正 三 棱 锥 中，Z A V B=Z B V C=Z C V A=4 0 ,过 点/作 截 面 4 E 凡 则截面4 E 尸周长的最小值为B【考点】棱锥的结构特征.【专题】计算题：空间位置关系与距离.【分析】沿着侧棱幺把正三棱锥/-/8 C 展开在一个平面内，如图，则/Z 即为截面4 5 户周
29、长的最小值，且N/幺 =3 X 4 0=1 2 0 .幺/中，由余弦定理可得AA,的值.【解答】解：如图所示：沿着侧棱幺把正三棱锥R-N 8 C 展开在一个平面内，如 图(2),贝 即 为 截 面 ZE F 周长的最小值，且N/E 4 =3 X 4 0=1 2 0 .幺，中，由余弦定理，得第1 6页 共2 4页-7VA2+(VA,)2-2VA*VAZ sinZAVA7=V27+27-2X 3V3COS1200=9.【点评】本题主要考查余弦定理的应用，棱锥的结构特征，利用棱锥的侧面展开图研究几条线段和的最小值问题，是一种重要的解题方法，属于基础题.1 6.（2 0 2 0 秋南山区校级期末）光线
30、从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图，一个光学装置由有公共焦点Q,尸 2 的椭圆r与双曲线L构成，现一光线从左焦点Fl 发出，依次 与r反射，又回到了点Q,历时八秒：若将装置中的L去掉，此光线从点Q 发出，经 两次反射后又回到了点Q,历时女秒；若 f2=4 fi，则与 的离心率之比为1：2 .【考点】双曲线的性质.【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程：数学运算.【分析】在 图 1 中，结合椭圆和双曲线的定义，可 推 出 的 周 长 为 2 勾-2 及，在图2中，由椭圆的定义，可
31、得 C 0 Q 的周长为4 m，从而有一1=1-1,再由e=,12 4a a可得解.【解答】解：在 图 1 中，由椭圆的定义知，BFi+BF2=2ai,第1 7页 共2 4页由双曲线的定义知，4F2-4Fi=2a2，-得，BF+AF+BFi-AF2=BF+AFi+AB=2a-2a2,：.AABFi 的周长为 2aL 2a2,在图2 中，由椭圆的定义知，8Q的周长为4内，光线的速度相同，且 2=4”,.2 a 2 2=1,土 2 4 a l 4 Cl 2。2，.椭圆和双曲线共焦点，.el=1 L=a2=1e2 al 2a2故答案为：1：2.【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义与几何性质，熟练掌握椭
32、圆和双曲线中。、氏 c的含义与关系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.四.解 答 题(共5小题)17.(2019秋深圳期末)已知数列 斯 (6 N*)是公差不为0 的等差数列，m=l,且。2,。4,。8成等比数列.(1)求数列“的通项公式；(2)设 数 列 的前项和为刀”求an*anH【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合.【专题】方程思想；作差法；等差数列与等比数列；数学运算.【分析】(1)设 如 的公差为4,运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，进而得到所求通项公式；(2)求 得 一I=一 1.工 上 由 数 列 的 裂 项 相 消 求
33、和 可 得 所 求 和.an*an t-i n,(n+l)n n+1【解答】解：(1)设&的公差为d,因为及，04,48成等比数列，所 以(a 4)2=a 2 ag，即(a j+3 d)2=(a j+d),(a j+7 d)r第18页 共2 4页化简得屋=M，又m =l,且d W O,解得d=l,所以有必?=1+(-1)d=n；(2)由(1)得I=J _-=1 Lan*ar r M n,(n+l)n n+1.A=i=n n+1 n+1 n+1【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，数列的裂项相消求和,考查方程思想和运算能力，属于基础题.1 8.(2 0 1 9秋宝安区期末)己知
34、圆/+f=4上一定点”(2,0),8(1,1)为圆内一点，P,Q为圆上的动点.(I )求线段力。中点的轨迹方程；(II)若/尸8。=90 ,求线段尸。中点的轨迹方程.【考点】轨迹方程.【专题】综合题；转化思想.【分析】(I)设出力P的中点坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标，据P在圆上，将尸坐标代入圆方程，求出中点的轨迹方程.(1 1)利用直角三角形的中线等于斜边长的一半得到|P M=|a V ,利用圆心与弦中点连线垂直弦，利用勾股定理得到Q P|2=Q M2+/M2,利用两点距离公式求出动点的轨迹方程.【解答】解：(I )设工尸中点为(x,y),由中点坐标公式可知，尸点坐标为(2 x-2,2
35、j).尸点在圆=4 上，.I(2 x-2)2+(2 y)2=4.故线段力尸中点的轨迹方程为(x -1)2+/=1.(I I )设尸。的中点为N (x,y),在 中，|P N|=|8 N|，设O为坐标原点，则O N L P Q,所以|。砰=|O N|2+|P N|2=Q N|2+|8 N|2,所以 X2+y2+(X -1 )2+(J/-1 )2 =4.故线段P。中点的轨迹方程为了+/-工-1=0.第1 9页 共2 4页【点评】本题考查中点坐标公式、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、圆心与弦中点的连线垂直弦、相关点法求动点轨迹方程.1 9.（2 0 1 9秋宝安区期末）如图所示，在长方体中，A
36、B=A D=1,AA=2,M 是棱C C i的中点.证明：平 面 平 面 小 B iM.【考点】平面与平面垂直.【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离.【分析】由长方体的性质可知小8 1 _1 _平面8 C G 8 1，推导出小从而平面小8 1 M,由此能证明平面/8/W _L 平面【解答】证明：由长方体的性质可知4 8 i_L 平面B C C iS i，又 平面 8 C C 1 8 1，又 C C i=2,为 C C i的中点，CM C M 1.在 R tZ 8 C iA/中，B M YQ 况 2M 2=同理 B M=B C 2 +C M 2=又 8 1 8=2,：.BM2
37、+BM2=BB2,从 m BMLBIM.又由.*.5 A/_L 平面平 面.平 面/氏 0，平面小8|朋;第2 0页 共2 4页【点评】本题考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题.2 0.（2 0 1 9 秋深圳期末）在梯形 4 8 C D 中，AB/CD,Z B A D ,A B=2 A D=2 C D=4,3产为的中点，线段4C与。尸交于。点（如 图 1）.将4 C Z）沿 AC折起到的位置，使 得 二 面 角 为 直 二 面 角（如图2）.（1）求证：8 c 平面尸O。；（2）线段尸。上
38、是否存在点Q,使得C。与平面B C。所成角的正弦值为返？若存在，8求出_四_的值；若不存在，请说明理由.P D 图1【考点】直线与平面平行；直线与平面所成的角.【专题】证明题；数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角.【分析】（1）推导出四边形Z P C O 为平行四边形，O P 8 C,由此能证明3 C 平面P O O.（2）推导出四边形/P C D 是菱形，A C D P,垂足为O,从而Z C _L O O,A C Y O P,进而N0OP是 二 面 角 的 平 面 角，建立空间直角坐标系。-小，利用向量法能求出线段尸。上存在点0,且 里 _ ，使得C0与 平 面 所 成 角 的 正
39、弦 值 为 逅.P D 3 8【解答】解：（1）证明：因为在梯形Z 8 C。中，AB/CD,A B=2 C D=4,尸为N8的中点，所以C D/P,C D=A P,所以四边形/P C Z）为平行四边形，第2 1页 共2 4页因为线段/C与QP交于。点，所以。为线段ZC的中点，所以 48C 中 OP/BC,因为 OPu平面 POO,P OD,所以8C平面P OD,.(2)解：平行四边形ZPC中，A P=A D=2,所以四边形/PC。是菱形，A C L D P,垂足为0,所以/C_L0D,A C A.OP,因为。u 平面/S,OPu平面4CB,所以NOO尸是二面角8-/C-。的平面角，因为二面角8
40、-NC-。为直二面角，所以ND OP=G-即 OP，。.可以如图建立空间直角坐标系。-孙z,其中0(0,0,0),因为在菱形/PC。中，NBAD=匹，所以OD-OP-1,0A=0C/3.3所以2,0),P(O,1,0),C(V,0,0),D(0,0,1)所以而L=(百，-2,1)-CB=(O,2,0)-设二=(x,y,z)为平面8C。的法向量，因为nCB=0,所 以 附0.取x=i,得 若=一(),-),n BD=0 V3x-2y+z=0线段P。上存在点Q使得C Q与平面8C。所成角的正弦值为返，8设 笆=人 近 厂(0入4 1)，因 为 而=(6，1 0)，而L=(0，-1，D)所 以 而=
41、而+而=而+入？5=(正，i-入，入)因为COS=而吊=浮 X)巫 IC Q!-Ini 2V2x2-2X+4 8所以3入2-7入+2=0,因为0W入W 1,所以人.3所 以 线 段 上 存 在 点Q,且一当_ ，使得C Q与平面8C。所成角的正弦值为逅.PD 3 8第2 2页 共2 4页【点评】本题考查线面平行的证明，考查满足线面角的正弦值的是否存在的判断与求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.21.（2013五华县一模）已知在平面直角坐标系X。，中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为产（-J 5，0）,且右顶点为。（2,0）.设
42、 点/的 坐 标 是（1,工）.2（1）求该椭圆的标准方程；（2）过原点。的直线交椭圆于点8、C,求/8C面积的最大值.【考点】点到直线的距离公式；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合.【专题】综合题.【分析】（I）由左焦点为F（-“，0）,右顶点为。（2,0）,得到椭圆的半长轴a,半焦距c,再求得半短轴6,最后由椭圆的焦点在x 轴上求得方程.（2）当 8 c 垂直于x 轴时，BC=2,SA c=l;当 不 垂 直 于 x 轴时，设该直线方程为y k x,代入椭圆方程，求得8,C 的坐标，进而求得弦长|8。，再求原点到直线的距离,从而可得三角形面积模型，再用基本不等式求其最值.【解答】解：（1
43、 ）由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=J E，则半短轴方=1.又椭圆的焦点在x 轴上，2 椭圆的标准方程为宁+y2=i（I I）当 垂直于 x 轴时，BC=2,S&ABC 1第2 3页 共2 4页2 ,当B C不垂直于X轴时，设该直线方程为、=H，代 入 亍+y 2 =1解得 8 (-：-2 ,-2 k ),C (2-j-2 k),4 4 k2+1 4 4 k2+1 4 4 k2+1 4 4 k2+1则 因|=4；J1+k2 ，Ik7|又点力到直线8 c的 距 离)=一./V l+4 k2 V l+k2.ABC 的面积 SABC-|B C|*d=2 7 l+4 k2要使N8 C面积的最大值，则4 0由 :N 7,得 Sy B c W a,其中，当左=寸，等号成立.4 k2+1 2SA/B C的最大值是,x/2【点评】本题的考点是直线与圆锥曲线的综合问题，主要考查椭圆的几何性质，考查楠圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，求三角形面积的最值，关键是构建模型,利用基本不等式求解.第2 4页 共2 4页