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1、2022-2023学年北京市高二上期末考试数学模拟试卷一.选 择 题（共10小题）1.（2 0 2 0 秋丰台区期末）已知/（2,愿），B（1,0）,则 直 线 的 倾 斜 角 为（）A.2L B.c.22L D.1ZL6 3 3 62.（2 0 2 0 秋西城区期末）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是（2,1）,则复数W=（）A.2-i B.I-2 z C.2+i D.l+2 z3.（2 0 2 0 秋平谷区期末）已知圆的方程（x+3）2+（y -2 =4,那么圆心和半径分别为（）A.（-3,2）,2 B.（3,-2）,2 C.（-3,2）,4 D.（3,-2）,44.（2 0 2 0 秋
2、海淀区校级期末）某邮局有4个不同的信箱，现有5 封不同的信需要邮寄，则不同的投递方法共有（）A.4 5 种 B.5 4 种 C.空种 D.空种5.（2 0 2 0 秋房山区期末）下列双曲线中以歹=2 乂为渐近线的是（）2 2 2 2A.乂 2 上=1 B./工=i C.丫 2 工4 D.y 2 _=ix 4 x 2 4 y 26.（2 0 2（）秋海淀区校级期末）如图，正方形/8 C O 与矩形Z CE尸所在平面互相垂直，AB=&,/尸=1,A/在 E尸上，且平面则M 点的坐标为（）A.（1,1,1）B.（亚,亚，1）C.（返,返，1）D.（返,返，1）3 3 2 2 4 47.（2 0 2
3、0 秋海淀区校级期末）已知空间向量a=3,2,5）,芯=（1,x,-1）,且之与彘 直，则 x等 于（）A.4 B.IC.3D.28.（2 0 1 6 陕西模拟）如图为2 0 1 5 年 6月份北京空气质量指数AQI-P M 2 5历史数据的折线第 1 页 共 2 5 页图，以下结论不正确的是（)指数数值与等级水平表:指数0 5051-100101-150151 200201 300300等级一级优二级良三级轻度污染四级中度污染五级重度污染六级严重污染A.6 月份空气质量为优的天数为8 天B.6 月份连续2 天出现中度污染的概率为229C.6 月份北京空气质量指数/0/-P M 2.5 历史数
4、据的众数为160D.北京6 月 4 至 7 日这4 天的空气质量逐渐变好9.（2020 春宁德期末）若 X N（1,。），则尸 印-。X b 0)的离心率为工，经过左焦a2 b2 2点 Q(-1,0)的直线/与椭圆G 相交于4,8 两点，与y轴相交于C点，且点C在线段 48 上.(I)求椭圆G 的方程；(I I )若川=|C 印 求直线/的方程.2 1.(2 0 2 0 秋 海 淀 区 校 级 期 末)已 知 椭 圆 沙:式 工=1 的左顶点为N (-2,0),动直4 m m线/与椭圆”交于不同的两点P,。(不与点4重合)，点力在以P0为直径的圆上，点P关于原点0的对称点为(I)求椭圆印的方程
5、及离心率；(II)求证：直线尸。过定点；(III)(i )求P 0 A/面积的最大值；(i i)若 为 直 角 三 角 形，求直线/的方程.第5页 共2 5页2022-2023学年北京市高二上期末考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一.选 择 题（共10小题）1.（2020秋丰台区期末）已知4（2,B（1,0）,则直线月8的倾斜角为（）A.B.c.22L D.12L6 3 3 6【考点】直线的倾斜角.【专题】方程思想；定义法；直线与圆；数学运算.【分析】先求出直线Z 8的斜率，由此能求出直线的倾斜角.【解答】解：.（2,愿），B（1,0）,.直线A B的 斜 率 =空 应=,1-2二直线N 8的
6、倾斜角为三.3故 选:B.【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，考查斜率计算公式、直线的倾斜角等基础知识,考查运算求解能力，是基础题.2.（2020秋西城区期末）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（2,1）,则复数W=（）A.2-z B.1 -2/C.2+i D.1+2Z【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算.【专题】整体思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算.【分析】直接利用复数的几何意义及共扼复数的定义即可求解.【解答】解：由复数的几何意义可知，复数z对应的点的坐标是（2,1）,则 z=2+if故 z=2 -i.故选：A.【点评】本题主要考查了复数的几何意义的应用，共辄复数的定义
7、，属于基础题.3.（2020秋平谷区期末）已知圆的方程（/3）2+（厂2/=4,那么圆心和半径分别为（）A.（-3,2）,2 B.（3,-2）,2 C.（-3,2）,4 D.（3,-2）,4【考点】圆的标准方程.第6页 共2 5页【专题】方程思想；综合法；直线与圆；数学运算.【分析】利用圆的标准方程的性质求解.【解答】解：圆的方程（x+3）2+（厂 2）2=4,则其的圆心为（-3,2）,半径为2.故选：A.【点评】本题考查圆的圆心坐标和半径的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的标准方程的性质的合理运用.4.（2 0 2 0 秋海淀区校级期末）某邮局有4个不同的信箱，现有5 封不同的信需要
8、邮寄，则不同的投递方法共有（）A.4 5 种 B.5 4 种 C.C 4 种 D.种5 5【考点】排列、组合及简单计数问题.【专题】计算题：方程思想；转化思想；综合法；排列组合：数学运算.【分析】根据题意，分析可得每封信都有4种不同的投递方法，由分步计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，某邮局有4个不同的信箱，则每封信都有4种不同的投递方法,则 5 封不同的信，有 4 X 4 X 4 X 4 X 4 =4 5 种不同的不同的投递方法，故选：A.【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.5.（2 0 2 0 秋房山区期末）下列双曲线中以=2 为渐近线的是（）2 y
9、-4 y 2 综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.求解双曲线的渐近线方程，判断选项的正误即可.【考点】双曲线的性质.【专题】计算题；转化思想；【分析】利用双曲线的方程，2 2【解答】解：乂 2-匚=1 的渐近线方程为：x2-=0-即 =2 ，所以/正确;4 4乂 2 _ 春=1 的渐近线方程为：了=土 后，所以8不正确；c 2 1y 2 一券=1 的渐近线方程为：y=氏,所以C不正确；第7页 共2 5页丫 2_/=1的渐近线方程为：y=士 孚 X，所以。不正确；故选：A.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题.6.（2 0 2 0 秋海淀区校级期末）如图，正方形488与矩形
10、/C Eb所在平面互相垂直，AB=历，N F=1,在 E E 上，且 4W平面8 Z M,则 M 点的坐标为（）A.（1,1,1）B.（返,返，1）C.（返,返，1）D.（返,返，1）3 3 2 2 4 4【考点】空间中的点的坐标.【专题】空间位置关系与距离.【分析】设 N C、BD交于点、O,连结OE,由 已 知 推 导 出 是 平 行 四 边 形，从而M是力的中点，由此能求出点”的坐标.【解答】解：设/C、BD交于点O,连结。,:正方形/8 C。与矩形N C E F 所在平面互相垂直，4F=1M在 E E 上，且/平 面 8 Z J E,J.AM/OE,又/0 ”,.O/M E 是平行四边
11、形，二是 E尸的中点，*：E（0,0,1）,F（72，&，1）,二（返返 1）.2 2故选：C.第8页 共2 5页【点评】本题考查空间中点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.7.（2020秋海淀区校级期末）已知空间向量之=（-3,2,5）,4=（L x,-1）,且之与式垂直，则x 等 于（）A.4 B.1 C.3 D.2【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直.【专题】方程思想；转化法；空间向量及应用；数学运算.【分析】根据之，总 可得之元=。，解得X.【解答】解：/.a*b=_ 3+2x-5=0,解得 x=4,故选：A.【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考
12、查了推理能力与计算能力，属于基础题.8.（2016陕西模拟）如图为2015年 6 月份北京空气质量指数AQI-P M 2 5历史数据的折线图，以下结论不正确的是（）第9页 共2 5页指数0 5051 100101 150151 200201 300300等级一级优二级良三级轻度污染四级中度污染五级重度污染六级严重污染A.6 月份空气质量为优的天数为8 天B.6 月份连续2 天出现中度污染的概率为229C.6 月份北京空气质量指数/0/-P M 2.5 历史数据的众数为160D.北京6 月 4 至 7 日这4 天的空气质量逐渐变好【考点】频率分布折线图、密度曲线.【专题】数形结合；综合法；概率与
13、统计.【分析】对于4 6 月份空气质量为优的日子为：6 月 7 日，8 日，11日，12日，13日，18日，19 日，30 0,即可判断出真假；对于8.6 月份连续2 天 d 的日子为29个，连续2 天中度污染的日子2 个：为第28和 29天，第 24和 25 天，即可得出概率；对于C.6月份北京空气质量指数AQI-PM2.5历史数据的众数为4 2,即可判断出真假；对于。.北 京 6 月 4 至 7 日这4 天的图象逐渐下降，空气质量逐渐变好，即可判断出真假.【解答】解：4 6 月份空气质量为优的日子为：6 月 7 日，8 日，11日，12日，13日，18日，19日，3 0 日，天数为8 天，
14、因此正确；8.6 月份连续2 天 d 的日子为29个，连续2 天中度污染的日子2 个：为第28和 29天，第 24和 25天，所以概率为2,正确；29C.6月 份 北 京 空 气 质 量 指 数 PM2.5历史数据的众数为4 2,因此错误；D.北京6 月 4 至 7 日这4 天的图象逐渐下降，空气质量逐渐变好，正确.故选：C.【点评】本题考查了频率分布折线图、概率的有关计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.9.（2020 春宁德期末）若 X N（1,。），则 尸（R-。X p+。）=0.6827,尸（-2。/口+2。）=0.9 5 4 5,已知 X N（1,32）,则 尸（4 X W 7
15、）=（）A.0.4077 B.0.2718 C.0.1359 D.0.0453第1 0页 共2 5页【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【专题】对应思想：数学模型法：概率与统计；数学运算.【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，然后结合。与 2。原则求解.【解答】解：若 X N（l,。），则正态分布曲线的对称轴为x=l,又X N（l,32）,二尸（4CXW 7）=*尸（!-2。XWH+2。）-P（p-o u平面 8 8 1,存在Z8中点O,使得Z C i 平面。8 1,故 8正确；对于C,在三棱柱N 5 C-/1 8 1 C 1 中，C C i _ L 底面N B C,.44i J
16、_ C D,.,.当C Z）_ L 4B 时,由 4 4”是平面4 4/中的相交线，得到C L L L 平面AAB B i.C D u平面C ）8 i，.存在点。，使得平面CDS，平面441 3 1 8,故 C错误；对于。，,41 8 1 C的面积是定值,AB/AB,平面/1 8 C,/由 1 0）与 X轴相切，则 尸 1 .【考点】圆的标准方程.【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.【分析】根据题意，由圆的标准方程分析圆的圆心和半径，又由圆与x 轴相切可得r 的值，即可得答案.第1 2页 共2 5页【解答】解：根据题意，圆(x+3)2+-1)2=(r 0),其圆心为
17、(-3,1),半径为r,若该圆与x 轴相切，则厂=1,故答案为：1.【点评】本题考查圆的标准方程，涉及圆的切线的性质，属于基础题.1 2.(2 0 2 1 武侯区校级模拟)设(%-2)4=a4X4+a3x3+ay+ax+ao,则.1+4 2+4 3+0 4=-1 5 .【考点】二项式定理.【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算.【分析】先求出a o=1 6,再令x=l,可得要求式子的值.【解答】解：(x-2)4=a4X4+a3x3+a2x2+aix+a o *ao=(-2)4=1 6,令 X=l,可得 1 =1 6+。1+。2+。3+。4，则 a 1+0 2+0 3+0 4 -1 5,
18、故答案为：-1 5.【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题.1 3.(2 0 2 0 秋平谷区期末)用简单随机抽样的方法从含有1 0 0 个个体的总体中抽取一个容量为2 5 的样本，那么个体机被抽到的概率是4【考点】简单随机抽样；等可能事件和等可能事件的概率.【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑推理.【分析】利用简单随机抽样，每个个体被抽到的概率都相等，再结合样本容量和总体容量，分析求解即可.【解答】解：一个总体含有1 0 0 个个体，某个个体被抽到的概率为工，100所以用简单随机
19、抽样方式从该总体中抽取一个样本容量为2 5 的样本，则指定的某个个体抽到的概率是_ x 25=-100 6 4故答案为：1.4【点评】本题考查了统计知识的理解和应用，解题的关键是掌握总体中每个个体被抽到的概率都是一样的，属于基础题.第1 3页 共2 5页14.（2020秋房山区期末）某班级的学生中，寒假是否有参加滑雪运动打算的情况如表所示.男生女生有参加滑雪运动打算810无参加滑雪运动打算1012从这个班级中随机抽取一名学生，则“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率为_工_;若已知抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率为一豆5 9【考点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件
20、数及事件发生的概率.【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算.【分析】由频数统计表得：这个班级一共有4 0 名学生，其中有参加滑雪运动打算的男生有 8 人，由此能求出从这个班级中随机抽取一名学生，则“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率；这个班有18名男生，其中有参加滑雪运动打算的男生有8 人，由此能求出抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率.【解答】解：由频数统计表得：这个班级一共有：8+10+10+12=40名学生，其中有参加滑雪运动打算的男生有8 人，从这个班级中随机抽取一名学生，则“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率为2=且=工.40 5由频数统计表得：这个班
21、有18名男生，其中有参加滑雪运动打算的男生有8 人，抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率为18 9故答案为：1,A.5 9【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.15.（2020迎泽区校级二模）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 5 个问题就晋级第1 4页 共2 5页下一轮的概率为0 0 46 0 8【考点】n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率.【专题】转化思想；综合法；概率与统计
22、：数据分析.【分析】由题意可得，第 4 个和第五个问题回答都正确，第 3个问题回答不正确，前 2个问题至少有一个回答错误，再根据相互独立事件的概率乘法公式，计算求得结果.【解答】解：由题意可得，第 4 个和第五个问题回答都正确，第 3个问题回答不正确，前 2个问题至少有一个回答错误.该选手恰好回答了 5个问题就晋级下一轮的概率为0.8 X0.8 X0.2 X(1 -0.8 X0.8)=0.0 46 0 8,故答案为：0.0 46 0 8.【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于中档题.三.解 答 题(共 6 小题)1 6.(2 0 2 0 秋丰台区期末)如图，已知正方体的棱长
23、为2,M 为/小的中点.(I )求证：小8 平面(I I )求平面M C D 与平面C iC Q i夹角的余弦值.【考点】直线与平面平行；二面角的平面角及求法.【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角：逻辑推理；直观想象；数学运算.【分析】(I )如图建立空间直角坐标系4-.求 出 平 面 的 法 向 量 为；，甲=(2,0,-2)，计算即可证明4 8平面MCOL(1 )利 用 平 面 的 法 向 量；，平面CCA的法向量为屈=(o,2,0)，结合空间向量的数量积求解平面M C D x与平面CCa夹角的余弦值即可.【解答】(I )证明：如图建立空间直角坐标系/-町第1 5页
24、 共2 5页因为正方体/8 C O-/1 8 1 G G的棱长为2,A(0,0,0)是/(0,0,0)的中点,3 ,/X所以 4(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),M(0,0,1),D (0,2,2),Ai(0,0,2),B(2,0,0),西=(0,2,1)，M C=(2,2,-1 设平面A/C D i的法向量为u=(x,y,z),u *M D i_ 0 9(2 v+z=0则|1 B P J zy z u,u-M C=0 ,l2 x+2 y-z=0令 y=l,贝 i z=-2,x=-2,所以 u=(-2,1,-2),因 为 不=(2,0,-2)，所 以 不：=2 X(-2)+0
25、 X 1+(-2)X(-2)=(，因为m B U平面M C Z h，所以Z 1 3平面M C 1.(H)解：由(I )知，平面MCA的法向量；=(-2,1,-2),又平面C iC O i的法向量为其二(0,2,0设平面MC D 与平面C C D 的夹角为。,则 COS0=c os u,A DI|u-A D|_ 2 _ _ _1lu hlA D l 砺所以平面“81与平面C iC。夹角的余弦值为工.3【点评】本题考查向量法求解直线与平面平行的方法，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力.1 7.(2 0 2 0秋西城区期末)已知圆C过原点。和点/(1,3),圆心在直线y
26、=l上.第1 6页 共2 5页(I )求圆c的方程；(I I)直线/经过点O,且/被 圆 C截得的弦长为2,求直线/的方程.【考点】直线与圆的位置关系.【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数学运算.【分析】(I)设圆C的圆心坐标为(，1),由已知列式求解a,进一步得到圆的半径,则圆C的方程可求：(I I)由弦长求得圆心到直线的距离，当直线的斜率不存在时，直线x=0 符合题意；当直线/的斜率存在时，设直线方程为丘-y=0,由圆心到直线的距离列式求解左，则直线方程可求.【解答】解：(I )设圆C 的圆心坐标为(,1),依题意，-/a2+l2=-/(a-l)2+22,解得a=2.从而圆C的 半 径
27、为=+2=而,.圆 C 的方程为(x-2)2+()2=5：(I I )依题意，圆 C 的圆心到直线/的距离为2.显然直线x=0 符合题意：当直线/的斜率存在时，设其方程为y=依，即 履-y=0.圾 期=2,解得k=.E 4二直线/的方程为丫=*安 即 3 x+4 y=0.综上，直线/的方程为x=0 或 3 x+4 y=0.【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，体现了分类讨论的数学思想，是基础题.18.(2020秋平谷区期末)在新冠肺炎疫情期间，为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学
28、模式积极开展工作.为了解学生居家自主学习的情况，从某校高二年级随机抽取了 100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习的时间分别在 0,1),1,2),2,3),3,4),4,5),5,6),6,7),7,8(单位：小时)的数据，整理第1 7页 共2 5页得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）.（I）由图中数据，求。的值，并估计从该校高二年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习的时间在 3,4）的概率；（I I）现从抽取的100名学生该天居家自主学习的时间在 0,1）和口，2）的人中任选2人，进一步了解学生的具体情况，求其中学习时间在 0,1）中至少有1 人的概率；（I l l）假设
29、同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习时间的平均数.【考点】频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；数学运算.【分析】（I ）利用频率分布直方图的性质能求出a,随机抽取的1 00名学生中居家自主学习时间该天在 3,4）的频率为0.1,由此能求出从该校高二年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习时间在 3,4）的概率.（I I）设“抽取的2 人其中学习时间在 0,1）中至少有1 人”为事件4由图中数据可知：该天居家自主学习时间在 0,1）和 1,2）的人分别有2 人和3 人.设在
30、0,1）的 2人分别为a,6,在 1,2）的 3 人分别4 B,C,从这5人中任选2 人，利用列举法能求出学习时间在 0,1）中至少有1 人的概率.（/）利用频率分布直方图能求出样本中的1 00名学生该天居家自主学习时间的平均数.【解答】解：（1 ）因 为（0.02+0.03+0.05+a+0.1 5 X 2+0.2+0.3）X l =b所以 4 7 =0.1 .由图可得：随机抽取的1 00名学生中居家自主学习时间该天在 3,4）的频率为0.1 X 1 =第1 8页 共2 5页0.1,所以从该校高二年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习时间在 3,4)的概率为0.1.(I I)设“抽
31、取的2 人其中学习时间在 0,1)中至少有1 人”为事件由图中数据可知:该天居家自主学习时间在 0,1)和 1,2)的人分别有2 人和3 人.设在 0,1)的 2 人分别为a,b,在 1,2)的 3 人分别4,B,C,则从这5人中任选2 人的样本空间=M,aA,aB,aC,bA,bB,bC,AB,AC,B C,共 有 1 0个样本点，事 件/=,aA,aB,aC,bA,bB,h C ,共有 7 个样本点，所以学习时间在 0,1)中至少有1 人的概率为p(A)=焉.(III)样本平均数：7=0.5X0.02+1.5X 0.03+2.5X0.05+3.5X 0.1+(4.5+7.5)X 0.15+
32、5.5X 0.2+6.5 X 0=5.38.样本中的1 00名学生该天居家自主学习时间的平均数为5.38 小时.【点评】本题考查概率频率分布直方图的应用，考查概率、平均数的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.1 9.(2021 五华区校级模拟)袋中有1 0个大小、材质都相同的小球，其中红球3 个，白球7 个.每次从袋中随机摸出1 个球，摸出的球不再放回.求：(I )第一次摸到红球的概率；(I I)在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；(I I I)第二次摸到红球的概率.【考点】条件概率与独立事件.【专题】计算题：方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；
33、数学运算.【分析】先设事件出第一次摸到红球；事件3：第二次摸到红球，(I )由袋中球的总数和红球的数目，结合古典概型公式计算可得答案，(I I)根据题意，计算尸(A B)的值，由条件概率公式计算可得答案，(I I I)根据题意，计算尸(AB)、P(A 8)的值，相加即可得答案.【解答】解：根据题意，设事件4 第一次摸到红球；事 件&第 二 次 摸 到 红 球，则事件A第一次摸到白球.第1 9页 共2 5页(I )袋中有1 0个球，第一次从1 0个球中摸一个共1 0种不同的结果，其中是红球的结果共3种,所以 P(A)=)W 1 0(H)由(I )的结论，P(A)=，前 两 次 都 摸 到 红 球
34、 的 概 率=_3_x 2=J _,3 1 0 1 0 9 1 5则 P (即)=P(A B,)=2；p(A)9(I I I)p(A)=，则尸 C)=1 -P=P b 0)的离心率为工，经过左焦a2 b2 2点91(-I,0)的直线/与椭圆G相交于力，8两点，与y轴相交于C点，且点C在线段Z 8上.(I )求椭圆G的方程；(I I )若|/Q|=|C 8|,求直线/的方程.【考点】椭圆的性质.【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(I )设椭圆焦距为2c,运用离心率公式和a,b,c的关系，即可得到椭圆方程:(I I)由题意可知直线/斜率存在，可设直线/：y=k
35、(x+1),代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程即可得到所求方程.【解答】解：(I )设椭圆焦距为2c,由已知可得且，且c=l,a 2所以4=2,即有序=2-。2=3,2 2则椭圆G的 方 程 为 心 上=i；4 3(I I)由题意可知直线/斜率存在，可设直线/：y=k(x+1),第2 0页 共2 5页y=k(x+l)由1V2 v2 消 乃 并 化 简 整 理 得(4严+3)”+8 底什4庐-1 2=0,+=1I 4 3 1由题意可知A 0,设 力(x i，y i),B(X 2，J2)，因为点c产 1 都在线段Z B上,且 M 尸 1 1=1 3,所以A F；二而，即(-1-
36、x i，-y i)=(小 歹 2-y c)，所 以-1 -X =X 2，即 X l+%2=-1 解得卜2 号，即卜=土喙.所以直线/的 方 程 为 丫 平 6 +1)或 y=X l(x +l【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题.21.(20 20 秋 海 淀 区 校 级 期 末)已 知 椭 圆 人 耳 上=1的左顶点为力(-2,0),动直4m m线/与椭圆少交于不同的两点尸，。(不与点力重合)，点力在以产。为直径的圆上，点P关于原点。的对称点为(I )求椭圆的方程及离心率；(I I)求证：直
37、线P。过定点；(I I I)(i )求 P Q M 面积的最大值；(i i)若 心 0为直角三角形，求直线/的方程.【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合.【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】(I)求出椭圆左顶点为/(-2,0),推出?，得到椭圆方程，然后求解离心率即可.第2 1页 共2 5页(I I )设 P(.x,y),0(孙歹2),当 PQ_Lx 轴时，0(x i,-y i)通过 PAX.QA,利 用 还,赢=0,求出直线尸。的方程为x=a.当 夕。与 x轴不垂直时，设尸。的方程为、=履+&w o),5与椭圆方程联立，利用韦达定理结
38、合向量的数量积求出直线方程，得到直线夕。过定点(4,0).D(I I I)(I)连接。O,因为。为 中 点，求出三角形面积的表达式，SAPQI=2SAP O Q=2Xy x 1-1 yt-y2 I=|-1 y J-y2 P 利用换元法，结合二次函数的性质，求解面积的范围，得到最大值.(a)设T(a,0)，通过5 当 NQ 尸 M=90 时，当 N P Q M=9 0 时，当 N Q W P=9 0 时，判断是否满足条件，转化求解直线方程即可.【解答】(I)解：因为椭圆W：式工=1的左顶点为力(-2,0),4m m所以4加=4,所以m=l,2 ,所以椭圆w的方程为午+丫2=1，a2,b,所以 c
39、=V 所以椭圆w的离心率为返.2(I I )证明：设 尸(x i,y),Q(工 2，歹 2)，当尸0 J _ x 轴 时,Q(x i,-y i),因为点4 在以。0为直径的圆上，所 以%J-0 4,所以所以(-2-x j)2-y 1 =0(2因为+y J：,所以 5X/+16X I+12=0，解方程得X,=泡 或X I=-2,X1 5因为/不过4(-2,0),所 以 引=-2舍去，第 2 2 页 共 2 5页所以x=a,所以直线尸。的方程为x=3.55当尸。与 X轴不垂直时，设尸0 的方程为=履+（ZWO）,代入椭圆方程化简得（4严+1）x2knxU n2-4=0,因 为 就 示=0,所 以(
40、x i+2)(刈+2)+歹必=0，所 以(k2+l)x jX2+(kn+2)(x j+x2)+n2+4=0,2所 以（人）仁小2）含+n”,所以 12层-16h?+52=0,所 以（6人-5）（2k-n）=0,所以“=2%或n&k，5当 n=2k时，直 线/的 方 程 为（x+2）过N（-2,0）,不合题意，舍去.当+h 直线/的方程为y=k（x+1）综上，直线PQ过定点（约，Q）.5（III）解：（i）连接0 O,因为O 为 中 点，所以SzQM=2SapoQ=2吟2跖7 2 啥1丫 尸 21当尸0J_x轴 时,由（I I）知 p1,凯Q（q,-y）所以义传X 2 I嘿当 PQ与 x 轴不垂
41、直时，SAPQM=2sAPO0=2X 鲁区I-融=卷&|xi-日_ 6 l-6 i,W 4 k2+l-n2-24V 64k4+25k2-g|k H（X i+x2）2-4xX 2 万 Iki 4k2+1.25 4k?+l 令 f=4 F+l l,(VArO)72.182第2 3页 共2 5页因为0(工 1，t所以fpQ M蜷综上，当直线1：x=-时，PQM的面积最大，最大值为堂.2 55(I I I)(n)因为A/尸。为直角三角形，设丁(一殳，0)，5下面分三种情况讨论:当N PM=9 0。时，则 行,加=0,因为T P=(X +1-,y t),OP=(x j y)2所以 x J+X i+l-与
42、 一=0,所以 15x 12+2 4x 1+2 0=，A 所以无解所 以/。产/不可能为直角.当/尸。A/=9 0 时,当 尸 轴 时,由椭圆的对称性知NPQM=9 0 ,此时I的方程为火=心,x 5当尸。与x轴不垂直时，kP Q-kQM=-1，了2+丫1 J-y：又k p Q,k QMx2 xl x2+xl x j-x j土 卉-1，所以，此时.当NQA/P=9 0 时，因为尸。的方程为y=k(x+|因为k p Q“Q M=T，所以k QM=衰，又因为左M F kQM=-1 ,所以”P=4Z,所以直线P M的方程为y=4f c v,得P/,*),2因P(2,a L)在椭圆上，所以5 5 2 5 2 5=4,第2 4页 共2 5页解得k=土 坐，所以直线I的方程为丫=土 乎（x+卷）.综上，直线/的方程为y=-x x=-【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题.第2 5页 共2 5页