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1、2022年中考数学压轴题1.抛物线y=f+（m+2）x+4 的顶点C在 x 轴正半轴上，直线y=x+2 与抛物线交于4 B两 点（点/在 点 5的左侧）.（1）求抛物线的函数表达式；（2）点尸是抛物线上一点，若S/B=2S&ABC，求点P的坐标；（3）将直线Z8 上下平移，平移后的直线y=x+/与抛物线交于4,夕两点（H在 9 的左侧），当以点4,夕和（2）中第二象限的点尸为顶点的三角形是直角三角形时，求 f 的值.(=(m +2)2 -1 6=0畔 0L解得m=-6.，抛物线的函数表达式是y=y-4 x+4；（2）如 图 1,过点。作 C E 力 8 交轴于点区 设直线4 8 交y轴于点H.
2、由直线4 氏y=x+2f得点（0,2）.设直线C E：y=x+b.第 1 页 共 1 6 页Vx2-4 x+4=(x-2)2,：.C(2,0).2+6=0,贝！6=-2.:.HE=4.由 S&IHB=2 S&ABC,可在y轴上且点/上方取一点F,使E/Z=2 E,则F(0,1 0).过点F作FP/AB交抛物线于点尸1、P i.此时满足S 以8=2品 蛇，设直线尸1、P 2的函数解析式为：y=x+k.V F (0,1 0)在直线P i、尸2上，.,.k1 0.直线尸1、P 2的函数解析式为：y=x+1 0.联立gk解啮:丁 I,综上，满足条件的点P的坐标是P i(-1,9),P 2(6,1 6)
3、；(3)设/(xi，y),B(%2，”)，显然，N R 4,B W 90 .(i)如图2,当NH B P=90 时，过点夕 作直线肋Vy轴，A M _ L M N于A/,P N_ L M V 于 N.:直线B 的解析式是y=x+f,:.乙B/M=4 5 .第2页 共1 6页进一步可得到，夕M,XP B N都是等腰直角三角形.:P N=N B ,.X 2+1 =9 -歹 2，即工2+7 2 =8 又”=X 2+Z，X?=4 T-t联立解得 :.3 2 =4+讶t将 点(4-$4+,t)代入二次函数解析式，得 4+，t=(4 2)2解得力=0,f 2=1 0 (此时点H 与点。重合，舍去)；如 图
4、 3,当NH P B=90 时，过 点 尸 作 轴，H E LE F 于 E,夕F_L EF于则E Ps PF B.，e P F7F-而.+1 _及-92-力 亚+1 AXIX2+(xi+x2)+1=9(y i2)-y iy 2-81.令 -4 x+4=x+3 贝 i j X2-5 x+4-t=0.则 X+X2=5,X 1 X 2-4 -t.y-y2 (xi+z)+(%2+f)=xi+x2+2 f=5+2 f.yy2=(xi+f)(JQ+Z)=xx2+t(xi+、2)+理=於+4 什4.:.(4 一，)+5+1=9(5+2 f)一 (户+4 什4)-81.整理，得1 5 什5 0 =0.第3页
5、 共1 6页解 得 八=5,f 2=1 0 (舍去).综上所述，的值是0 或 5.2.已知直线八：y=-x+方与 x 轴交于点4,直线/2：y=学 与 x 轴交于点5,直线4、1 2交于点C,且 C点的横坐标为1.(1)如 图 1，过点”作 x 轴的垂线，若点尸(x,2)为垂线上的一个点，。是y轴上一动 点,若&c p 0=5,求此时点0的坐标；(2)若 尸 在 过/作 x 轴的垂线上，点。为y轴上的一个动点，当 C P+P 0+Q N 的值最小时，求此时P的坐标；(3)如图2,点 E的坐标为(-2,0),将直线/1 绕点C旋转，使旋转后的直线/3刚好过点E,过点C作平行于x 轴的直线/4,点
6、、N分别为直线*/4 上的两个动点，是否存在点、N,使得是以M 点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.4 1A解：(1)直 线 注 尸 会 一号，令 尸 1,则 尸-4,故 C(l,-4),把 C (I,-4)代入直线/1 ：y-x+b,得：b=-3,则/i 为：y-x-3,所以 4(-3,0),所以点尸坐标为(-3,2),如图，设直线4C交V 轴于点收，设 心 尸 得：色 工/7,解得二23-1.5 x-2.5，即 M(0,-2.5).S C P Q=(xc-孙)=1 3c+2.5)X4=5,解得：=0 或-5,二。的坐标为(0,0)或(0,-5)；第4
7、页 共1 6页（2）确定。关于过/垂线的对称点C （-7,-4）、4关于y轴 的 对 称 点（3,0）,连接力 C交过N点的垂线与点P,交y轴于点0,此时，C P+P 0+0 N的值最小，将点/、C点的坐标代入一次函数表达式：y=%x+b得：则直线H C的表达式为:尸|尸|，即点P的坐标为（-3,一竽），（3）将E、C点坐标代入一次函数表达式，同理可得其表达式为：当点M在直线/4上方时，设点N（，-4）,点M（s,一3?），点8（4,0）,过点N、8分别作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线分别交于点?、S,：N R M N+N R N M=90 ,ZR M N+ZS M R=90 ,：.Z S
8、 M R ZR N M,2 M R N=N M S B=90 ,M N=M B,：./M S B/N R M(4 4 S),：.R N=M S,R M=S B,第5页 共1 6页4 8 一.一亍$-亍+4 =4 -s (4 8 ，解得：s_n=_ _s_ _s=-4n=-1 6故点N的坐标为(-1 6,-4),当点M在/4下方时，同理可得：N(-4,-4),即：点N的坐标为(一竽，-4)或(7 6,-4).3.已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点.直线N 8：y-mx+S m(加2 0)交x轴负半轴于/,交y轴正半轴于8,直线8 C：ynx+2 n(n O)交x轴负半轴于C,且ZO A
9、B=2 ZO BC.(1)求?、n的值;(2)点0)是x轴上一动点，过P作y轴的平行线，交4 8于。，交B C于R,设Q R=d,求d与/的函数关系式，并写出自变量f的取值范围；(3)在(2)的条件下，当点尸在线段0/上，且d=9时，作点。关于y轴的对称点7,连接C T,过8作引7 _ LC T于“，在直线力8上 取 点 过A/作。/交直线8 c于点N,若以。、H、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.解：(1)直线 N 8：y=mx+S m 则点/、B 的坐标分别为(-8,0),(0,8m),则2=8加，=4加，同理可得：点C(-2,0),找点C关于y轴的对称点C (2,0),连接
10、8 C ,过 点C作C H_ L8 C 于点”，设N O 8 C=a,则N 8 C C =2 a=ZO AB,BC =V4 +64 m2,第6页 共1 6页在 8 C C 中，SBCC=|C C;X O B C H X B C ,即：4X8m=C H X B C ，贝ljBC 则 sinZC BC =si n 2 a=,32mBC ，4+64 m 2在0 4 8 中，t a n/O 4 8=t a n 2 a=阳,贝 心=五 福 3 2 7 n 1 2故/不=r 解得：m-9，则 =3；V4+64 7 7 12 V 1+7 H2 4(2)直线/5：y=1 r+6,直线 8 C：y=3 x+6,
11、3则点。、R的坐标分别为（3 7+6）,（/,3/+6）,4当点尸在y轴左侧时，d=Q R=*+6-3t-6=-%,当点尸在y轴右侧时,9d=43(9rtf t 0HP：d=C；4 1，t v o(3)当 点N在点B下方时,当 d=9 时，f=4,即点尸（-4,0）,则点。（-4,3）,点 T（4,3）,将点C、7的坐标代入一次函数表达式并解得:直线C 7的表达式为：y=*x+l ，B H V C T,则 直 线 表 达 式 中 的 为-2,同理可得直线B H的表达式为：y=-2 x+6,联立并解得：点，（2,2）,过点H作“K _ Lx轴，则O K=KH=2,第7页 共1 6页3设点A/、N
12、的坐标分别为(加，m+6),N (，3+6),4故点M作丁轴的平行线交故点N于 x轴的平行线于点G,。、H、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则 N G=M G=2,3即：m-n=2f 二加-3=2,4解得：n=-1,当点在点8上方时，7同理可得：=g，2 2 0故点 N(-,)；2 1 6 2 2 0综上，点 N (-g,)或(R y 3 9 34.如图，在中，乙8=9 0 ,。为 Z8边上的一点，以/。为直径的。交 5 c于点E,交 NC于点R 过点C作 CGL 48交 N8于点G,交 A E 于点、H,过点E 的弦EP交 于 点。(EP 不是直径)，点 0为弦 尸的中点，连结8 P,8
13、P 恰好为。的切线.(1)求证：8C是。的切线.(2)求证：EF=ED.3_(3)若 s i n N/8 C F，Z C=1 5,求 四 边 形 的 面 积.(1)证明：连接O ,O P,.7。为直径，点。为弦E P的中点,.P EJ _ 4 8,点。为弦E P的中点，：.AB垂直平分EP,:.P B=BE,第8页 共1 6页：OE=OP,OB=OB,:BEOQXBPO(SSS),:/B E O=/B P O,BP为O O 的切线，：./BPO=90,：.ZBEO=90,：OE工BC,8C是。的切线.(2)证明：NBEO=/ACB=90,：.AC/OE,：.NCAE=NOEA,u：OA=OEf
14、ZEAO=ZAEO9:./C A E=/E A O,：.EF=ED.(3)解：:力。为的O O 直径，点。为弦EP的中点,：.EPLAB,C G ABf:.CG/EP,V ZACB=ZBEO=90,：.AC/OEf：.ZC AE=ZAEO,；OA=OE,：/EAQ=NAEO,:/CAE=NEAO,V ZACE=ZAQE=90,AE=AE,:ACEqAAQE(AAS)f：.CE=QE,V ZAEC+ZCAE=ZEAQ+ZAHG=90,A ZCEH=/AH G,第9页 共1 6页*/ZAHG=ZCHEf：.ZCHE=ZCEH,：CH=CE,：.CH=EQ9 四边形CHQE是平行四边形，:CH=CE
15、,四边形CH0E是菱形，AG 3V sin Z/4SC-sinZACG=，AC 5 7 C=15,：.AG=9f：.CG=y/AC2-AG2=12,4ACE 空 4AQE,：.AQ=AC=5,0G=6,：HQ2H G2+QG2,：.HQ2=(12-HQ)2+62,1 q解得：H Q*,15：.CH=HQ=-,1 c四边形CHQE的面积=C，G 0=竽 x6=45.5.如图，4 8 C 中，AB=AC,O。是/8 C 的外接圆，8。的延长线交边/C 于点D(1)求证：NBAC=2NABD；(2)当8C O 是等腰三角形时，求N 8C O 的大小；第1 0页 共1 6页(3)当4 0=2,。=3
16、时，求边8 C 的长.图1；4B=AC,：.AB=AC,：.OA1BC,:/B A 0=/C A 0,。力=05,NABD=NBAO,：.ZBAC=2ZABD.(2)解：如图2 中，延长4 0 交 8 c 于.若 BD=CB,则/C=NBDC=NABD+/BAC=3NABD,：AB=AC,：./A B C=/C,第1 1页 共1 6页/./DBC=2/ABD,V Z)BC+ZC+ZBJDC=180,8乙48。=180,：.ZC=3ZABD=67.5.若 CD=CB,则NC8O=N C08=3N ZB。，：.ZC=4ZABDf.NOBC+NC+NCO8=180,，1 0 4 8 0=180,:N
17、BCD=4/ABD=T1.若。3=O C,则。与4重合，这种情形不存在.综上所述，N C的值为67.5或7 2 (3)如图3中，作4E 8 C交8。的延长线于;=设 OB=OA=4a,OH=3a,OH BH 3：BH2=AB1-AH2OB2-OH2,A25-49a2=16-9a2,2_25一 患:.B H=*,：.BC=2BH=.6.已知，如图：/8 C是等腰直角三角形，N4BC=90：A B=0,。为Z 8C外一点,连接4 9、B D,过。作。垂足为H,交NC于E.(1)若8。是等边三角形，求3 E的长；第1 2页 共1 6页Q(2)若 BD=4B,且 t a n/8=，求 E 的长.【解答
18、】解：（1）是等边三角形，AB=10,：.ZADB=60,AD=ABO,：DHLAB,；./H=%B=5,:.DH=AD2-4 2 =V1 02-52=5遍,：4 8 C是等腰直角三角形，：.ZCAB=45,即/4 E7/=4 5 ,./EH是等腰直角三角形，：.EH=AH=5,：.DE=DH-EH=5 V 3-5；r 3(2):DHL A B,且 t a n N D8=3,，可设5 H=3后,则Q=4左，根据勾股定理得：DB=5k,；BD=4B=10,5攵=1 0解得：k=2,:DH=3,BH=6,AH=4,又：EH=AH=4,：DE=DH-EH=4.第1 3页 共1 6页7.如图，已知00
19、是/BC的外接圆，4 8是的直径，。是 延 长 线上的一点，AE_ LDC交。C的延长线于E,交。于点尸，且 沅=）（1）试判断。E与。的位置关系并加以证明；（2）若BD=|,A E=4,求N 8 C。的正切值.【解答】（1）是。的 切 线（1分）证明：连接O C （如图）：BC =C F,A Z1=Z 2 （2 分）：。0是 Z BC的外接圆.点C在圆上：.O C=O A；./3=/2；.N 3=/1：.O C/AE（3 分）：AEDE,：.ZA E D=90.N 0 C D=9 0 J.O C 1.DC,BP O C k D E是O。的 切 线（4分）（2）解：在/）中，由（1）知 0 C
20、 4 E第1 4页 共1 6页PC DOAE DA设 O C=ZV F D =AE=4._|+t整理，得 6/2-7 f-2 0=0解得G -I-62 =_）经检验A,f 2 均为原方程的解，由于线段长为非负，故舍去负值.得。=|（5 分）.8=5切。于点C,DBA是。的割线c 5 5A D C2=D B-D l=|（|+5）:.DC=学（6 分）:/B C D=/2,N。是公共角，:DBCs/DCA5BC DB?1 八就=而=亚=5（7 分）3由 已 知 是。0 的直径A ZACB=90,A tan.2=11:.tan乙BCD=tanz.2=（8 分）第1 5页 共1 6页第1 6页 共1 6页