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1、2022年中考数学压轴题1.已知在梯形48CD中，AD/BC,4C=8C=10,c o s/C 8=*,点E在对角线4C上(不与 点 小。重合)，ZEDC=ZACB,OE的延长线与射线C8交于点F,设4)的长为x.(1)如 图1,当。F_L8C时，求4D的长；(2)设E C=y,求关于x的函数解析式，并直接写出定义域；(3)当。/C是等腰三角形时，求 力。的长.解：（1）设：/ACB=/EDC=Na=NC4D,4 3cosa=耳，sina=弓，过点A作AHLBC交于点H,AH=AC9sina=6=DFf BH=2,如 图1,设：FC=4a,4：.cosZACB=J,则 所=3a,EC=5a,:
2、NEDC=Na=NCAD,/ACD=/ACD,：.ADCSLDCE,：.ACCE=CD2=DF2+FC2=36+6a2=5 a,9解得：a=2或彳（舍去a=2）,o7AD=HF=lO-2-4a=（2）过点。作C H,4。交4）的延长线于点从第 1 页 共 1 4 页C D2CH2+D H2 (ZCsina)2+(Ccosa-x)2,即：CD2=36+(8-x)2,由(l)得：AC*CE=CD2,即：二 而 一尹+1 0(0 xV 16 且 xW 1 0)，(3)当=O C时，V Z E C F=Z F D C=af Z D F C=ZDFC,:.DFCsXCEE,*；D F=D C,:F C=
3、EC=y,；x+y=10,io即：10=访尹+o+x,解得：x=6；当F C=DC,则/D F C=/E D C=a,贝！J：EF=EC=y,D E=AE=10-y,在等腰4)中，c o s Z J E=c o s a=点=中/i t,iu-y 即：5x+8y=80,将上式代入式并解得：x=苧；当FC=FD,则N F C D=N F Z)C=a,而N E C F=a W N F C D,不成立,故：该情况不存在；39故：A D的长为6和丁.42.已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形Z5CO是顶点坐标分别为力(3,0)、B(3,4)、C(0,4).点。在y轴上，且点。的坐标为(0,-5
4、),点。是直线4 C上的一动点.第2页 共1 4页(1)当点尸运动到线段4 C 的中点时，求直线。尸的解析式(关系式)；(2)当点P 沿直线/C 移动时，过点。、户的直线与x 轴交于点.问在x 轴的正半轴上 是 否 存 在 使 与 ZBC相似的点M?若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当点尸沿直线/C 移动时，以点尸为圆心、R(7?0)为半径长画圆.得到的圆称AC为动圆P.若设动圆P 的半径长为三，过点D 作动圆P 的两条切线与动圆P 分别相切于点 E、F.请探求在动圆尸中是否存在面积最小的四边形。若存在，请求出最小面积 S 的值；若不存在，请说明理由.解：(1)过点尸作P
5、H。外 交 OC于点”，如 图 1 所示.*：PHOA,:.CHPsACOA.HP CH CP 0 A CO CA,点尸是N C中点，1：.CP=CA.：.HP=OA,CH=|CO.*：A(3,0)、C(0,4),：.OA=3f OC=4.3：.HP=CH=2.第3页 共1 4页：.OH=2.，：PHOA,ZCOA=90,：.ZCHP=ZCOA=900.3 点尸的坐标为（5,2）.设直线D P的解析式为歹=Ax+b,3:D(0,-5),P(-,2)在直线 QP 上,.此，直线D P 的解析式为y=芋 r-5.(2)若A D O M s/A B C,图 2(1)所示,：4DOMS/ABC,.。O
6、M 布=正 点8 坐 标 为(3,4),点。的坐标为(0,：.BC=3f 48=4,OD=5.5 OM*4 一*OM=丁点M 在 x 轴的正半轴上，_ 15 点历的坐标为(下，0)4若如图2(2)所示，:D O M-4CBA,.DO OMCB=BA,8 C=3,4B=4,0 0=5,-,*3 一5),点M 在 x 轴的正半轴上,第4页 共1 4页 点M 的坐标为（百，0）.综上所述：若。河与（?胡 相 似，则点M 的坐标为（?0）或（竺，0）.4 3（3）。4=3,OC=4,ZAOC=90,：.AC=5.：.PE=PF=AC=|.:DE、。尸都与0 P 相切,：.DE=DF,NDEP=NDFP
7、=9Q.SA PED=S&PFD.:.S N边）DEPF=2SAPED=2x PE-DE=PE,DE=|.:NDEP=90,：.DE2D P2-PE2.=。产一半.4根 据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当 DPJ_AC时，D P最短,此时。E 取到最小值，四边形。EPE的面积最小.：DPLACf:NDPC=90.N4OC=NDPC.：/O CA=/PC D,/AOC=NDPC,：.AO C sD PC.eAO AC*DP DC*0=3,AC=5,D C=4-（-5）=9,#_3_ 5DP-9,第5页 共1 4页：.DP=27o0 25:.DE2=DP2-27(T)2 25 4-_ 2291
8、=oo-,:.DE=/229110S 四边形 QEPF=2291I-V2291四边形。丽面积的最小值为 下.方法二：(1)A(3,0),C(0,4),尸为4 C 的中点，P广 号=|,尸 尸 写=2,3：.P(-,2),2VD(0,-5),，直线DP的解析式为产竽r-5.(2)若OOM与ZBC相似，则NOZ)M=NOCZ 或NOQM+NOCZ=90,当NODM=NOCA 时，则 K/L KDA/=0,U：A(3,0)、C(0,4),.4 4 KA-2-，KDM=可，V Z)(0,-5),IDM：尸于v-5,当y=0 时，工=芋，15.Afi(二-,0),4当 NODW+NOG4=90 时，DM
9、 LAC,第6页 共1 4页:.KDMXKAC=h4 3：KAC=-:KD后？VZ)(0,-5),：.IDM：尸 率-5,当y=0时，x=冬,2 0:M?(,0).4(3)易知C：y=-x+4,.点尸在直线4c上,设 点(f,一或+4),:D(0,-5),3=J(-0)2 +(一*+4 +5)2 =符：PE=AC=I，：.DE=J导 t2-2 4 t +等,当t=黑 时，S 四边形DEPF有最小值，-2 4 C +81,第7页 共1 4页XX3.如图，在 RtZIBC中，ZA CB=90,以斜边4 5 上的中线。为直径作。0,与 B C 交于点/，与 Z 8 的另一个交点为E,过/作垂足为M(
10、1)求证：MN是。的切线;第 8 页 共 1 4 页(2)若。的直径为5,s in 8=|,求 EQ 的长.：OC=OM,：.NOCM=ZOMC,在 R tZ/8C 中，CD是斜边Z 8 上的中线,：.CD=AB=BD,:.NDCB=NDBC,：.NOMC=NDBC,J.OM/BD,:MNLBD,J.OMLMN,过 O,.A/N是。的切线；图2(2)解：连接 DM,CE,CD是。的直径，第9页 共1 4页：.ZCED=90 ，ZDMC=90 ，B P DMJ.BC,CELA B,由(1)知：B D=C D=5,M 为 8 C 的中点，3V sin5=引.八 4 COSn=，在 RtZXBMD
11、中，B M=B DcosB=4,:B C=2 B M=8,在 RtA CEB 中，B E=B C，cosB=可，32 7：.ED=BE-8。=寺-5=g4.已知NMPN的两边分别与0 0 相切于点4 B,。0 的半径为八(1)如 图 1,点 C 在点4,8 之间的优弧上，NA/PN=80,求N ZC 8的度数；(2)如图2,点 C 在圆上运动，当尸C 最大时，要使四边形ZP8C为菱形，/尸8 的度数应为多少？请说明理由：(3)若尸C 交。于点。，求 第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含，的式子表示)./孙。=/尸 8。=90,第1 0页 共1 4页V ZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB=
12、360,Z A P B+Z A O B ,V ZAPB=SO,.4 0 8=1 0 0 ,A ZACB=50；(2)如图2,当/尸8=60时，四边形/P 8 C是菱形,连接04 OB,由(1)可知，N4OB+N4PB=180,V ZAPS=60,.4 0 2=1 2 0 ,A Z/4 CB=6 0 =NAPB,；点C运动到PC距离最大，经过圆心，：P A,尸8为。的切线，:.PA=PB,NAPC=NBPC=30,又,：PC=PC,:A A P g A B P C (SAS),：.ZA C P ZB C P 30,AC=BC,./P C=N/CP=3 0 ,：.AP=AC,：.AP=AC=PB=
13、BC,四边形/P 8c是菱形；(3);。的半径为r,：.OA=r,OP=2r,第1 1页 共1 4页：.AP=V3r,PD=r,V ZAOP=900-ZAPO=60,二.彳S的 长 度=7.彳。r=5 r,loU 3.阴 影 部 分 的 周 长=刈+尸。+彳&=8什厂+*=（V3+1+J）r.5.如 图，口 为。的 切 线，P8C为。的 割 线，4DJL0P于点D,ZDC的 外 接 圆 与BCJOAA.AP,AD1.0P,由射影 定 理 可 得：R42=PD.PO,AD2=PD,OD.（5分）又 由 切 割 线 定 理 可 得PF=PBPC,:.PBPC=PD，PO,:.D、B、C、。四点 共
14、 圆，（10分），ZPDB=ZPCO=Z0BC=ZODC,NPBD=A COD,：./P B D C O D,PD BD 八:.=,（15 分）CD 0D:BDCD=PD*OD=AN,BD AD布-CD又 NBDA=NBDP+900=NOOC+90=Z JDC,:A B D A sA A D C,：/BAD=NACD,：.A B是4D C的 外 接 圆 的 切 线，:.N B AE=/A C B.第 1 2 页 共 1 4 页6.如图，点/为夕轴正半轴上一点,4 8两点关于x轴对称，过点/任作直线交抛物线y=#于P,0两点.（1）求证：NABP=2ABQ；（2）若点4的坐标为（0,1）,且N
15、P 8 0=6 O ,试求所有满足条件的直线尸。的函数解析式.【解答】（1）证明：如图，分别过点P,。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.设 点/的 坐 标 为（0,/）,则点8的坐标为（0,-Z）.设直线P0的函数解析式为歹=h十八并设尸，0的坐标分别为（xp,yp）,（x。，J0）.由y=kx+ty=lx2x2 kx t=0,于是%P%Q=_|t,即t=xPxQ.BC yP+t|%p2+t|%p2一|xp%Q|xp(xp-%Q)2=2 2-2BD yQ+t-XQ2+t-XQ2-XpXQ-XQ(XQ-Xp)XpXQPC xP”,BC PC又因为而=一五所 以 访=而因为/8。尸=/8。0=9 0
16、 ,所以 B C PSB。，第13页 共14页故 N 4 B P=N A B Q；（2）解：设P C=a,D Q=b,不妨设a 2 6 0,由（1）可知ZA BP=ZA BQ=30 ,BC=V 3 a,BD=V 3 b,所以/C=V 5 a-2,A D=2-Wb.因为 P C。，所以ACPSAA D Q.于 是 些=9,即屋，DQ A D b 2-y/3b所以Q+力=娼ab.由（1）中 pxQ=-9 t,即一a b=一去 所以a b =9，c i b 于是可求得a =2b=V 3.将力=*代 入y=4%2,得到点0的 坐 标（g,二）.乙。Z L再将点。的坐标代入了=b+1,求得/=-*.所以直线尸。的函数解析式为y=-孚+1.根据对称性知，所求直线P Q的函数解析式为y=-苧x+1或y=x +l.第1 4页 共1 4页