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1、20 21-20 22学年山东省潍坊市高一（下）期末数学试卷一、单 选 题（本大题共8小题，共40.0分）1.在正方体48。一公当6。中，与 棱 异 面 的 棱 有（）A.8条 B.6条 C.4条 D.2条2 .下列命题正确的是（）A.若 向 量 必 邑h/c，W J a/cB.模相等的两个平行向量是相等向量C.方向不同的两个向量不可能是共线向量D.若向量五=（一3,-6）,贝必分别在x轴，y轴上的投影的数量之和为一93.下列各式化简结果为:的是（）A.1-2 c os2 7 5 B.sinl5 c osl5C.sinl40 c osl60+sin76 cos74 D.tan20+tan25+
2、Ca n2 0 a n2 54.定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，/（z）=z 2就是一个多项式复变函数.给定多项式复变函数/（z）之后，对任意一个复数Z o,通过计算公式Z n+1=f（zn）,n e N,可以得到一列值 z（）,Z j,z2.，Z ,.若f（z）=z2,z0=1-i,当 n 3 时，Zn=（）A.22n1 B.2 2 n c.22 n+1 D.47 1T5.在AABC中，若4B=3,BC=4,C=30。，则此三角形解的情况是（）B.有两解D.有解但解的个数不确定）JC -5 DU-57.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别为线段AC,CD的中点，且4F n CE=
3、G,则（）%_ _ _ _ _-/：A.C.无解6.若tan。=2,则sin6cos20sinO-cos。=(.6A.-B.-H 1 -2-1 -A.AF =AD -2 AB B.AG =-3 A D-3A BC.而=)而 +荏)D.BG =3G D8 .已知函数/(x)=cosa)x y/3sina)x(a)0),若/(%)的图像在区间(0,7)上有且只有2个最低点，则实数3 的取值范围为()A,13 71 n ，7 251 万,8 14】卜,2 81A-C月 B.($=C,(-，T D.二、多 选 题（本大题共4小题，共2 0.0分）9 .已知正四棱台上、下底面边长分别为2,4,侧棱长为2
4、,贝 女）A.正四棱台的高为2 B.正四棱台的斜高为旧C.正四棱台的表面积为2 0+12 8 D.正四棱台的体积为竽10 .设Z 1，Z 2，Z 3为复数，且Z 3。0，则下列命题正确的是（）A.若|z/=|z2b 则Z i=z2 B.若Z 1Z 3=z2z3,则Z i=z2C.若忆3/=ZrZ3,则Z i=Z3 D.若Z 2 =Z，则I Z 1Z 3I =Z2Z3 11.已知函数/（X）=C O S（2X+E）,则下列说法正确的是（）A.函数/Q）的最小正周期为2 7 rB.函数/X x）的图像关于直线=费兀对称C.函数/（的图像关于点（-第0）对称D.函数/（X）在（0,上单调递减12.在
5、Aa BC中，P,Q分别为边AC,BC上一点，BP,4Q交于点。，且满足存=t P C，BQ =AQ C，BD=前，AD =m DQ,则下列结论正确的为（）1?A.若t =&且a =3时,则TH=91 1B.若 =2且m =l时，则2 =7t=-C.若 一 =1时,则:”1A I A*Lm =痴U(l+g)(l+t)(l+m)(l+A)第2页，共17页三、填空题(本大题共4 小题，共 20.0分)13.记 A B C 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a?+c?-炉=2 a c s i n B,则3B=.14.已知正三棱柱ABC-的底面边长为1,侧棱长为2,则其外接球的表面积为1 5
6、.如图所示，为测算某自然水域的最大宽度(即4 B 两点间的距离)，现取与4 B 两点在同一平面内的两点C,D,测得C,。间的距离为1 50 0 米，N 4D B=1 3 5,BD C=/.D CA=1 5,Z.ACB=1 20,则4 B 两点的距离为 米.1 6.在平面直角坐标系x O y 中，给定B(x2,y2)假设。，A,B 不在同一直线上，利用向量的数量积可以方便的求出 0 4 B 的面积为S =茨与乃-小乃1 已知三点4(1,1),B(-3,4),C(大,8),则ABC 面 积 的 最 大 值 为.四、解 答 题(本大题共6 小题，共 70.0分)1 7.已知4(3,巾)，6(2,1)
7、,C(一2,1),D(n,2)是复平面内的四个点，其中m,n e R,且向量前，而对应的复数分别为Z 1，Z 2，且Z 1-Z 2=-6+2i.求 Z I,z2;(2)若复数z =宇,t R,在复平面内对应的点Z 在第四象限,求实数t的取值范围.z21 8.已知向量d =(1,2),b=(-2,5).c=2a+tb(teR).(1)若,求t的值；(2)若/与3 的夹角为锐角，求t的取值范围.1 9 .在4 4 B C 中，点P 在边BC 上，C =泉4P =4,记A C 的长为m,P C 的长为n,且r r ni =1 6.求 4 A P B；(2)若 ABC 的面积为78，求s i n 4B
8、.2 0.某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋(如图1).现测量其中一个屋顶，得到圆锥S。的底面直径A B 长为1 2 m,母线S 4长为1 8m(如图2).(1)现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花50 朵，那么装饰这个屋顶(不含底面)大约需要多少朵鲜花(参考数据：兀，3.1 4)；(2)若C 是母线 4的一个三等分点(靠近点S),从点4 到点C 绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度.21 .已知函数/(x)=s i n(2x 2 c os (%+)s i n(x +|T T).(1)求函数/(x)的单调递增区间；(2)若函数y =/(%)-k 在区间-可上有且仅
9、有两个零点，求实数k 的取值范围.6 1 Z22.已知函数/(%)=s i n(3%+3)(3 0,I w l V )，/(%)图像上相邻的最高点与最低点的横坐标相差与，x=一三是/(%)的一条对称轴，且/)/(I).(1)求f (%)的解析式;(2)将函数/(%)的图像向右平移专个单位得到函数t(x)的图像，若存在%1，%2,/n满足0%i X2 -Xm2,m e N*),求 m 的最小值;令 h(X)=/(x)-cos2x,g(x)=hh(x),若存在%哈.使得/(%)+(2 Q)9(x)+3 -Q W 0 成立，求实数。的取值范围.第4页，共17页答案和解析1 .【答案】c【解析】【分析
10、】本题考查了判断两条直线是否为异面的应用问题，是基础题.判断异面直线的方法：过平面外一点和平面内一点与平面内不经过该点的直线是异面直线，由此判断出正方体中与棱A 为异面的直线.【解答】解：如图所示，正方体4 B C 0 -必占的劣中，与棱4 为异面的棱有：BC,CD,GA，B i G.故选：C.2 .【答案】D【解析】解：4若巷与，不共线，b=0,满足到/B，b/c，则得不出勿评，A错误；8.模相等方向相反时，这两个向量不相等，B错误；C.方向相反的两个向量共线，C错误；。近=（一 3,6）在x 轴上的投影为一3,在y 轴上的投影为一6,D正确.故选：D.b=0,4，不共线时，可得出选项A错误
11、；根据相等向量的定义可判断B错误；根据共线向量的定义可判断C错误；根据投影的计算公式可判断。正确.本题考查了共线向量、相等向量的定义，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题.3 .【答案】C【解析】解：对于4,原式=l-(l +c o sl5 0 o)=-c o sl5 0 o =c o s3(T =m，故错误；对于B,原式=g s讥3 0。=：x ：=故错误；2 2 2 4对于C,原式=sinl4 0cosl60+cosl4 0sinl60=si n(1 4 +1 6 )=sin300=故正确;对于D,原式=t a n(2 0 +2 5)(1 -t a n 2 0 t a n 2 5)+
12、tan20tan250=t a n 4 5(l-t a n 2 0 t a n 2 5)+tan200tan250=1 tan200tan250+tan200tan250=1,故错误.故选：C.利用三角函数恒等变换的应用逐项化简求值即可得解.本题考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.4 .【答案】A【解析】解：依题意，z i =(1 -=-2 3 z2=(2 i)2 =_4,Z 3=(-4)2=24,当7 1 33 时，Zn 0,由2 9 1=2 柒 得:lo g2Z n+i =210g2Z“,而 1 0 g 2 Z 3 =4,则 篝 泸=2,cog2zn当n N
13、4时,log2zn=log2z3 xlog2z4 z_x log2z592Z3 log2Z4X lg 2 Z 6 x x lg2Znlog2z5 log2zn_1=4 x 2n-3-2 T,lo g2z3=4 满足上式，二当nN 3 时，lo g2zn=2n_ 1,zn=22-1.故选：A.根据给定条件，计算Z i，z2,z3,在nN 3 时，确定数Z n 的性质，取对数探讨lo g z Z n+i 与1 0 g 2 Z n+i 的关系即可判断出正确选项.本题考查复数的性质、运算法则、累乘法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.5 .【答案】B【解析】解：丫 4 8 =3,BC=4,AB B
14、C,C 0)=2cos(a)x+今,若/(久)的图像在区间(0,兀)上有且只有2个最低点，3 久+“邑3兀+3兀 37r+5TT,求得g =遮,B正确；对于C,正四棱台侧面积为4 x 1 x(2+4)x V3=1 2 6 上下底面面积分别为4,16,二正四棱台的表面积S=4+16+12V3=20+12V3.C正确；对于D,正四棱台的体积笠=：(4+4 x 16+16)x近=竽,正确.故选：BCD.由正四棱台的结构特征可知其高即为对角面的等腰梯形的高，斜高即为侧面等腰梯形的高，由上下底长度和腰长可确定AB正误;根据棱台表面积和体积的求法可确定CD正误.本题考查了正四棱台的相关计算，属于中档题.1
15、0.【答案】BD【解析】解：当Z1=1,Z2=i时,|zx|=z2,但Z 1#土Z2,故选项A错误；,*Z-Z2 Z2Z3,_H*Z3 H 0Zi=Z2,故选项B正确；第8 页，共 17页，i Z i =i,Z 3 =i R ,忆3/=Z 1 Z 3,=Z 3,故选项C 错误；若 Z2=Z，则 I Z 1 Z 3 I =%|,I Z 2 Z 3 I =|Z2|-Z3=|Z j|-Z3=,故选项。正确；故选：BD.对于选项A、C,举反例可判断命题错误；利用复数的四则运算及模判断选项B、。即可.本题考查了复数的定义及复数的四则运算的应用，属于基础题.11.【答案】BCD【解析】解：对于函数/(x)
16、=cos(2x+V),对于4：函数的最小正周期为与=兀，故 A 错误；对于B：当 =詈 时，/(詈)=cos皆=一 1,故 B 正确；对于C：当”一要时，/(-穿)=cos(*+|)=cos(=0,故 C 正确；对于D：当4 6(0 币 时，+脸，刍，故函数在该区间上单调递减，故。正确.故选：BCD.直接利用余弦型函数的性质，对称性，周期性和单调性的应用判断4、B、C、。的结论.本题考查的知识要点：余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.12.【答案】AD【解析】解：由题意得：AC=A P,AQ=AD,BQ=AQC,t mAQ AB=AQ)f 即4Q=,AC+,
17、AB,艮 喈 而=三 等 而+福所 以 前 二*.1.含 而+合.含 福因为B,D,P三点共线,A t+1 m,1 m.所 以 布.丁 一+币 二=1,当t=3,且2=3时，J，E y +a=L 解得m=I，乔=早 前，BC=B Q,AP=tPC，A*AB P-B A =t(B C-B P y 即 而=.万 +士.就即 誓 前=捻 容 瓦+专 访 所 以 丽=捻 竽 竽 於+金 亨 就因为4 D,Q三点共线，所 以 盘 容 高+强温=1，当 =?,且4 =3时，一=1，解得=9,故A正确;2 14-i 3 g+1%+1 L生才 T =_ 2。且曰？_7_1 _=_ 110_时|.，-A t-+
18、-1-,-1-o t A+l,1 3=2,-=一，-1+A t 1+A 1+t A 1+t 2解得4 =t =/故B错误；J L +J _.J L=1,变 形 为 铝+J_=i+工1+t A ju+1 1+t g+1 x/七+2 1+t若(一|=1时，则t-2 4 =43代入式得，一 =1，假设=1成立，则 =3解得t =-2,此时；0,显然无解，故假设不成立,故C错，故选：AD.+1.771 _L 1.4+1 11寸 +/m+1,1+m 6匕|、.t-m 1 _ m 4-1所%+1 1+1-m+1 l+(m+l)(l+)所以 一(】+熬】+为故。正确m+11m+1-=1,m1+Mmt+11+
19、MAm1m g-11+Am+1 4+11+m-(7n+l)(l+M)根据向量共线定理的推论可得喘甘 含+击m _ t a+1 01-m+1-1+t A/z+1 1+t g+11,代入相应的变量的值，求出其他变量，从而判断A B选项，对上式变形得到沿+工=i+i假设：=1成立，推导出：=，导致矛盾，故C错误，根据向量共线定理的推 论 得 到 工 巴 土 旦 +二-四=1，+=1,变形得到R m+1 1+m 1+g m t+1 1+g m 乂 丁HJ _ Am(l+g)(l+t)(l+m)(l+A)本题考查共线向量定理的推论的应用，以及运算求解能力，属中档题.13.【答案W【解析】解：因为a?+c
20、?川=H QCS讥B，3所以由余弦定理可得2 a cco s B =a cs i n ,3第 10 页，共 17 页所以可得t a n B =V 5,又B e （0,兀），则B =最故答案为：p由已知利用余弦定理，同角三角函数基本关系式可得t cm B =w，结合范围8 6（0,兀）,即可求解B 的值.本题考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了函数思想，属于基础题.14.【答案】y 7 T【解析】解：如图，设正三棱柱4 B C-&B i C i 的上下底面中心分别为E,F,则由正三棱柱与球的对称性可知E F 的中点。即为正三棱柱A B C -&B 1 C 的外
21、接球心，。4 即为外接球的半径R,设正三角形4 B C 的截面小圆半径为r，又正三棱柱A B C-的底面边长为1,.由正弦定理可得1sin6Q0=2 r,r=至,又E F =A Ar=2,:.OF=1,在R t 4 0 尸中由勾股定理可得产+OF2=R2,.q+l =R 2,.R 2 T二正三棱柱A B C -4 18 1cl 的外接球的表面积为4 兀 R 2 =4 X兀x g =竽 兀.故答案为：先根据对称性得正三棱柱A B C -的外接球球心为正三棱柱4 B C -4当口的上下底面中心连线的中点，接着求出底面正三角形外接小圆的半径，再由勾股定理求出外接球的半径，最后代入球的表面积公式即可求
22、解.本题考查正三棱柱的外接球问题,正三棱柱与球的对称性，正弦定理,球的表面积公式，属基础题.15.【答案】1500备【解析】解：由题意可知在4DC中，ADC=ADB+ABDC=135+15=150,贝此CMC=180-150-15=1 5 ,故 AD=DC=1500,在4 BDC中，乙DCB=LACD+乙ACB=15+120=135,i D B C=180-135-15=30,br1n BD CD 少 旦 c c CDsinLDCB 150 0 x-_ 片故由品有i =嬴 际 得BD=商%B 口=1500鱼，2在4 ADB 中，AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cosl35,=15002+
23、（1500夜产+2 x 1500 x 1500夜X y =5 x 15002，故 AB=1500的（米）.故答案为：1500V5.解A 4 D C,求得4。=1 5 0 0,在ABD C中，由正弦定理求得B D,然后在A 4 D B中，由余弦定理求得答案.本题考查解三角形的实际应用，考查正余弦定理，属中档题.16.【答案】手4【解析】解：依题意，在ZkABC中,0A=OB=(%272),1则A 4 B C的面积为S=-xxy2-x2yx,当4(1,1),8(-3,4),C4,8)时,同=(-4,3),前=(岛-1,7)则口(:面积叉 皿=汨-1)+28|=：岛+25|,显然 ABC面积取最大值
24、时，必有t 0,因此，当t 0时,S“BC4岛+25)=盘+2 5)宅(痘+25)=3当且仅当t=1时 取“=”，所以 ABC面积的最大值为4故答案为：T-分析给定面积公式的构成，再求出而，AC，利用给定公式列式，借助均值不等式求解作答.本题考查平面向量的数量积的应用，是基础题.第12页，共17页17.【答案】解：(1)由已知可得配=(一5,1-机)，BD=(n-2,-3),则Zi=-5+(1 m)i,z2=n 2-3i,所以Zi Z2=3 九 +(4 m)i=6+2 i,则,_；二,解得m=2,n=9,所以Zi=-5 i,z2=7 3i,c、m n Zi+t 5 i+t(-5+t i)(7+
25、3i)(32+71)+(-22+3(2)因为 Z=三=7 H=_(7-3B(7+3i)=-命-在复平面内对应的点在第四象限，则厂:I-十 U解得苧 t 0,且，与d不共线,2 2t+2(4+5 t)0(4+5 2 1 2-2 6 0 0解得t -：且。04t的取值范围为：也 1 一；且：40.【解析】(1)可求;呢=(2 2t,4+5 t),根据才_L族可得出机3=0,然后进行向量数量积的坐标运算即可求出t 的值;(2)根据题意可得出。五 0,且1与N 不共线，然后根据工五的坐标即可得出关于t 的不等式组，解出t 的范围即可.本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的计算公式，向量坐标的加法和
26、数乘、数量积的运算，共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题.1 9.【答案】解：(1)在2 M p e中，由于AC=P C=n,AC-P C=mn=1 6,所以利用余弦定理4 P 2 =AC2+P C?-2 /c p c c o s g,整理得：1 6 =巾2 +*mn=(巾+ny -3机九，解得/n+n=8,故 m=n=4,则：AC=P C=A P,所以/P C为等边三角形，所以4 4 P 8=(.(2)由 SM B C=7y/3f所以，a O B C-s i n=7g,解得BC=7,则B P =3；如图所示：作A D 1 B C交B C于点D,由(1)可知：在等边三角形2 P C中
27、,AD=2 V 3,P D=2,在R t A A B D中，AB=AD2+BD2=V 3 7,在A A B P中，利用正弦定理：PBsnPABf整理得：s i n-A B=篝3/i n74【解析】(1)直接利用余弦定理的应用求出 4 P C为等边三角形，进一步确定N 4 P B =9；(2)利用三角形的面积公式和正弦定理的应用求出结果.本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.2 0 .【答案】解：(1)圆锥的侧面展开图的面积为：S =?r r/=6 x 1 8 X 7 T 3 3 9.1 2,需要的鲜花为：3 3 9
28、.1 2 x 5 0 =1 6 9 5 6(朵)；(2)圆锥的侧面展开图如图：第1 4页，共1 7页scACC 1271Z-AS C=,18 3S A=1 8,S C=6,在S A C 中，AC=J S A2+S C2-2S A X 5 C X c o s y =6 V 1 3，即灯光带的最小长度为6 g 米.【解析】(1)利用圆锥展开图，计算出屋顶的面积，即可解出；(2)利用展开图，解三角形，即可解出.本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题.2 1.【答案】解：(l)f(x)=s i n(2 x -)-2 c o s(x +s i n(x +：兀)=sin2xcos c
29、os2xsin+2cos(x+)s i n(x +g)=-sin2x-cos2x+s i n(2 x +1)=sin2x-cos2x+cos2x2 2=V3 si.no2 x+.1-c o s 2ox22=s i n(2 x +*),令-3 +2/CTT W 2 x +g g +2/CTT,k E Z,所以一 +Z c/r W%W g +k/r,k E Z,Z o Z 3 o所以函数f(x)的单调递增区间为：-g +k兀 W +k扪，kez.(2)函数y =f(x)-k在区间一%葛兀上有且仅有两个零点，即曲线y =s i n(2 x +与直线y =k在区间也|汨上有且仅有两个交点，由 E 一
30、士葛利，可得2%+-3 2 扪，O 1 Z o o当x C-？号印寸，f Q)=Si n(2 x +”-1,1,O 1 Z o设 =2%+g,则、=s i n ,t E 2TT,o o当k G(-l,-i)U(0,1)时，曲线y =s i n t 与直线y =k区间t G 一/2 网上有且仅有两个交点.【解析】(1)由三角恒等变换化简/(x)，再利用正弦函数的单调性即可得出答案.函数y =f(x)-k在区间 一为葛兀 上有且仅有两个零点转化为曲线y =s i n(2%+5与直线y =k在区间-巳 亮河上有且仅有两个交点，即可求实数的取值范围.o 1Z本题考查了三角恒等变换，正弦函数的性质的综合
31、应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题.2 2.【答案】解：由题意，周期7 =2 x 1 =兀，故3 =?=2,f(x)=s i n(2 x +9),且2 X (一三)+w =三 +/c n-(fc G Z),即9 =3+kn(k 6 Z),3 2 6因为|n,故=詈-兀=或 j o =,一 2 乃=一苗,故/(X)=s i n(2 x +或/(x)=Si n(2 x -聋).当/(x)=l,/(l)=s i n(2+?)T综上有f(x)=s i n(2 x +.(2)由题意，t(x)=s i n 2(x 劫+=s 讥2 x,根据题意，要使小的值尽量小，则|t(X m-D 一 t a
32、 n)|要尽量大.又|t(X m-l)一 出班)1 W 2,结合t(x)=s i n 2 x 的图象可得，当X i =0,x2=,x3=y,x4=竽，=与，%6 =r，7 =117113n 157r 17TT 19T T-4X8=,x9=,1 0 =，n =X 1 2 =5 n 时，m的取值最小为1 2,(3)由(l)/(x)=2 s 讥(2 x +，所以h(%)=f(x)cos2x=s i n(2 x +：)-cos2x=-sin2x+cos2x-cos2x=叵 sin2x-cos2x=s i n(2 x *),2 2 6当xe点 为 时，0 2 x-l1 Z 3 O Z0 h(x)1,所以
33、，一S2/I(X)S2-o o o第16页，共17页所以，g(x)=/i/i(x)=s i n 2/i(x)G-1,s i n(2 -g(x)+1 e E，1 +Si n(2 -,V 2 V *1*2 p 则更 s i n(2 -)1,N 3 5 。/2 6由。2(%)+(2 -a)g(%)+3 -a 0,可得/()+2 g(x)+3 g 2 )+2 g(%)+3 _ g)+i K+2 _ ,)i 2折 以 a?g(x)+i-g(x)+i-5W+1+X x)+1 由基本不等式可得g(x)+1 +高 2皿)+1 焉=2四，当且仅当g(x)+1 =应6白1 +s i n(2 -时，等号成立，N o所以，a 2 2 a.即a 6 2或,+8).【解析】(1)根据题意可得周期，代入=-河 得 3 =看或卬=一手 再分别代入f(x)判断是否满足即可：(2)先求得t(x)=sin2x,再数形结合分析与满足的条件求解即可化简可得九(x)=sin(2 x 2，根据x 哈申可得。的解析式与值域，再参变分离2得到a?g(x)+l+诉 工结合基本不等式求解即可本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的综合能力，属于难题.