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1、2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（下）期末数学试卷1 .复数z =1 -2 i（其中，为虚数单位），则|z +3 i|=（）A.V 2 B.2 C.V 1 0 D.52 .设全集U =x N|-2 x +2 01 g F,其中D为传输距离，单位是初?，尸为载波频率，单位是M H z,L为传输损耗（亦称衰减）单位为d B.若传输距离变为原来的4 倍，传输损耗增加了 1 8 B,则载波频率变为原来约倍（参考数据：l g 2 a 0.3,l g 3 0.5）（）A.1 B.2 C.3 D.49.某教练组为了比较甲、乙两名篮球运动员的竞技状态，选取了他们最近1 0场常规赛得分制成如图
2、的茎叶图，则从最近10场比赛的得分看（）A.甲的中位数大于乙的中位数B.甲的平均数大于乙的平均数C.甲的竞技状态比乙的更稳定D.乙的竞技状态比甲的更稳定10.如图所示，在正方体力BC O -4$传1。1中，M,N分别为棱G 5，G C的中点，其中正确的结论为（）A.直线AM 与G C是相交直线B.直线AM 与 8 N 是平行直线C.直线8 N 与MB1是异面直线D.直线M N与 AC所成的角为6 0。11.已知甲罐中在四个相同的小球，标 号 1,2,3,4；乙罐中有五个相同的小球，标号 为 1,2,3,5,6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件4=抽取的两个小球标号之和大于5，事件B
3、=抽取的两个小球标号之积大于8，则（）A.事件4发生的概率为：B.事件A U B 发生的概率为非C.事件4 n B 发生的概率为|D.从甲罐中抽到标号为2 的小球的概率为:12.定义平面向量的一种运算 ”如下：对任意的两个向量3=（Xi，%）,方=。2，丫 2），令五。加=（%1丫 2-刀 2丫 1，尤 6 2+丫 1丫 2），下面说法一定正确的是（）A.对任意的4 6 R,有（4 砌6 石=/1 0（9万）B.存在唯一确定的向量3 使得对于任意向量落 都有W O N =3方=五成立C.若有与方垂直，贝 I J（五 9）/与五（9（8引共线D.若不与方共线，则位9）。干 与 的 模 相 等13
4、 .已知向量落B的夹角为警，|a|=V 3,b=1,则|3 五+3|=_ _ _ _.614 .已知复数z 1=3 +4 i,Z2=t+i（其中i 为虚数单位），且z i，2是实数，则实数，等于.15.在A 4 B C 中，角 A,B,C的对边分别是a,b,c,a=8,b=10,A BC 的面积为2 0回则 A BC 中 最 大 角 的 正 切 值 是.第2页，共17页16.在梯形 A8CO 中，ABHCD,AB=2,AD=CD=CB=1,将力CD沿 AC折起,连接B D,得到三棱锥。一 A B C,则三棱锥。一 ABC体积的最大值为,此 时 该 三 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为
5、.17.已知 ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinB+bcosA=c.(1)求 B；(2)设。=&0,都有|/(x)|0,函数g(x)在 0,1 上的上界是T(?n),求T(m)的取值范围.第4页，共17页答案和解析1.【答案】A【解析】解：复数z=1-2i（其中i 为虚数单位），则|z+3i|=|l+i|=故选：A.利用复数模的计算公式求解.本题考查复数代数形式的加减运算，考查复数模的求法，是基础题.2.【答案】A【解析】解：.全集U=x 6 N|-2 x y 2,第6页，共17页所以F a 2F,即载波频率变为原来约2倍.故选：B.由题，由前后两传输公式作差，结合题
6、设数量关系及对数运算，即可得出结果.本题考查了对数的基本运算，理解所给公式是解答本题的关键，属于基础题.9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查茎叶图、中位数、平均数、方差，考查运算求解能力等数学核心素养，属于基础题.利用茎叶图、中位数、平均数、方差的性质直接求解.【解答】解：对于A,甲的中位数是：管=24,乙的中位数是：等=23,甲的中位数大于乙的中位数，故A正确；对于 8,甲的平均数为：2(8+12+15+21+23+25+26+28+30+34)=22.2,乙的平均数为：/(7 +13+15+18+22+24+29+30+36+38)=23.2,二甲的平均数小于乙的平均数，故B错误；由茎
7、叶图得甲的数据更集中，故甲的竞技状态比乙的更稳定，故C正确，。错误.故选：AC.10.【答案】C D【解析】解：在正方体A B C D-a B iC iD i中，M,N分别为棱Ci。1，的中点，在A中，直线A M与CiC是异面直线，故A错误；在5中，直线A M与 是 异 面 直 线，故8错误；在C中，直线B N与MB1是异面直线，故C正确；在。中，以。为原点，D 4为x轴，Q C为)，轴，DDi为 z轴，建立空间直角坐标系,设正方体4BCD A/iC iD i中棱长为2,则M(0,l,2),/V(0,2,1)，4(2,0,0),C(0,2,0),M N =(0,1,-1),AC =(-2,2,
8、0),贝icos =.能,=/厂=-MN-AC V2-V8 2直线M N与A C所成的角为60。，故力正确.故选：C D.在 A 中，直线AM与CiC是异面直线；在 8 中，直线4M 与 8N是异面直线；在 C 中，直线5N与MB1是异面直线；在。中，以。为原点，OA为 x 轴，OC为 y 轴，DDI为 z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线MN与 AC所成的角为60.本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.11.【答案】B C【解析】解：甲罐中在四个相同的小球，标 号 1,2,3,4；乙罐中有五个相同的小球，标号为 1,2
9、,3,5,6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件4=抽取的两个小球标号之和大于5 ，事件B=抽取的两个小球标号之积大于8”，对于A,从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，基本事件总数n=4 x 5 =20,事件 A 包含的基本事件有：(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),共 11 个，PQ4)=疏，故 A 错误；对于 B,事件4UB包含的基本事件有:(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),共 11 个,
10、二P(B)=去 故 B正确；对于 C,事件4nB包含的基本事件有(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,3),(4,5),(4,6),共 8 个，8 2,-P(C)=20=5对于。，从甲罐中抽到标号为2 的小球的概率为p=$故。错误.故选：B C.对于A,从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，基本事件总数7 1 =4 x 5 =2 0,利用列举法求出事件A 包含的基本事件有11个，从而P(4)=菰；对于B,利用列举法求出事件4UB包含的基本事件有11个，从而P(B)=1 对于C,利用列举法求出事件AflB包含的基本事件有8 个，从而P(C)=|.对于D,从甲罐中抽到标号
11、为2 的小球的概率为14,本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.12.【答案】AD【解析】解：设有=01，%)1 =(x2,y2)对于A,对任意的第 8 页，共 17页（A a）0 b =A x2y1,A x1x2+/1丫，2）=Xi y2 x2y i，XTX2+y，2）=A（a 6 K）,故A正确；对于8,假设存在唯一确定的向量E =（和,%）使得对于任意向量示故有力3 =为成立，即（X1 M）一沏%,与0+为%）=（%。丫1 一无。/+泗 ）=0 1，%）恒成立，线设Z ；：%一/,=1对任意x,y恒成立，而此方程组无解，故B错误；对于 C,若五,
12、3垂直,则*1*2+1、2=，设1=（%3，丫3），（a G b）0C =（Xty2-X2y1,O）0（X3,y 3）=2 y 3 一 2、，3，1丫2%3 一%2丫1%3），a 0（b 0 a）=（与2 1）。2为一巧丫2，上巧+y 2 y 3）=。1%2%3+2 y 3+y i x3y 2 x1x2y3-x1y2x3+7 2 X3 +y，2 y 3）=（x y 2 y 3-y 1 x 2 y 3,一 无，2%3+%2冷）丰（无。2 y 3-y i%2 y 3,%。2右 一 yx,故 c错误；对于。，若五,后 共线,则-%2%=0,设m=（%3必），（a 0 b）0C =（0,%1犯+%丫2
13、）（3，3）=（一/孙%3-%y 2 y 3，刀6 2刀3+y。2 y 3）a 0（b 0 a）=（与次巧+%/2 y 3 一 为+为%3，/2丫3 一%力叼+丫6 2%3 +%y 2 y 3）=（x1X 2 X3+y1y2x3,x1x2y 3+%y 2 y 3），若日与方共线，则与五的模相等，故。正确.故选：A D.由方=。1丫2 2丫1/1%2 +y 1 y 2）表示出。方）。方和判断A；假设存在唯一确定的向量E=Q o，y o）使得对于任意向量五，都有为。2 =3。元=方成立，由此列方程组能判断B;若五,b垂直，则巧 万2+=0,设小=（X3，丫3），分别表示出0b）不 与a 0（b 0
14、 a）,判断C；若方，&共线，则 乂2丫1=。，设工=（%3，丫3），分别表示出不 与 五 五），判断。.本题考查命题真假的判断，考查新定义、平面向量运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.1 3.【答案】V 1 9【解析】解：由向量方，B的 夹 角 为 好 同=g,=1,6则五不二|a|K|c o s=6 2贝 U|3 五 +9 I=J（3 a +b）2=9|五+6 方/+|：|2 =j 9 x3 +6 x V 3 x l x（y）+l =V 1 9,故答案为：V 1 9.先由已知条件求出弓7,然后结合向量模的运算求解即可.本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了平面向量的模的运算，
15、属基础题.14.【答案】|【解析】解：.,Z=3+4i,Z2=t+3:.Z1.&=(3 4-4i)(t i)=3t+4+(4t 3)i,Z iZ 2是实数，4t 3=0,得t=*故答案为：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0 求得r 的值.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题.15.【答案】或-国【解析】解：a=8,b=10,ZiaBC的面积为206，S=absinC=40sinC=20V3,.V3smC=,2若 C 为最大角，NC=1 20,此时tanC=-g；若 C 不为最大角，ZC=6 0 ,又a =y,；S“CD=CCsin笥=MTZA D-ABC
16、1、，依 V3=XYX=12；记。为外接球球心，半径为R,BC _L平面ACD,OB=0 C,。到平面4?。的 距 血=5又a ACO的外接圆半径r=1,2sm.R2=丁2+弓2=三，4 S=4nR2=571,图2故答案为：三,5兀.17.【答案】解:(1)由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=sinC,因为 sinC=sin7r (A+B)=sin(4+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以 sinAsinB=sinAcosB,又因为sin4 H 0,cosB H 0,所以 tanB=1,又0 V B V 7i,所以B=f.(2)由余弦定理扭=c2+a2-2accosB,a
17、=V2c,可得4=c2+2c2 2V2c2 x y,解得c=2.【解析】本题考查正弦定理及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.(1)由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得tanB=1,结合0 8 6 6一a b 2 s i n(2 x-7)7r函数/(x)=c o s 9=而而=-1幺=s i n(2 x -)；所以函数f(x)的最小正周期为费=n.(2)由于=1,即s i n(2 4 9=1；6由于该三角形为锐角三角形，所以4=半所以B +C =拳+L.b+c s i n B+s i n C s i n B+s i n(等-8)Z r ,7rx故=-千
18、=2 s i n(F +-),a s i n/1 s i n-63由于?B g3 2 6故B%6 2t*r-t x 17T _ 门.几 一 27r所以i+z/3,ta n zBC D因为M为C)的中点，所以MD=CM=：CD=b.在Rt PDM中，PM=ylPD2+MD2=J l2+(V3)2=2,在Rt PDC中，PC=y/PD2+CD2=J l2+(2A/3)2=V13,在ACPM中，cos/MPC=PC=MOMZ=叵窄二c=zg2PCPM 2 xV 1 3 x2 2 6所以由同角三角函数的基本关系得sin/M PC=小 一&旧=等V 2 6 2 6所以MP与平面BPC所成角的正弦值为尊.
19、2 6(3)取EQ的中点为O,连接P。，因为P为线段A。的中点，所以 P04E,P0=AE=|x 7 AB2 一 BE2=|X V22-I2=y,由(1)知，AE B C D,所以P0 1平面 BCD,BM u 平面BCD.所以P。1 BM.过点 P作P G J.8 M,垂足为 G,连接。G,POCPG=P,PO,PG u 平面 POG,所以BM 1平面POG.OG u 平面P O G,所以BM 1 OG,所以NPG。为二面角P-BM-D的平面角.在RtaBDM中，BM=IBD2+DM2=J22 4-(V3)2=V7,由(1)知，AB。为等边三角形，P为线段A。的中点，所以BP=-7AB2 -
20、AP2=V22-l2=V3由(1)知，BP，平面ACD,PM u 平面4CD.所以BP 1 PM,在RtzBPM中，BP-PM=BM-P G,由(2)知，PM=2,即2 x 8x 2=T x bx P G,解得PG=学.因为PO 1平面BCD,OG u 平面B C D,所以P。1 OG.在Rt POG中，GO=y/PG2-P O2=J(耍)2 _(2 =瞥.亚 更3coszPGO=董=77所以二面角P-B M-D的平面角的余弦值为*【解析】(1)根据等腰三角形的三线合一定理及线面垂直的性质定理，再利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即可求解；(2)根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，
21、再利用线面角的定义及勾股定理，结合锐角三角函数的定义即可求解；(3)根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，再利用面面角的定义及勾股定理，结合等面积法及锐角三角函数的定义即可求解.本题考查空间向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题.22.【答案】解：(1)当a=1时，/(%)=1+尸+尸因为f(x)在(-8,0)上递减,所以/(x)/(0)=3,即/(x)在(一8,0)的值域为(3,+8)故不存在常数时 0,使|/(x)|M成立所以函数/(%)在(-8,0)上不是有界函数.(4分)(2)由题意知，|/。)|3 在。+8)上恒成立.(5分)-3 /(x)3,-4-(J r a-(|y 2-(
22、iy-4.2*-G)x a 2-2x-G尸在 0,+8)上恒成立(6).-4 -2,-(x max S a S 2 2、-C)x min(7分)设2*=3/i(t)=-4t-p p(t)=2t 由x 6 0,+8)得t 2 1,设1 W t】0p(t l)-p(t2)=可(产+】)0,x G 0,1 g(%)在 0,1 上 递 减,(12分)g(i)w g。)w g()即三瑞 w 三芸 3 分)当I守1 急1，即M C(0,争 时，|g(x)|W|舞I，(12分)此时T(m)出 瑞|,(14分)当 品 11濠I，即 强 吟+8)时,|)|f(0)=3,再有给出的定义判断；(2)由函数/(%)在 0,+8)上是以3为上界的有界函数,结合定义则有|/(x)|3在 0,+8)上恒成立，再转化为一4-2X 一 (J)，W a W 2 2,-G尸在 0,+8)上恒成立分掰求掰一4 2X-(了 猛 吃 狗 2.2、-(加 加 押 可；(3)据题意先研究函数g(x)在 0,1 上的单调性，确定函数g(x)的范围，即分别求的最大值和最小值，根据上界的定义，7(力)不小于最大值，从而解决.本题主要考查情境题的解法，在解决中要通过给出的条件转化为己有的知识和方法去解第16页，共17页决，本题主要体现了定义法，恒成立和最值等问题，综合性强，要求学生在学习中要有恒心和毅力.