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1、2021-2022学年山东省潍坊市高一（下）学科核心素养数学试卷（5 月份）1.已知扇形的周长是6,面积是2,则扇形的圆心角的弧度数是（）A.1B.4C.1 或 4D.2 或 42 .已知落石 是平面内两个不共线向量，AB=m a +2 b,BC=3a-b,A,B,C 三点共线，则m=（）A.-B.-3 33 .s i n2 cos 3 t a n4 的值（）A.小于0 B.大于04 .已知;，j 是平面内的两个向量，11 j,则弓一方i=（）A.2 V 2 B.4 V 2C.6 D.6C.等于0 D.不存在且|i|=I j I =2,a=i +2 fb=-3 i +4 j,C.2 V 5 D
2、.4 V 55.已知。为第三象限角，t a n2 0 =-2 立,则s i n?。+s i n（3 7 r 0）CO S（2TT+。）V 2 cos20等于（）A.一匹 B.-C.-D.-6 6 3 36.关于函数丫=5 也（2%+?）4 6/?）有如下四个命题：甲：该函数在（一33）上单调递增；乙：该函数图象向右平移卷个单位长度得到一个奇函数；丙：该函数图象的一条对称轴方程为=-?;6T：该函数图像的一个对称中心为琮如果只有一个假命题，则该命题是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.T7.在A A B C 中，存 =北 丽-2 而，则 2点（）9 9A.在线段B C 上，且 北=|B.在线段C 2
3、的延长线上，且 北 号C.在线段B C 的延长线上，且整D.在线段8 c 上，且黑=：BC 9 BC 98.已知g a /2,则t a na =1B.若t a na =贝！Js i n(+y)二学C.t a na,t a n可能是方程/-6%4-7 =0 的两根D.t a na t a n/?+t a n/?t a ny +t a ny t a na =111.已知点G，0)是函数/(%)=cos(eox +(p)(0 o)3,(p 0),若/(%)在 0,可上的值域为 V 5,2 遮 ,则实数3的 取 值 范 围 是.17 .已知s i na =1 s i n(；+0),求s i M a +
4、s i n g -)+1 的取值范围.1 8 .如图所示，已知矩形 A B C。中，AB=2,AD =1,D M =D C,BN=B C,A C 与MN相交于点(1)若 而 =；l 屈 +而，求2 和的值；(2)用向量箱,前表示荏.第2页，共14页19.已知函数/(x)=3sin(2x+，)-6sin(x+)sin(x+，).(1)求函数/(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数y=/(%)-%在区间 0,I f扪上有且仅有两个零点卬犯，求k的取值范围,并求X1+冷的值.20.少林寺作为国家A4AA4级旅游景区，每年都会接待大批游客，在少林寺的一家专门为游客提供住宿的客栈中，工作人员发现
5、为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重.为了控制经营成本，减少浪费，计划适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化，并且有以下规律：每年相同的月份，人住客栈的游客人数基本相同；人住客栈的游客人数在1月份最少，在7月份最多，相差约400；1月份入住客栈的游客约为300人，随后逐月递增，在7月份达到最多.(1)试用一个正弦型函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；(2)请问客栈在哪儿个月份要至少准备600份食物？21.如图，圆。是边长为4的正方形A8CZ)的内切圆，S为圆周上一点，过S作AB,A D的垂线，垂足分别为M,N.设p
6、=赤.矶q=而 南.(1)求pq的取值范围；(2)求 卑 的 最 小 值.q+822.在ABC中，设石？=五，诙=瓦|五|=2,b=4,P为4BC内任意动点，记所之+P B2+方,取最小值时的点P为分.过分作直线交线段C A于 交 线 段C B于N,试求 高+急 的 值 答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查扇形面积公式，考查方程思想，考查计算能力，是基础题.设出扇形的圆心角为a,半径为Ra”，根据扇形的周长为6,面积是2,列出方程组，即可求出扇形的圆心角的弧度数.【解答】解：设扇形的圆心角为a,半径为凡则 泊。=2，解得a=1或a-4.故选：C.2.【答案】C【解析】解：B,C三点
7、共线，南与否?共线，.存在;I,使 荏=2 ,m a +2 b=3Aa X b,且方石不共线，7工 3：解得爪=_ 6.故选：C.根据共线向量和平面向量基本定理即可得出m的值.本题考查了共线向量和平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题.3.【答案】3【解析】解：1弧度大约等于57度，2 弧度等于114度，sin2 03弧度小于兀弧度，在第二象限 cos3 0 sin2cos3tan4 0,利用二倍角的正切公式化简已知等式可得方t a M。-t a n -或=0,解方程可得t a n。的值，进而利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解.本题考查了二倍角的正切公式，诱导公式，同角三角
8、函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.6 .【答案】D【解析】解：令 冶+242%+9号+2 而，k Z,则函数的增区间为 而*一会-f (/c G Z)；函数图象向右平移毯个单位长度得到y =s i n 2(x 一 勺+(p=2 k n -(f c G Z),2 12 6由函数的奇偶性，取k=0,0 =96卓 kn,7i,n ku,TI._ 由 x=3 +w+G=3+9 k e z,令+=k=-g则丙错误.不合题意；2 3 6 3若丙错误，则甲乙丁正确，由，由函数的奇偶性，令s=r，由.函数的增区间为出兀一9 水兀一勺(卜6 2),则甲错误，不合题意
9、.6 3令W=5 由.函数的增区间为/O T g,/OT+g(k e Z),甲正确.取区间中点x=吊一干吟=-*+匹 人e Z),则丁错误.不合题意；若丁错误，则甲乙丙正确.由，由函数的奇偶性，令9=,由.函数的增区间为比兀一?#兀一勺(k e z),则甲错误，不合题意.6 3令(P=%由.函数的增区间为因r：/O T+m(k e z),甲正确.636i_ kit,7T 7 T k7l,71 i _ c由 .%=+-=+，fc G Z.2 4 12 2 6/c=-2时，%=,则丙正确.6由 .%=keZ,令 与 一 行=卷 n k =%错误.满足题意.综上：该命题是丁.故选：D.根据题意首先求
10、出函数的增区间，平移后的解析式，对称轴和对称中心，进而分别讨论甲、乙、丙、丁为错误时其它命题的正误，进而得到答案.本题考查了分类讨论思想、三角函数的性质，属于中档题.7.【答案】B【解析】解：由 方=藁 荏-1就 得 弟-布=|(荏-硝 得 前号济所以P 点在线段CB的延长线上，且需=：.故选：B.由 方=芳 苑-|就得方 一 四=|(而 一 禧)得 而=1阮 以此可判断正确选项.本题考查平面向量线性运算，考查数学运算能力，属于基础题.8.【答案】A第6页，共14页【解析】解：由题意知，s i n(2 a +)=|,s i n(2 夕+=今因为巴 a /?v d 所以巴V20+巴2 6+巴四，
11、8 L2 2 4L44所以 c o s(2 a +：)=-J1 -s i M(2 a +=容，c o s(2/?+W)=_ J i _ s i n 2(2 +=一 净所以c o s(2 0 -2 a)=c o s (2 0 +一(2 a +J)7T T C 71 T C=c o s(2/7+)c o s(2 a -)4-s i n(2.+)s i n(2 a )2A/2 V 3 1 5A/3=(-)X-X-=-.I 3,3 3 3 9故选：A.根据两角和差的正弦公式，结合诱导公式，可得s i n(2 a+?)=；,s i n(2 +9=g,再4 3 4 3由a,的取值范围，利用同角三角函数的平
12、方关系求得c o s(2 a +f),c o s(2 S +f)的值，4 4然后配凑角，由两角差的余弦公式，得解.本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角和差公式，诱导公式，同角三角函数的平方关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.9.【答案】BD【解析】解：A：当方为零向量时石工不一定成立，错误；B：由条件知：a=b=c,正确；C：a,方为零向量时五=；1 方 中实数4 不唯一，错误；：由 两+而=一（正+而），易知：P为A A B C 平行于AC的中位线中点,则SAABC=2 s A.pc且SA4 P B =5APBC,故A 4 P B 面积与 A B C 面积之比为1：
13、4,正确.故选：BD.A、C注意零向量的情况；B由相等向量传递性判断；D由 方+而=-（P C+而）确定P的位置，进而判断面积关系.本题考查了共线向量、相等向量的概念、判定以及向量的加法法则，属于基础题.1 0 .【答案】ABD【解析】解：w(0,/),且a+?+y=$Q=r(0+y),对于 A,若sina+cosa=Jsin(a+上)=&，则a+2=3 即a=巳，故tana=1,故4 4 2 4A正确；sina+cosa=V2,对于 B,若tana=%则5也。=a=口，cosa=等，则sin(0+y)=cosa=等，故 B 正确；对于 C,若tana,ta印是方程/-6%+7=。的两根，则t
14、ana+tan/?=6,tanatan/?=7,/.tan(a+/?)=-A-=_1 正确;故选：ABD.依题意，可得a=-(6 +y),结合题意，对四个选项逐一分析可得答案.本题考查了两角和与差的三角函数，涉及诱导公式，辅助角公式，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.11.【答案】A C D【解析】解：已知点G，0)是函数/(%)=cos(tox+p)(0 3 3,*|2 次 也 CZ)；cos(60+9)=1 3 +0=2 k27 l所以：to=-2+4(2。-,(p=+2 k2 m(k1,七 w Z)；6由于0 V 3 V 3；所以3=2；由于：|?|：令cos(2x m)=-
15、3；解得x=蛆+兀 或x=工+卜 兀，(fc e Z)；62412由于XW0,2T T,故%1=看；工 2=拳x3=x4=故2f=1/=詈，故。正确.第8页，共14页故选：ACD.直接利用方程组确定函数的解析式f(x)=co s(2%-);进一步利用函数的性质的应用判断A、B、C、。的结论.本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.12.【答案】AC【解析】解：对任意t e R,均有|旗|w|南 +t a I，两边平方得：I而|2 0对任意t 6 R恒成立，4=100COS2Z-AOB 0,cosZ-AOB=0,Z.AO
16、B=故 A 正确；设 方=XPD=2 同+(1-)而 =方+2(1-)而，po=XPD=XiiPA+(1-)而 =加 方 +2(1-)而，v PO=x+(1-%)PA,，解得a=2,U(1-)=x 3PO=PD,OD=OP,DP=0P,|0 D|=|0 P|=|x 15=6,|DP|=|0 P|=|x 15=9,故 B 错误，C 正确;设 丽=mOA+(1-m)南，两边平方整理得89nl2-50m-11=0,此方程有两异号的根，v D在线段 AB k,A 0 m 1,.方程89zn2-50m-11=0只有一个正根，即这样的点D 只有一个，故。错误.故选：AC.0 B 0对任意t G R恒成立，
17、即可判断A；设 雨=4 而=4 可+(1-)而 =加 可+4(1-)而，解得4=|,即可判断BC；设 讨=机 函+(1 m)南，两边平方整理得89nl2-50m-11=0,再根据O 在线段AB上，确定方程解的个数即可判断D.本题考查向量数量积公式、向量运算法则、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.13.【答案】|【解析】解：由 初=3 人 一 2元 得 2(能 一 至)=砺 一 就 得 2前=布，所 以 丽=2就 可 得 粤=2.3 AC 3故答案为：|.由应i =3 O B-2 0 C2(0 C-OB O B-双 得 2 BC=A B,然后可求得瞿的值.14 c l本题考查平
18、面向量线性运算，考查数学运算能力，属于基础题.14 .【答案】(g+/CTT,g+k zr),k Z【解析】解：要使f(%)有意义，贝 i j：3-4 si n2x 0；：,-si n x ；2 2A 4-f c j r%0,解出X 的范围即可.考查函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，要熟悉正弦函数的图象.15 .【答案】闻【解析】解：由。一3)+(10-刀)=7,不 妨 设 第=由 cos。,V 1 0-x =V 7si n 0,6 G 0,勺，又有=(3,2),则乙-b=3 V 7c o s0 +2 或 sin。=V 91si n(0 +p),t a n =|,则当6+3=押,五四取
19、最大值眄I,故答案为：V 91.由(x 3)+(10 x)=7,不妨设V x-3 =V 7c o s0,V 10 x=V 7si n 0,9 G 0,然后结合辅助角公式求最大值即可.本题考查了三角函数的应用，重点考查了平面向量数量积的运算，属基础题.16 .【答案】良|【解析】解：函数/()=d c o sc o x+3 si n 3%=2V si n(3%+9，在 0,扪上，+6 6，3 兀+若f(x)在 0,网上的值域为 6,2 g ,则S i n(3 x+?)G白 1,6 2.(W 3 7T +牌 学 求 得 13 式|,故答案为：E l】.利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据正
20、弦函数的定义域和值域，求得实数3的取值范围.本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属基础题.第10页，共14页17.【答案】解：因为sina=1-sin(+口)=1-cos0,所以 cos/?=1 sina,因为一 1 COS 0 1,所以1 1 sina 1,0 sina 2,又-1 sina 所以 sin2a+sin(1 J?)+1=sin2a+cos/?+1=sin2a-sina+2=(sina|)2+%(*)又sina e 0,1.所以当sina=:时，(*)式取得最小值：；当sina=1或sina=0时，(*)式取得最大值2,故所求范围为日,2.【解析】利用诱导公式化
21、简已知等式可得cos0=1-s in a,根据三角函数的性质可求sina e 0,1,化简所求可得siMa+sing-0)+1=(sina-1尸+：,根据正弦函数的性质以及二次函数的性质即可求解其取值范围.本题考查了诱导公式，三角函数的性质以及二次函数的性质的综合应用，考查了函数思想，属于中档题.18.【答案】解：以A点为原点，AB所在直线为x 轴，AD所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则4(0,0),。(0,1),8(2,0),M(|,1),N(2(),C(2,l)丽=G，W)=2 四 +而=(2儿)，解得：4=|,=一/(2)设 荏=t 旅，AC=m A M+nAN,所以 A C=(2
22、,1)=(|m +2 n,m+|n).解得 m=?,n=/A C =-A M +-A N,所 以 而=询 +笃 而，7 7 7 7又因为M,E,N 三点共线,所以9+=l,t=所 以 荏=2宿+三 丽.33【解析】以A点为原点，AB所在直线为x 轴，AQ所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，写出A、D、B、M、N、C 各点坐标(1)把 丽 =XAB+而中的向量都用坐标表示，可求得；I和的值；(2)把 向 量 祠，前，荏用坐标表示后可解决此问题.本题考查平面向量坐标运算，考查数学运算能力，属于中档题.19.【答案】解：(1)因为/(x)=3sin(2x+)6sinQ+：)sin(x+：兀)=gc
23、os2x+竽 sin2%+3(sinx 4-cosx)(sinx-cosx)=|cos2x+手 sin2x+3(sin2x cos2%)=-cos2x 4-sin2x+3cos2x=3sin(2x 2 2 6，所以函数/(%)的最小正周期T=y =7T,因为2 e1 一 42%一巴W 2/C 7T+32 6 2所以/C 7 T%/C7T+(/c G Z),所以函数f(%)的单调递增区间为区九一*/兀+(/c 6 Z)；(2)由题意得/(x)-/c=0在区间 0噌 初 上有且仅有两个解%1，%2,即曲线y=/(%)与直线y=k在区间/，右上有且仅有两个交点，x E 0,1|7i,得2%*E 2兀
24、 ,设t=2%则y=3sint,t 6-,2 nf6 6由函数y=3sint,t e ,2利的性质可知k 的取值范围为(一3,-今11(0,3),6 2设曲线y=3sint与直线y=k在区间-巳 2兀 上的两个交点的横坐标分 别 为 力，当k (一 3,一3 时，由图可知J,t2关于直线t=:兀对称，即与，外关于直线x=?对称，2 2 6所以 X +X2=y;当(0,3)时，由图 可 知 方关于直线t=对称，即 久 1，犯关 于 直 线 工 对 称，所以2nXi+x2=，综上，X 1+&的值是早或学【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简可求函数解析式为/Q)=3sin(2x-),进而根据
25、正弦函数的性质即可求解.(2)由题意设C =2 x-g,则y=3sin3 t -?,2 兀 ,根据三角函数的性质可求%的取6 6值范围，设曲线y=3sint与直线y=k在区间 一。2用上的两个交点的横坐标分别为t2,当k e (3,|)时，由图可知50 关于直线t=|兀 对称，可求乙+&=学 当武(0,3)时，由图可知口，上关于直线t=对称，可求与+=，从而可求修+到 的值.本题考查了三角恒等变换，正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题.20.【答案】解:(1)由题意设函数为/(%)=Asin(a)x 4-0,a)0f(p T T),x=1,2,，12,由可知这个
26、函数的周期是1 2,即空=1 2,得3 6由可知f(l)最 小,f(7)最大,且f (7)-/(I)=4 0 0,故(4+8)-(-4+B)=400,则 A =200,第12页，共14页由可知f(x)在 1,7 上是增函数，且f(1)=3 0 0,得f(7)=4+8=7 0 0,则B=500,又当 =1时，/(%)最小，当 =7时，/(%)最大，:.s in 6+9)=-1,且sin(7 x 4-(p)=1,可得+2knfk e Z,已知 p 即2/C T T+y-0,co 0,(p T T),x=1,2,1 2,由已知求得A、B、3与a 的值，可得函数解析式；(2)由题意，2 0 0 sin
27、(/)+500 2 6 0 0,结合x 为自然数，即可求得x 值，则答案可求.本题考查函数模型的选择及应用，考查y=4sin(3x+(p)型函数的图象与性质，考查运算求解能力，是中档题.21.【答案】解：(1)如图，以。为原点，以平行于丽 的 直线为x 轴，以平行于万?的直线为y 轴建立平面直角坐标系，设点 S(2cosx,2sinx),由题可知4(2,2),B(-2,2),M(2cosx,2),N(2,2sin%),则p=4cosx+4,q=-4 +4sinx,则pq=16(cosx+l)(sinx-1)=16(cosxsinx 4-sinx cosx 1),令sinx cosx=t G V
28、2,V2,则 cosxsin%=即pq=-8(t 1)2,t E V2,V2,所以当t=一加时p夕有最小值为一 8(3+2A/2),当t=1时 pq有最大值0,所以p q 的取值范围是-8(3+272),0；-O M2 _ 5-(4COS2X+4)_ 4sin2x-3(2)由(1)得 三 ，q+84sinx+4 4(sinx+l)令sin%+1=3 t G(0,2,则原式=i k?1 l=亡 +工一2 2 2 =4t 4t yj 4t当且仅当t =1 时，即s i n x =后 时等号成立，所 以 里 的 最 小 值 为-1.【解析】(1)由平面向量数量积的坐标运算可得；pq=16(co s
29、x +l)(s i n x -1)=16(co s x s i n x +s i n x -co s x 1),然后令s i n x co s x =t G 42,V 2 ,即p q =-8(t l)2,t e -V 2,V 2 ,再结合二次函数求值域即可；(2)由(1)得 驾 =5-：cs2；4)=等m,令s i n x +1=t,t 6 (0,2 ,然后结合基本不等式可得：竺*=t +2 2 2版 工 2 =-1,得解.4t 4t yj 4t本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了基本不等式的应用，属基础题.2 2.【答案】解：设 方=万.则同2 +而 2 +/2 =0 万)2 +_
30、 万)2 +万 2,则方 2 +pg2+pc2=3p2-2(a+b)-p+a2+b2=3(p-呼 尸+a2+b2-所以，当我=岁 时上式取得最小值，显然，此 时 为 A B C 的重心，设 C M =x CA xa,C W =y CB=y b,则 鬲=学=式:前+；而)由P o,M,N三点共线可 得;+=1,即三+三=3,u 3x 3y x yv|CM|_|CM|._|CiV|_ CN乂 一 两 一 y-南 一 则 向=总高=畀代入上式可得：品=高7【解析】设 方=祝则超2 4-P B2+P C2=3 p2-2(a +b)-p+a2+K2=3(p-蜉/+片+/一 誓 所 以，当万=熟 时上式取得最小值，此时卅为力B C 的重心，然后结合三点共线的向量表示求解即可.本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三点共线的向量表示，属基础题.第14页，共14页