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1、2021-2022学年浙江省湖州市高一（下）期末数学试卷一、单 选 题（本大题共8小题，共4 0.0分）1 .某中学有初中生7 0 0人，高中生3 0 0人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为7 1的样本，已知从初中生中抽取3 5人，则样本容量凡为（）A.5 B.3 0 C.5 0 D.1 0 02 .正方体 中，下列判断错误的是()A.4 C 1 B也 B.B Di 1 CrD C.佃1 4 1 c l D.4 1 c l3 .已知复数2 =言 潦，则复数z的共轨复数=()A.-+-i B.-7 +7 1 C.-1-i i D.-1 +94 4 4 4 2 24
2、 .已知向量落另满足|初=1,a-b-1,则五(2五B)=()A.4 B.3 C.2 D.05 .在空间中，a,b是不重合的直线，a,夕是不重合的平面，则下列条件中可推出ab的是（）A.a u a,b u 0,a/p B.a/a,b u gC.a 1 a,b 1 a D.a 1 a,b u a6 .长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为a,B，Y，贝4()A.c o s 2 a+c o s2j 5 +c o s 2 y =2 B.c o s 2 a+c o s2/?+c o s 2 y =|C.s i n2 a+s i n2/8 +s i n2 y =2 D.s i n2 a
3、+s i n2）?+s i n2 y =|7 .已知4 B,C为球。的球面上的三个点，。1为A A B C的外接圆.若。1的面积为4TT,AB =B C=AC=00r,则球。的表面积为（）A.6 4 7 r B.4 8 7 r C.3 6 7 r D.3 2 7 r8 .圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物4 8,高为（1 5国-1 5）加，在 它 们 之 间 的 地 面 上 的 点 三 点 共 线）处测得楼顶4教堂顶C的仰角分别是9和弟在
4、楼顶4处测得塔顶C的 仰 角 为?则小明估算索菲亚教堂的高度为（）1 Z 5 oA.20mB.30mC.20V3m D.3075m二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)9.设4 B为两个互斥事件，且PQ4)0,P(B)0,则下列说法正确的是()A.尸(48)=0 B.P(AB)=尸(4)P(B)C.PQ4 U B)=P(4)+P(B)D.p。ufi)=110.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在徵书九章中提出了“三斜求积术”，即以小斜暴，并大斜暴，减中斜塞，余半之，自乘于上；以小斜幕乘大斜暴，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即5=J；c2a2-(巴 片)2(S为三
5、角形的面积,a、b、c为三角形的三边).现有 ABC满足sinA：s讥B；sinC=2：3；V 7,且 ABC的面积.叱=6 8，则下列结论正确的是()A.ABC的周长为10+2位B.ABC的三个内角满足4+B=2。C.ABC的外接圆半径为史红3D.4BC的中线CD的长为3加11.棱长均为1的 正 三 棱 锥 中，M,N,Q分别是棱4B,BC,PC的中点，下列说法正确的是()A.VA 1 BCB.平面MNQ截正三棱锥所得截面的面积为:C.MQ/BCD.异面直线VM和BQ所成角的余弦值等于|第2页，共20页12.已知平面向量五,b满足7=尢 3+y b，且日 0,b 3 0,则可能x 0,y 0
6、B.若五不 0,y 0C.若五.石 0,则可能工 0,y 0D.若丘.0,y 0,P(B)0,PQ4B)=P(A)P(B),故 B错误,对于C,P(A U B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B),故 C正确,对于 D,P(/l u S)=1-P(AB)=1-0 =1 故。正确.故选：ACD.根据已知条件，结合互斥事件和相互独立事件的定义，即可求解.本题主要考查互斥事件的应用，属于基础题.1 0.【答案】AB【解析】【分析】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，余弦定理,三角形的面积公式的应用，正弦定理的应用，中线向量的应用和向量的模计算，主要考查学生的运算能力和数学思维
7、能力，属于中档题.利用正弦定理结合题目公式计算出周长判断4;利用余弦定理计算出角度判断8;利用正弦定理计算外接圆半径判断C;利用中线向量表示计算出中线长度判断D.【解答】解：由于A A B C满足sin A：sinB：sinC=2：3：V 7 且S.BC=6百，利用正弦定理：a：b：c=2：3：V 7.故可设a =2 k,b =3k,c =y/7k k 0,所以 S-B C =新丁书4=J 7 k 2 X 4 H _(7 始+4,-9/)2 =整理得k=2,故a =4,b =6,C=2 V 7,故三角形的周长为1 0 +2近，故4正确；利用余弦定理：c osC=，+。了=士 由于0。o,b-c
8、 =屹 用 +y，2）+y（.xl+秃）0,xl+资 0,y 0,%4-y 0,B x+y 0 时，a 3 =%1%2+y/2 0,A 0,B 0,x 0,一?y -B x 0,故选项A不成立，选 项 C成立;第12页，共20页当乙 3 0时，五 3 =xrx2+yry2 0,A 0,B 0,y -;或y 0,-B x 0,故选项B D均正确.故选：B CD.设立=（%i，yi）,K =（%2，为 贝k=（xxt 4-yx2,xy1+yy2）通过向量数量积的坐标运算逐个选项进行分析即可得出答案.本题主要考查平面向量的数量积，平面向量的坐标运算等知识，属于中等题.13.【答案】2【解析】解：z=
9、m2 5m+6+(m2 3m)i(m2-57n +6=0I m2-3m 丰 0解得m =2.故答案为：2.根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解.本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题.14.【答案】警【解析】解：在A B C中，已知48=2,AC=1,A =g,利用余弦定理 B O?=AB2+AC2-2 AB AC-c os=22+12-2X2X1X1=3,整理得B C =V3,R_ (B M +M C=-3 9/Q/O所以：AB _ BM _ 2,解得B M =，M C=一，I =-=-3 3M C MC 1在 A B M 中，利用余弦定理 A B?=BM2 +A M2 -2-B M -A
10、M c os AM B,在 A C M中，利用余弦定理A C?=A M2+C M2-2 AM -CM c os AM C,又cos/G 4M B =-cos/A M C,设4M=X,r殂（苧）2+0-2 2 怎）2+-可 可3 =-_ 运，2X 竽 X4 2X yX X整理解得久=辿，即4 M的值为2.3 3故答案为：军3由题意利用余弦定理可求B C的值，利于角平分线的性质可求B M,M C的值，由于cos乙4M B =-CQSZ-AM C,进而利用余弦定理即可求解.本题考查的知识要点：余弦定理的应用，方程的解法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.15.【答案】17
11、8【解析】解：甲队队员在所有队员中人数所占权重为*=1+3 4乙队队员在所有队员中人数所占权重为。=甲队的体重的平均数为60kg,乙队体重的平均数为64kg,甲、乙两队全部队员的平均权重为3=60+：x 64=63kg,4 4甲、乙两队全部队员体重的方差为$2=i x 100+(60-63)2 +：x 200+(64-63)2 =178.故答案为：178.根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解.本题主要考查平均数和方差的公式，考查计算能力，属于基础题.16.【答案】(今普)【解析】解：当4在平面B C D上的投影。在B C上时，点4到平面B C D的距离4。=亲=等，此时三棱锥4 一
12、B C D的体积最大，Vmax=次B C D -AO=等,如图，当A在平面B C D上的投影M在。C上时，体积最小，则点4到平面B C D的距离为AM,作4。1 B D于。，连接O M,因为4。=管,48=2,所以D O =一 402=因为4 M J L O B,AO 1 O B,所以。B，平面4。“，所以。B 1 O M,O M =O D-t an z C D B =，第14页，共20页故答案为：（，,等）先确定射影落在 B C D 的内部时，体积取最值的情况，然后分别求解可得答案.本题考查了四面体体积的计算，属于中档题.17.【答案】解：（1）由题意得m +n =10,m +8=2 n,解
13、得 二二，补全频率分布直方图，如图所示：（2）记年龄在 10,20）内的居民为的，A2,A3,4（其中居民由没有参与抢红包括动），年龄在 20,30）内的居民为瓦，b2,B3,B4,B5,为（其中居民瓦，为没有参与抢红包活动），从中随机抽取2人的所有可能情况有：（%,瓦），（%,%）,（四,%），（%，%），（%，%），（即,区）,（4 也），（42也），A2,B3）f A2,B4）,A2,（i42,B6）,（4 也）,（4 也）,（43,83），（A W，（43,85）,（A，%），（“4也），（“4,匕 2），（“冬）,（4 4,%）,（4，%）,。务稣），共2 4 种.其中仅有一人没有参
14、与抢红包活动的情形有（生,%），（,%）,（1,8 5）,（%,&）,（A z，瓦），（4 也），也）,（4,%），（4,瓦），（4 也），共 10种,所以所求概率P=M=.24 12【解析】（1）根据题意可得m+n=10，m +8=2 n,解出m,n 的值，补全频率分布直方图即可.（2）记年龄在 10,20）内的居民为的,A2,小，4（其中居民由没有参与抢红包括动），年龄在 20,30）内的居民为坊，b2,B4,B5,B6（其中居民瓦，与没有参与抢红包活动），从中随机抽取2人，列举出所有可能情况，结合古典概型的概率公式进行求解.本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属
15、于基础题.18.【答案】证明：（1）取 的 中 点/,连接F/,A I,在中，易得且F/=：DC,AE/DCiLAE =D C,故 4E/F/且AE=F/,所以四边形4EF/为平行四边形，可得EFA/,又EF C平面V/W,Al u 平面IMD,所以EF 平面匕4D；解：（2）如图，过A作4K J.U E于K,连接KG,因为V。丽4B C C,所以VO1EG,又EG_LDC,故 EGJ_平面V D C,得EG _ L U G,同理可得区4 1 匕4,又IM=VG =y/2,AE =DG =1 故Rt VAE =Rt VG E,又4K JL V E,故 KG1UE,由二面角定义知，乙4KG即为二
16、面角4 一 V E-G 的平面角，由AK=KG 若,AG =V 2,由余弦定理得cos乙4KG=-土由图像可得乙4KG为钝角，第16页，共20页故二面角A-V E-G的大小为乙4KG=y.【解析】(1)取UD中点/,连接加、IF,推导出四边形4E尸/是平行四边形，从而EFA/,由此能证明EF 平面忆M；(2)过A作AK _ L UE于K,连接K G,则UE 1 G K,乙4KG是二面角A-UE-G的平面角,由此能求出二面角4-V E-G的大小.本题考查了线面平行的证明和二面角的计算，属于中档题.19.【答案】解：(1)记中年员工甲接种成功的事件为4,老年员工乙接种成功的事件为B,贝|JP(A)
17、=-x-x-=-,P(B)=-x-x-=-,v 7 8 6 7 48 v 7 9 4 4 2因为P(4)P,故中年员工甲接种成功的概率更大.(2)记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件记为C,贝加=AB P(C)=P(AB)=pQ)P(b)=(l-g)x(l-i)=g p(C)=1-P(C)=1 一丝义工=三48 2 96则P(C)=l _(l _|)x(l =【解析】(1)记中年员工甲接种成功的事件为人老年员工乙接种成功的事件为B,利用独立事件的概率公式分别求出P。)，P,再比较两者大小即可.(2)利用间接法求解.本题主要考查了独立事件的概率公式，属于基础题.20.1答案解：(1)AC-AB
18、 bccosA-h+c=b2 gab,整理得a?+/-c2=a b,故cosC 立庐-i=1,2ab 2又0V C V 7T,所以C=g；(2)由锐角 A B C知B =兀 一”4 (0,结合N Z为锐角得4 (,乡,O Z故 s i z M +sinB +sinC=sinA+?+s i n(A +=sinA 4-+sinAc os-4-s i n-c osA2 3 3=每 皿/+争因为/6 (晨)，/+.W 争，得s i n(A +$6 吕,1 ,。乙 o o o b N所以s i n A +sinB +sinC 6 (含 ,当.【解析】(1)根据平面向量数量积的定义和余弦定理可得c o s
19、 C =：,即可求出C；(2)根据题意和锐角三角形的性质可得4 eq()，利用三角恒等变换化简可得s i n A +sinB +sinC=遮s i n(4 +生)+或，根据三角函数的性质即可得出结果.本题主要考查余弦定理及其应用，解三角形中的最值与范围问题等知识，属于中等题.21.【答案】解：由。到弦A B的距离是也 可得N 4 B0=Z.B AO=3 0,故乙4 OB=120(i)由圆的几何性质得乙4 c B=120。,|硝=CB =1，故 前CB =AC x CB x c osAC,CB)=1 x 1 x c o s 60=1.5)记劣弧的中点为。，且瓦？而=一右O C-O A=A O A
20、2+n O B-O A =A-），O C-O B =X O A-O B +fiO B2=-+4 ,+得 瓦（耐+方）=+），第18页，共20页进一步得：A+fl=2 0C-(OA+0B)=2 0C-0D=2cos(OC,0D)&1,2,其中 反，说 e 0,60,故；I+的取值范围为：1,2.(2)记4108=a,由|3 函 一 砺|w|两边平方，9 O A+0 B2-6 0 A-0 B l，：10 6cosa 又1 cosa +函(3+3cosa)2 _ 9(l+cosa)(5+4cosa)(2+2cosa)2(5+4cosa)=-(l-),8 4cosa+5，q i记 f(x)，(l 一
21、百)，显然/(%)关于=cosa G 白 1)单调递增，o所以当x=cosa=|时，(cos2。)7n讥=/(1)=【解析】(1)根据题意，由直线与圆的位置关系，得乙408=120。，(i)可由圆的几何性质得乙4cB=120。,|而|=CB=1，从而按照数量积的定义求得结果;以工?，话 为基底向量，所求向量用基底表示，进而转换为夹角余弦值求范围；(2)以 函，而 为基底向量，平方处理基底向量线性运算的模问题，根据已知不等式求得夹角余弦值的范围，则所求两个线性运算向量的夹角可转换成基底向量夹角余弦值的函数关系，利用复合函数关系求得最值即可.本题主要考查平面向量数量积的性质，数量积相关的最值问题等
22、知识，属于中等题.22.【答案】证明：(1)已知四棱锥U-4 B C D,底面力BCD是矩形，V。=CD,VD 1 BC,点E是棱UC上一劫点(不含端点)，因为UD1BC,BC/AD,故 A D 1V D,又4DJ.DC,所以4。1平面UCD,又4。u 平面4DE,所以平面力DE 1平面UCD；解：(2)首先，取U C中点F,连接D F 在等腰口)(:中，DF 1 V C,由(1)知4。_ L 平面P C。，得4D 1 D F,(2)由得DF 1平面40 F,即此时当F 与E 点重合时，直线U C与平面A D E 所成的线面角为今其次，由题意易得，存在点?两侧各有两个点，如 图 分 别 记 为
23、&,使 得。=60。，E 的运动轨迹即为线段E1E2，作C H1 E C 于H,又平面V C D,得4。_ L C”，故 C H 1 平面A DE,所以U C(EC)在平面4 D E 的射影为EH,4 C E H 即为直线W7与平面4 D E 所成的线面角a,即 E i =p此时，Z.VCD=,CE1H =,此时，与。重合，O O故 1 =卫-=,1 sin60 3同理可得/亚。/愚=缶，解得*2=争故E的运动轨迹长度为旧 =竽-竽=管.【解析】(1)根据线面垂直的判定得到A D 1 平面U C D 即可证明；(2)分别计算a 和泄的情况，根据线面垂直与几何关系确定点E 的临界位置，进而求得点E 的运动轨迹的长度即可.本题考查了面面垂直的证明和点的运动轨迹长度的计算，属于中档题.第20页，共20页