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1、2021-2022学年四川省成都列五中学高三(上)入学数学试卷(理科)I .已知复数z 满足(l i)z=2 +i,则 z 在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2 .已知集合A=xx2 2 x 03.若实数x,y 满足约束条件卜 W x +2,贝收=2%-y的最小值是()(0%0/0)的左焦点，双曲线的半焦距为c,定点B(0,c),若双曲线上存在点P,满足|PF|=|PB|,则双曲线的离心率的取值范围是()A.(V 2(+o o)B.(1,V 2)C.(V 3,+o o)D.(1,V 3)1 2 .已知函数x)=取 ，方程/C O=a 恰有两个不同的实
2、数根打、2(/0)的焦点作直线/交抛物线于点M,N,交抛物线的准线于点 P,若 丽=2而，则 直 线/的 倾 斜 角 为.1 6 .已知定义在R上的偶函数/(x)满足/(I +久)+/(I -x)=0,且当0 W x W 1 时，/0)=1。83(&-尤).若对于任意工-1,0 ，都有一 t x 2 1 -l o g 3 5,则实数 f 的 取 值 范 围 为.1 7.(1)已知(2 x +专)n 的展开式中所有项的系数和为2 4 3,求展开式中含/的项的系数.(2)甲、乙、丙、丁四位毕业生被安排去北京，上海，广州三个地方实习，每人只能去一个城市，北京一定要有人去，则不同的实习安排方案有多少种
3、？1 8.设数列 an 的前项和%满 足%+i -2 S n =n +l(n 6 J V+),且%=1.(1)求证：数列 册+1 是等比数列：(2)n=2n l o g2(an+l),数列 瓦 的前项和是4,求 证:Tn 2）0）的离心率为圣&,尸 2 分别是椭圆C的左、右焦点，椭圆C的焦点&到双曲线9 y2 =1 渐近线的距离为日.（团）求椭圆C的方程；（回）直线A B：y =k x+V 0）与椭圆C交于不同的A,8 两点，以线段A 8 为直径的圆经过点尸 2,且原点。到直线A B的距离为等，求直线AB的方程.21.已知函数/（x）=I n x+?（a e R）.（回）讨论函数/（久）的单调
4、性；（团）求 出 函 数 零 点 的 个 数.22.在平面直角坐标系xO y 中，曲线G的参数方程为北鬻;短帚。为参数且a e -p）,以坐标原点。为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为p =4 co s 0.（1）说明G是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（2）设点A的极坐标为（4 国,沙 射线。=y（0 y ）与6 的交点为M（异于极点）,与C 2 的交点为N（异于极点），若|M N|=V 5|M 4|,求ta n y 的值.答案和解析1.【答案】A【解析】解：(1 一 i)z=2+i,2+i(2+i)(l+i)1,3.:.Z=-乙=一+-i,1-i(l-i
5、)(l+i)2 2Z在复平面内对应的点(|,|)在第一象限.故选：4根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解.本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式,属于基础题.2.【答案】A【解析】解：由题意可得：A=x|0 x 1,A(JB=xx 0=(0,+oo).故选：A.由题意首先求得集合A和集合B,然后进行并集运算即可求得最终结果.本题考查了集合的表示方法，并集的定义及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题.3.【答案】B%+y 0【解析】解：由于变量x、y满足约束条件y W x+2,0 x 1在坐标系中画出可行域四边
6、形，平移直线2工、=0经过点4(0,2)时，2x y最小，最小值为：-2,则目标函数z=2 x-y的最小值为一 2.故选：B.先根据条件画出可行域，设z=2 x-y,再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=2 x-y,过可行域内的点4(0,2)时的最小值，从而得到z最小值即可.借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想.线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定.4.【答案】C第4页，共15页【解析】解：.|初=V L|方|=1,a-(a-6)=1.-ta2 a-b=2 a-b=l,-a,b=1,W、五 石 1 V2,8 S=T-又
7、五，方 e O,?r,二=%故选：C.根据向量数量积定义，向量夹角公式即可求解.本题考查向量数量积定义，向量夹角公式，属基础题.5.【答案】A【解析】解：设3个女生为即，。2,。3,2个男生为打，厉，1 2人 加比 ,看(2 1 2，。1。3，。匕1，。匕2 a 2 a 3,。2匕1,。2b2,。3匕1，。3b2，1 2 1共1 0种选取方法，其中，选到一男一女的方法有内瓦，%匕2，a2b1，a 2 b2，a3bx,a3h2共6种，所以概率P =卷=故选：A.设3个女生为名,a2,(1 3,2个男生为瓦，b2,用列举法分别写出“选2人参加比赛”和“选到一男一女”的基本事件数，再根据古典概型即可
8、得解.本题考查古典概型，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题.6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题.由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中炉 的系数.【解答】解：(X -2)5展开式的通项公式为4+1 =C门5-r(一2卢分别令5 r=3,5 r=2,5 r=l可得r=2,3,4,故(1 +x+x2)(x -2)5的展开式中式的系数为C式一2尸+(一2)2 +或(-2)4 =4 0,故选：C.7.【答案】B【解析】解：对于4均值为4,中位数为3,不能保证1 0个数据中每个数据都不超过1 5,4不符合该标志；对于8,均值为5,方
9、差为1 2时，假设有一个数据为1 6,其余数据均相等，则16+9x=10 x 5x 4s=(16-5)2+9 x(4-5)2=13 12,二 假设不成立，即所有数据不超过15,8 符合该标志；同理，对于C、D,都不能保证10个数据中每个数据不超过15,.C、。也不符合题意.故选：B.根据题意，说明小 C,。都不符合题意，8 用反证法说明符合题意.本题考查了用样本数据的数字特征估计总体的数字特征的应用问题，是基础题.8.【答案】B【解析】解:cos(a+乙)=三，贝 ijsin(2a-)=cos(2a-+-)=cos(2a+-)=1 6 3 6 6 2 32 cos2(a+.)=1-2 xg =
10、g,故选：B.由 贝 Usin(2a g)=cos(2a-+9,利用二倍角公式可得结果.o 6 2本题主要考查给值求值问题，熟记诱导公式与二倍角公式即可，属于基础题型.9.【答案】B【解析】解：由程序框图知，输出a,b,c 中最大的数，a=0,54=0.254 b =0.94,c L 即a V2,a故选：A.求出厂的坐标，F B 的中点和斜率，可得线段F 3 的垂直平分线方程，由 题 意 可 得 的垂直平分线与双曲线有交点，运用渐近线的斜率可得-1-2,再由离心率公式计算即a可得到所求范围.本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的范围的求法，以及线段的垂直平分线方程的求法，注意运用渐近线的斜率
11、与直线的斜率的关系，属于中档题.1 2 .【答案】C【解析】解：作出函数y =/(x)的图象如下图所示：由图象可知，当一3 Sa w 1 时，直线y =a与函数y =f(x)的图象有两个交点(乙，砂、(孙。)，则111n 二”可喂二二。则好+孙=1-a+e&,构造函数 g(x)=e -x+1,其中-3Sx Sl,则 g(x)=一 1.当一3Wx 0时，g(x)0,此时函数g(x)单调递增.所以，g(x)m in =g(0)=2,5(-3)=e-3+4,g(l)=e,显然g(-3)g(l),所以 g(x)m ax=g(-3)=e-3+4.因此，xl+%2 的最大值和最小值之和为b 3 +4 +2
12、 =e-3 +6.故选：C.作出函数y =/(x)的图象，数形结合可得出实数a 的取值范围，将资、久 2 用。表示，可将 好+冷 转化为以。为自变量的函数，利用导数可求得好+外 的最大值和最小值，进而可求得结果.本题考查利用导数求解代数式的最值,解题的关键就是将好+与表示为以。为自变量的函数，考查计算能力，属于中等题.1 3.【答案】3 1【解析】解：设表中模糊不清数据为，小由表中数据可得，1 =：x(6 +3 +4 +5)=4.5,亍=：X (2 4 +m+3 9 +4 6)=二回归直线方程y =6 x+8,=6 x 4.5 +8,解得m=3 1.4故答案为：3 1.根据已知条件，求出x,y
13、的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解.本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题.1 4.【答案】匕4【解析】解：由正弦定理可得，巴=2,c s i n C又/=ac=2c2,所以 a：b：c=2：V2：1,由余弦定理可得c os =+:一 2+1-42x V2x lV24 ,故答案为：-半4由已知结合正弦定理及余弦定理即可直接求解.本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题.1 5 【答案】第！第 8 页，共 15页【解析】解：如图，P M =2 PF,F为 PM的中点，二|B M|=2 p,即|F M|=2p,|P F|=2p=2AF
14、,F A=半 直线/的倾斜角为押冷.故答案为：乳 冷画出图形，利用抛物线的定义结合向量关系，求解直线的倾斜角即可.本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查.1 6.【答案】一：,1【解析】【分析】先求得/的值，由此求得。的值，证得/是周期为4的函数，将l-l og 3 5 转化为/X|),根据函数周期性和对称性，将原式转化为-?+4%式/一 比，结合x的取值范围即可求得，的取值范围.本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键,综合考查函数性质的应用.【解答】解：因为/(1 +乃+/(1 一 切=0.令 芯=0,贝 I J 21)=O,即/(1)=0,由
15、于0%g 3 5 =l og31=-l og31 =-l og3(2-i)=-/(|)=-/(I -1)=/(I +1)=f(|)，又因为/(X)为偶函数，所以/()=/(一|),再根据/(I +X)+/(I -尤)=O./C-X)=/(%),则f。+4)=fl+(%+3)=-fl-(x +3)=+2)=-f(x+2)=-/l +(1 +x)=一(1 +x)=f(-x)=/(x),所以函数/(x)是周期为4的周期函数，当x e -i,o 时，一 x e o,i ,所以/(%)=/(-x)=l og3(2+x),所以当x e -4,1 时,/(x)=l og3(2-|x|).因为f(l +x)+
16、/(l-x)=O,所以f (2-x)+/(%)=0,故/(x)=-f(2 x),所以当尤6 1,3 时,2 x 6 1,1 所以/(x)=-l og 3(2|2-x|).作出函数/(x)的图象如图：由/(/-t x -|)1 -l og35,得一?+4 f c x2-t x -i|+4 k(k G Z),对于任意x G成立，当x =0时，|+4 k S-(x +2)的最大值,由于y =%+在 1,0)单调递减，所以t 2 1 =,由/一次-I式：得t w (x-：)的最小值，由于y =%-：在 _ i,o)单调递增，所以t w-1-=1,-i综上，f的取值范围是 ,1 ,故答案为：(,1 .1
17、 7.【答案】解：根据题意，(2x +3产的展开式中所有项的系数和为24 3,令x =1 可得：(2 4-l)n=2 4 3,解可得n =5,则(2X+盍)5 的展开式为 T r+1 =C f(2x)5-r(竟)r=2Z-r,当r=2时，有7 3 =23cx2=8 0 x2,故展开式中含/的项的系数为8 0；(2)根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学三个地方实习，每人只能去一个城市，则每人有3种选择，则4人一共有3 x 3 x 3 x 3 =8 1种情况，若北京没人去，即四位同学选择了上海，广州，每人有2种选择方法，则4人一共有2 x 2 x 2 x 2=1 6种情况，故北京一定要有人去有8 1
18、-1 6 =6 5种情况，【解析】(1)根据题意，在(2x +白产中，令尤=1,分析可得的值，进而由二项式定理分析可得答案；(2)根据题意，用排除法分析：先计算“甲、乙、丙、丁四位同学三个地方实习”的安排方法，再排除其中“北京没人去，即四位同学选择了上海，广州”的排法，计算可得答案.第10页，共15页本题考查二项式定理以及排列、组合的实际应用,18.【答案】证明：(1)由Sn+1-2S=n+1,得Sn-2Sn_i=n 5 2 2,neN+),两式相减并整理得即+i=2an+3所以a兀+i=2(an+1),又当n=l时，有的+。2-2al 2且%1,解得a2=3,所以。2+1=2(&+1),所以
19、 即+1是以即+1=2为首项，2为公比的等比数列；(2)由(1)可知&+1=2 ,则an=2n-1,所以匕=2n 1哮 +1)=2n-log22n=n-2n,所以=1X2+2X 22+3X 23+-+n-2n；则27n=1X 22+2X 23+3X24+n.2+i，-得一 7；=2+22+23+-+2n-n2n+1=1 2_ n,2+1=2n+1-2-n-2n+1,故 及u C n-D T+i+Z,又 无=-n =2n+1-2-n,所以 7；-n(Sn+n)=(n-l)2n+1+2-n(2n+1-2)=-2n+1+2n+2,令f(n)=-2+】+2n+2,则/(n+1)/(n)=2(1 2)(
20、n e N+),所以/(n)单调递减，又/1(1)=0,所以/(n)0,即7；2,n E N+),两式相减并整理得即+i=2an+1,从而结合由与a2的值即可分析证明出数列 册+1是等比数列；(2)易知%i=2n-1,bn=2n-log2(an+1)=2,log22n=n-2n,从而利用错位相减求和法即可求出Tn,进一步分析证明7；-n(Sn+n)即可得证7；匕 0)的离心率为圣C _ y/2-=-，a 2 双曲线叁一 y 2 =1的一条渐近线方程为x -V 2 y =0,椭 圆C的左焦点尸式c,0),椭圆C的焦点F i到双曲线9 y 2 =1渐近线的距离为日.=提号昔得。=1,则a =V2,
21、b=1,则椭圆C的方程为q+y 2 =i；(团)设A,B两点的坐标分别为4(，%),B(x2,y2)由原点。到直线AB的距离为学，4B|m|_ 2V5得 市P -V，即 病=式1 +炉)，r2将y =kx+m(k 0,4km 2 m 2-2.与+2 =一 罚，X 1&=E，以线段A B为直径的圆经过点尸2，:.AF2 BF2=3即(与 一 1)(%2 1)+为 力=o即(i 1)(%2 -1)+(kxi+m)(/c x2+m)=0,第12页，共15页即(1 +/C2)%I%2 +(km l)(%i +x2)+m2 4-1 =0,(1 +fc 2),+(/c m -+m2+1=化简得37 n2
22、+4km-1 =0 由得1 1 64 1 0 m2-1 =0,得m?=1,fm =1=满足判别式4=8(2 1 一6 2 +i)o,A B 的方程为、=一：+L【解析】(团)根据椭圆的离心率以及点到渐近线的距离建立方程关系求出,人即可求椭圆 C的方程；(团)设4(匕,为)，B(x2,y2),联立直线方程和椭圆方程，转化为一元二次方程，根据根与系数之间的关系以及设而不求的思想进行求解即可.本题主要考查椭圆的方程的求解以及直线和椭圆的位置关系，利用方程法以及转化法,转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系，结合设而不求的思想是解决本题的关键.综合性较强，运算量较大，有一定的难度.2 1.【答案】
23、解：(回)函数/(%)的定义域为(0,+8),(%)=：-9=詈，(2 分)当aW O 时，f(x)0,所以f(x)在(0,+8)上单调递增；(3分)当a 0 时，/(%)=0,解得久=a.当x 变化时，f M，/(x)的变化情况如下表所示：X(0,a)a(a,+oo)f(x)-0+f(x)单调递减/(a)=I na +1单调递增所以，/(%)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)单 调 递 增.(5 分)综上：当aW O 时，f(x)在(0,+8)上单调递增；当a 0时，/(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增.(团)当a =0 时，/Q)=I nx 在(0,+8)上单调递增
24、，且/=0,所以/(乃有一个零点；当a)在(0,+8)上单调递增，且/(I)=a 0,/(I)=a 0,所以存在唯一x o e (l,e-a),使得f(#o)=O,所以/(%)有一个零点；当a 0时，由(团)知，/(乃在(0,a)上单调递减,在(a,+8)上单调递增，所以y m i n=f(a)=I na +1,则I na +1 0,即a /(%)/(a)0,所以f(x)没有零点；I na +1 =0 即a =ym i n=/(a)=I na +1 =0,当 无 (0,a)U(a,+8)时，/(%)0,所以/(%)有一个零点；I na +1 0,即0 a V/此时m i n=f(a)=I na
25、 +1 0,又f(%)在(a,+8)上单调递增,所 以 存 在 唯 一 (a,1),使得/(%i)=0；另一方面，0 V Q2 v a v 取%2 =a2,则f(/)=I na2+=2 1 na +令g(a)=2 1 na +i(0 a ；),则。=黎，由于0 a ,所以g(a)gg)=2 1 n：+e =e -2 0.由于f(x)在(0,a)上单调递减，且/(a)0,所以存在唯一*2 e (a?,。)，使得/(打)=0,所以，当0 a:时，/(x)在(0,+8)有两个零点.综上：a l，f(x)有 0 个零点；0 a 0 讨论，可得函数f(x)的单调性；()分a =0、a 0三类讨论，通过研
26、究各种情况下函数的单调性，结合对应的函数取值情况，可求得函数/(x)零点的个数.本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数与方程思想、分类讨论思想、等价转换思想的综合运用，考查逻辑推理与运算能力，属于难题.2 2.【答案】解：(1)曲线G的参数方程为卜二 ；/|c o s：(a为参数且a e -?5)，(y=2 V3 4-2 V3 s in a 2 2转换为直角坐标方程为/+3-26)2=1 2,(x 0),故该曲线为以(0,2 遮)为圆心以2 次 为半径的右半圆.X=pcosOy=psm9 转换为极坐标方程为p =4A/5C O S。，且。一x2+y2=p2(2)曲线C 2 的极坐标方程为p
27、 =4 c o s 0,设M(Pi，y)，N(p 2，y)，所以|O M|=4 V3 s in y,ON=4 c o s y,所以|M N|=4|V3 s in y-c o s y|,MA=|O?l|s in(-y)=4 V3 c o s y,由于|M N|=y/3MA,所以4|百 s in y-c o s y|=4 V3 c o s y,解得t an y=土 竽，第14页，共15页由于0 y 1，所以tany=竽.【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用极径的应用和三角函数关系式的变换和三角函数的值的应用求出结果.本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.