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1、2021-2022学年四川省成都市新津为明学校九年级（上）第一次月考数学试卷1.下列方程中是一元二次方程的是（）A.2x+l=0 B.y2+x=1 C.x2+1=0 D.2+x=32.已知关于x的一元二次方程/-k x 4=0的一个根为2,则另一根是（）A.4 B.1 C.2 D.-23.如图,在4 4 8。中，点芯,正分别是43,4。的中点.已知48=55。，/则乙4EF的度数是（）/A.75F/B.60/C.55。RD.404.下列说法正确的是（）A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相平分的四边形是菱形5.如图，在正方
2、形A8CC中，E、F分别是边C、上的点，且CE=DF.4E与8尸相交于点O,则下列结论错误的是（）A.AE=BF B.AE 1 BFC.AO=0E D.SAAOB=S四 边 形DEOF6.如图，菱形0A8C在平面直角坐标系中的位置如图所示，/.AOC=45,OA=V 2,则点 C的坐标为（）A.（V2.1）B.（1,1）C.（1（V2）D.（V2+1,1）7.在一幅长80cm,宽50C M的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图,如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcwj,那么x满足的方程是（）A.x2+130%-1400=0B.x2+6 5 x-35
3、0=0C.x2-130 x-1400=0D.x2-65x-350=08.关于x的一元二次方程依2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k -1B.k -lC.k#0D.k 1 且k H 09.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程M-14x+48=0的根,则这个三角形的周长为（）A.11B.17C.17 或 19D.1910.已知，四边形ABC。的对角线4 c和8。相交于点。.设有以下条件：4B=4D；AC=B D；AO =C O,B O=D O；四边形ABC。是矩形；四边形4BCO是菱形；四边形ABC。是正方形.那么，下列推理不成立的是（）A.=B.n C.
4、二D.n 11.若（m-2）xMI=5是一元二次方程，则m的值为12.把2/-1=6X化成一般形式为,二次项系数为.,一次项系数为13.14.,常数项为菱形的对角线之比为3：4,且面积为2 4,则它的对角线分别为.如图，在矩形ABCD中，对角线4C,3。相 交 于O,EF过 点O分别交AB,C。于E,凡 已知4B=8cm,A D=5cm,那么图中阴影部分面积为c m2.15.解方程(1)4(%-I)2=9(2)/+8x+15=0(3)25/+10 x4-1=0(4)x2-3x+1=0.16.当 人为何值时，一元二次方程(上一1)/-6%+9=0总有实数根.17.已知/+y2+z?2x+4y 6
5、z+14=0,求x+y+z的值.第2页，共19页1 8.如图，正方形A B C。的顶点A,C的坐标分别为(5,6)和(一 1,2).(1)画出平面直角坐标系，并写出点B,。的坐标：(2)将正方形平移，使 4 个顶点到原点的距离相等，并写出平移过程.1 9.如图，8 0是力B C 的角平分线，过点。作。/B C 交 A 8 于点E,D F/A B B C于点F.(1)求证：四边形B E D F 是菱形：(2)如果乙4 =80。,Z C =3 0,求N B D E 的度数.2 0.如图，8。是正方形A B C O 的对角线，B C =2,边 B C 在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为P
6、。，连接P A、Q D,并过点Q作QO1BD,垂足为O,连接0 4、0 P.(1)请直接写出线段B C在平移过程中，四边形A P Q D是什么四边形？(2)请判断。4、O P 之间的数量关系和位置关系，并加以证明；(3)在平移变换过程中，设 =5 4 0 8，B P=x(0 x 中，A B C =6 0,将 A B D 沿射线8。的方向平移得到4 B D,分别连接4 C,A D,B C,则力 C+B C的 最 小 值 为.2 6 .阅读材料：材 料 1若一元二次方程a x?+b x+c=0(a丰0)的两个根为Xi，外 则+x2=-石*不 弋材料2已知实数m,n满足tn?m 1=0,n2 n 1
7、=0,且m*n,求乌+”的m n值.解：由题知“7,是方程1=0 的两个不相等的实数根，根据材料1得巾+n =1,m n =1,rr KI n,m m2+n2(m+n)2 1+2 所以/+.=F=FT=W=_3-根据上述材料解决以下问题：(1)材料理解：一元二次方程5/+10 X-1=0 的两个根为与，2，则/+%2 =，xlx2=-(2)类比探究:已知实数 m,n 满足7 n i?7 7 n 1=0,7n2 7 n 1=0,且m H n,求TH?几 +mn2的值.第4页，共19页2 7.如图，四边形A8 C 是正方形，A E F C 是等腰直角三角形，点 E 在 A 8 上，且4 CEF=(
8、1)试判断A G 与尸G 是否相等？并给出证明；(2)若点”为 C F 的中点，G”与。，垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由.2 8.如图，平面直角坐标系中，直线/分别交x 轴、y 轴于A、8两点(CM 。8)且 0 A、0B的长分别是一元二次方程一 一(b+1万+百=0 的两个根，点 C 在 x 轴负半轴上，且 A B：A C =1：2(1)求 A、C 两点的坐标；(2)若点用从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线C B 运动，连接A M,设A A B M的面积为S,点 M的运动时间为f,写出S 关于f 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)点 P是 y 轴上的点，在坐标平
9、面内是否存在点Q,使 以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出。点的坐标；若不存在，请说明理由.答案和解析1.【答案】C【解析】解：4 根据一元二次方程的定义，2x+l=0不符合定义，故 A 不符合题意.B.根据一元二次方程的定义，丫 2+%=1有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故 8 不符合题意.C.根据一元二次方程的定义，/+1=o是一元二次方程，故 C 符合题意.D 根据一元二次方程的定义，2+%=3不符合题意，故/）不符合题意.X2故选C.根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2 的整式方程）解决此题.本题主要考查一元二次方程，熟练掌握
10、一元二次方程的定义是解决本题的关键.2.【答案】D【解析】解：设方程的另-根为与，又,:x=2,x1-2=-4,解得X1=2.故选D.可将该方程的已知根2 代入两根之积公式，解方程即可求出方程的另一根.解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后确定选择哪一个根与系数的关系式.3.【答案】C【解析】解：.,点E,F 分别是AB,AC的中点，EF是 ABC的中位线，EF/BC,AEF=NB=55,故选：C.证 E F是AABC的中位线，得E F/B C,再由平行线的性质即可求解.本题考查了三角形中位线定理以及平行线的性质；熟练掌握三角形中位线定理，证出EFBC是解题的关键.4.【答案
11、】C【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A 不符合题意；8、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项8 不符合题意；第6页，共19页C、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C符合题意；。、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项。不符合题意；故选：C.由矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可.此题主要考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键.5.【答案】C【解析】解：A、在正方形A8CD中,:.AB=BC=CD=AD 9又 丁 CE=DF,AF=DEfv 乙D=乙BAF=90,BAFLADE,
12、:.AE=BF,故此选项正确；B、8力尸名ADE,:.Z.BFA=Z.AED,-Z.AED Z.EAD=90,二 乙 BF4+4E4D=90,:.O F =90,-AE 1 BF,故此选项正确；C、如图，连接5E,假设4。=OE,：BF L AE,.Z.AOB=乙BOE=90,.BO=BO,山 ABO妾AEBO,AB=BE,Xv AB=BC,BC BE,48不可能等于BE,假设40=0E,不成立，即4 0丰0 E,故此选项错误；D、，：&B A F丝&A D E,SABAF=SMDE，SBAF-S&AOF SMDE-AXOF，SA40B=S四边形D EOF故此选项正确故选：c.首先利用全等三角
13、形的判定方法利用SAS证明 B4/丝 A D E,即可得出4E=B F,进而得出/B F力+/.EA D=9 0 ,即ZE 1 B F,用反证法证明40*E O,利用三角形全等即面积相等，都减去公共面积剩余部分仍然相等，即可得出。正确.此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和反证法的应用等知识，得出4 B A F A D E,从而得出相应等量关系是解决问题的关键.6.【答案】8【解析】解：作CD l x 轴于点。，贝此 C。=90。，四边形OABC是菱形，0A=0.【解答】解：依题意列方程组f 22-4/c 0I f c *0解得k%2=0.5；(2)分解因式得：(久+3)(%+
14、5)=0,可得+3=0 或 +5=0,解得：%=-3,%2=-5；(3)方程变形得：(5%+1)2=0,解得：/=%2=-；(4)这里Q=1,b=-3,c=1,=9 4=5._ 3%=-.2【解析】(1)方程变形后，开方即可求出解；(2)方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0 转化为两个一元一次方程来求解；(3)方程左边利用完全平方公式变形，开方即可求出解；(4)找出a,b,c 的值，计算出根的判别式的值大于0,代入求根公式即可求出解.此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，以及直接开方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键.16.【答案】解：v(/c-l)x2 6x
15、+9=0是一元二次方程，二 k 1 X 0,即k*1；若要方程(k-l)x2-6%+9=0总有实数根，只要0即可，4=(-6)2-4(/c-1)x 9=72-36k 0,解得：k2.故k y 2,z =3,则 x +y+z=2.【解析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据非负数的性质分别求出x、y、z,代入计算即可.本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、灵活运用配方法是解题的关键.1 8.【答案】解：(1)如 图,8(-5,2),。(一 1,6)；(2)如图，把正方形ABC。先向下平移4个单位，再向右平移3个单位得到正方形A B C D.【解析】(1)利用点4和点C的坐标建立平面直角坐
16、标系，从而得到B、。点的坐标；(2)利用正方形的性质得到平移后的正方形的中心为坐标原点，然后画出平移的正方形,从而得到平移的方向与距离.本题考查了作图-平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.第12页，共19页19.【答案】(1)证明：v DE/BC,DF/AB 四边形OEBF是平行四边形v DE/BC:.乙EDB=乙DBF：BD平分44BC14A BD=4 DBF=-/.ABC2 Z.ABD=乙 EDB DE=BE且四边形BE尸为平行四边形四边形BEDF为菱形：(2)解：r AA=80,ZC=30,乙AB
17、C=180-80-30=70,四边形BEDF为 菱 形,乙 EDF=乙A BC=70,Z.BDE=-/.EDF=35.2【解析】(1)由题意可证BE=D E,四边形BED尸是平行四边形，即可证四边形8皮不为菱形；(2)由三角形内角和定理求出乙4BC=70。，由菱形的性质即可得出答案.本题考查了菱形的性质与判定、平行四边形的判定等知识；熟练掌握菱形的性质与判定是本题的关键.20.【答案】(1)四边形APQO为平行四边形；(2)OA=OP,OA 1 O P,理由如下：四边形A8CO是正方形，AB=BC=P Q,乙ABO=乙OBQ=45,OQ 1 BD,/PQO=45,:.乙ABO=Z.OBQ=Z.
18、PQO=45,.OB=OQ,在AZOB和aOP。中，AB=PQZ.ABO=(PQOBO=QO408/ZkP0Q(S/S),:.OA=OP,Z.AOB=Z-POQ,.匕AOP=乙BOQ=90,OA 1 OP；(3)如图，过。作O E J L B C于E.如图1,当P点在8点右侧时，则B Q =x +2,0 E =等1 X+2 nii 1/1y=-x,即y =1(#+I.又 0 x 2,.当 =2时，y有最大值为2；如图2,当P点在B点左侧时，则B Q =2 -x,0 E =等，y =|x-x,即丫 =一 沁-1)2 +3又0 x 0,1 a2+b2+2 0,即 a?+炉 5 =0,所以 a?+b
19、2=5,故答案为：5.先根据多项式乘多项式进行计算，再把方程的左边分解因式，再得出答案即可.本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键.23.【答案】i4【解析】解：因为好一2%+：=。-1)2+$所以当 =1 时，代数式产-2%+：的最小值是:，故答案是：i4利用配方法得到：x2-2 x+=(%-1)2 +；.利用非负数的性质作答.本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质.配方法的理论依据是公式 2 a b +b2=(ab)2,24.【答案】(一 2 1 i ,一 2 1 i )【解析】解：观察，发现规律：8式0,2),%(-2,2),B 3(-4,0),B/4,-4),
20、B5(0,-8),B6(8,-8),B7(1 6,0),F8(1 6,1 6),B9(0,32),.D r n o 4 n+l D(o 4 n+l 9 4 n+l D(o 4 n+2 D(o 4 n+2 o 4 n+2.88n+l(U,Z),8 8n+2(一，/8n+3l-Z，U),o8 n+4(-Z，一，)，B 8n+5(0,-2 5+3),B 8n+6(2 4 n+3,-2 乐+3),B8 n+7(_24 n+0),B8n+8(24 n+4,24 n+4).V 2 0 2 0 =8 x 2 5 2 +4,.82020(a】。】。,2101).故答案为：(-21 0 1 0,-21 0 1
21、0).根据正方形的性质找出部分点 的坐标，由坐标的变化找出变化规律“3 所+1(0,2 0+1),D(o4n+l 74n+l D(o4n+2 n D(n4n+2 74n+2 D rn o4n+3/n+2(一，)，为n+3(-Z，刃，D8 n+4(-Z，一，&8n+5(U,-2 ),8 n+6(24 n+3,-24 n+3),e8 n+7(24 n+4,0),B8 n+8(24 n+4,24 n+4),依此规律即可得出结论.本题考查了规律型中的点的坐标的变化，解题的关键是找出点的变化规律“Q，八 94n+l D(_ n4n4-l n4n+l D(_ o4n+2 D(_n4n+2 _ Q4n+2
22、8 n+l(U,Z 8九+2(N，乙 ),8 n+3(，U),t)8n+4，乙 J1B8 n+5(0,-2 m+3),B8 n+6(24 n+3,-24 n+3),B8 n+7(24 n+4,0),F8 n+8(24 n+4,24 n+4)w.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标变化找出变化规律是关键.25.【答案】V3【解析】解：在边长为1的菱形ABC。中，Z.ABC=60AB=CD=1,Z.ABD=30,将 ABD沿射线BD的方向平移得到a ABD,AB=AB=1,AB/AB,四边形ABC。是菱形，AB=CD,AB“CD,ABAD=120,AB=CD,AB/CD,二 四
23、边形48C。是平行四边形，AD=BC,AC+BC的最小值=AC+4D的最小值，点4 在过点A 且平行于BD 的定直线上，工 作点。关于定直线的对称点E,连接CE交定直线于4,则 CE的长度即为4 c +BC的最小值，在RtzMHD 中，AAAD=ADB=30,AD=1,A 4W E=60,DH=EH=-AD=2 2 DE 1,DE=CD,Z.CDE=乙EDB+乙 CDB=90+30=120,:.Z.E=乙DCE=30,V3 L.CE=2 x CD=v3.故答案为：V3.根据菱形的性质得到AB=1,AABD=3 0 ,根据平移的性质得到&B=4B=1,A B/A B,推出四边形4BC。是平行四边
24、形，得到4。=B C,于是得到4C+BC的最小值=AC+4 D 的最小值，根据平移的性质得到点4 在过点A且平行于8。的定直线上,作点。关于定直线的对称点E,连接CE交 定 直 线 于 则 CE的长度即为AC+BC的最小值，求得DE=C D,得到NE=4DCE=30。，于是得到结论.本题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平移的性质，求得4 c +BC的最小值=AC+4 D 的最小值是解题的关键.26.【答案】-2 一：【解析】解：(I)/+不=2,%!%2=-5；故答案为：2；|；(2)7m2 7m-1 =0,7n2 7n 1=0,且m。n,第16页，共1
25、9页m、n 可看作方程7M 7x 1=0,im+n=1,mn=,71 1:.m2n+mn2=mn(m+n)=-x l =-(1)直接根据根与系数的关系可得答案；(2)由题意得出加、可看作方程7M 7%1=0,据此知zn+n=l,mn=将其代入计算可得.本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程.27.【答案】解：(1)AG=FG,理由如下：如图，过点尸作FM 1 4 B 交 8 A的延长线于点M 四边形A3CD是正方形 AB=B C,乙B=90 =乙BADv FM A.ABf/.MAD=90,FG 1.AD 四边形A GFM 是矩形，AG=MF,AM=FG,v
26、/.CEF=90,EF=EC,乙FEM+乙BEC=9 0 ,乙BEC+乙BCE=90,乙FEM=乙B C E,且4M=CB=90,EFM L CEB A AS)BE=MF,ME=BC,：ME=A B =BC,.BE=MA=MF,四边形AGFM 是正方形，:.AG=FG,(2)DH 1 HG理由如下：如图，延 长G H交C D于点、N,V FG 1 AD,CD 1 AD,FG/CD,乙GFH=Z.NCH,Z.FGH=乙CNH,点H为CF的中点，CH=FH,：.4FG H 24C N H(AAS),NC=FG,GH=HN,.-.AG=FG=NC,X-AD=CD,GD=DN,S.GH=HN,DH 1
27、 GH.【解析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明4 之ACEB是本题的关键.(1)过点F作F M，AB交BA的延长线于点M,可证四边形AGFM是矩形，可得4G=MF,AM=F G,由“AAS”可证 EFM gA C EB,可得BE=MF,ME=BC=A B,可得BE=MA=MF=AG=FG：(2)延长G 交CO于点M 由平行线的性质，得出NGFH=ZJVCH,AFGH=ACNH,加 之=得出AFGH&A C N H,可得GH=HN,NC=F G,即可求DG=CN,由等腰三角形的性质可得DH 1 HG.28.【答案】解：/一(M+l)x +B =
28、0,(%-V3)(x-1)=0,解得 V3,x2=1,v O A/3,A B2+B C2=A C2,即乙4 BC=9 0 ,由题意得：C M =t,C B =2 V 3.当点 M在 C 8 边上时，S =2 V 3-t(0 t 2 V 3)；(3)存在.当4 8 是菱形的边时，如图所示，在菱形4 P 1 Q/中，Q i。=A O=1,所以Q i 点的坐标为在菱形/I BP 2 Q 2 中，=4 8 =2,所以Q 2 点的坐标为(1,2)，在菱形/I BP 3 Q 3 中，4 Q 3=4 B =2,所以Q 3 点的坐标为(1，-2)，当A B 为菱形的对角线时，如图所示的菱形4 P 4 8 Q
29、4，设菱形的边长为x,则在R t 4 电。中，=A O2+。4。2，即/=/+(百 一 切 2,解得 =等，所以。4(1，誓)综上可得，平面内满足条件的。点的坐标为：Q 1(-1,O),(?2(1,-2),?3。2),(2 式1，晋).【解析】(1)通过解一元二次方程工 2 -(6+l)x +b=0,求得方程的两个根，从而得到A、8两点的坐标，再根据两点之间的距离公式可求A B 的长，根据A B：A C =1：2,可求A C 的长，从而得到C 点的坐标；(2)分当点M在 边 上 时；当点M在 C B 边的延长线上时；两种情况讨论可求S关于r 的函数关系式；(3)分AQ =4 B,B Q=B A,BQ =Q A 三种情况讨论可求Q点的坐标.考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：解一元二次方程，两点之间的距离公式，三角形面积的计算，函数思想，分类思想的运用，菱形的性质，综合性较强，有一定的难度.