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1、2021-2022学年四川省成都市新都区高三(上)诊断数学试卷(理科)一.选择题(共12小题，每小题5 分，共 60分).I.已知集合 U=-2,-1,0,I,2,3,A=-1,0,I,B=1,2,则C u(AU 8)=()A.-2,3 B.-2,2,3C.-2,-1,0,3 D.-2,-1,0,2,3Xl2A-iDR.-43C.1D.23.等差数列小 中,0 5+410+0 5=30,则。22-2416的 值 为()A.-10B.-20C.10D.204.若t a n 8 =，O则co s(n-26)的 值 为()A.二口 1C.工D.55555.数列 小 满足=且。1=2,则“20 22的
2、 值 为()anA.20 23B.2C.工D.-16.下列命题中正确的是()A.函数/(x)满足/(2-x)+/(x)=0,则/(x)的图像关于直线x=l对称B.函数/(X)满足/(2-x)t/(x)=0,则/(x)是以4为周期的周期函数C.若函数f(x)=ln(J?+b x)为奇函数，则”=e (e为自然对数的底数)D.若函数f(x)=F E为奇函数，则3X-1 27.设函数f (x)为定义在R上的函数，对V x 6R都有：f(x)=/(-x),f(x)=f(2-x)；f (xt)-f (x?)、90 91又函数f (x)对V x i,X 2G 0,1,X|WX 2,有-二-0成立，设a=f
3、 (二)，xX 2 2b=f(lo g43),c=f(q),则下列结论正确的是()A.c b a B.b c a C.c a b D.b ia0,12.己知函数f(x)=1 1中，x0,0（p 1,x 0）,有且仅有一个解，令 Z z （x）=凝-犬（。1,x 0）,则 下 列 结 论 中 正 确 的 序 号 是.（写出全部正确结论的序号）。=e；h（x）在 区 间（1,e）上单调递减；x=e 是 h（x）的零点；h（1）是 （x）的极小值，x=e 是（x）的极大值点.三、解 答 题（本大题共6个小题，共70分.）17 .已知正项等比数列。的前项和为S”,且 3a 3=4 1+4。2,6=12
4、6.（1）求数列 的通项公式；2（2）若bn 1-；-,求数列 瓦 的前项和北.1 8.“碳达峰”“碳中和”成为今年全国两会热词，被首次写入政府工作报告.碳达峰就是二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；碳中和是指在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量通过植树造林、节能减排等方式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.2 0 2 0 年 9月，中国向世界宣布了 2 0 3 0 年前实现碳达峰，2 0 6 0 年前实现碳中和的目标.某城市计划通过绿色能源（光伏、风电、核能）替代煤电能源，智慧交通，大力发展新能源汽车以及植树造林置换大气中的二氧化碳实现碳中和.该城
5、市某研究机构统计了若干汽车5年内所行驶的里程数（万千米）的频率分布直方图，如图.(1)求。的值及汽车5 年内所行驶里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(2)据“碳中和罗盘”显示：一辆汽车每年行驶1万千米的排碳量需要近200棵树用1年时间来吸收.根据频率分布直方图，该城市每一辆汽车平均需要多少棵树才能够达到“碳中和”？(3)该城市为了减少碳排量，计划大力推动新能源汽车，关于车主购买汽车时是否考虑对大气污染的因素，对 300名车主进行了调查，这些车主中新能源汽车车主占!，且这些车主在购车时考虑大气污染因素的占2 0%,燃油汽车车主在购车时考虑大气污染因素的 占 10%.根据以上
6、统计情况，补全下面2X 2 列联表，并回答是否有99%的把握认为购买新能源汽车与考虑大气污染有关.考虑大气污染 没考虑大气污染 合计新能源汽车车主燃油汽车车主合计附：-二-,其中 n=a+b+c+d.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(烂公)0.100.0250.0100.0050.001ko2.7065.0246.6357.87910.8281 9.已知三棱柱ABC-点。为棱AB的中点.(1 )求证：BG 平面A C。；(I I)若AABC是等边三角形，且 AB=A4i,Z AtA B=6 0a,平面平面ABC,求二面角A-A C-8 的余弦值.AB.B兀2 0.Z A 3c 的内角
7、 A,B,C 的对边为，b,c,已知cs i n A=aco s(C一 八一),6(1)求 C；(2)若A B C为锐角三角形，且cco s 8+/?co s C=l,求a A B C面积的取值范围.2 1 .已知椭圆C：2T+4=1(。6 0)过点A (-返，返)，离心率为返，点Fi,a2 b 2 2 2 2凡分别为其左右焦点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若y 2=4x上存在两个点M,N,椭圆上有两个点P,。满足，M,N,尸2三点共线，P,Q,尸2三点共线，且尸求四边形P M Q N面积的最小值.2 2.已知函数f (x)=!*2-(私+1)x+m l n x,m R,g(x).2 x(
8、1)求g (x)的极值；(2)若对任意的 X I,X 2 G 2,4(X 1 W X 2),当 X 1 X 2 时:/(X l)-/(X 2)|g(X I )-g(X 2)|恒成立，求实数机的最大值；(3)若函数f(x)恰有两个不相等的零点，求实数?的取值范围.参考答案一.选择题(共12小题，每小题5分，共60分).1.已知集合 U=-2,-1,0,1,2,3,A=-1,0,1,B=1,2),则C u(A U B)=()A.-2,3 B.-2,2,3C.-2,-1,0,3 D.-2,-1,0,2,3【分析】先求出A L J B,再根据补集得出结论.解：集合 U=-2,-1,0,1,2,3,A=
9、-1,0,I,B=,2,则 A U B=-1,0,1,2,则C u(A U B)=-2,3,故选：A.4X-4，X 12.设函数f(x)=Xa，2，若 正(卷)=8，则。=()A.23B.C.1 D.24【分析】根据题意，由函数的解析式可得/()=3,进而可得用.()=/(3)=8 8=8,解可得“的值，即可得答案.解：根据题意,函数f(x)=x l7 7 1则/(m)=4 己-不=3,o o z.7故 外(春)=/=炉=8,o解可得4=2；故选：D.3.等差数列 斯中,。5+。10+。15=30,则。2 2-2。6的 值 为()A.-1 0 B.-2 0 C.1 0 D.2 0【分析】根据等
10、差中项的性质可得0 0=1 0,再根据通项公式可得22-2416=0 0=-1(),问题得以解决.解：设等差数列 斯 的公差为,*.*5+。1。+。1 5 =30,/.3ai o=3O,。1 0=1 0,的 值 为()二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求2a 2 a-2 c 1*(122 2 ai 6=6 z i o+1 2 t/-2 (i o+6 d)-o i o=-1 0,故选：A.4.若 t a n 8=，则 co s(n-2 0)oA.)B.，5 5【分析】由己知利用诱导公式，解.解：因为tan 8所以 co s(7T -2 0)=-co s 2 0=-3二 =-1-=卷.
11、cos 6+si 9 1+ta n 0 14A 5故选：A.5.数列 m 满足a+i =l -且 m=2,则。2 02 2 的 值 为()anA.2 02 3 B.2 C.D.-12【分析】利用数列的递推关系式，求解数列的前几项，得到数列的周期，然后求解即可.解：数列&满足如+1 =1 -且。1=2,an则。2 =!，3=7,“4=2,所以数列是周期数列，周期为3,2所以(2 2 02 2 =46 73x3+3=43=-1,故选：D.6 .下列命题中正确的是()A.函数f (x)满足/(2-x)=0,则f (x)的图像关于直线x=l 对称B.函数/(x)满足/(2-x)4/(x)=0，则f(x
12、)是以4 为周期的周期函数C.若函数f(x)=l n“a+b 2 x2+b x)为奇函数，则”=e (e 为自然对数的底数)D.若函数f(x)=为奇函数，则m=W 3X-1 2【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案.解：根据题意，依次分析选项：对于A,函数(X)满足/(2-x)+f(x)=0,则函数/(x)的图象关于点(1,0)对称，A错误；对 于8,若/(2-x)4/(x)=0,函数/(x)的图象关于点(1,0)对称，不能判断其是否具有周期性，8错误；对于 C,若函数f (x)=ln(7 a+b2x2+bX)为奇函数，则f(x)+/(-x)=/”(Va+b2x2+)+ln W
13、a+b2 x 2 -bx)=/。=0,则有 a=l,C错误；对于 D,若函数fG A-为奇函数，则 f(x)+f C -x)=-+m+；+m3X-1 3X-1 3 X-1=-1+2机=0,解可得加=工，。正确；2故选：D.7.设函数f(x)为定义在R上的函数，对V x eR都有：/(X)=/(-x),/(x)=f(2-x)；f(Xt)-f (x?)、9 n 9 1又函数f (尤)对V x i,X 2日0,1,有-J 0成立，设a=f ()，xl-x2 2b=f(log43),则下列结论正确的是()A.c b a B.b c a C.c a b D.b a 0成立,所以/(x)在 0,1上为增函
14、数,所以 c=/(-g)=/C)，4 4“=/(翠1)=f(1),因为 log43 C,1)，所以5logqSVl,由/(x)在 0,1 上为增函数,所以c a V191 B.5-V19-5+V19 C.-7 3 4.V 34D-5-V 34，5+V34【分析】函数/(x)3sin(2x+26)+10X A 12x+5 6_(2x+26+0),即可求解.【解答】函数F(X)=3 s i n (2 x+2 6)+1Q X 1+cos(2 x+5 6)2=5+3 s i n (2 x+2 6)+5 cos (2 x+5 6)=5+3 s i n (2 x+2 6o)+5 cos (2 x+2 60
15、 +3 0。)=5+/i n (2 x+2 6)+-cos (2 x+2 6)=5+百$加 +2 6+e)二函数/(x)的值域为 5-丘，5+V I9 1-故选：B.log2x,x 0,1 2.已知函数f(x)J i ,函数g (x)满足以下三点条件：-y x,x 0而对任意 x E R,有 g(x+n)=2 g(x),且当尢6 0,I T 时，g(x)=s i n r,分别作出y=/(x)和 y=g(x)在4 n 上的图像如图，1 1 1 QJT,*x-(r s i n x=(s i n x -x)2 0 在-TC,0上成乂，lo go -lo g2 4=2,2 2 2 ，25冗lo go-
16、z-o g2 16=4,乙乙，函数y=/(x)-g(x)在区间-4 m 4 n 上零点的个数为6个.故 选:A.二、填空题(本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分.)1 3-已 知 向 量/2)声)入).若3 W+百，则 入 号 一【分析】利用向量坐标运算法则求出2彳+芯=(%2),再由向量平行的性质能求出入的值.解：.向量1=(1 2),1=(2,-2),*2 a +b=(%2),V c=(1，入)，(2 g+b),1 X ,4 2解得人=.2故答案为：14.已知幕函数y=f (x)的图象过点(2,),则曲线y=/(x)在 点(1,1)处的切线4方程为 2 x+y-3=0.【分析】设/(
17、x)=炉，代 入 点(2,4)-可 得%求 得 了。)的导数，可得切线的斜4率，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程.解：设/(x)=炉，由2=,可 得 =-2,4则 f(x)=x2,可得/co的导数为r (X)=-级一3,则曲线y=/(x)在 点(1,1)处的切线斜率为-2,可得曲线y=/(x)在 点(0,1)处的切线方程为y-1=-2 (x -1),即为 2 x+y-3=0.故答案为：2x+y-3=0.15.函数/(x)=A s i n (w x+c p)(A 0,0(p i r)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与/(X)的图象交于M、N两点，且 在y轴上，圆 的 半 径 为 则f (看
18、)=_ 千 _.可求 p的值，由 圆 半 径 为 哈，利用勾股定理可求得A,从而可求得函数解析式，计算可得了(?)的 值.61T解：由图可知，M,N关于点C对称，易得点C的横坐标为今，所以/(x)的周期7=2 (二+3)=n,所以3=2工=2,3 6 TK KX/(-=0,所以 s i n 2 X (-)+1,x 0),有且仅有一个解，令/7 (%)-V1(1,x 0),则 下 列 结 论 中 正 确 的 序 号 是 .(写出全部正确结论的序号)Q=e；h(x)在 区 间(1,e)上单调递减;x=e是(x)的零点；h(1)是(x)的极小值，x=e是 (x)的极大值点.【分析】由于关于x的方程(
19、其中x 0)有且仅有一个解，n T W xlna=alnx在(0,+8)上有且只有一个解，进而得到lnx J n ax a在(0,+8)上有且只有一个解，设/(x)=1匹(x 0),对/(x)求导，判断其单X调性，作出函数/(X)的图象，可得”=e,即可判断是否正确；由/z (%)-乃，可得(e)=0,即可判断是否正确；对 力(x)求导，判断(%)的单调性，求出极值点，即可判断，是否正确.解：因为关于x的方程外=F(其中%0)有且仅有一个解，可得在(0,+)上有且只有一个解,所以lnx=lna在(0,+M)上有且只有一个解,XI,，1-lnx则/(%)=1，x当时，f(x)0,f(x)单调递减
20、,当O V x V e时，f(x)0,f(x)单调递增,所以/()在x=e处取得极大值工，e作出/(x)的图象,解得a=e或 0 Va0,h(x)单调递增，当IVxVe时，h(无)0,h(x)单调递减，所以冗=1 是(x)的极大值点，x=e 是(x)的极小值点,且无-*0 时，h(x)f 1,则(x)的最小值为力(e)=0,故正确，错误，故答案为：.三、解答题(本大题共6个小题，共70分.)1 7.己知正项等比数列 “的前项和为S“，且 3a3=4北+4。2,$6=126.（1）求数列 斯 的通项公式;2（2）若 bn=-,求数列 5 的前项和i O g2a2n-l i O 2a2nt-l【分
21、析】（1）利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出；（2）利用裂项求和方法即可得出.【解答】解；（I）设等比数列 内 的公比为q,由3a3=4s+4a2,可 得%2-4 -4=0,解得q=2 或 q=（舍去）.因为$6=126,所以 6二 打；：6）=2 6,解得 0=2.所以 an=22 k l=2”.n log2a2n_llog2a2nH 2n_1 2n+l 所以 T=（l-L）+仕 ）+（-）=1-=21.%c *5 2n-l 2n+r 2n+l 2n+l18.“碳达峰”“碳中和”成为今年全国两会热词，被首次写入政府工作报告.碳达峰就是二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；碳
22、中和是指在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量通过植树造林、节能减排等方式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.2020年 9 月，中国向世界宣布了 2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和的目标.某城市计划通过绿色能源（光伏、风电、核能）替代煤电能源，智慧交通，大力发展新能源汽车以及植树造林置换大气中的二氧化碳实现碳中和.该城市某研究机构统计了若干汽车5 年内所行驶的里程数（万千米）的频率分布直方图，如图.（1）求”的值及汽车5 年内所行驶里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（2）据“碳中和罗盘”显示：一辆汽车每年行驶1 万千米的排碳量需要
23、近2 0 0 棵树用1年时间来吸收.根据频率分布直方图，该城市每一辆汽车平均需要多少棵树才能够达到“碳中和”？（3）该城市为了减少碳排量，计划大力推动新能源汽车，关于车主购买汽车时是否考虑对大气污染的因素，对 3 0 0 名车主进行了调查，这些车主中新能源汽车车主占!，且这些车主在购车时考虑大气污染因素的占2 0%,燃油汽车车主在购车时考虑大气污染因素的 占 1 0%.根据以上统计情况，补全下面2 X 2 列联表，并回答是否有9 9%的把握认为购买新能源汽车与考虑大气污染有关.考虑大气污染 没考虑大气污染 合计新能源汽车车主燃油汽车车主合计附：-二?-,X41 n=a+b+c+d.（a+b）（
24、c+d）（a+c）（b+d）P（烂2攵 o）0.1 00.0 2 50.0 1 00.0 0 50.0 0 1ko2.7 0 65.0 2 46.63 57.8 7 91 0.8 2 8【分析】（1）由（0.0 0 5+4+0.3 5+0.2 5+4+0.0 5）X l =l,解得，再结合频率分布直方图计算7，即可得出答案.（2）根据题意，得 誓 X Z。，即可得出答案.（3）补全的2X2列联表，计 算 群 与 6.63 5 比较，即可得出答案.解:由（0.0 0 5+a+0.3 5+0.2 5+，/+0.0 5）X l =l,解得 ”，Z 2),则n2B C-即n 2，B A =0,n2*B
25、 C=0,：B C=(V ，1，。)，B A =(0,1,/)，.，V 3x2+y2=0y2 T 2=0，n2=(1，-夷，1)，nl*n2 1所以 co s =-,.=I n i H|n2|5由题意可知，二面角A-A C-8为锐角，其余弦值为5兀20.AB C 的内角 A,B,C 的对边为 a,b,c,已知cs in A=aco s(C-T-)6(1)求 c；(2)若A8 C为锐角三角形，且cco s B+灰x)s C=l,求 AB C面积的取值范围.jr【分析】(1)在A A B C中，利用正弦定理及两角差的余弦化简cs in A二aco s(C 4)，6得t a n C=,可得C的值;(
26、2)先 利 用 余 弦 定 理 化 简cco s B+/?co s C=1得。=1,再 利 用 正 弦 定 理，求得b-.K I Mas in B s i n(A%)ys in A-co s As in As in As in A1 M,而A A BC为锐角三角形,T tan A可求得A的范围，继而可得AB C面积的取值范围.【解答】(本小题满分12分)TT TT解：(1)在AB C 中，:cs in A二aco s (C-八)，s in Cs in A=s in Aco s(C ),6 6V s in A7 0,s in C=co s (C-)=-co s C+_ s in C,b Z N
27、s in C=3co s C,tan C y，VO C 哗，6 2 3tan A 2tan A 2 b g，2),SA A Bc a b s i n C=bE 亳，李)，21.已知椭圆C：=1 (ab0)过点 A(一)，离 心 率 为 返，点5 1,a2 b 2 2 2 2份分别为其左右焦点.(I)求椭圆c 的标准方程；(2)若 V=4 x上存在两个点M,N,椭圆上有两个点P,。满足，M,N,尸 2三点共线,P,Q,B 三点共线，且求四边形PMQN面积的最小值.【分析】(1)由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程及a,b,c 的关系，解方程，即可得到椭圆方程;(2)讨 论 直 线 的 斜 率 不
28、存 在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k(x-1)(AWO)联立抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可得到最小值.解：(1)由题意得：&巫,a1-h2=c2,得b=c,a 2因为椭圆过点A(一 返，返)，2 2解得c=l,所 以 =2,2-所以椭圆C 方程为二一+丫2=1.(2)当直线历N 斜率不存在时，直线PQ的斜率为0,易得|H N|=4,|PQ 1=27 2-S=4 V 2.当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y k (x-1)(ZW0)与 产=4工联立得上2无2-（2N+4）x+F=O,4令 M（xi,yi）,
29、N（X 2,y i），则 x1+X2=+2,xiX 2=l,MN=+2）2-4.即有|H N|=3+4,：PQ_LMN,.直线尸。的方程为：(x-1),k将直线与椭圆联立得，(N+2)N-4 2 -2F=0,4 2-2k2令 尸（X 3,”），Q（X4,为），X 3+X 4=7，兀3X 4 =-丁2+k 2+k2由弦长公式|PQ=yj（x3+x4）2-4X3X4代入计算可得|PQ|=2V 2（l+k2）k2+2四边形PM QN的面积5=和 叶 闿|=W (l+k2)2k2(k2+2)令 1+R=r,(/1),4 V 2t2 _ W2 t2.2-1+1,广，W2-所以S 以5最小值为如522.已
30、知函数f (x)=4 x2-(m+l)x+m l n x,m R,g(x).2 x(1)求 g (x)的极值；(2)若对任意的 Xl,X2G2,4(X 1 W X 2),当 X1X2 时，f(xi)-f(X 2)V|g (xi)-g(X 2)|恒成立，求实数机的最大值;(3)若函数/(x)恰有两个不相等的零点，求实数机的取值范围.【分析】(1)利用导数即可求出函数g (x)的极值；(2)由(1)可知/()-/(X 2)v|g(X 1)-g(X 2)I，等价于 f(X l)-f(X 2)/(xi)+g(xi),设(犬)=H x)+g(x)=L x2+m l n x_ ，2 x则(x)在 2,4
31、为增函数，所以”(x)2 0在 2,4 上恒成立，再通过分离参数的方法把恒成立问题转化为最值问题，利用导数求出对应函数的最值即可.(3)函数/(x)(I R+1)x+m l n x,(。，+)，所以/(x)=x-(加+1)+2 x=(x-L)(x-m),再对,的值分情况讨论，结合函数的极值的大小确定函数的零点个数X即可.解：(1)函数g(X)=,定义域为国九W 0 ,XF(x-l)，g，(x)=-7-,令 g (x)=0,得 x=l,X列表如下:X(0,1)1(1 ,+8)g(X)-0+g(尤)单调递减极小值单调递增,:g(1)=e,】尸 g (x)的极小值为e,无极大值;(2)V X 2 X
32、 1,由(1 )可知 f(X I)-于(X 2)V|g(X I )-g(X 2)b 等价于 f(x i)-f(X 2)/(XI)+g(X I),设(x)=/(x)+g (x)=-1-x2+Inl nx-(m+l)x-,则(外 在2 4 为增函数，：.h(x)=x-C/H+l)+-Y1=z l(x-m+-g l)O 在 2,4 上恒成立，X X*X X.，*4 x+恒成立，X,XPX(Y-1设 u(x)=X+C _,Vv1(x)=l+e 1 0 在 2,4 上恒成立XXAv (x)在 2,4 上单调递增，2Av (x)在 2,4 上的最小值为卜(2)=2+6 一,22,他 2书-，2：m的最大值
33、为2+_；2(3)函数/(x)=-x2-(m+l)x+m l nx 屁(。，.9=x-5+l)+也=(x-l)(x-m),X X当O V mV l时，当(0,m)和(1,+8)时，f(x)0,函数f(x)单调递增；当(如1)时，f(x)0,f(x)在(0,+8)上单调递增.所以函数/(X)X至多一个零点，当m 时，当 (0,1)和(加，+8)时，f(x)0,函数/(x)单调递增；当xE(1,7 7 7)时，f(X)0,函数f(X)单调递减，所以/(X)的极大值为/(1)=y-(m+l)=-m-0./(x)的极小值为/(M/(1)0,所以函数/(x)至多有一个零点,当 7 0时，当 比(0,1)
34、时，f(x)0,函数f(幻单调递增，所以/(x)m in=f(I)=-m 4，(/)：当/(x)m如=f(l)=-nr 2。时，即加时，函数/(x)至多一个零点，(4)：当-3m 0 W，/(x)m i n=f(l)=-m-0,所以存在X1 W (-2,1),使 得/(加)=0,所以函数/(X)在(0,1 )上有唯一的零点.2又/(/)=e2 l)+(2-e2)r o0,所以函数/(X)在(1，+8)上有唯一的零点.(z z 7)：当机=0 时、函数f(x)=/x x=x(/x-1)，在(。，+8)上只有一个零点2,综上所述：函数/(X)恰有两个不相等的零点时，实数小的 取 值 范 围 为0).