高考真题分类练习-立体几何.pdf-淘文阁

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1、立体几何文档副标题日期公司名称公司地址第八章立体几何考点1 空间几何体的结构及其三视图与直观图1.（2 0 1 5 北京，7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A.1C.小BS1 .解析四棱锥的直观图如图所示，P C，平面AB C。，P C=,底面四边形A 8 C Q 为正方形且边长为1,最长棱长弘二正右+尸+尸=木.答案 C2 .（2 0 1 5 重庆，5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）,1 ,一妙 1 3 7 rAQ+2 兀 B.3 o-7 兀 -5 兀Cq D.-2 2 .解析该几何体由一个圆柱和一个从轴截面截开的“半圆锥”组成，其体积为

2、 V=7 txl2x2+5,x1 7 cxl2xl =2 n+7 =与22 J o o答案 B3 .（2 0 1 5 陕西，5）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.3 7 t B.4 兀C.2TI+4 D.3?t+4第 3 题图第 4 题图3.解析由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1,高为2,则表面积为：S=2x；兀兀x”2+2x2=71+2兀+4=4+3 兀答案 D4.（2015 浙江，2）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（）A.8 cm3B.12 cm3C.苧 cm3 D普 cm34.解析由三视图可知该几何体是由棱长为2 cm 的正方

3、体与底面为边长为2 cm 正方形、高为 2 cm 的四棱锥组成，V=V+Vimsw=8 cm3+|cm3=cn?.故选 C.答案 C5.（2015 福建，9）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A.8+2&B.11+272C.14+2陋 D.155.解析该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱.Ss=2x1(l+2)x1+2x14-2x1+2x2+2x2=11+2 2,故选 B.2.答案 B6.（2 0 1 4 辽宁，7）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.8-；C.8 7 tD.8-2 兀6.解析该几何体是一个正方体截去两个四分之一圆柱形成的组合体,其体积卜=2

4、3 3。1 2 乂 2*2=8 兀，故选C.答案 C7.（2 0 1 4 浙江，3）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A.7 2 cm3B.9 0 cm3C.1 0 8 cm3 D.1 3 8 cm3正视图侧视图33俯视图7 .解析由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积 V=VW K+V:梭村=4 x6 x3+；x4 x3 x3=9 0（cn?）.答案 B8 .（2 0 1 4 新课标全国I,8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A.三棱锥 B.三棱柱C.四棱锥 D.四棱柱8.解析由题知，该几

5、何体的三视图为一个三角形，两个四边形，分析可知该几何体为三棱柱.答案 B9.（2014新课标全国H,6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示 1 cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 c m,高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）.17A-27-10C-27D.|9.解析由三视图可知该零件是一个底面半径为2、高为4 的圆柱和一个底面半径为3、高为2 的圆柱的组合体，所以该组合体的体积匕=兀22.4+兀32.2=34兀，原来的圆柱体毛坯的体积为 V=7r-32-6=5 4 n,则切削掉部分的体积为%=54兀-3

6、4 兀=20兀，所以切削掉部分的体积与原来的圆柱体毛坯体积的比值为第=居.故选C.答案 C10.（2017山东，文 13）由一个长方体和两个1圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体4的体积为.俯视图10解析试题分析：由三视图可知，长方体的长宽高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以_ _ _ v _ 7 T X1 7 TV=2x1x1+2x-xl=2+.4 2T T答案2+-211.（2015天津，10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积为11.解析由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两圆锥和圆柱组成,|Q底面半径为1,圆锥的高为1,圆柱的高为2,

7、所以其体积y=2 x x兀X 12xi+nxl2x2=铲.答案12.（2014北京，11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为12.解析三视图所表示的几何体的直观图如图所示.B结合三视图知，朋，平面ABC,PA=2,AB=BC=巾,AC=2,所以尸 8=、附2+482=、4+2=#,PC=yjFA2+AC2=2y2,所以该三棱锥最长棱的棱长为2-V2.答案 2平考点2空间几何体的表面积和体积1.（2017课标II,6）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A.90 兀 B.63TI C.

8、427t D.36TI)兀C.一27 1D.一4解析由题意，该几何体是由高为6 的圆柱截取一半后的图形加上高为4 的圆柱，故其体积为%326+乃-32-4=63万,故选B.2答案 B2.（2017课标3,9）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（3兀A.it B.42.解析球心到圆柱的底面的距离为圆柱高的士球的半径为1,则圆柱底面圆的半2径r=；i.（1）2=3,故该圆柱的体积Vx（3）2xl=孙，故选B.7 2 2 4答案 B3.（2017天津，文 11）已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 1 8,则这个球的体积为.

9、3 .解析由正方体的表面积为 1 8,得正方体的棱长为8.设该正方体外接球的半径4 n 2 7 _ 9 n为 R,则 2 R=3,R=|,所以这个球的体积为詈 =三&=W答案也24 .（2 0 1 7 课标1,1 6）已知三棱锥S-A BC的所有顶点都在球。的球面上，S C 是球。的直径.若平面S C 4 _L 平面S C B,S A=AC,S B=B C,三棱锥5-A8 C 的体积为9,则球。的表面积为.4.解析取 SC的中点O,连接0 4,0 3因为 5 A =A C,S 5 =5C所以因为平面S 4 C J _ 平面S B C所以04,

10、平面S B C设。4 =r匕-SBC=；x S&SBC x 0 4 =2 r x r x r =所以L，=9 or=3,所以球的表面积为4 万/=3 6 万3答案3 6 万5.（2 0 1 7 课标I I,1 5）长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球。的球面上，则球0的表面积为.5 .解析球的直径是长方体的体对角线，所以2 R =J?方W =E,S =47IR2=14TL答案1 4 兀6 .（2 0 1 7 江苏，6）如图,在圆柱g o 内有一个球0,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱0，0,的体积为匕，球 0的体积为匕，则匕的值是.匕 _ nr2 2 丁 _ 3

11、6.解析设球。的半径为 r,则圆柱的底面半径为人高为 2r,所以彩一秋浮-2.答案2327.（2017山东，13）由一个长方体和两个上圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的4体积为.正视图（主视图）侧视图（左视图）7.解析试题分析：由三视图可知，长方体的长宽高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以_ _ _ ._ 7 T X 1 兀V=2 x lx l+2 x-xl=2+4 2答案2+四28.（2016 新课标全国H,4）体积为8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A.127r B 手兀C.8 兀D.47t8.解析由题

12、可知正方体的棱长为2,其体对角线2小即为球的直径，所以球的表面积为4T UR 2=（2 R）27t=12兀，故选A.答案 A9.（2 0 1 6 新课标全国n,7）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.2 0 兀B.2 4 7 rC.2 8 兀D.3 2 兀9.解析由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4 兀，圆锥的母线长/=（2 小）2+2 2=4,所以圆锥的侧面积为5 城刎=34/4=8兀，圆柱的侧面积S枝M=4兀 x 4=1 6 兀，所以组合体的表面积S=8 兀+1 6 兀+4 兀=2 8 兀，故选C.答案 C1 0.（2

13、 0 1 6 新课标全国I H,1 0）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A.1 8 +3 6 小 B.5 4+I 8 小C.9 0 D.8 11 0.解析由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3,3,4 5-几何体的表面积S=3 x 6 x 2+3 x 3 x 2+3 x，布x 2=5 4+1 8 小.答案 B1 1.（2 0 1 6 新课标全国H I,1 1）在封闭的直三棱柱ABC4BQ内有一个体积为V的球,若 A BLBC,4 B=6,B C=8,/L 4|=3,则丫的最大值是（）c 9 7 rA.4 兀厂,-3 2 兀C.6

14、n D.。-1 1.解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4,三棱柱的高为3,所以球的最大直径为3,丫的最大值为空9 7 r.答案 B1 2.（2 0 1 6 新课标全国I ,7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是竽，则它的表面积是（）A.1 7 兀B.1 8 兀C.2 0 兀D.2 8 兀1 2.解析由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球（被过球心。且互相垂直的三个平面）切掉左上角的后得到的组合体，其表面积O是球面面积的楙7 和三个;1圆面积之和.71易得球的半径为2,则得S=g x 4 兀 x 2 2+3 q；tx 2 2=

15、1 7 兀，故选A.答案 A1 3.（2 0 1 6 山东，5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）A+G7 1C-3+6 兀1 3.解析由三视图知，半球的半径R=乎，四棱锥为底面边长为1,高为 1 的正四棱锥,答案 c1 4.（2 0 1 5 新课标全国I ,1 1）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该儿何体的表面积为1 6+2 0 兀，则 r=IT-T2r俯视图A.l B.2C.4 D.81 4.解析由题意知，2 八 2，+；,2 兀 r 2 厂+；兀/+%;/+；，4 兀/=4

16、 J+5 兀/=1 6+2 0 兀，r2.答案 B1 5.（2 0 1 5 新课标全国I I,1 0）已知A,8是球。的球面上两点，Z A O B=9 0,C为该球面上的动点.若三棱锥O A B C 体积的最大值为3 6,则球。的表面积为（）A.3 6 n B.6 4 7 tC.1 4 4 兀D.2 5 6 7 t1 5.解析如图，要使三棱锥O A B C即C O A B的体积最大,当且仅当点C到平面O A B的距离，即三棱锥CO A B底面O A B 上的高最大，其最大值为球。的半径R,则 yO A BC 被大=V CO A B 且大=X SA0ABXR=干*?-*?=不/?3 =J

17、g ,所以 R=6,得 S*o=4;tR 2=4 n x 6 2=1 4 4 兀.选 C.答案 C1 6.（2 0 1 5 安徽，9）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A.1正（主）视图的（左）视图B.1+2V2C.2+V3D.2V216.解析由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示.B其表面积 S =2X1X2XH-2X-X（/2）2=2+-/3,故选 C.答案C17.（2015新课标全国I,6）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四

18、分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有（）A.14 斛B.22 斛C.36 斛D.66 斛17.解析由题意知：米堆的底面半径为果尺），体积丫=是加,仁吟（立方尺）.所以堆放的米大约为谭320厚22（斛）.答案B18.（2015 新课标全国H,6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）1-7B1-8AC6D51 8.解析如图，由题意知，该几何体是正方体A 8 C D 4|8|C Q i被过三点A、B1、A 的平面所截

19、剩余部分，截去的部分为三棱锥A 4 由。设正方体的棱长为1,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为1 1 n-x-X I *x 1W L 4 向 2 _ _ _ _ _ _ _ _ 皿 3 2 1 _ 1VBlClDlABCD=VAlBlClDlABCD-VAAlBlDl=I,2.=51 X qX J X 答案 D1 9.（2 0 1 5 山东，9）已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）.2g 兀A.3C.2小 nB.3D.4 小兀1 9.解析如图，设等腰直角三角形为A B C,ZC=9 0 ,AC=CB=2,贝 l j

20、A B=2，i设。为 A B 中点，则 B Z）=A Q=C Z）=q i所围成的几何体为两个圆锥的组合体，其体积y=2 x（x 兀 x（啦 y x=史料.答案 B2 0.（2 0 1 5 湖南，1 0）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（）A 系小-3兀c.B.z z-2 7 兀712 0.解析欲使正方体最大，则其上底面四个顶点需在圆锥上.圆锥体积=*1 2 乂 2 吸=笔.作几何体截面图，则内接正方体棱长4=平，正方体体积匕=3=（）3 =磬

21、.V2_ 16A/2 3 _ 8匕=2 7 *诉虱.故选A.答案 A2 1.（2 0 1 4 新课标全国II,7）正三棱柱A BCA iBiCi的底面边长为2,侧棱长为小Q 为 8C中点,则三棱锥ABQG的体积为（）3A.3 B.2C.l D 坐2 1 .解析由题意可知A Q _ L 3 C,由面面垂直的性质定理可得A O J _ 平面。SG，又A O=2-sin 6 0。=/，所以匕=5凶=gx，x/x 2 x 小=1,故选C.答案 C2 2 .（2 0 1 4.重庆，7）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）h-3-H他视图一|-I，正视图K俯视图A.1 2 B.1 8C.

22、2 4 D.3 02 2 .解析此几何体是由一个三棱柱截去一个三棱锥得到的，三棱柱和三棱锥的底面都是直角三角形，两直角边长分别为3 和 4,其面积为6,三棱柱的高为5,三棱锥的高为3,所以该几何体的体积为6 x 5-/6 x 3=2 4,选择C.答案 C2 3 .（2 0 1 4.陕西，5）将边长为1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A.4 兀B.3 兀C.2 兀D.K2 3 .解析由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱,底面半径为1,高为 1,其侧面积S=2 nrh=2 7 tx 1 x 1 =2 兀.答案 c2 4.（2 0 1 6 浙江，9）某几何

23、体的三视图如图所示（单位：c m）,则该几何体的表面积是3c m .正视图俯视图2 4.解析由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的边长为2 c m,下面长方体的底面边长为4 c m,高为2 c m,其直观图如右图，其表面积5=6x 2+2 x 4 +4x 2 x 4-2 x 2=80（c m）,体积 y =2 x 2 x 2+4x 4x 2=40（c m）.22223c m2,体积是.答案 80 402 5.（2 0 1 6 四川，1 2）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是.1 月T-h-lH正视图侧视图俯视图25.解析由三视图

24、可大致画出三棱锥的直观图如图，由正、俯视图可知，4ABC为等腰三角形，且AC=2小，A C边上的高为1,.$板=3=NA8C=90。,所以BC/AD.又8CC平面PAD,ADu平面PAO,故8C平面PAD.(2)取A。的中点M,连接PMCM.由AB=BC=AD及8CAD,NA8C=90。得四边形A B C M为正方形，则CM1AD.因为侧面P A D为等边三角形且垂直于底面A3CD,平面PAOCl平面ABCD=AD,以 PM，AD,PM_L底面 ABCD.因为 CMu底面 A3CD,所以 PMCM.设 8C=x,则 CM=x,CD5x,PM=Wx,PC=PD=2x取 CD 的中点 N,连接 P

25、N,则 PN1.CD,所以PN夸x.因为 PC O的面积为2近,所以x V2xxpx=2V7解得4-2(舍去)/=2.于是 AB=BC=2,AD=4,PM=2y/3.所以四棱锥P-ABCD的体积V=gx二号空2百.=4倔32.(2017课标3,1 9)如图，四面体ABCD中，AABC是正三角形、A D=CD.(1)证明：A CBD,(2)已知ZkACD是直角三角形，A B=BD.若 E 为棱 BD上与。不重合的点，且 AE_LEC,求四面体4B C E 与四面体A C D E 的体积比.3 2.答案（1）详见解析；（2）1解析试题分析：（1）取 AC中点。，由等腰三角形及等比三角形性质得A

26、CLOQ,A C 1 O B ,再根据线面垂直判定定理得A C _ L 平面，即得 A C L B D；（2）先由 A E J_E C,结合平几知识确定A =EC,再根据锥体体积公式得，两者体积比为1:1.试题解析：（1）证明：取 AC中点。，连 0 0,0 8,:A D =C D ,。为 A C 中点，A C 1 O D,又；AABC是等边三角形，A C L O B ,又；08（1。=。，A C J 平面，B D u 平面O B D（2）连接EO.由及题设知 N A O C=9 0。,所以D O=AO.在 RtMOB B C P+A O A B2.又所以B O D O B O

27、2+A 0 2=4 F=8。2,故/0 0 8=9 0 .由题设知aAEC为直角三角形，所以E O A C.又&A B C是正三角形，且 A B=B D,所以 E O=|f i D.故 E 为 B D的中点，从而 E到平面A B C的距离为D到平面A B C的距离的右四面体A B C E的体积为四面体A B C D的体积的点即四面体ABCE与四面体A C D E的体积之比为 1 ：1.3 3.（2 0 1 5新课标全国U,1 9）如图,长方体A B C Q/i B C Q i 中 A B=1 6,B C=1 0,A 4,=8,点 E,F分别在

28、A 由i，O 上,4/=小尸=4.过点E,尸的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）:（2）求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值.3 3.解交线围成的正方形E H G F 如图：(2)作垂足为例，则 AM=A|E=4,EBi=12,EM=AAt=8.因为EHGF为正方形，所以EH=EF=BC=10.于是 MH=qEH2EM2=6,A=10,HB=6.因为长方体被平面a分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为半9旅 7也正确).34.(2015湖南，18)如图，直三棱柱A B C A i8 G的底面是边长为2的正三角形,E,尸分别

29、是BC,C G的中点.(1)证明：平面AF_L平面8B C G；(2)若直线A C与平面AtABBi所成的角为4 5 ,求三棱锥FAEC的体积.34.(1)证明ABC为正三角形，E为BC中点，：.AEBC,.又 B|B_L平面 ABC,AEu平面 ABC,：.BtBAE,.由 B|BDBC=B 知，4EJ_ 平面 BiBCG，又由AEu平面A E F,平面AEF_L平面氏BCG.(2)解设A B中点为M,连接C M,则由平面平面4 B C,且平面AjABBiCl平面A 8C=A 8知，A Z C A iM即为直线A C与平面A|ABB|所成的角,，ZCA,M=45.易知C M=x 2=小,

30、在等腰RtACMA中，4W=C M=小,在 RtAApAM 中，AIA=AIM2-AM2=小.，F C=)|A=乎,又 SAAEC=3X半乂4=坐，.v 一工更也一逅 V 棱惟用EC-3、2 x 2-12,35.(2014广东，18)如图 1,四边形 ABCQ 为矩形，尸。_L平面 ABC。，A B=,BC=PC=2.作如图2折叠：折痕E/。C,其中点E,尸分别在线段P),PC上，沿E尸折叠后点P叠在线段A。上的点记为M,并且MFLCF./：D E心0(1)证明：CFJL平面尸；(2)求三棱锥M C D E的体积.35.证明；。_ 1 _ 平面48。),AOu平面 ABCO,：.PDLA

31、D,又四边形ABC。是矩形，CQ，AD平面 PCD,CDu平面 PCD,K PDCCD=D,；.AOJ_平面 PCD,V CFcFjSl PCD,：.ADCF,又 M F L C F,M F H A D=M,CFJ_ 平面 MOF.(2)解平面 ABC。，J.PDLCD,又 CD=AB=1,PC=2,；.P D=4由(1)知 CF_L平面 MDF,：.CF_LDF.：.由 S*CD=*DXCD=，CXDF 得 D F=*,：.C F=C D2-D F2=；.：EF/CD,器=法 :.D E=*x D P=.SACDE=1CDXDE=|.故加、的所成角的大小与 C ）i 所成角的大

32、小相等，即NCAS的大小.而 B i C=B Q i =C。（均为面对角线），.N C C i B i J,.si n/C ）i B i=,故选 A.答案 A4 .（2 0 1 6 浙江，2）已知互相垂直的平面a,p交于直线/.若直线m,n满足m/a,np,则（）.m/1B.m/nC.n.Ll D.mA.n4解析由已知，a n p=Z,A/c p,又 n _ L 0,A n/,C正确.故选C.答案 c5 .（2 0 1 5 广东，6）若直线/i 和 6是异面直线4在平面a内上在平面内,/是平面a与平面夕的交线，则下列命题正确的是（）A./与/|2 都不相交B./与仙 2 都相交C./至

33、多与/1 2 中的一条相交D./至少与/1 1 2 中的一条相交5 .解析若/与/”/2 都不相交则/氏这与/1 和，2 异面矛盾，/至少与。，6中的一条相交.答案 D6 .（2 0 1 5 湖北，5 M 4表示空间中的两条直线，若P：匕/2 是异面直线,牛/i 1 2 不相交，则（）A.p是 q的充分条件,但不是q的必要条件B.。是 q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是令的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6.解析由/”，2是异面直线，可得，2不相交，所以p n q；由/2不相交，可得八，/2是异面直线或所以q=/p.所以p是q的充分条件，但不

34、是q的必要条件.故选A.答案A7.(2 0 1 5 浙江，4)设a,B是两个不同的平面，I,m是两条不同的直线，且/u a,m u伙 )A.若/_ L 0,则&_1 0 B.若 a _ L p,贝U/_ L mC.若/即则a p D.若a 4，则/加7.解析选项 A：/c a,.,.a p,A 正确；选项B：a p,/u a,m u 3,/与m位置关系不固定；选项 C,p,/u a,，a或 a 与 P 相交；选项D：/u a,m u 0.此时/与m位置关系不固定，故选A.答案A8.(2 0 1 5四川，1 8)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母

35、凡G,”标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面B E G与平面AC H的位置关系.并证明你的结论.(3)证明：直线。尸，平面BEG.8.(1)解点F,G,H的位置如图所示.H GA B(2)证明平面BEG平面A C H,证明如下：因为ABCD EFG H为正方体，所以BCFG,BC=FG,又 FG EH,F G=E H,所以 BCEH,BC=EH,于是BC H E为平行四边形，所以BECH,又CH u平面ACH,BEC平面ACH,所以BE平面A C H,同理B G平面ACH,又BE(I BG=B,所以平面BEG平面ACH.(3)证明连接F H,因为ABCDEFGH为正

36、方体，所以DH_L平面EFGH,因为EGu平面E FG H,所以DHLEG,又 EGJLFH,E G C FH=O,所以 EG J_平面 BFHD,又DFu平面BFHD,所以 DF_LEG,同理 DF_LBG,又 E G C BG=G,所以 DF_L平面 BEG.9.(2014 陕西，17)四面体4BCZ)及其三视图如图所示，平行于棱40,BC的平面分别交四面体的棱 48,BD,DC,CA 于点 E,F,G,H.俯视图(1)求四面体ABCC的体积；(2)证明：四边形EFG”是矩形.9.(1)解由该四面体的三视图可知，B D 1 D C,BD1AD,AD DC,B D=C D=2,AD=1,平

37、面 BDC,1 I 2四面体体积 3X2X2X2X13-(2)证明：BC平面EFGH,平面平面 B D C=F G,平面 EFGHC1 平面 ABC=EH,C.BC/FG,BC/EH,J.FG/EH.同理 EFAQ,HG/AD,J.EF/HG,：.四边形E F G H是平行四边形.又A O I.平面BDC,：.ADBC,J.EFVFG,二四边形EFGH是矩形.10.(2014 新课标全国II,18)如图，四棱锥B48CD中，底面A B C D为矩形，a，平面ABCD,E为P D的中点.(1)证明：PB平面AEC；设AP=1,A D=i.（I I）因为AC-LBD,E,M分别为A D和0 D的

38、中点,所以EM1BD,又 AE_L平面 4BC）,BO u平面 ABCD,所以A iE L B D因为 8|O B）,所以 EM BDiAELBlDl,又平面 AiEM,AiEnEM=E,所以平面A E M又BiO iU平面B C 5,所以平面A|EM_L平面BiCDt.5.（2017 江苏，15）如图，在三棱锥 48CD 中,A8_LAD,BC_L8D,平面 A8D1.平面 BC D,点 E,F（与A,D不重合）分别在棱AD.BD上，且EFLAD.求证：（1）EF平面A8C；（2）AD1AC.D5 答案（1）见解析（2）见解析解析在平面AB D内，因为AB_LAD,F_LA,所以EF

39、/A B.又因为E R t平面4BC,48u平面A BC,所以EF平面ABC.(2)因为平面ABOJ_平面BCD,平面ABOCI平面BCD=BD,BCu平面 BCD,BC.LBD,所以BCJ_平面ABD.因为AOu平面A8O,所以BC_LAD.又 A8_LADBCnA8=B,A3u平面 A2C,3Cu平面 A BC,所以AO_L平面ABC.又因为ACu平面A BC,所以 AO_L4c.6.（2016新课标全国IH,19）如图，四棱锥附8。力中，左，底面A8CD,A力BC,AB=AO=AC=3,PA =BC=4,M 为线段 AD 上一点，A M=2 M D,N 为 PC 的中点.（1）证明：MN

40、平面朋B；（2）求四面体N B C M的体积.26.(1)证明由已知得A M=A D=2.取 B P的中点T,连接AT,T N,由 N 为 PC 中点知 T N/BC,T N=：BC=2.又 ADB C,故 TN 触 A M,四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为ATu平面PAB,MNC平面PAB,所以MN 平面PAB.解因为PAJ_平面ABCD,N 为 PC 的中点，所以N 到平面ABCD的距离为gpA.取 BC的中点E,连接AE.由 AB=AC=3 得 AEBC,A E=C,故BC_L)C,在RtADCF中，可得F=2而，在Rt。尸尸中，可得sin3喂美所以，直线A B与平面

41、P B C所成角的正弦值为g.3.(2016 新课标全国I,18汝口图，已知正三棱锥P A B C的侧面是直角三角形，P A=6,顶点P在平面A B C内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交A B于点G.(1)证明：G是A B的中点；(2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积.3.(1)证明因为P在平面ABC内的正投影为。，所以因为。在平面南8内的正投影为E,所以ABLOE.所以平面PEZ),所以A8_LPG.又由已知可得从而G是A B的中点.(2)解在平面物B内，过点E作尸8的平行线交力于点F,尸即为

42、E在平 P面以C内的正投影.理由如下：由已知可得P B L P C,又 EFUPB,所以 EFLPC,13所以E F,平面C,即点F为E在平面B4C内的正投影.连接C G,因为P在平面ABC内的正投影为。，所以。是正三角形A8C的中心.2由(1)知，G是A B的中点，所以。在CG上，所以CD=CG.由题设可得PC_L平面E_L平面以8,2 1所以 OEP C,所以 PE=PG,DE=mPC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且以=6,可得。E=2,PE=2小.在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2.1 1 4所以四面体P D E F的体积y=QX/x2x2x2=.4.(2016.新课

43、标全国1【，19)如图，菱形ABC。的对角线A C与交于点。，点E,F分别在A。，C。上，AECF,E F 交 B D 于点、H,将尸沿EF折到OEF的位置./(1)证明：ACA-HD；/:(2)若 A8=5,AC=6,A E=j,0。=2啦，求五棱锥。3BCFE1的体积.B 2-Ap rp4(1)证明由已知得AC L8。，A D=C D,又由人=,BDCHD=H,所以AC_L平面DHD,于是 AC_L。，又由 0 c o H,A C n0H=0,所以OOJ_平面ABC.又由差嘲得1 1 9 69五边形ABCFE的面积S=x6x85x5x3=彳,所以五棱锥DABCFE的体积V斗

44、学 x2，5=警.5.(2016北京，18)如图，在四棱锥BC。中，PCJ_平面 ABC。，AB/DC,DCA.AC.(1)求证：C_L平面出C；(2)求证：平面%B_L平面以C；设点E 为AB的中点，在棱PB上是否存在点F,使得以平面CEF?说明理由.5.(1)证明 V PC ffi ABCD,DCu平面 ABCD,/.PC1DC.又 AC_LDC,PCCIAC=C,PCu平面 PAC,ACu平面 PAC,；.CDJ_ 平面 PAC.(2)证明：ABCD,CD_L平面 PAC,，AB_L平面 PAC,又 ABu平面PAB,，平面PAB_L平面PAC.解棱 PB上存在点F,使得PA平面CE

45、F.证明如下：取 PB 的中点F,连接EF,CE,CF,又因为E 为 A B的中点,.EF为 PAB的中位线,；.EFPA.又 PAU平面CEF,EFu平面CEF,；.PA 平面 CEE6.(2016 浙江，18)如图，在三棱台A8CDEF中，平面BCF_L平面ABC,NACB=90。,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证：B F l A C F D；(2)求直线BD 与平面ACFD所成角的余弦值.6.(1)证明延长 AD,BE,C尸相交于一点K,如图所示，因为平面BCFEJ_平面A B C,且 AC_LBC,所以AC_L平面BCK,所以 8F_LAC.又因为 EFBC,

46、BE=EF=FC=1,BC=2,所以 BCK为等边三角形，且 F 为 C K 的中点，贝 IJBFLCK.所以BF_L平面ACFD.(2)解因为BFL平面A C K,所以NBDF是直线BD与平面ACFD所成的角.在 RtABFD 中，BF=E、BD.BE.(1)证明：DEL平面PBC试判断四面体E8CO是否为鳖席.若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；10.解(1)因为 PD_L底面 AB C D,所以 PD_LBC,A由底面ABCD为长方形，有 BCLCD,而 PDC1CD=D,所以 BC_L平面 PCD.而 DEu平面PC D,所以 BCDE.又因为P D=C

47、D,点 E 是 PC的中点，所以DELPC.而 PC nBC=C,所以 DE_L平面 PBC.由 BC_L平面PCD,DEL平面P B C,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臊，其四个面的直角分别是NBCD,ZBCE,ZDEC,ZDEB.(2)由已知，PD是阳马PABCD的高，所以V1=；SABCD-PD=；BC CD-PD；由(1)知，DE 是鳖席 DBCE 的高，BC XC E,所以 V2=；S4 BCE-DEMBCCEQE.在 RtAPDC中，因为P D=C D,点 E 是 PC的中点，所以DE=CE=C D,_V gBCCDPD 2CDPD，屈=1 v=

48、CEDE=4蕾 CCE-DE记阳马P-ABCD的体积为V I,四面体EBCD的体积为V 2,求正的值.11.(2015浙江，18)如图,在三棱柱 ABC-AB1G 中,NB4 c=90,A B=A C=2,4 A=4,A在底面ABC的射影为8 c的中点，。为8 G的中点.(1)证明：AQ_L平面A/C；.(2)求直线AXB和平面BBiG C所成的角的正弦值.J11.证明设E为BC的中点，由题意得平面A B C,所以因为A 8=A C,所以AE_LBC,所以AE_L平面ABC.由。，E分别为B C i，BC的中点，得 DE B由且 D E=B 出,从而 DE/A,A 且 DE=A

49、A,所以4 4 Q E为平行四边形，于是A QAE又因为平面A|B C,所以4 0,平面ABC.解作垂足为F,连接8足因为AE_L平面A B C,所以BC_LAiE.因为BCLLAE,所以BC_L平面A4Q E所以B C L4F,A F L平面B B iG C,所以N 4 8 F为直线4 8和平面BBiG C所成的角.由 AB=4C=2,Z C A B=90,得 E A=E B=p由 AEJ_平面 4 B C,得 A A=A B=4,AE=y 4.Pj由。E=B 8=4,DAI=E A=M N)4 E=9 0。，得4尸=与.rj所以sin NA 8/o12.(2015天津，17)如图

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