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1、2022高考数学真题分类汇编十、立体几何一、单选题1.（2022全国甲（文、理）T4）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为（）A.8B.12 C.16【答案】B【解析】【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.【详解】由三视图还原几何体，如图，D.20则该直四棱柱的体积丫2+4二-x 2x2=12.2故选：B.2.（2022全国甲（文）T9）在长方体A 3 C O-A 4C Q 中，已知与。与平面A 8C O 和平面A 4 4 B所成的角均为30。，则()A.A B 2A D B./8与平面A 4G。所成的角为30。C.AC=CB,
2、D.与 平 面 所 成 的 角 为45【答案】D【解析】【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出.【详解】如图所示：不妨设AB=a,AO=A 4,=。，依题以及长方体的结构特征可知，耳。与平面ABCD所c b成角为NBQB,与平面4 4,4 8所成角为/D g A,所以sin30。=京=6-二，即DL)DL)b=c 9 BD=2c=J/+/+c?,解得a=/2c 对于 A,AB=a,AD=b,AB=72AD A 错误；对于B,过8作用于石，易知B E 1平面4 4 G。，所以AB与平面ABC。所成角为N B A E,因为tanN84E=Y 2，所以N 8 4 EH3 0 ，B错误；
3、a 2对于 C，AC=la2+b2=V3c CB=jb2+c2=&c，CB,C 错误；对于D,与 平 面 所 成 角 为ZDBC,sinZDB,C=-=,而B、D 2c 20 Z D B1C 9 0 所以ND4c=4 5 .D正确.故选：D.3.(2 0 2 2全国甲(文)T 1 0)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀,侧面积分别为S甲和S乙，体 积 分 别 为%和 勿.若 券=2,则*()乙 V乙A.7 5 B.2X/2 C.V 1 0 D.4【答案】C【解析】【分析】设母线长为/,甲圆锥底面半径为弓，乙圆锥底面圆半径为马，根据圆锥的侧面积公式可得4=2弓，再结合圆心角
4、之和可将不与分别用/表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为/,甲圆锥底面半径为小乙圆锥底面圆半径为4，则泮叫=2,S乙y/r2所以4 =2 4，r 2孙 2g-又 一L+z=2 兀，I I则牛=1,所啥 3 9 3:兀咛儿!/义还/3 9 3=而.故选：C.4.（2022全国甲（理）T7）在长方体4 B 8-A B C Q 中，已知瓦。与平面A 8C O 和平面 A 4.4 B 所成的角均为30。，则（）A.AB2AD B M 2与平面A 4 G。所成的角为30。C.A C-C B,D.瓦。与平面BBC。所成的角为45【答案】D【解析】【分
5、析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出.【详解】如图所示：不妨设AB=a,A O =A 4 =c,依题以及长方体的结构特征可知，耳。与平面A 3C D 所c b成角为4。与平面A 4 4 B 所成角为N O 4 A,所以sin30 即DL）b=c 9 BD=2c=da?+/+c2，解得a=V2c-对于 A,AB=a,AD=b,AB=41 AD A 错误;对于B,过B作B E J.A 4于 七，易知BE1平面4BCQ,所以43与平面所成角为 N B A E，因为 t a n/B 4 E =Y2，所以 N B 4 E/3 0 ，B 错误；a 2对于 C,A C =y/a2+b2=V 3
6、c C B 1 =J b2+c?=V 2 c A C w C g,C 错误；对于D,BQ与平面BBCC所成角为，s i n/。4c=空=己=也，而BQ 2 c 20 Z D B,C 9 0 ,所以ND 4 c =4 5 .D正确.故选：D.5.(2 0 2 2全国甲(理)T8)沈 括 的 梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的 会圆术，如图，AB是以。为圆心，。/为 半径的圆弧，C是 的 中点，。在A3上，C D L A B.“会圆术”给出A3的弧长的近似值s的计算公式：C D 5 =A 5 +.当 C M =2,Z A Q B =6 0。时，s=()O AA1 1-3 百
7、 D 11-4A/3 八 9-3 百A.-C.-2 2 29-4g2【答案】B【解析】【分析】连接。C,分别求出4 5,O C,C D,再根据题中公式即可得出答案.【详解】解：如图，连接O C,因为C是A 8的中点，所以OC，AB,又C D _LA B,所以O,C,三点共线，即 0 0 =04=0 8 =2,又 乙4。8=60。，所以 4 8 =04=0 3 =2,则。=6,故CD=2-/，所以s=AB+至=2+上日=上迪OA 2 2故选：B.6.(2022全国甲(理)T 9)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和5乙，体积分别为4和V乙.若 含=2,则
8、泊 ()3乙 V乙A.75 B.272 C.V10 D.4【答案】C【解析】【分析】设母线长为/,甲圆锥底面半径为，i，乙圆锥底面圆半径为G，根据圆锥的侧面积公式可得4=2弓，再结合圆心角之和可将、4分别用/表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为/,甲圆锥底面半径为小 乙圆锥底面圆半径为乃,则把=%=二=2,S乙 兀rj r2所以4二2为，21匕 275.又 一L+工=2兀，则牛=1,所吟4/3 1 1 _ 9 3=M,出中当I故选：C.7.（2022全国乙（文）T9）在正方体ABCO-A4GR中，E,尸分别为A3,3 c的中点，则（）A.
9、平面用E/7 J_平面BOR B.平面片EE _L平面ABOC.平面耳E/7/平面A AC D.平面片 尸平面4G。【答案】A【解析】【分析】证明平面8 0。，即可判断A：如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系,设AB=2,分别求出平面四后F，A.BD,4G。的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断B C D.【详解】解：在正方体A B S-AAGA中,AC，3。且。A J平面 A B C D,又EFu平面ABC。，所以E/7，。，因 为 瓦 尸 分 别 为 的 中 点，所 以 瓦1|A C,所以EEJ.8 D，又 B D C D D =D,所 以 平 面又EFu平面与石尸，所以平面6E F
10、1平面B D D,故A正确；如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设A3 =2,则 4(2,2,2),(2,1,0),尸(1,2,0),8(2,2,0),4(2,0,2),4(2,0,0),C(0,2,0),G(0,2,2),则 乔=(1,1,0),国.=(0,1,2),。月=(2,2,0),D A1=(2,0,2),A =(O,O,2),/=(-2,2,0),而；=(-2,2,0),设平面用石尸的法向量为2 =(x”y,z J ,则有，m -E F=一%+y=0m-E B 1 =y+2 Z =0,可取机=(2,2,-1),同理可得平面A/。的法向量为)=(1,L1)，平面4AC的法向量为后
11、=(1,1,0),平面ACQ的法向量为w=(1,L T)，则加=22 +1 =1 w O,所以平面用石尸与平面4吕。不垂直，故B错误;uu因为僧与，不平行所以平面4 E E 与平面4 A C 不平行，故 C 错误;因为加与3 不平行，所以平面4 E b 与平面4 G。不平行，故 D 错误,故选：A.8.（2022全国乙（文）T12）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其 高 为（）1A.-3C2D.皂2B-I【答案】C【解析】【分析】先证明当四棱锥 顶点。到底面/B C D 所在小圆距离一定时，底面/8 C D 面积最大值为2rj进而
12、得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面为四边形力8 8,四边形4 8 8 所在小圆半径为r,设四边形力 8。对角线夹角为a ,1 1 1 ,则 以8 6=5 4。8。与1 1 4 5 乂。8。嗟2八2 r=2 产（当且仅当四边形A B C D为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点。到 底 面 所 在 小 圆 距 离 一 定 时，底面N8CO面积最大值为2/又产+*_ J则 V3 4 2尸 尸 22 4 J J J U +可=竽 J J 乙 /当且仅当/=2 川 即/,=*时等号成立，故选：C9.（2022全国乙（
13、理）T7）在正方体4B C O-A B C Q 中，E,尸分别为AB,B C 的中点，则（）A.平面用E/_ L 平面B.平面与EE J平面4 8。C.平面片 /平面AAC D.平面4 E E/平面AG。【答案】A【解析】【分析】证明平面8。2 ,即可判断A：如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设 AB=2,分别求出平面g E F,B D,4G。的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.【详解】解：在正方体ABC。-A 瓦中，A C B D 且 D D1 平面 A B C D,又E F u 平面ABC。，所以所，。，因为民尸分 别 为 的 中 点，所 以 斯|A C,所以E F J.
14、%），又 B D C D =D,所 以 防 _L平面又E F u 平面B F ,所以平面用后尸，平面B。，故 A 正确;如图，以点。原点，建立空间直角坐标系，设 A6=2，则 4（2,2,2）,E（2,1,0）,网 1,2,0）,8（2,2,0）,A（2,0,2）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,C,(0,2,2),则 而=(一 1,1,0),函,=(),1,2),加=(2,2,0),瓯=(2,0,2),羽=(0,0,2),心(-2,2,0),而=(-2,2,0),设平面BEF的法向量为m=（X，M，zJ,则有，m-EF=-X 1 +*=0fn-EBi=y+2z=0可取加=(2,2,-1)
15、,同理可得平面4 8。的法向量为）=（1,1,一1）,平面a A C 的法向量为%=（1,1,0）,平面AG。的法向量为鼠=（1，1，-1）-则 wrH=2 2+1 =1/0,所以平面用E F 与平面A B O 不垂直，故 B 错误;UU因为说与2不平行，所以平面g E E 与平面4 A C 不平行，故 C 错误;因为质与 不平行，所以平面g E F 与平面AG。不平行，故 D 错误,故选：A.10.（2022全国乙（理）T9）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其 高 为（）A.-B.1 C.D.32 3 2【答案】C【解析】【分析
16、】先证明当四棱锥的顶点。到底面Z8C。所在小圆距离一定时，底面4 8 8 面积最大值为2/，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面为四边形/B C D,四边形4 8 8 所在小圆半径为r,设四边形Z 8 8 对角线夹角为。，1 1 1 ,则5.8=展 4。8。与1 1 0 3 4。8。=4时等号成立，故选：C1 1.（2 0 2 2新高考I卷T 4）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1 4 8.5 m时，相应水面的面积为1 4 0.0 kn?；水位为海
17、拔1 5 7.5 m时，相应水面的面积为1 8 0.0 km2,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1 4 8.5 m上升到1 5 7.5 m时，增加的水量约为（疗a 2.6 5）（）A.1.0 x l09m3 B.1.2 x l09m3 C.1.4 x l09m3 D.1.6 x l09m3【答案】C【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出.【详解】依题意可知棱台的高为M N =1 5 7.5-I 4 8.5 =9（m）,所以增加的水量即为棱台的体积V.棱台上底面积 S =1 4 O.()km2=1 4 0 x 1()6 n?，下底面积 s
18、，=1 8 0.0 km2 =1 8 0 x l()6 m2,二 S +S +3、Vj=lxgx(uoxio+isoxio6+/140X180X1012)=3 x(3 2 0 +6 0 V 7)x l06(9 6+1 8 x 2.6 5)x l07=1.4 3 7 x l09 1.4 x l09(m3).故选：C.1 2.（2 0 2 2新高考I卷T 8）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为3 6万，且34/38，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A.1 8,肛42 7 8 1B.,4 42 7 6 4D.1 8,2 7【答案】C【解析】【分析】设正四棱锥的高为人由球
19、的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系,由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】球的体积为3 6万，所以球的半径R =3,设正四棱锥的底面边长为2”，高为人则/2=2+/2 2,32=2 a2+(3-h)2,所以6 7?=尸，2 a2=l2-h21 1 7 广2 1 (、所以正四棱锥的体积V =-S/=-X4/X/2=-X(/2-)x =-Z4-3 3 3 3 6 6 9 1 3 6)所以V 当3 K/K 2新 时，V 0,当26七36时，V (),l6 4所以当/=2指 时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为5,2 7Q 1又2 =3时，丫=一，/=3百 时，V =,4 4所以正四
20、棱锥的体积V的最小值为所以该正四棱锥体积的取值范围是2 74一2 7 6 4-,-4 3故选：C.1 3.(2 0 2 2新高考I卷T9)已知正方体A 8 C O-A 8 C Q，则()A.直线8G与 所 成 的 角 为9 0。B.直线8G与C4所成的角为9 0 C.直 线 与 平 面3片。所成的角为4 5 D.直线BG与 平 面 所 成 的 角 为45【答案】ABD【解析】【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接5 0、B C,因为D4./ABC，所以直线BG与4 c所成的角即为直线BG与 以所成的角，因为四边形Bq。为正方形，则qC_LBG，故直线8 6与 招 所成
21、的角为90。，A正确；连接A。，因为，平面B B G C ,BC u平面B B C ,则A4 B Ct,因为g c，BG，4 4 n 4 c =4,所以平面A ge,又A C u平面A 4 C,所以BGJ-CA，故B正确；连接设4 6 0 4 2=。，连接5 0,因为8耳J.平面A 4 G 9，。0 则，府，S FFMU EM FMM O2，AC=2几，则 匕=匕-EFM+%_FM=A C SAEF”=2/,则 2匕=3V（,匕=3匕，=V,+V2,故A、B错误；C、D正确.故选：CD.16.（2022北京卷T9）己知正三棱锥?一 AB。的六条棱长均为6,S是 及 其 内 部 的点构成的集合.
22、设集合,=&SPQ-5,则T表示的区域的面积为（）3兀A.B.%C.2乃 D.3乃4【答案】B【解析】【分析】求出以尸为球心，5为半径的球与底面ABC的截面圆的半径后可求区域的面积.设顶点P在底面上的投影为。，连接B。，则。为三角形ABC的中心,且BO=2 x 6 x走=2 6，故PO=j3 6 12=2卡.3 2因为PQ=5,故OQ=1,故S的轨迹为以。为圆心，1为半径的圆，而三角形4 6。内切圆的圆心为0,半径为*36=,故S的轨迹圆在三角形ABC内部，故其面积为开故选：B17.（2022浙江卷T8）如图，已知正三棱柱ABC 4 4 G，AC=AA，E,尸分别是棱8C,4 G上 的 点.记
23、 斯 与A&所成的角为a,E F与平面ABC所成的角为 尸，二面角E-B C -A的平面角为/,则（）A./?/B.(3ayC.p y a D.a y =t a n BPE所以cW4故选：A.三、解答题1.（2022全国甲（文）T 19）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示:底面458 是边长为8（单位：c m ）的正方形，AEABQFBC,4CD,AHDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面A 8 C。垂直.（1）证明：E F/平面 A B C D；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.【答案】（1）证明见解析；%G3【解析】【分析】（1）分 别 取
24、的 中 点M,N,连接MN,由平面知识可知E M 1 A B,F N 1 B C,E M =F N,依题从而可证E M 平面A B C D，网V，平面A B C D,根据线面垂直的性质定理可知EM/FN,即可知四边形EMNF为平行四边形，于是E F/M N,最后根据线面平行的判定定理即可证出；（2）再分别取中点K,L,由（1）知，该几何体的体积等于长方体K M A亿-E F G”的体积加上四棱锥B -M N F E体积的4倍，即可解出.【小 问I详解】如图所示:分别取A5,BC的中点M,N,连接M N,因为E ABAE BC为全等的正三角形，所以EM LAB,FNLBC,EM=FN,又平面E4
25、6_L平面ABC。，平面E钻 c平面ABCD=AB,u平面EAB，所以EM J_平面ABCD,同理可得EV _L平面ABCD,根据线面垂直的性质定理可知E M/F N,而EM=FN,所 以 四 边 形 为 平 行 四 边形，所以EF/M N,又 所 平面ABCD,MN u平面ABC。，所以EF/平面ABCD.【小问2详解】如图所示:分别取AD,OC中点K,L,由（1）知，EF/M NSLEF=MN,同理有，HE/KM,HE=KM,HG/KL,HG=KL,GF/LN,GF=LN,由平面知识可知,BDM N,MN LM K,KM=MN=NL=LK,所以该几何体的体积等于长方体KMNL-EFGH的体
26、积加上四棱锥8-MNFE体积的4倍.因为MN=NL=LK=KM=4 6，M=8sin60=4G，点B至呼面MNFE的距离即为点B到直线MN的距离d,d=2&，所以该几何体的体积V=（4V2）2X4 +4X1X4V2X4V3X2A/2=12873+=-7 3.2.（2 0 2 2全国甲（理）T 1 8）在四棱锥P-A 8C D中，底面ABCD,CD/AB,AD=DC=CB=l,AB=2,DP=y/3.（1）证明：BDPA；（2）求尸。与平面Q 4 B所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；更5【解析】【分析】（1）作。E L A B于 ,C TLA B于 尸，利用勾股定理证明A O _ L
27、B D，根据线面垂直 性质可得P D _ L 3 D，从而可得5 _ L平面P A D，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【小 问1详解】证明：在四边形A B C。中，作。E _ L AB于E,。尸,人5于尸，因为 CD/AB,A D =C D =CB=1,A B =2,所以四边形A 8 C D为等腰梯形，所以 AE=BF=L,2故 DE:号,BD7DE?+BE?=5所以 A 2 +8 2 =AS?，所以 A ）_ L B。，因为P D J 平面A B C D,B D u平面A B C D,所以PDLB D，又 P D c A D=D，
28、所以5 _ L 平面B A D,又因PA u平面P A D,所以8DLB 4；【小问2详解】解：如图，以点。原点建立空间直角坐标系,B D =6，则 4（1,0,0）,网0,百,0）金仅,0,百），则 Q=（1,O,而=（o,-6,何，琼=（0,0,6）,设平面P A B的法向量=（x,y,z）,则有n-A P=-x+=0n-B P=-Gy+y/3z=0可取 =(6,1,1),尸 7YD n DP 旧所以PO 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 为 也.A Z3.(2 0 2 2全国乙(文)T 1 8)如图，四面体 A B C。中，A D CD,A D =C D,Z A D B =Z B
29、D C ,E为/C的中点.(1)证明：平面6 _ L平面4 8;(2)设A8 =B O =2,N ACB=60。，点尸在8。上，当4比1的面积最小时，求三棱锥E一 A B C的体积.【答案】(1)证明详见解析(2)旦4【解析】【分析】(1)通过证明A C，平面BE )来证得平面6E D J _平面ACQ.(2)首先判断出三角形A FC的面积最小时E点的位置，然后求得F到平面A B C的距离，从而求得三棱锥F -A B C的体积.【小 问1详解】由于=E是4 c的中点，所以AD=CD由于 =CD,A_LCD,所以三角形AC。是等腰直角三角形，所以。E=l.DE2+BE2=BD2 所以 DE上 B
30、E，由于AC cBE=E,AC,BEu平面A B C,所以。EJ_平面ABC.由于 AD BMAC D B,所以 NFBA=NFBC,BF=BF由于 _ L平面A C。；（2）设AB=3 0 =2,N A C B =60。，点尸在3。上，当 AR 7的面积最小时，求C F与平面A B D所成的角的正弦值.【答案】（1）证明过程见解析（2）C F与平面AB。所成的角的正弦值为迪7【解析】【分析】（1）根据已知关系证明A3。之 C B D,得到AB=C 8,结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）根据勾股定理逆用得到B E _ L O E，从而建立空间直角坐标系，
31、结合线面角的运算法则进行计算即可.【小 问1详解】因为AD=C。，E为A C的中点，所以AC，；在 A A B D 和 ACBD 中，因为 A D -CD,Z A D B =/C D B,D B =D B ,所以A3。2 CBZ）,所以AB=C B,又因为E为A C的中点，所以AC _L B E；又因为E,8Eu平面BED，DECB E=E,所以AC，平面BED，因为A C u平面A C O,所以平面BED_L平面ACO.【小问2详解】连接E E,由（1）知，AC_L平面BE。，因为E F u平面BE。,所以 A C J.E F,所以 SFc=g A C-F，当EE J_ 3。时，户 最小，即
32、AEC的面积最小.因为度C3。，所以CB=AB=2,又因为NACB=60。，所以 ABC是等边三角形，因为E为A C的中点，所以AE=EC=1,BE=6因为A），C,所以。E=4A C =1,2在 AOE B中，D E2+B E2=BD2 所以 B E L D E.以后为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E一砂z,则 4（1,0,0）,网0,6,0）,。（0,0,1）,所 以 诟=（1,0,1）,通=卜1,6,0卜设平面4BO的一个法向量为=（九,y,z）,n-AD=-x+则 一n AB=-x+又因为C(-1,0,0),尸O，T,所 以 瓯=1,乎,(,0,取 y=6,则 7=(3,6,3)
33、,设C F与平面ABO所成的角的正弦值为eo ，即可得证；(2)过点A作Az。尸，如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；小 问1详解】证明：连接8。并延长交AC于点O,连接0 4、PD,因为PO是三棱锥P A8C的高，所以PO_L平面ABC,AQ,3Ou平面ABC,所以PO_LAO、P O B O,又 P A =P B,所以PQ4M尸。8,即。4=0 8,所以 NQ45=NO8A,又 A3_LAC,即/BAC=9 0,所以 NOA8+NOAD=90,/。胡 +NOZM=90,所以 NOD4=NOA。所以AO=。，即=所以。为3。的中点，
34、又足为PB的中点，所以O E/P D,又OEZ平面P 4 C,尸D u平面P4C，所以。石平面PAC【小问2详解】解：过点A作Az O P,如图建立平面直角坐标系，因为尸。=3,AP=5,所以 04=JAP?一 p02=4,又 NOR4=N05C=3（）,所以 30=2 3 =8,则 AD=4,A8=4 6，所以AC=1 2,所以O（2g,2,0）,B（4V3,0,0）,P（28,2,3）,C（0,12,0）,所以E时,i,g）,则 荏=（3 6 1,|）,AB=（473,0,0）,而=（0,12,0）,二 r 3_/、n-AE=3v3x+y+z=0设平面AB 法向量为=（x,y,z）,则j
35、2，令z=2,则n-AB-4 g x =0y=-3,x=0,所以=（0,-3,2）；/、m -A E =3 y/3 a +h+c =0 厂设平面A E C 的法向量为z n =(,b,c)，则,2,令Q=G，则m-A C =1 2 h=0c=-6,b =0,所以J%=(G,O,6)；/-n-m-1 2 4 3所以co s 丽丽=而谢=一百设二面角C-AE-B为 6,由图可知二面角C-AE-B为钝二面角，所以co s 6 =迪，所以s i n 6 =J l -c o s 2 e=U13 13故二面角C 4 E 3 的正弦值为“；7.（20 22北京 卷 T 17）如图，在三棱柱A B。A4G中，
36、侧面耳为正方形，平面平面入 物 4,A B =B C =2t M,N分别为A4,好 的中点.（1）求证：MN 平面 B C gB i；（2）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求 直 线 与 平 面 8 仞V 所成角的正弦值.条件：A B L M N-.条件：BM=MN.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取A3的中点为K，连接MK,NK,可证平面MKN平面Q 54G，从而可证MN平面CBBC-（2）选均可证明8片J.平面A B C,从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.【小 问1详解】取
37、 的 中 点 为K，连接MK,NK,由三棱柱ABC-A与G可得四边形ABB,A,为平行四边形,而=M&BK=K A,则 MK/BB、,而KE所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；处.14【解析】【分析】（1）过点E、。分别做直线。C、A3的垂线EG、D H 并分别交于点G、H,由平面知识易得f C=8 C,再根据二面角的定义可知，zCF=60.由此可知，F N A.B C,F N 上C D,从而可证得FN，平面ABC。，即得FNLAO；（2）由（1）可知FNL平面ABC。，过点N做A8平行线N K,所以可以以点N为原点，N K,N B、NV所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系N
38、一孙z,求出平面ADE的一个法向量，以 及 丽，即可利用线面角的向量公式解出.【小 问1详解】过点、。分别做直线DC、AB的垂线EG、并分别交于点交于点G、H.；四边形 A B C D 和 E F C D 都是直角梯形，AB/DC,CD/EF,=5,OC=3,砂=1,N8AD=NCrE=60。，由平面几何知识易知，D G =A H =2,N E F C =Z D C F =/D C B =Z A B C=9 0,则四边形 E F C G 和四边形是矩形，.在 RJEGD和 RJOHA,E G =D H =2 6，V DCA-CF,DCA.CB,且 C fc C B =C,DC平面BC F/BC
39、 F是二面角F-D C-B的平面角，则ZBCF=60.BC F是正三角形，由。C u 平面ABC。，得平面ABC。，平面3C F,；N 是 B C 的中点，,FN上BC,又DCL平面BCF,硒 匚 平 面 0:/可 得 可，。,而 6 C c C O =C,二 平面A B C D,而 A O u 平面A8C);.FN _LA).【小问2 详解】因为FN，平面ABCD,过点N做 A 3 平行线NK,所以以点N 为原点，NK,NB、NF所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系N 孙z,设 4(5,73,0),8(0,73,0),0(3,-石,0),(1,0,3),则 M 3,k 2 27(J i /.BM=3,-,-，加=(-2,-2百,0),庞=(-2,石,3)2 2设平面ADE的法向量为n=(%,z)n-AD=0,-，得Vn-DE=0由，-2x-2y/3y=0 厂 l ,IX n=(V3,1,/3),一 2x+j3 y+3z=0设直线8 M 与平面A D E 所成角为夕,*-sin 0=cos 万,BM=n-BM向.丽 V37T73.573 5779-V7-2V3-14