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1、2019年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷数学(文史类)本试卷分为第I卷(选择题)和第I【卷(非选择题)两部分，共1 5 0分，考试用时1 2 0分钟.第I卷参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A U 5)=尸(A)+P(B).圆柱的体积公式V=S九其中S表示圆柱的底面面积也表示圆柱的高.棱锥的体积公式v g s九其中S表示棱锥的底面面积/表示棱链的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设集合 4=-l,l,2,3,5,B=2,3,4,C=xG R|l q-1,(A)2 (B)3(C)5 (D)6(3)设 x G R,则“0 r 5 是的(A)充分而不
2、必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(4)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为(A)5(B)8(C)2 4(D)2 9(5)已知 a=l og 2 7,6=l og 38,c=0.30 2,则 a,b,c 的大小关系为(A)c a(B)abc(C)bca(D)ca0/0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且总身=4|O F|(。为原点)，则双曲线的离心率为(A)V2(B)V3(C)2(D)V5已知函数x)=4sin(5+8)(A0,加0,|。|兀)是奇函数，且7(x)的最小正周期为兀，将 丁 力 工)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标
3、不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g g尸 鱼，则共祭尸(A)-2(B)-V2(C)V2(D)2(2x,Gx 1.45 9 5 9(A)泊(B)(泊4 4 4 45 95 9(C 啜U1(D啰 U1第II卷二、填空题:本大题共6小题,每小题5分，共30分.(9)i是虚数单位，则培j的值为.(10)设xWR,使不等式3f+x-20,y0,x+2y=4,则 竺 但 也 的 最 小值为.(14)在四边形ABCD中,4。8018=2疗4力=5,乙4=30。,点E在线段CB的延长线上，且AE=BE,则丽 荏=.三、解答题:本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(15)(
4、本小题满分13分)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(I)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(II)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A,B,CQ,E,F.享受情况如下表，其中“。”表示享受,“x”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.A B C D E F项目员工子女教育O OXO XO继续教育X XOX OO大病医疗X XXO
5、 XX住房贷款O OXX OO利息住房租金X XOX XX赡养老人O OXX XO试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设 M 为事件“抽取的2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同“，求事件“发生的概率.(16)(本小题满分13分)在小A B C中，内角A,B,C所对的边分别为a力,c,已知人+c=2a,3csin B=4asin C.(I)求cos B的值；(II)求 sin(2B+?)的值.6(17)(本小题满分13分)如图，在四棱锥P-A8CQ中，底面ABC。为平行四边形,PCO为等边三角形，平面PACL平面PCD,PA CD,CD=2AD=3.(I)设G,H分别为P 8 4 C
6、 的中点，求证:G”平面PAD;(II)求证:PA L平面PCD;(HI)求直线AO与平面P4C所成角的正弦值.(18)(本小题满分13分)设 小 是等差数列,与 是等比数列，公比大于0.已知41=加=3,3=43力 3=4改+3.(I)求 斯 和 九 的通项公式；(11)设数列 金 满足金=1,71为奇数，、为,71为偶数.求-2aC+CI2C2+.+a2nC2n(ft N(19)(本小题满分14分)2 2设椭圆5+2=1 。)的左焦点为尸，左顶点为A,上顶点为B.已知6|。4|=2|0阴(。为原点).(I)求椭圆的离心率;(n )设经过点F且斜率为3的直线/与椭圆在X轴上方的交点为P,圆C
7、同时与x轴和宜线/相切，圆心C在直线x=4上，且O C A P.求椭圆的方程.(2 0)(本小题满分1 4分)设函数7 U)=l n 1 )e 其中 c z R.(I )若H O,讨论yw的单调性；(I I)若 0 a 沏，证明3 x o-x i 2.1234567891 01 11 21 31 4DCBBADCDV13元+2 y-2=0n492-1(1)D【考查目标】本题主要考查集合的交运算与并运算，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】通解 因为 AD C=1,2 ,8=2,3,4,所以(An C)U 8=1,2,3,4.故选 D.优解 因为8=2,3,4,所以(ACC
8、)U B中一定含有2,3,4三个元素,故排除A,B,C,选D.(2)C【考查目标】本题主要考查简单的线性规划问题，考查考生的数形结合能力以及运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算.【解析】解法一 作出可行域如图中阴影部分所示.由z=-4x+y 得 y=4x+z,结合图形可知当直线y=4x+z过点A时,z最大,由，”二:一。得故Z m a x=-4x(-l)+l =5.故选C.1%L解法二易知目标函数z=-4x+y的最大值在可行域的顶点处取得，可行域的四个顶点分别是(-1,1),(0,2),(-1,-1 ),(3,-1).当直线y=4x+z经过点(-1)时,z=5;当直线y=4x+z经
9、过点(0,2)时,z=2;当直线y=4x+z经过点(-11)时,z=3;当直线y=4x+z经过点(3,-1)时,z=-1 3.所以Z m a x=5,故选C.【解题高招】线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点取得，所以对于一般的线性规划问题，可以求出可行域的顶点坐标，将顶点坐标代入目标函数，从而确定目标函数的最值.(3)B【考查目标】本题主要考查绝对值不等式的解法、充要关系等知识,考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】由区1|1,解得0 2,(0,2)氧0,5),故“045”是“岳1|l o g2 4=2/=l o g3 8 l,c=0.3 2 l,
10、所以 cb 0,0,兀)是奇函数，且其最小正周期为再所以g=0,8=2 0,c o 0)的最小正周期丁=空，其图象向左平移a(a 0)个单位长度后所3得的图象对应的函数解析式为y=4 s in心(x+a)+M；其图象向右平移a(a 0)个单位长度后所得的图象对应的函数解析式为y=4 s in。a)+。.(8)D【考查目标】本题主要考查分段函数的图象与性质，函数图象的交点与方程的解之间的关系，考查考生分析问题、解决问题的能力，数形结合能力以及运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算.【解题思路】首 先 画 出 分 段 函 数 大 一 的 图 象，然后将方程有两个互异的实数解转化为两个函数
11、图象的交点问题即可求解.【解析】由题意画出危)的图象，如图所示,当直线)，=-2与 曲 线 月(x 1)相切时，方程2%+“有一个解胃4 u+4=0,/=(-4 a)2-4 x 4=0,得”=1,此时兀v)=-%+a有两个解.当直线y=-*a经过点(1,2)时，即2=*+a,所以 话,当直线=-%+经过点(1,1)时,1 =卞1 +“,得 话，从图象可以看出当“e处 时，函数 L的图象与直线尸号+。有 两 个 交 点,即 方 程 有 两 个 互 异 的 实 数 解.故 选D.t-,X 1 4 4【信息转化】本题求解的关键:一是画出函数的图象;二是利用数形结合思想,把方程有解问题转化为两函数图象
12、的交点问题.(9)713【考查目标】本题主要考查复数的运算及复数的模，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】通 解 =芸 耨=蜉=2-3 1,于 是=|2-3 i|=0 2 +(3)2 =g.优 解 目=凶=叵 旦=叵=旧几 畔i+i1|i+i|在 于 V2 丫2.(1 0)(-1,|)【考查目标】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】3/+X-2C0 即(3x-2)(x+l)0,)0,所以4=x+2)22/玩 即x乃2,当且仅当x=2y=2时取“=”，所以竺等 里&2+汽.【名师点睛】利用基本不等式求解函数的最值时，往
13、往需要对式子进行适当变形，创造应用基本不等式的条件.(1 4)-1【考查目标】本题主要考查平面向量基本定理及向量的数量积，考查考生分析问题与解决问题的能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】通 解 AEB为等腰三角形，易得由E|=2,所 以 荏=布+锯=布-|而，则前荏=(而-荏)(荏-浑尸-浑2工2+海.荏E O-12+215优解 如图，以点B为坐标原点,8C所在直线为x轴，垂直BC且过点8的直线为y轴,建立平面直角坐标系，则以 0,0),易知 E(-2,0),A(-3,V3),X BD=d 2S+1 2-2 x 5 x 2 b x cos3(T=V7,所以 0(2,
14、遮)，于是BD=(2,遮)，荏=(1，-次)，所以前版=(2,V3)-(1,-V3)=2-3=-l.rB C x(1 5)【考查目标】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.【解题思路】(I)先根据题意求出老、中、青员工人数之比,然后用分层抽样的知识即可求解;(H)利用列举法即可求解;(i i)先找出事件M包含的结果，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.解:(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6 ；9 ；1 0,由于采用分层抽样的方法从中抽取2 5 位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6
15、人,9 人,1 0 人.(H)从已知的6人中随机抽取2 人的所有可能结果为(i i)由表格知,符合题意的所有可能结果为A,B,A,D,A,E,A,F,B,D,B,E,B,F,C,E,C,F,D,F,E,F.所以，事件M发生的概率【归纳总结】求解随机事件的概率的关键是准确计算基本事件数，计算的方法有列举法、列表法、树状图法.求复杂的对立事件的概率一般有两种方法：(1)直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和进行求解;(2)间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)=1-P(A),即运用逆向思维(正难则反)求解,特别是“至多”、至少”型题目，用间接法更简便.(1 6)【
16、考查目标】本小题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式、二倍角公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力.【解题思路】(I )由正弦定理及已知条件得3。=4 ,再 结 合 将 仇c 用 a 表示，最后用余弦定理求c o sB;(H)结合(I )求出s i n B,进而求出s i n 2 8,c o s 2 民最后利用两角和的正弦公式即可得出结果.解:(I )在4 ABC 中,由正弦定理，二 4,得 bsin C=c s i n B,又由 3 c s i n B=4 o s i n C,得 3 b s i n。=4 a s i n。，即 3 Z?=4 as i n B s
17、i n C又因为+c=2 ,得至lj 由余弦定理可得c o s B=3 3 2ac 2 a a 43(I I )由(I 河得 s i n B=V l-c o s2B =f n s i n 2 8=2 s i n B c o s B=-,c o s 2 8=8$2 8 6 亩汨=二故 s i n(2 B+-)=s i n48 8 6”2 8 c o s 一n-上i-c o s”2 o s i1n1-=7-1-5-x7-3-7 x1-=-3 V-5-+-7-.6 6 8 2 8 2 1 6(1 7)【考查目标】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象
18、能力和推理论证能力.【解题思路】(I )连 接 由 三 角 形 的 中 位 线 定 理 得 结 合 线 面 平 行 的 判 定 定 理 即 可 得 出 结 论;(I I)取 PC 的中点N,连接 W,则P C,由面面垂直的性质定理得ON,平面P AC,进 而 得 利 用 线 面 垂直的判定定理即可证明;(H I)连接AN,则由(I I)得ND 4N为直线AD 与平面P 4 C 所成的角，再计算s i n/O AN即可.解：(I )连接 BD,易知 ACCBD=H,BH=DH.又由 8 G=P G,故 GH PD；又因为 G”,CDn W=,所以 P 4 _ L平面 PCD.(H I)连接AN,
19、由(冲平面P AC,可知ND 4N为直线A O与平面P A C所成的角.因为 P C D为等边三角形,C =2且N为P C的中点，所以 W=V 1又O N L A N,在R t A A N D中,s i n Z DAN=-.所以，直线AO与平面尸AC所成角的正弦值为当(1 8)【考查目标】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识，考查数列求和的方法和运算求解能力.【解题思路】(I )设等差数列”“的公差为4等比数列 仇 的公比为名由已知条件建立方程组进行求解即可;(I I)利用分组求和法及错位相减法求解.解：(I )设等差数列 斯 的公差为4等比数列 与 的公比为名依题
20、意，得箕&解得C二:故an=3+3(拉-1 )=3 力=3 x3/=3 .所以,。的通项公式为。=3/儿 的通项公式为bn-yi.(I I)0 C l+2 c 2 +2 C 2 n=(6 F 1 +1 3+4 5 +.+。2 -1)+(。2 6 1 +a4b2+a6b3+4-6 7 2/A l)=x3+y x6 +(6 x3 +1 2 x32+1 8 x33+.+6/J X 3 )=3 n2+6(l x3l+2 x32+.+n x3,).记=l x3 i+2 x3 2+.+x3 ,贝ij 3=l x3 2+2 x3 3+x3 i,-得,2 7；=3 3 2-3 3-3 +x 3 +i=-+x
21、3 i=.1 3 2所以M i C i +a 2 c 2+a2nC2n=3n2+6T=3n2+3x殁辿|三=(2)3 +9(1 9)【考查目标】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查运算求解能力以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.【解题思路】(I )利用己知条件将0 4=2|0用转化为b”=2匕,结合/=序+2,求出椭圆的离心率;(H)由(I )得出a=2 c,6=U c,用c表示出椭圆方程与直线/的方程，联立方程，消去y,得到关于x的一元二次方程，求出点P的坐标，利用已知条件可求解c的值，进而得到椭圆的方程.解：(I )设椭圆的半焦距为C,由已知有7 5
22、 4=2 6,又由二层+武消去匕得“2=(g)2+2,解得=；.所以椭圆的离心率为(1 1)由(I )知,a=2 c,6=g c,故椭圆方程为总+9=1.由题意尺c,0),则直线/的方程为污(x+c).点尸的坐标满，匕+以=足4 c 2 3 c 2 消去y并化简，得到7/+6 C X-1 3 c 2=0,解得为=阳=-3.代入到/的方程，解得力=为竺=-1.因(y=x +c),7 2 14为点尸在X轴上方，所以尸(c,|c).3由圆心C在直线x=4上，可设C(4,r).因为O C A P,且由(/)知A(-2 c,0),故 卜 熹，解得片2.因为圆C与x轴相切，所以圆的半径长为2,又由圆C与/
23、相切，得与上丝=2,可得c=2.小+(乎2 2所以，椭圆的方程为三+三=1.【解 后 反 思(1)要重视对椭圆、抛物线定义的理解与掌握,这样有助于挖掘题干中的隐含条件，有助于运用定义转化问题、解决问题;(2)处理直线与圆锥曲线的综合问题时，要特别注意有关平面几何知识的灵活运用.(2 0)【考查目标】本小题主要考查不等式的证明、运用导数研究函数的性质等知识，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力.【解题思路】(I )首先求出导数，根据於0,确定函数的单调性;(I I)利用导数及函数的零点存在性定理得函数犬X)的单调性及迷口具有唯一极值点,然后构造函数，结合函数的单调
24、性及零点存在性定理证明兀V)恰有两个零点;(ii)建立X O与为的关系式，通过放缩法得证.解:(I )由已知x)的定义域为(0,+o o),且f(x)=i-a ev+a(x-l)ex=1 e.因此当a0,所以火x)在(0,+o o)内单调递增.(H )(。由(/)知/x)=3-；e.令 8(X)=1-加以由 0 a 0,且g(l n=1 -a(l n，)2：=l-(l n )2 0,故g(x)=0在(0,+s)内有唯一解，从而，(x)=0在(0,+o o)内有唯一解，不妨设为孙则1 即等=0,所以於)在(0,沏)内单调递增;当x 6(x o,+8)时/(力=竽 时,/?故 (x)在(1,+o o)内单调递减,从而当 x 时,/z(x)/z =0,所以 I nx x-l.从而/(l n )=l n l n -c z(l n -l)el na=l n l n -l n +1=/z(l n )1时,l n x x o l,故e，r x。逊 辿=以，两边取对数，得I n匹/xl-lI n以于是x i-J t o 2 1n x o 2.【名师语要】运用导数的有关知识研究函数的单调性、极值和最值是高考考查的热点，函数与导数的内容在高考试卷中一般所占比例较大，考查时往往与不等式的证明紧密结合,对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等的考查深入.