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1、2020年普通高等学校招生全国统一考试全国I 卷文科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合力=矛，-3*0,14.设向量 a=(l,-1),b=5+1,2必M),若 a b,贝lj m=.15.曲线y-ln x+x+的一条切线的斜率为2,则 该 切 线 的 方 程 为.16.数列 a满足 a-lY a n-l,前 16 项和为 540,则.三、解答题:共7 0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、2 3题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共6
2、0分.17.(12 分)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D 四个等级.加工业务约定:对于A级品、B 级品、C级品，厂家每件分别收取加工费9 0 元,5 0 元,2 0 元;对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费5 0 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为2 5 元/牛，乙分厂加工成本费为2 0元举.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了 1 0 0 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等 级 A B C D频数 4 0 2 0 2 0 2 0乙分厂产品等级的频数分布表等 级 A B
3、C D频数 2 8 1 7 3 4 2 1(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的1 0 0 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？1 8.(1 2 分)4 5 C 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知8=1 5 0 .若a H c,求/8 C 的面积；(2)若 s i n J-/3 s i n，等,求 C1 9.（1 2 分）如图,为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心,4 8 C 是底面的内接正三角形,P为。上一点，N/R+9 0 .(1)证明：平面为用L 平面P AC(2)设D0=y2,圆锥的侧面积为
4、遍n ,求三棱锥产-4%的体积.2 0.(1 2 分)已知函数 F(x)=e*-a(x+2).(1)当 a=l 时,讨论/X x)的单调性；(2)若 f(x)有两个零点，求 a的取值范围.2 1.（1 2 分）已知A,6 分 别 为 椭 圆 马 旷=1(al)的左、右顶点，G 为后的上顶点,AG 福 产 为 直 线 x与上的动点,P A与 的另一交点为C,P B与的另一交点为D.(1)求 的方程；(2)证明：直线 如过定点.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修4M:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系x以中，曲线G的参数方程
5、为q=cos：t,.为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建(y=sinKt立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4 0cos 0-16Psin 夕+34).当 A=1时，G是什么曲线？(2)当=4时，求 G 与 G 的公共点的直角坐标.23.选修4节:不等式选讲(10分)己知函数 f(x)=|3x+l|-2|xT|.(1)画出y=f(x)的图象；(2)求不等式A x)M x+D 的解集.1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 21 31 41 51 6DCCADBCBCDBA 15 片 2 x 7l .D【考查目标】本题主要考查一元二次不等式的解法和集合的交运算，考查的核
6、心素养是逻辑推理和数学运算.【解析】解法一 由得-1 4。即集合4=x/T aG ,又集合炉 Y,l,3,5 ,所以4 rl 庐 1,3 ,故选D.解法二 因为(闻2-3 乂(/)/3,所以/住4故排除八；又 1 2-3 乂1/x化为标准方程（x-3）2 +炉田,设圆心为C,则以3,0）,半径 3 设点（1,2）为点A,过点4（1,2）的直线为1,因为（I T），?所以点火1,2）在 圆。的内部,则直线/与圆C 必相交,设交点分别为B,D.易知当直线入然时,直线1被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心。到直线1的距离为d,则 d=夕力（3-1）2+（0-2）2 2/1 所以/初以之7 7 戏名
7、132_（2烟 2%即弦的长度的最小值为2,故选B.【方法总结】（1）一条直线被圆所截得的弦为AB,则48/之不五港（其中r为圆的半径，,为圆心到直线的距离）.（2）过圆内一点夕的直线为1,当直线（其 中 C 为圆心）时,直线/被圆所截得的弦的长度取得最小值;当直线，过圆心时，直 线，被圆所截得的弦的长度取得最大值,最大值即圆的直径.7.C【考查目标】本题主要考查根据三角函数的图象求三角函数的最小正周期，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象和数学运算.【解析】通解 由题图知函数H x）的最小正周期7 满足：0-（-口胃），即“7 毛，即“9 9瑞与，即II 7 3/2.因为函数 3的图象过点（号
8、,0）,所以c o s （q 35）R,所 以 得 3?g+k n （AG Z）,解得又称所以4 T,所 以 H 二片,故选C.4 4 13 2 co 3优解 由题图知函数/U）的最小正周期 满足0-（f）TL(2 i-r!)+(3-23)-A 93-83)-10 X 处 管+3 X 8-8 a iq-_3 6 o+2 44m+3 9 2.又前 16 项和为 540,所以 9 2+3 9 2-540,解得m=7.【拓展结论】卷 底 j+/-n(n+l)(2n+D617.【考查目标】本题主要考查样本频率的计算、样本的平均值和用样本估计总体的思想,考查的核心素养是数学运算和数据分析.【解析思路】(
9、1)先分别求出甲、乙两分厂加工10 0 件产品中A 级品的频率，用频率估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；(2)分别求出甲、乙两分厂加工10 0 件产品利润的频数分布表,求得平均利润，比较即可得结果.解：(1)由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为最=0.4;乙分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为磊4.2 8.(2)由数据知甲分厂加工出来的10 0 件产品利润的频数分布表为利润 6 5 2 5-5:75频数 40 2 0 2 0 2 0因此甲分厂加工出来的10 0 件产品的平均利润为-6-5x-4-0-+-2-5-x-2-
10、0-5-x-2-0-7-5-x-2-0-15r.100由数据知乙分厂加工出来的10 0 件产品利润的频数分布表为利润 70 3 00 -70频数 2 8 173 4 2 1因此乙分厂加工出来的10 0 件产品的平均利润为70X28+30X17+0X34-70X21.八-10.100比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.18 .【考查目标】本题主要考查利用余弦定理解三角形、三角形的面积公式和三角恒等变换，考查的核心素养是数学运算.【解题思路】（1）根据已知及余弦定理求出c,进而得a,再用 比1的面积公式求解即可；（2）易得4=3 0 -C,结合已知等式及三角恒等变换即可求
11、解.解：（1）由题设及余弦定理得2 8 W C 2+/-2 X 遮 cX co s 150 0 .解 得c=-2（舍去），c=2,从 而a=2 V 3.的 面 积 为 V 3 X 2 X s in 150 RI(2)在 依 1中,4=18 0 -6-G 3 0。所以s in/大/5 s in C=s in (3 0 0 -0 G s in C=s in (3 0 0 +C).故 s in （3 0 +0 q.而 0 C 3 0 ,所以 3 0 Y M5 ,故 C=1 5 .1 9 .【考查目标】本题主要考查正三棱锥的结构特征、面面垂直的证明、圆锥的侧面积及三棱锥的体积计算，考查的核心素养是直观
12、想象、逻辑推理、数学运算.【解题思路】（1）由题意先确定三棱锥产皿如是正三棱锥,再结合N4T40 ,可得正三棱锥的三条侧棱两两垂直,从而得加，平面P AC,最后得平面序8 J _ 平面P AC-,（2）由 。的长和圆锥的侧面积可得圆锥的底面半径，从 而 可 得 进 而 求 得 三 条 侧 棱 的 长 度，最后利用体积公式求解 X 即可.解：由题设可知，处?炉 /g 由于?!a 是正三角形，故可得阳总用8,P Ag/XP BC.力/A）又。，故/4 必=9 0。，NBP C冯Q:从而P BLP A,P BV P C,故 物 L 平面P AC,所以平面必员L 平面P AC.(2)设圆锥的底面半径为
13、r,母线长为1.由题设可得r/刊后,/-步之.解得r=,1忐.从而A B=g 由 可 得P +P b A E,故P A=P B=P C当.所以三棱锥-T a 的体积为-X-XP A XP BXP C X-X ()3 巫.3 2 3 2 2 8【真题互鉴】(2 0 1 9 全 国 I 理，1 2)已知三棱锥-4 笫的四个顶点在球。的球面上,P A=P B=P C,4 8 C 是边长为2的正三角形,E,尸分别是2M6的中点，/CEFW 0 ,则球。的体积为A.8 V 6 J t B.4 V 6 n C.2 7 6 m D.后 n答案:D点评:本题中的三棱锥与2 0 1 9 全国/卷理科第1 2 题
14、的三棱锥都是正三棱锥,并且都可推得三条侧棱两两垂直,解题过程中都要用到正三棱锥的三个侧面都是全等的等腰三角形这一性质.因此,我们在日常复习中，也要注重对往年高考真题进行研究与练习.2 0.【考查目标】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及函数的零点问题,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象和数学运算.【思维导图】(1)当 a 可时 f(x)气二2 求色确定F 5)刀 和 F (才)0时 x 的取值范围一得函数f(x)的单调性/(x)三 一8(才+2)求年f (才)=ex-a(工)单调递增一 不合题意分类讨论 U由Zfc在由.?X=In a-r-r-r*a 的取值范围f (x)=O 零点存在定理
15、解：当 a=时，fx)=e*-x-2,则 f (x)=e T.当 时，f (x)0;当 x K)时，f (x)X).所 以 7(*)在(-8,0)单调递减，在(0,+8)单调递增.当a W O吐/(X)电 所 以 f(x)在(-平+8)单调递增,故f(x)至多存在1 个零点,不合题意.当 a X)时，由 f (x)才可得 x=l n a.当 x d(-8,i n a)时,f (x)0;当 x d (In 时,y (*)见所以f(x)在(-、加 a)单调递减，在(In a,/=)单调递增.故当*=皿a时,/X x)取得最小值，最小值为f(l n a)=-a(l+l n a).(i)若则f(l n
16、 a)，0,/U)在(,+2 至多存在i 个零点,不合题意.e(i i)若 aA 则/(In a)2 时,e -x-2H,所以当 x A 且 x2ln(2a)时，X Xf(x)=2 京-a(x*2 .(抖 七(户 2)=2aX.故 F(x)在(In a,+8)存在唯一零点.从而F(x)在(-8,+8)有两个零点.综上,a的取值范围是&+2.e21.【考查目标】本题主要考查向量的运算、椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.解：(1)由题设得 A(-a,0),B(a,0),G(0,1).则 刀=(a,1),而=(a,T).由 前 GB=8得 a-1=8,所以a 书.
17、2所以 的方程为十六L 设 Cx,y i),)(x2,，尸(6,。.若力#0,设直线切的方程为x=my+n,由题意可知-3 S(病=0,解得=-3(舍 去)或 吗故直线切的方程为x=my总即直线切过定点(|,0).若t=G,则直线切的方程为尸土过点(|,0).综上,直线切过定点(|,0).22.【考查目标】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化，两曲线的公共点的直角坐标的求解，考查的核心素养是数学运算.【解题思路】当k=吐消参,得到曲线G的普通方程,即得曲线Q是圆；(2)当kN吐消参,得到曲线G 的直角坐标方程，再把曲线G 的极坐标方程化成直角坐标方程,联立两方程
18、求出公共点的直角坐标.解：当衣=1 时,G#1:鬻 消 去 参 数 t 得 八 六 1,故曲线G 是圆心为坐标原点,半径为1 的圆.当 公 1 时,二:3:消去参数t 得G的直角坐标方程为日仍=1.G 的直角坐标方程为4 x T6 y+3=0.故 G 与 G 的公共点的直角坐标为。.4 423.【考查目标】本题主要考查含绝对值函数的图象和绝对值不等式的求解，考查的核心素养是数学运算.【解题思路】(1)先用零点分区间法化简函数f(x)的解析式，再画出函数的图象即可；(2)利用函数图象平移的有关知识作出y=f(x+l)的图象,求出两图象交点的坐标,结合图象即可得到不等式的解集.(2)函数y=f(x)的图象向左平移1 个单位长度后得到函数y=F(x+l)的图象.y=f(x)的图象与尸/(x+l)的图象的交点坐标为(W V)由 图 象 可 知 当 且 仅 当 时,y=fx)的图象在y=fx+)的图象上方.故不等式F(x)f(x+1)的解集为(-刃，).