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1、2019年普通高等学校招生全国统一考试全国I卷文科数学本试卷共4 页,23小题，满 分 150分.考试用时120分钟.一、选择题:本题共12小题,每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 设z=W，则团=A.2 B.V3 C.V2 D.12.己知集合 U=1,2,3,4,5,6,7/=2,3,4,5,8=2,3,6,7,则 BCC VA=A.1,6B.1,7C.6,7 D.1,6,73.已知 a=log20.20=202,c=0.2a3,则X.abc B.acbC.cab D.hc 0力0)的一条渐近线的倾斜角为1 3 0。,则C的离心率为A.2 s i
2、 n 4 0 B.2 c o s 4 0 sin50 cos5001 1.AB C 的内角 A,8,C 的对边分别为 力,c.已知“s i n A-b s i n B=4 c s i n C,c o s 则=4 CA.6 B.5 C.4 D.31 2.已知椭圆C的焦点为F(l,0),F 2(l,0),过B的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|BB|,HB|=|BFI|,则C的方程为二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共2 0分.1 3.曲线y=3(x 2+x)e*在点(0,0)处 的 切 线 方 程 为.1 4.记S“为等比数列“的前n项和.若G=1,S3=*则54=.1 5.函数1/
3、(x)=s i n(2 x+y)-3 c o s x 的最小值为.1 6 .已知Z A C B=90。,？为平面A B C外一点,P C=2,点P到Z A C B两边AC,B C的距离均为百，那么P到平面A B C 的距离为.三、解答题:共7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1 7 2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2 2、2 3 题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题:共6 0 分.1 7 .（1 2 分）某商场为提高服务质量，随机调查了 5 0 名男顾客和5 0 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：(2)能分满息、不满意
4、男顾4 0 1 0客女顾3 0 2 0客别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?n(ad-bc)2(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)P 0.0 0.0 0.0附:烂=k)5 0 1 0 0 13.8 6.6 1 0.k4 1 3 5 82 81 8.（1 2 分）记 S“为等差数列 为 的前n项和.已知S9=-5.（1）若3=4,求 斯 的通项公式；（2）若卬 0,求使得S仑欧的n的取值范围.1 9.(1 2 分)如图，直四棱柱ABCD-AsBxCD的 底 面 是 菱 形=4,4 8=2,/8 4。=6 0。M八 分别是BC,BBi
5、,AQ的中点.(1)证明:MN平面CiDE;(2)求点C到平面GOE的距离.2 0 .(1 2 分)已知函数危)=2 s i n .r-x c o s x-x J”(x)为y(x)的导数.(1)证明:f (x)在区间(0,无)存在唯一零点；(2)若 x G 0,兀 时於巨妙,求a的取值范围.2 1 .(1 2 分)已知点A,B关于坐标原点O对称,|A8|=4,。M过点A,B且与直线x+2=0 相切.(1)若 A 在直线x+y=0 上，求。M的半径；(2)是否存在定点尸,使得当A 运动时J M AH M P I 为定值?并说明理由.（二）选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如
6、果多做，则按所做的第一题计分.224选修4-4:坐标系与参数方程（10分）1-t2在直角坐标系x。），中，曲线C的参数方程为 1：厂%为参数）.以坐标原点O为极点M轴的正半轴为极轴建产亲立极坐标系，直线/的极坐标方程为20cos 0+V3psin（9+11=0.（1）求C和/的直角坐标方程；（2）求C上的点到/距离的最小值.23.选修4-5:不等式选讲（10分）己知a力,c为正数，且满足abc=l.证明：（1）-+a2+b2+c2;a b c(2)(+b)3+(b+c)3+(c+a)3 2 2 4.12345678910111213141516CCBBDCDBADABy=3x58-4V2I.c
7、【考查目标】本题主要考查复数的除法运算与模的计算，意在考查考生对基础知识的掌握情况以及运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】解 法 一 磊 端 舒 咛,故 作 三 弯 动.故 选 C.解 法 二 皆 小 请 I嗯动【真题互鉴】（2018全 国 I 文,2）设 z=W+2i,则团=A。B.i C.l D.V2答案:C2.C【考查目标】本题主要考查集合的交、补运算，意在考查考生对基础知识的掌握情况以及运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】依题意得C以=1,6,7,故 BOC必=6,7.故选仁3.B【考查目标】本题主要考查指数与对数的大小比较，意在考查考生的运算求解能力以及逻辑推
8、理能力，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理.【解析】：a=log20.220=l,c=0.20-30,.：，bc B.bac C.cba D.cab答案:D【方法总结】指数与对数比较大小的常见方法:比较法，包括作差法，作商法;中间值法，即利用不等式的传递性进行比较.4.B【考查目标】本题主要考查数学文化中的“黄金分割比例”，意在考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】不妨设此人咽喉至肚脐的长度为xcm,则=0.618,得 x=42,故某人身高大约为26+42+105=173（cm）,考虑误差，结合选项,可知选B.5.D【考查目标】本题主要考查函数的图象与性质，意在考查考生分析
9、问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理.【解析】解法一 显然段）=g）,所以於）为奇函数，排除A;腔）=惠=号1,观察题图可知D 正确.故选D.解法二 显然加）=加田,所以小）为奇函数，排除A;易知当x-0+时/）0,排除（2曲:）=言 0,排除B.故选D.【解后反思】函数图象识别问题一般从以下几个角度入手:一、奇偶性;二、单调性;三、局部有界性，比如局部函数值域的取值范围;四、周期性;五、取特殊值检验;六、图象的变化趋势,如陡峭程度.6.C【考查目标】本题主要考查系统抽样,意在考查考生的数学应用意识以及逻辑推理能力，考查的核心素养是数据分析、逻辑推理.【解析
10、】由系统抽样可知第一组学生的编号为110,第二组学生的编号为11-20,，最后一组学生的编号为9917 000.设第一组取到的学生编号为x,则第二组取到的学生编号为x+10,以此类推，所取的学生编号为 10的倍数加X.因为46号学生被抽到，所以x=6,所以616号学生被抽到，故选C.7.D【考查目标】本题主要考查诱导公式及两角和的正切公式的应用，意在考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.亚+1【解析】由正切函数的周期性可知,tan 255=tan(180+75)=tan 75。=1211(30。+45)=工=2+百,故选D.8.B【考查目标】本题主要考查平面向量的模、数量积、夹角，
11、意在考查考生的运.求解能力以及化归与转化能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】解 法 一 由 题 意 得,伍-bb=0=4乃=|仟,二 步 卜 cos=|bF,.a-2b,2|6Fcos=|6F=cos=,.,.=今故选 B.解 法 二 如 图，设立而=,则瓦?=功，.:P g 画|=2|丽，：NAOB=即 力=【题型风向】平面向量的常考题型:(1)向量平行、向量垂直的应用;(2)平面向量基本定理的应用;(3)向量的有关运算，如向量模的计算、向量的坐标运算、向量的加(减)法运算、向量的数乘运算、向量的数量积运算等.9.A【考查目标】本题主要考查当型循环结构的程序框图，意在考查考生的逻辑推理能
12、力以及运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】解 法 一 依 次 检 验 四 个 选 项.第 一 次 循 环:.分 析 知 只 有 A 符合题意.2+2 2故选A.解法二分析知,与一致的结构为3,故可设4=，,检验知符合题意，故选A.2+7 2+-2+A 2+A2+2 210.D【考查目标】本题主要考查诱导公式与双曲线的离心率，意在考查运算求解能力以及化归与转化思想，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理.u _ _【解析】依题意知,-=tan 130=tan(130-180)=-tan 50,两边平方得l,e2=l+tan250=,又 e 1,e=选 D.cos250 cos5
13、0【拓展结论】实际上，若双曲线悬白1(40力0)的一条渐近线的倾斜角为仇则该双曲线的离心率即点|.11.A【考查目标】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,考查运算求解能力以及化归与转化思想，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理.【解析】由题意及正弦定理得，户=_ 4c2,所以由余弦定理得,cos A=空的贮=芈=-；,得2=6.故选A.2bc 2bc 4 c【解题关键】本题求解的关键是利用正弦定理将角化成边,再利用余弦定理得到2的值.C12.B【考查目标】本题主要考查椭圆的定义及标准方程,考查运算求解能力、化归与转化思想以及数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算、逻辑推理.【解析】由
14、题意设椭圆的方程为W心=1 3 6 0),连接尸A令旧B|=i,则|A F d=2肛|防|=3机由椭圆的定义a,L b*知,4加 二2。,得根二 今 故|尸2*=。=/圜,则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.令NOAB=W。为坐标原点)，则s i n公士在等腰三角形AB F中,c o s 2A得 二：,所以：=1-2(2)2,得2=3.又0 2=1,所以按=2 _ 0 2=2,椭 圆。的方程为a23 3aV2 y.22+-=1.故选B.3 2【解后反思】求解圆锥曲线试题,首先考虑画图，其次考虑定义与几何性质.凡涉及焦点三角形的问题，应注意解三角形知识的应用.13 .y=3x【考查目标】本题主要考查
15、导数的几何意义，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.解题思路】先求出x=0时函数y=3(/+x)e，的 导 数 值,即 曲 线 在 点(0,0)处的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程求出切线方程.【解析】因为y=3(x 2+x)e*,所以y=3(x 2+3 x+l)e*,所以*=0=3,故曲线y=3(x 2+x)e*在点(0,0)处的切线方程为 y-0=3(x-0),即 y=3 x.【命题分析】导数的几何意义为高考热点之一，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，常见的命题角度有：(1)求切线方程;(2)求切点坐标;(3)已知切线方程求参数的值.【易错警示】求曲
16、线的切线方程时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，若已知该点是切点，则可通过点斜式直接写出切线方程，若该点不是切点，则需先设出切点再求解.14 .|【考查目标】本题主要考查等比数列的前项和公式，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是O逻辑推理、数学运算.【解题思路】由m及S 3,可求得等比数列 小 的公比q的值,再利用等比数列的前n项和公式求得S 4的值.【解析】通解 设等比数列 词 的公比为名由0=1及S 3=j,易知#1.把0=1代入S 3=呼 必4,得41 Q 41 +q+q 2=*解得4=义,所以$4=ai(l-q)_ lx l-(一 4】_ 5i-q-1-(-8优解一 设等
17、比数列 斯 的公比为(7,因为5 3=0+4 2+4 3=0(1+4+炉)=/1 =1,所 以l+g+q 2=；,解得行之所以4 4 2O4=a!-q3=(-1)3=-，所以 S4=S3+o4=+(-1)=|.Z o o o优解二设等比数列 斯 的公比为q,由题意易知分1.设数列 “的前n项和S“=A(1 4)(其中A为常数)，则ai=S i=A(l-q)=l S 3=A(l-q 3)=：由 得 A=|,q=，.所以 S4=x l-(-i)4=1.15 .-4【考查目标】本题主要考查三角函数的诱导公式、二倍角公式及三角函数的性质，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理
18、、数学运算.解题思路】利用诱导公式及二倍角公式化函数危)=s i n(2 x+3 c o s x为危)=l-2 c o s 2 x-3 c o s x,再利用二次函数的知识求函数的最小值.【解析】y(x)=s i n(2 x+y)-3 c o s x=-c o s 2 r-3 c o s x=1 -2 c o s2x-3 c o s x=-2(c o s x+)2+,K I J c o s x C -l,l ,所以当c o s x=l时1y(x)取得最小值犬 而产-丈 方法总结】对于三角函数的相关试题，一般将三角函数化成两种形式:化成)，=加皿 3.8 4 1,故有9 5%的把握认为男、女顾客
19、对该商场服务的评价有差异.】解决独立性检验问题的步骤:T 比较不与临界值表中相应的数据，作出推断.11 8.【考查 目标】本题主要考查等差数列的通项公式、前项和公式以及与数列有关的不等式问题，考查考生的推理论证能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路(1)由5 9=七5 及。3=4 可求出等差数列 斯 的公差d 及首项即从而可写出 斯 的通项公式;(2)由可得。|=-4,则可得2-1 1+0 W 0,解不等式可得”的取值范围.解：(1)设 斯 的公差为由 S 9=-5 得”i+4 d=0.由(13-4 得 a i+2 d=4.于是 a i=8,d=-2.因此 “的通项
20、公式为斯=1 0-2”.由(1)得 0=-4 4,故 a-(n-5)d,S=n(9)c由ai 0知 d 0,故 S,之处等价于层一1 i+io a,解 得 l 0/兀)0;当 xd g时,g 3 0,g(兀)=-2,故 g(x)在(0 存在唯一零点.所以r(x)在(0 存在唯一零点.(2)由题设知y(兀巨加7(兀)=0,可 得 7 0;当 x e (必,兀)时/。)2ah,b2+c2 2bc,c2+a2 2 o c,X H c=l,故有 a2+b2+c2 ah+bc+ca=9b+bc+ca=1+1+1.abc a b c所以幻+士足+按+/abc(2)因为 力,C为正数且4历=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(C+6?)33/(a 4-h)3(6 4-c)3(a +c)3=3(+/?)S+c)(+c)3 x(2 V a b)x(2 V b c)x(2 V a c)=2 4.所以(a+b)3+(/?+c)3+(c+)3 N2 4.【拓展结论】常用的不等式:(1)屏+2 2 必及它的变形形式。2+2 工 2|。仇(。+份2 之 4。屋+2 4(。+份2,1 _ 之(卑)2；(2)?NV F(0 力 0)及它的变形形式 +i 2(t z 0)，7+-2(0)，7+-2(0).a b ci b o.